[ Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil
\
Métropole 21 juin 2011
EXERCICE1 5 points
1. Voir l’annexe
2. Il y a 3×2×3=18 branches donc 18 repas différents.
3. Il y a une chance sur deux de choisir poisson ou viande, doncp(A)=1 2. De même on peut choisir de façon équiprobable chacun des trois déserts, doncp(B)=1
3. p(A∩B)=1
2×1 3=1
6car les évènements A et B sont indépendants.
p(A∪B)=p(A) +p(B)−p(A∩B)=1 2+1
3−1 6=4
6 2 3. 4. Voir l’annexe.
5. a. R∈{1000, 1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, }.
b. X=Ri 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 1 500 1 600 p(X=Ri) 184 182 182 185 182 182 181 c. L’espérance mathématique de cette variable est donc :
E(R)=1000×184 +1100×182 +1200×182 +1300×185 +1400×182 +1500×
2
18+1600×181 =22500
18 =1250.
Sur un grand nombre de repas pris dans ce restaurant, le bilan calorique moyen d’un repas est 1 250 kcal.
EXERCICE2 5 points
1. On a f′(x)=2×3e2x=6e2x. Doncf′(0)=6. Comme f(0)=3 l’équation est de la formey=6x+bet 3=6×0+3 soitb=3. D’où la réponse D.
2. Une primitive de e2xest1
2e2x; donc : I=
Za
0 e2xdx=
·1 2e2x
¸a 0
=1 2e2a−1
2e2×0=1 2e2a−1
2. Donc réponse A.
3. y′+1
2y=0 ⇐⇒ y′= −1
2y. On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies surRparf(x)=Ce−12x,Cétant un réel quelconque. D’où la réponse C.
4. On peut écrire :z= −3 2+i
p3 2 =p
3 Ãp
3 2 +i1
2
! .
Or− p3
2 =cospi6 et1
2=sin56π, donc un argument dezestπ6. On a doncz= p3¡
cosπ6+i sinπ6¢
=p
3ei56π. Réponse C.
5. On a :ΩM2= |1−3i−3+i|2= | −2−2i|2=4+4=8=¡ 2p
2¢2
; réponse A.
PROBLÈME 10 points
1. La fonctionf est dérivable surR, donc sur [1 ; 10] et sur cet intervalle : f′(x)= −lnx−x×1
x+2= −lnx−1+2=1−lnx.
2. a. On af′(x)>0 ⇐⇒ 1−lnx>0 ⇐⇒ 1>lnxet par croissance de la fonc- tion exponentielle e>x ⇐⇒ x<e.
On a donc f′(x)>0 sur [1 ; e] et de la même façon on trouverait que f′(x)<0 sur [e ; 10].
Enfinf(e)=0.
b. f(1)= −1ln 1+2×1=2, f(e) - eln e+2e=e etf(10)= −10ln 10+2×10= 20−10ln 10.
On en déduit le tableau de variations suivant :
x 1 e 10
f′(x) + 0 −
f(x) 1
e
20−10ln 10 3.
1 2
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4. a. Sur [1 ; 10],f(x)=0⇐⇒ 2x−xlnx=0 ⇐⇒x(2−lnx)=0 ⇐⇒{ x = 0 2−lnx = 0 ⇐⇒
{ x = 0
2 = lnx ⇐⇒{ x = 0 e2 = x
Comme 0∉[1 ; 10] il n’y a qu’une solution e2. b. On a e2≈7, 389≈7, 39 à 10−2près.
5. a. Fest dérivable sur [1 ; 10] et sur cet intervalle : F′(x)=2x
µ5 4−1
2lnx
¶ +x2
µ
−1 2×1
x
¶
=5
2x−xlnx−1
2x=2x−xlnx=f(x).
DoncFest une primitive def sur [1 ; 10].
b.
c. L’unité sur les deux axes étant égale à 1 cm, chaque carreau a une aire de 1 cm2. La surface hachurée contient approximativement 12 carreaux, donc l’aire de la portion est à peu près égale à 12 cm2.
Métropole 2 21 juin 2011
d. La fonctionf étant positive sur l’intervalle [1 ; 7], l’aire de la surfaceSest égale à l’intégrale :
Z7
1 f(x) dx =[F(x)]71=F(7)−F(1)=72 µ5
4−1 2ln 7
¶
−
· 12
µ5 4−1
2ln 1
¶¸
= 245
4 −49ln 7 2 −5
4=60−49ln 7
2 cm2 ≈12, 3.
6. a. La calculatrice donneVs≈88, 005≈88, 01 unités de volume à 10−2près.
b. Méthode des trois niveaux : On a doncVe≈1
6×6(12, 57+4×18, 86+0, 45)≈88, 46.
c. On aVe
Vs ≈88, 46
88, 01≈1, 005.
La méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple.
ANNEXE (à rendre avec la copie) Exercice 1 : arbre des repas
C
V
G 1 500 kcal L 1 300 kcal F 1 300 kcal
P
G 1 200 kcal L 1 000 kcal F 1 000 kcal
S
V
G 1 500 kcal L 1 300 kcal F 1 300 kcal
P
G 1 200 kcal L 1 000 kcal F 1 000 kcal
Q
V
G 1 600 kcal L 1 400 kcal F 1 400 kcal
P
G 1 300 kcal L 1 100 kcal F 1 100 kcal
Métropole 4 21 juin 2011
Problème : tableau des surfaces
Surface Section gauche Section intermédiaire Section droite
Rayons f(1)=
−1ln 1+2×1=2
f(4)= −4ln(4)+8≈2, 45 f(7)= −7ln 7+2× 7=1≈0, 38
Aires 12,57 18,86 0,45
