4 Etude de l’´ ´ evolution des erreurs

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Université Paris-Dauphine Méthodes numériques

D´epartement MIDO Ann´ee/

DE MI2E deuxi`eme ann´ee

Projet : Le probl`eme ` a n corps

1 Contexte

L’objectif de cet projet est de traiter numériquement le problème des n corps issu de la mécanique céleste, qui est un modèle pour l’évolution au cours du temps de n corps ponctuels de masses respectivesm_i, 1≤i≤n. Pour simplifier, nous supposerons que les corps évoluent dans l’espace à deux dimensionsR². Dans ce cas, la position du i-ème corps à l’instant t sera notée

x_i(t) =

x⁽¹⁾_i (t), x⁽²⁾_i (t)T

∈R².

La force gravitationnelle que le j-`eme corps exerce sur lei-`eme corps est F_ij =G mimj

kx_j−xik³₂(x_j−x_i) avec kF_ijk₂=kF_jik₂=G mimj

kx_j−xik²₂

o`u G ≈6,67·10^{−11 m}_{kg s}³2 est la constante de gravitation universelle. En sommant toutes les forces

de gravitation, il vient que lei-ème corps subit une accélération ¨x_i := _dt^d²2x_i∈R² mixï =X

j6=i

Fij =Gmi

X

j6=i

mj

kx_j −x_ik³₂(xj−xi) ou encore x¨i=GX

j6=i

mj

kx_j−x_ik³₂(xj−xi).

Comme chaque vecteur positionx_i a deux composantes, on peut exprimer l’évolution des navec le système suivant d’équations différentielles ordinaires de deuxième ordre

¨

x=f(x). (1.1)

o`u

x=

x⁽¹⁾₁ , x⁽²⁾₁ , . . . , x⁽¹⁾_n , x⁽¹⁾_n T

∈R²ⁿ.

Nous allons maintenant résoudre (1.1) avec deux schémas numériques en temps : le schéma d’Euler explicite et le schéma de type Runge-Kutta explicite d’ordre 4. Cela nous permettra de connaˆıtre x(t), i.e., l’évolution des positions desncorps.

Questions pr´eliminaires :

1. Expliciter la fonction f :R²ⁿ→R²ⁿ.

2. En faisant le changement de variable y0 := x(position des n corps) et y1 := ˙x (vitesse des ncorps), montrer que le système (1.1) est équivalent au système suivant de taille 4n,

˙ y=

y˙0

˙ y1

= x˙

¨ x

= y1

f(y0)

=:F(y). (1.2)

1

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2 La m´ ethode d’Euler explicite

Maintenant nous allons résoudre numériquement l’équation différentielle (1.2) sur un intervalle de temps [0, T] et partant d’un vecteur de conditions initialesy(0) donné. Le problème à résoudre est donc :

Trouver une approximation du vecteury(t), solution du syst`eme d’´equations

˙

y(t) =F((y(t)), ∀t∈[0, T] y(0) donn´e.

Notons ˜y(t) une fonction qui approche y(t) “au mieux possible” en P + 1 instants de temps t_p ∈[0, T]. On considère le cas où les instants sont uniformément répartis sur [0, T] de sorte que, en posant h:=T /P, on a

t₀= 0

t_p+1=t_p+h, 0≤p≤P−1, t_P =T

Le point de d´epart pour approcher y(t_p) pour p = 0, . . . , P part du d´eveloppement de Taylor de y(t_p+1) autour de t_p qui est

y(t_p+1) =y(t_p+h) =y(t_p) +y⁰(t_p)·h+O(h²) =y(t_p) +f(y(t_p))·h+O(h²), 0≤p≤P −1.

Si l’on néglige les termes d’ordre supérieur àh, la fonction

ey(t_p+1) :=ey(t_p) +h·f(y(te _p)), 0≤p≤P−1.

est une approximation dey(t_p+1) à l’ordrehprès. L’algorithme d’Euler explicite consiste à calculer ces approximationsy(te _p+1) en partant de l’état initialy(0) =e y(0).

Questions : Appliquer la m´ethode d’Euler explicite au probl`eme des n-corps. Pour cela, on pourra :

1. Implémenter une méthode step(yt,h) qui, partant de l’approximation yt à un certain instant t, renvoie l’approximation yt+h F(yt) à l’instant t+h suivant. On rappelle queF est la fonction définie en section 1. Remarque : si besoin est, la fonctionsteppourra prendre d’autres arguments en entrée mis à partyt eth.

2. En partant de y0 comme condition initiale, faire une boucle sur tous les temps qui permet d’obtenir l’approximationy(te _p) `a tous les instants p= 0, . . . , P.

3. Utiliser le code pour obtenir les trajectoires de 0 `a T = 5 s.de n= 3 corps de masses m₁ = 10¹⁰kg, m₂= 3.10¹⁰kg, m₃= 10¹⁰kg

dont les conditions initiales

y(0) =

y₀(0) y1(0)

= x(0)

x(0)˙

2

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sont

x⁽¹⁾₁ (0) = 0, x⁽²⁾₁ (0) = 0, x˙⁽¹⁾₁ (0) = 0, x˙⁽²⁾₁ (0) = 0 x⁽¹⁾₂ (0) = 0, x⁽²⁾₂ (0) = 1, x˙⁽¹⁾₂ (0) = 1, x˙⁽²⁾₂ (0) = 0 x⁽¹⁾₃ (0) = 0, x⁽²⁾₃ (0) =−1, x˙⁽¹⁾₃ (0) =−1, x˙⁽²⁾₃ (0) = 0

Prendre un pas de tempsh=T /100.

4. Repr´esenter graphiquement les trajectoires obtenues.

3 M´ ethode Runge-Kutta d’ordre 4

Si la fonction t → y(t) est suffisamment régulière, l’erreur d’approximation avec la méthode d’Euler explicite au temps final t=T est de l’ordre du pas tempsh, i.e.,

∃C >0 s.t. ky(T)−y(Te )k ≤Ch. (3.1) Donc, lorsqueh→0, la fonctiony(Te ) converge versy(T). Cependant, dans la pratique la constante C de l’inégalité est souvent très grande et augmente avec T. Pour cette raison, il est en général nécessaire de prendre des pas de temps h extrêmement petits pour arriver à une précision conve- nable. Cela augmente considérablement le nombre d’instants intermédiaires et rallonge les temps de calcul et motive la recherche d’approximations dont l’erreur est de la forme

∃C >0 s.t. ky(T)−ey(T)k ≤Ch^r,

avec r > 1. On parle de schémas d’ordre supérieur. Pour les construire, une première possibilité serait de prendre des développements de Taylor d’ordre supérieur mais cela est en général très coûteux voire parfois même impossible en fonction du problème.

Une fa¸con plus simple de construire des schémas d’ordre supérieur est le schéma Runge-Kutta.

Dans cette approche,f est ´evalu´ee en un certain nombre de points et l’on construit l’approximation comme suit pour tout 0≤p≤P−1. On pose

y(te _p+1) :=y(te _p) +h

m

X

j=1

γ_jK_j(t_p) avec

Kj(tp) =

(f(ey(tp)) sij= 1 f

y(te p) +hPj−1

l=1βj,lKl(tp)

si 2≤j≤m. (3.2)

Les coefficientsβ_j,l etγ_l sont usuellement donn´es dans un tableau α_j β_jl

γ_l

appelé tableau de Butcher. Le tableau comporte des coefficients α_j dont on n’aura pas besoin dans ce problème. Dans ce type d’approche, étant donné un ordre d’approximation r souhaité, la

3

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question est de trouver de bons coefficientsβ_j,l etγ_lqui satisfont cet ordre d’approximationr. Afin de réduire le coût des calculs, il faut aussi quemsoit le plus petit possible. Les questions tournant autour de la recherche des coefficients βj,l et γl donnant un certain ordre r et avec le plus degré possible mest une question difficile et nous nous contenterons de considérer le tableau suivant

0 1/2 1/2

1/2 1/2

1 1

1/6 1/3 1/3 1/6

qui donne un schéma d’ordrer= 4 appelé schéma de Runge-Kutta explicite d’ordre 4.

Questions :

1. Implémenter le schéma Runge-Kutta d’ordre 4 pour le problème des ncorps et l’appliquer

`

a l’exemple donn´e en question 3 de la section 2.

2. Repr´esenter graphiquement les trajectoires obtenues.

4 Etude de l’´ ´ evolution des erreurs

La méthode Runge-Kutta ayant un ordre plus élevé que la méthode d’Euler explicite, on peut l’utiliser pour avoir une bonne estimation de l’évolution au cours du temps de l’erreur commise avec la méthode d’Euler explicite.

Questions :

1. En partant toujours de l’exemple en question 3 de la section 2, repr´esenter l’´evolution des erreurs

keyRK(tp)−eyEE(tp)k₂, p= 0, . . . , P,

où les sous-indices RK et EE font référence respectivement aux méthodes Runge-Kutta et Euler explicite. Qu’observe-t-on et comment interpréter cette observation ?

2. On souhaite à présent estimer la dépendance de la constante C de (3.1) par rapport à T, la valeur du temps final. En prenant h = 0.01 et les conditions initiales déjà introduites, calculer

kye_RK(T)−ye_EE(T)k₂

pour T = 5, 10, 100, 500, 1000 et représenter graphiquement ces erreurs en fonction de T, quelle est la tendance (linéaire, quadratique, exponentielle) ? Que peut-on en déduire par rapport à la dépendance deC avec T?

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