О задаче понижения порядка линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами (On the problem of reducing the order of linear recurrence equations with constant coefficients)

О задаче понижения порядка линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами

К.Л. Геут geutkrl@yandex.ru

С.С. Титов stitov@usaaa.ru

Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург)

Аннотация

В работе рассматриваются соотношения, задающие нелинейные ре- курсии первого порядка для общего линейного рекуррентного соот- ношения второго порядка с постоянными коэффициентами. Полу- чены условия существования таких соотношений. Приведены при- меры.

Ключевые слова:линейное рекуррентное соотношение; нелиней- ное рекуррентное соотношение; числа Фибоначчи; уравнения в ко- нечных разностях.

В работе [1] поставлена общая задача понижения порядка линейных рекуррентных уравнений с посто- янными коэффициентами, решение которой показано на примере чисел Фибоначчи. В [2] рассматривались также некоторые случаи понижения порядка конечно-разностных уравнений и наличия зависимостей, свя- занных с остатком номера члена рекуррентной последовательности по некоторому модулю.

В общем виде эта задача ставится [2, 3] для однородного уравненияN-ого порядка

fn+N+aN−1fn+N−1+. . .+a0fn= 0. (1) относительно неизвестной последовательности f_n с известными постоянными коэффициентами a0, . . . , aN−1как задача нахождения такой зависимостиF, возможно нелинейной, что для любого решения f существует такая постоянная C= Const, что выполняется тождество

F(fn, . . . , fn+N−1) =C. (2)

для любого целого неотрицательногоn[2, 3]. Эта задача аналогична проблеме поиска промежуточного интеграла для дифференциального уравнения второго порядка [4].

Пусть

F(fn, . . . , fn+N−1) =amfn+1m+am−1f_n+1^m−1fn1+am−2f_n+1^m−2fn2+. . .+a1f_n+1¹ f_n^m−1+a0f_n^m=C. (3) ПриN = 2при помощи корней λ16=λ2характеристического уравнения (1) находим последовательно

½ fn=C1λⁿ₁ +C2λⁿ₂ =u+v,

fn+1=C1λⁿ⁺¹₁ +C2λⁿ⁺¹₂ =λ1u+λ2v, (4)

Copyright°c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.

In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org

гдеC1, C2=Constи введены обозначения

½ u=C1λⁿ₁,

v=C2λⁿ₂. (5)

Подставляя (4), (5) в (3) вычислим akf_n+1^k f_n^m−k=ak

Pk j=0

·^m−kP

l=0

C^lm−ku^lv^m−k−l=ak

Pk j=0

m−kP

l=0

C_k^jλ^j₁λ^k₂−ju^l+jv^{k−j+m−k−l}=

=a_k Xm

s=0

u^sv^m−s Xk

j=0

C_k^jC_m−k^s−j λ^j₁λ^k−j₂ =a_k Xm

s=0

u^sv^m−s Xk

j=0

µ k j

¶ µ m−k s−j

¶

λ₁^jλ₂^k−j; (6) следовательно, (2) получаем в виде

Xm

s=0

u^sv^m−s Xm

k=0

ak

Xk

j=0

µ k j

¶ µ m−k s−j

¶

λ^j₁λ^k−j₂ =C=Const. (7) Итак, в случае полиномиального соотношения (2), (3) при degF = m в однородном случае находим F(fn, fn+1) = P^m

s=0u^sv^m−sAs, где постоянные коэффициентыAравны As=

Xm

k=0

ak

Xk

j=0

µ k j

¶ µ m−k s−j

¶

λ^j₁λ^k−j₂ . (8)

(считаем биномиальные коэффициенты µ p

q

¶

= 0приq <0 илиq < p).

Приn= 0,1,2, . . .имеем F(fn, . . . , fn+1) =

Xm

s=0

(C1λⁿ₁)^s(C2λⁿ₂)^m−sAs= Xm

s=0

(C₁^sC₂^m−sAs)λ^ns₁ λ^n(m−s)₂ =C=Const (9) Если C1=C2= 0, тоC= 0и равенство (9) справедливо для любогоn.

Если C16= 0 =C2, то C= 0и равенство (9) сводится к равенствуC₁^mAmλ^mn₁ =C=Const, из которого следует, что либоAm= 0(и тогдаC= 0), либо Am6= 0и(λ^m₁)ⁿ= 1, т.е. λ^m₁ = 1.

Аналогично – еслиC1= 06=C2: приAm6= 0имеем (λ^m₂ )ⁿ = 1, т.е.λ^m₂ = 1.

Если жеC16= 06=C2, то из (6) вытекает соотношение F(fn+1, fn+2)−F(fn, fn+1) = 0,

и если As = 0 не для всех s ∈ 0,1, . . . , m, то, рассматривая эти последовательные соот- ношения как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (C1sC2m−sAs), приходим к равенству нулю определителя матрицы этой системы, т.е. матрицы с элемен- тами λ^(n+1)s₁ λ^(n+1)(m−s)₂ − λ^ns₁ λ^n(m−s)₂ = (λ^s₁λ^m−s₂ − 1)λ^ns₁ λ^n(m−s)₂ для последовательных значений n, составленных из столбцов для значенийs, соответствующих неравенствамAs6= 0:

C₁^sC₂^m−sA^s(λ^s₁λ^m−s₂ −1)







λ^ns₁ λ^n(m−s)₂ λ^(n+1)s₁ λ^(n+1)(m−s)₂

. . .

λ^(n+l)s₁ λ^(n+l)(m−s)₂





 (10)

гдеl – количество такихs, что As6= 0.

Таким образом,

0 =

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯

λ^ns₁ ¹λ^n(m−s₂ ¹⁾ . . . λ^ns₁ ^lλ^n(m−s₂ ^l) λ^(n+1)s₁ ¹λ^(n+1)(m−s₂ ¹⁾ . . . λ^(n+1)s₁ ^lλ^(n+1)(m−s₂ ^l)

. . . . . . . . .

λ^(n+l)s₁ ¹λ^(n+l)(m−s₂ ¹⁾ . . . λ^(n+l)s₁ ^lλ^(n+l)(m−s₂ ^l)

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯

=

= (λ^ns₁ ¹·λ^n(m−s₂ ¹⁾·. . .·λ^ns₁ ^lλ^n(m−s₂ ^l))

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

1 . . . 1

λ^s₁¹λ^(m−s₂ ¹⁾ . . . λ^s₁^lλ^(m−s₂ ^l) . . . . . . . . . λ^ls₁¹λ^l(m−s₂ ¹⁾ . . . λ^ls₁^lλ^l(m−s₂ ^l)

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=

= (λ^s₁^1+...+slλ^lm−(s₂ ^1+...+sl))ⁿ

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 . . . 1 u₁ u₂ . . . u_l . . . . . . . . . . u₁^l u₂^l . . . u_l^l

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

, (11)

гдеui =λ^s₁ⁱλ^(m−s₂ ⁱ⁾(i= 1, . . . , l), так что этот определитель, как определитель Вандермонда, равен нулю только еслиui=uj для некоторой парыi6=j(i, j= 1, . . . , l), что равносильно наличию соотношения

λ^s₁^i−sjλ^(m−s₂ ^{i)−(m−sj)}= (λ⁻¹₁ λ2)^sj−si= 1, (12) т.е. отношение корней есть корень из единицы. Так в работе [2] на с. 215 дана ссылка на работу по определителям типа Вандермонда.

Наконец, если l = 0, т.е. всеAs = 0(s∈0,1, . . . , m), то C = 0 при любых C1, C2. Значит, соотношение приfn 6= 0принимает вид

1

f_n^m =am

µ fn+1

f_n

¶

m+am−1

µ fn+1

f_n

¶

m−1+am−2

µ fn+1

f_n

¶

m−2+. . .+a1

µ fn+1

f_n

¶

1+a0= 0, (13) из которого следует, что отношение

³ fn+1

fn

´

при любых C1, C2(кроме возможностиfn<0) и любыхn принимает не болееmзначений – корней уравнения (13). Ясно, что среди этих значений могут бытьλ1 и λ2 (для этого достаточно взятьC1= 0илиC2= 0). Это дает следствие уравненийA0= 0и Am= 0. Если жеC16= 06=C2, то

fn+1

fn =C1λⁿ⁺¹₁ C1λⁿ₁ ·[1 +

³ C2

C1

´ ³ λ2

λ1

´ n+1]

[1 +

³ C2

C1

´ ³ λ2

λ1

´

n] =λ1·1 +Dµⁿ⁺¹

1 +Dµⁿ (14)

(гдеD= ^C_C²

1, µ=^λ_λ²

1).

Записывая равенство нулю всех As = 0 (s = 0,1, . . . , m) как систему линейных однородных уравне- ний относительноa0, a1, . . . , amвычислим определитель этой системы. Оказывается, он есть многочлен от µ = λ2λ1, равный степени многочлена(µ−1), умноженный на некоторую степеньλ1. Следовательно, он может быть (приλ16= 0)равным нулю только приµ= 1, т.е. приλ1=λ2.

Получаем итоговое

Утверждение 1. Еслиλ16=λ2, то линейное рекуррентное соотношение второго порядка с постоянными коэффициентами допускает нетривиальное однородное соотношение (СС) первого порядка тогда и только тогда, когда некоторое произведение целых степеней корней равно единице:λ^r₁λ^t₂= 1,(r, t∈Z).

Для произвольногоN задача поиска соотношения первого порядка ставится аналогично: существует ли связьfn= P^N

i=1

Diλⁿ_i сfn+1= P^N

i=1

Diλⁿ⁺¹_i (Di=Const, λi все различные,i= 1, . . . , N), в виде

NX−1

j=0

f_n+1^N−jf_n^j=C (15)

уравнения степениN с постоянными коэффициентами?

Пустьai=Diλⁿ_i, тогда

f_n =a₁+. . .+a_N, (16)

fn+1=λ1a1+. . .+λNaN, (17)

f_n^s=X s!

s1!. . . sN!a^s₁¹. . . a^s_N^N, (18) f^s_n+1= X

s1+...+sN

s!

s1!. . . sN!(λ1a1)^s1. . .(λNaN)^sN =X s!

s1!. . . sN! =sλ^s₁¹. . . λ^s_N^Na^s₁¹. . . a^s_N^N. (19) Поэтому выражение дляf_n+1^s fnt записывается в виде явной, но громоздкой формулы.

Пример 1 N = 2,

fn =D1λⁿ₁ +D2λⁿ₂ =a1+a2,

fn+1=D1λⁿ⁺¹₁ +D2λⁿ⁺¹₂ =λ1a1+λ2a2.

f_n+1² =λ²₁a²₁+ 2λ1λ1a1a2λ²₂a²₂fnfn+1=λ1a²₁+ (λ1+λ2)a1a2+λ2a²₂f_n²=a²₁+ 2a1a2+a²₂. Поэтому

A·



 a²₁ a2a1

a²₂



=



 f_n+1² fnfn+1

f_n²,



 (20)

где матрица Aимеет вид



 λ²₁ 2λ1λ2 λ²₁ λ1 (λ1+λ2) λ2

1 2 1



=A(λ1, λ2). (21)

При этом ее определитель равен

∆ =|A|=λ²₁(λ1+λ2) + 2λ1λ²₂+ 2λ1λ²₂−λ²₂(λ1+λ2)−2λ²₁λ2−2λ²₁λ2=

= (λ²₁−λ²₂)(λ1+λ2) + 4(λ1λ²₂−λ²₁λ2) = (λ1−λ2)(λ1+λ2)²−4λ1λ2(λ1−λ2) = (λ1−λ2)[(λ1+λ2)²−4λ1λ2] =

= (λ1−λ2)[λ²₁−2λ1λ2+λ²₂] = (λ1−λ2)³6= 0 (22) приλ16=λ2.

Вычисляем определители:

∆_a²

1 =

¯¯

¯¯

¯¯

f_n+1² 2λ1λ2 λ²₁ fnfn+1 (λ1+λ2) λ2

f_n² 2 1

¯¯

¯¯

¯¯=f_n+1² ·(λ1−λ2)−fnfn+1·2(λ1−λ2)λ2+f_n²·(λ1−λ2)λ²₂; (23)

∆a1a2 =

¯¯

¯¯

¯¯

λ²₁ f_n+1² λ²₁ λ1 fnfn+1 λ2

1 f_n² 1

¯¯

¯¯

¯¯=−f_n+1² ·(λ1−λ2) +fnfn+1(λ1−λ2)(λ1+λ2)−f_n²·(λ1−λ2)λ1λ2; (24)

∆_a²

2 =

¯¯

¯¯

¯¯

λ²₁ 2λ1λ2 f_n+1² λ1 (λ1+λ2) fnfn+1

1 2 f_n²

¯¯

¯¯

¯¯=f_n+1² ·(λ1−λ2)−fnfn+1·2λ1(λ1−λ2) +f_n²·λ²₁(λ1−λ2). (25) Следовательно, по правилу Крамера,











a²₁= ^∆_∆^a21 = _(λ ¹

1−λ2)²[1·f_n+1² −2λ2fnfn+1+λ²₂f_n²], a1a2= ^∆a_∆^1a2 = _(λ ¹

1−λ2)²[(−1)·f²_n+1−(λ1+λ2)fnfn+1+ (−1)λ1λ2f_n²], a²₂= ^∆_∆^a22 = _(λ ¹

1−λ2)²[1·f_n+1² −2λ1fnfn+1+λ²₁f_n²].

(26)

Поэтому:

I. Если λ²₁ = 1, т.е. λ1 ∈ {+1, -1}, то a12 = (D1λⁿ₁)² = D₁²(λ²₁)ⁿ = D₁²1ⁿ = D²₁ = Const – не зависит от n; значит, для любой последовательности f0, f1, f2, f3, . . . , являющейся решением линей- ного рекуррентного (конечно-разностного) уравнения второго порядка fn+2 −σ1fn+1 +σ2fn = 0 (где

σ1 = λ1 +λ2, σ2 = λ1 · λ2), найдется такая постоянная Const, что f удовлетворяет квадратичному уравнению первого порядкаf_n+1² − 2λ2fnfn+1 + λ²₂f_n²=C(C= (λ2 − λ1)²D²₁).

II. Если λ1λ2 = 1, то a1a2 = D1D2λ2n = D1D2 = Const - не зависит от n, значит, для любой после- довательности fn, являющейся решением fn+2−σ1fn+1 +fn = 0 (здесь σ1 = λ1+λ2, σ2 = λ1λ2 = 1), найдется такая постоянная C = Const, что f удовлетворяет квадратному уравнению первого порядка f²_n+1−(λ₁+λ₂)f_nf_n+1+f_n²=C f²_n+1−σ₁f_nf_n+1+f_n²= (λ₁−λ₂)²D₁D₂.

III. Случайλ²₂= 1симметричен первому случаю.

Пример 2

Пример Маркова для λ= 1 ("артиллерийская вилка"), т.е. когда последующее значение есть среднее арифметическое значение двух предыдущих [3, 2].

Приk= 2получаем:fn+2= ^fn+f₂ⁿ⁺¹. Отсюдаfn+2−¹₂fn+1−¹₂fn.

λ²−¹₂λ−¹₂ = 0.

λ1,2= ¹₄± q1

16+¹₂ = ¹₄± q9

16= ¹₄±³₄. λ1=¹₄+³₄ = 1;

λ2=¹₄−³₄ =−¹₂.

fn=C1λⁿ₁+C2λⁿ₂ =C1+C2

2ⁿ. (27)

Тогда решение в общем виде

{f₀=C1+C2, f1=C1−1

2C2. (28)

{f₀−f1=3

2C2, f1=C1−1

3(f0−f1). (29)

{C₂=2

3(f0−f1), C1=f0+ 2f1

3 . (30)

Изλ= 1 имеем квадратическую зависимость

f_n+1² −2λ2fn+1fn+λ²₂f_n²= 0, (31) т.е., т.к.λ2=−¹₂,

f_n+1² +fn+1fn+1

4f_n²=Const. (32)

Взявf(0) = 1, f(1) = 2[3], найдем приn= 0 : 2²+ 2 + ¹₄ = 4 + 2 +¹₄ =²⁵₄, и поэтому f_n+1² +fn+1fn+1

4f_n²= 25

4 , (33)

т.е.fn+1 находится черезfn как решение квадратного уравнения f_n+1² +fn+1fn+1

4(f_n²−25) = 0, (34)

fn+1 =−1 2fn±

r1 4f_n²−1

4f_n²+24 4 =−1

2fn±5

2. (35)

Результаты расчетов представим в таблице 1.

Все значения f_n имеют знак +, т.к.f_n>0.

Получим линейное неоднородное уравнение первого порядка fn+1=−1

2fn+5

2, (36)

что завершает рассмотрение примера.

Таблица 1: Зависимостьfn отn

n f_n

0 1

1 2 = -¹₂ + ⁵₂ 2 ³₂ = -1 + ⁵₂ 3 ⁷₄ = -³₄ + ⁵₂ 4 ¹³₈ = -⁷₈ + ⁵₃

В общем случае видF(fn, . . . , fn+N)может зависеть от четностиnили, более общо, от остатка деления на некоторое число.

В работах [5, 6] рассмотрены некоторые случаи уравнений второго порядка.

В данной работе получены некоторые условия построения такой зависимости для уравнений высших порядков как аналога нахождения промежуточного интеграла [4].

Ясно, что такие условия должны формулироваться в терминах свойств корней характеристического уравнения, которые мы на данном этапе считаем различными. Тривиальный случай наличия нулевого корня не рассматривается.

Например, очевидно, из предыдущего вытекает

Утверждение 2. ЗависимостьFбудет линейной с постоянными коэффициентами тогда и только тогда, когда один из корней характеристического уравнения равен единице.

Получено общее

Утверждение 3. Пусть произведение N чисел, каждое из которых является корнем характеристиче- ского уравнения, равно единице. Тогда существует искомая зависимость в виде однородного многочлена F степениN.

Рекуррентное соотношение можно рассматривать не только над числовыми, но и над конечными полями.

На с. 249 [2] Марков в конце главы VI пишет: одно из применений выводов этого параграфа можно найти в моей статье "Распространение предельных теорем исчисления вероятностей на сумму величин, связанных в цепь"(Зап. Акад. Наук, VII серия, том XX).

Одним из практических примеров использования рекуррентных последовательностей являются гене- раторы псевдослучайных чисел, которые нашли широкое применение в различных областях, например, криптографии. Помимо генераторов линейной последовательности используются генераторы на регистрах сдвига с нелинейной функцией обратной связи. Эти генераторы порождают нелинейные рекуррентные по- следовательности, которые по своим диагностическим свойствам отличаются от линейных. В частности, в n-разрядном нелинейном генераторе достаточно просто порождается двоичная последовательность де Брейна. Она представляет собой нелинейную двоичную последовательностьxi периодаT = 2ⁿ, в которой всевозможные векторы (xj, xj+1, . . . xj+n−1) длины n при любом j встречается только один раз. Исклю- чение запрещенного нулевого состояния всех триггеров генератора позволяет увеличить период формиру- емой последовательности и сделать его максимально возможным, равным 2^m, повысить ее качество, так как вероятности появления 0 и 1 становятся равными 0,5. Последовательности длиной 2^m называются последовательностями де Брейна.

Последовательность де Брёйна — последовательностьa1, . . . , at, элементы которой принадлежат задан- ному конечному множеству, обычно рассматривают множество0,1, . . . , k−1и все подпоследовательности ai+1, . . . , ai+n заданной длиныnразличны.

При k = 2 существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка n: так, при n = 3 соотношение xn = xn−2+xn−3(mod2)порождает последовательности с периодом 7, например, 0010111001011100. . . (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный кодCRC32(EDB88320).

Так на с. 250 [2] Марков в начале главы VII "Связь линейных уравнений в конечных разностях вто- рого порядка с непрерывными дробями"пишет: в настоящее время область исследований о которых мы предполагаем сказать несколько слов, принадлежит к числу заброшенных, что отчасти можно объяснить трудностью получить в ней новые результаты.

Итак, получены условия возможности понижения порядка линейного разностного уравнения, для урав- нения второго порядка являющиеся необходимыми и достаточными.

Список литературы

[1] V. N. Ushakov. Egyptian triangles and the Fibonacci numbers. Empire of mathematics, 11:21–60, 2001.

(in Russian) = В. Н. Ушаков. Египетские треугольники и числа Фибоначчи.Империя математики, 11:21–60, 2001.

[2] A. A. Markov. Calculus of finite differences. Odessa, Printing House Of Joint South-Russian Society Of Printing, 1910. (in Russian) = А. А. Марков.Исчисление конечных разностей. Одесса, Типография Акционерного Южно-Русского Общества Печатного Дела, 1910.

[3] A. O. Gelfond Calculus of finite differences. Moscow, Nauka, 1967. (in Russian) = А. О. Гельфонд.

Исчисление конечных разностей. Москва, Наука, 1967.

[4] A. F. Sidorov, V. P. Shapeev, N. N. Yanenko The method of differential relations and its applications in gas dynamics. Novosibirsk, Nauka. Sib. otd-nie, 1984. (in Russian) = А. Ф. Сидоров, В. П.Шапеев, Н. Н. Яненко. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новоси- бирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.

[5] K. L. Geut, S. S. Titov On the problem of constructing a nonlinear recurrent sequences. IV interdisciplinary young scientists ’ conference, Ural branch of RAS Information school of young scientists / collection of scientific works of the Central scientific library UB RAS., Ekaterinburg, 203–208. 2013. (in Russian) = К. Л. Геут, С. С. Титов. О задаче построения нелинейных рекуррентных последователь- ностей. IV междисциплинарная молодежная научная конференция УрО РАН Информационная школа молодого ученого / сб. научных трудов ЦНБ УрО РАН. Екатеринбург, 203–208, 2013.

[6] K. L. Geut, S. S. Titov On the construction of nonlinear recurrence relations. Problems of theoretical and applied mathematics and its applications / Proceedings of the 46th national youth conference., Ekaterinburg, UB RAS, 3–6. 2015. (in Russian) = К. Л. Геут, С. С. Титов. О построении нели- нейных рекуррентных соотношений. Проблемы теоретической и прикладной математики и ее приложений / Труды 46-й Всероссийской молодежной конференции., Екатеринбург, УрО РАН, 3–6, 2015.

On the problem of reducing the order of linear recurrence equations with constant coefficients

Kristina L. Geut

Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia) Sergei S. Titov

Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)

Abstract.The paper deals with the relations that define non-linear recursion of the first order for a general linear recurrence relation of the second order with constant coefficients. The conditions of the existence of such relations are found. Examples are given.

Keywords:linear recurrence relation, nonlinear recurrence relation; Fibonacci numbers, difference equations.