Mémoire d'actuariat

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Mémoire présenté pour l’obtention du diplôme de la filière Master Droit économie et gestion, mention Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 20/02/2019

Par : Jean-Philippe Brosset

Titre: Etude de la mortalité et de la rentabilité pour Predica du portefeuille épargne-retraite des agriculteurs

Confidentialité :  NON  OUI (Durée :  1 an  2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Signature Entreprise :

Président du Jury : Nom : PREDICA (Crédit Agricole

Alexis COLLOMB Assurances)

Membres présents du jury de l’Institut des Actuaires :

Directeur de mémoire en entreprise :

Florence PICARD Nom : Laura TAKENNIT

Pierre PETAUTON Signature :

Edith BOCQUAIRE Pierre MATHOULIN

Invité :

Membres présents du jury de la Chaire d’Actuariat :

Nom :

François WEISS Signature :

David FAURE Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Nathanaël ABECERA Olivier DESMETTRE

Signature du responsable entreprise

Secrétariat Signature du candidat

Bibliothèque :

CNAM -292 rue Saint-Martin F-75141 Paris Cedex 03

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d'assurance, surtout dans un contexte de taux bas. Par ailleurs, les produits d'épargne-retraite présentent un risque de longévité à ne pas négliger. L'objectif de ce mémoire est d'étudier la mortalité et la rentabilité d'un produit d'épargne-retraite.

Une présentation générale est tout d'abord faite sur le système de retraite en France et les contrats de retraite Madelin agricole. Par la suite, nous présentons le produit d'épargne-retraite des agriculteurs de Predica. Le produit Prediagri se compose de deux phases : une phase épargne ou l'adhérent-assuré se constitue progressivement des droits via des versements réguliers ou libres et une phase rente ou le capital constitué est converti en rente viagère, avec diérentes options : réversion, annuités garanties ...

L'étude de la mortalité constitue la première partie du mémoire. Les taux de mortalité bruts sont tout d'abord calculés à partir des données du portefeuille. L'estimateur de Kaplan-Meier est utilisé à ce titre. Une étape de préparation et de nettoyage des données est nécessaire an de supprimer les valeurs aberrantes. Les résultats sont présentés pour les populations d'épargnants et rentiers, avec diérentiation par sexe. Les taux bruts sont ensuite ajustés. La méthode d'ajustement retenue est le lissage par la formule de Gompertz-Makeham. Des tests de qualité sont eectués : critères de délité, critère de régularité, test du khi-deux. Par la suite, les courbes obtenues sont comparées avec les courbes issues des tables de mortalité réglementaires : TH/TF en phase d'épargne et TGF/TGH en phase de rente. Des remarques particulières sont amenées sur la qualité de l'ajustement du fait de la taille réduite du portefeuille en phase de rente.

L'étude de la rentabilité du produit d'épargne-retraite constitue la deuxième partie du mémoire. Un rappel du cadre réglementaire est tout d'abord eectué. Des éléments théoriques sont apportés pour justier les choix de modélisation : utilisation du stochastique, création de model-points et utilisation de la méthode de exing qui consiste à ajuster dans chaque scénario économique les ux de passif déterministes pour prendre en compte la participation aux bénéces. Nous verrons les limites que ces méthodes peuvent entraîner dans certaines circonstances. Les diérentes étapes pour arriver à une estimation de rentabilité sont présentées :

Étape 1. Le passif du portefeuille d'épargne-retraite des agriculteurs est projeté sur 60 ans : les model-points sont tout d'abord détaillés puis les règles de projection des ux d'épargne et de rente sont explicitées. Les résultats obtenus sont présentés et permettent de justier la nécessité de projeter sur des durées très longues.

Étape 2. L'utilisation du modèle ALM constitue la deuxième étape. L'actif considéré et les règles associées sont brièvement décrits.

Étape 3. Le compte de résultat d'un assureur est brièvement présenté, mais l'analyse par marge sera préférée car elle permet d'analyser l'origine des marges dégagées par l'assureur. Les résultats sont présentés pour le scénario déterministe et le scénario stochastique. Les trois marges sont décrites : marge technique, marge nancière et marge administrative. Enn, le résultat total du produit est présenté. Par ailleurs, nous verrons les limites du modèle imposées par la méthodologie du exing.

Étape 4. Le calcul du capital de solvabilité requis constitue la quatrième étape. Les éléments théoriques apportés par Solvabilité 2 sont rappelés. La méthode retenue correspond à l'utilisation de la formule standard, du fait de sa simplicité et de son faible coût en terme de temps de calcul comparativement à un modèle interne. Les diérents chocs sont appliqués et présentés.

Étape 5. La sixième et dernière étape a consisté à dénir et calculer les indicateurs de rentabilité.

Le principal indicateur retenu est le ROE. Plusieurs sensibilités ont été testées an de mesurer leur impact sur la rentabilité du produit.

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Summary

Insurance companies must frequently assess the protability of life-insurance contracts, especially when interest rates are low. They also need to take into account longevity risk in pension products. This dissertation examines mortality and the protability of a pension product.

First, we will provide an overview of the pension system in France and of Madelin pension contracts for farmers. Next, we will present the Predica pension product for farmers. The Prediagri product comprises two phases : an accumulation phase where the insured gradually builds up savings by making regular or periodic payments, and a decumulation phase where the capital accumulated is converted into a life annuity, with various options : reversion, guaranteed annuities, etc.

The rst part of this dissertation deals with mortality. Crude death rates are rst calculated using portfolio data. The KaplanMeier estimator is used to calculate these gures. The data must be prepared and cleansed to remove outliers. The results are presented for populations of savers and annuitants, broken down by gender. The crude rates are then adjusted, using the GompertzMakeham formula to smooth the gures. Quality tests are performed : t criteria, smoothness criterion, chi-squared test. The curves obtained are then compared with the curves from regulatory mortality tables : male/female mortality tables in the accumulation phase, and male/female generation mortality tables in the decumulation phase.

Special remarks are made as to the quality of the adjustment, owing to the smaller size of the portfolio in the decumulation phase.

The second part of this dissertation covers the protability of the pension product. After providing an overview of the regulatory framework, we present theoretical elements to justify the choice of model : use of stochastic modelling, creation of model points and use of the exing method, which involves adjusting the deterministic liability ows in each economic scenario to take into account participation in prots.

We will see the limits of these methods in certain circumstances. We will also go over the steps to follow when estimating protability :

Step 1. The liabilities of the pension portfolio for farmers are projected over 60 years : after outlining the model points, the rules for projecting accumulation and decumulation ows are explained. The results obtained are presented and justify the need for projections over very long periods of time.

Step 2. The second step involves using the ALM model. The assets in question and the associated rules are briey described.

Step 3. The income statement of an insurer is briey presented, but margin analysis is given preference because it allows us to analyse the source of the insurer's margins. The results are presented for the deterministic scenario and the stochastic scenario. The three margins (technical, nancial and administrative) are described. Lastly, the total result of the product is presented. We will also see the limits of the model imposed by the exing method.

Step 4. The fourth step involves calculating the solvency capital requirement. We present the theoretical basis of Solvency II. The standard formula is used to calculate the capital requirement, because it is simple and requires less calculation time compared with an internal model. The dierent shocks are applied and presented.

Step 5. The sixth and nal step involves dening and calculating the protability indicators. The main indicator is ROE. Several sensitivities were tested in order to measure their impact on the product's protability.

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disponibilité, son expérience, ses nombreux conseils et son optimisme sans faille.

Je remercie également la direction de l'Actuariat et Jérôme BURNOD, responsable du service Risque, Suivi et Pilotage, de m'avoir accueilli dans ses équipes et permis de réaliser mon mémoire.

Mes remerciements s'adressent aussi à Corinne BAILLEUL, responsable de l'équipe maitrise d'ouvrage innovation et digital, qui m'a permis de trouver le temps nécessaire à la rédaction du mémoire.

Je remercie enn toutes les personnes que j'ai sollicitées au sein de la direction de l'Actuariat et de la Gestion Actif Passif pour leur aide et leurs conseils.

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Table des matières

1 Introduction générale 3

2 Quelques éléments généraux sur la retraite 4

2.1 Les bases du système de retraite en France . . . 4

2.2 Les régimes supplémentaires facultatifs . . . 5

2.3 Les contrats "Madelin agricole" . . . 7

2.4 Le produit épargne-retraite des agriculteurs de Predica . . . 8

3 La mortalité du portefeuille épargne-retraite 10 3.1 Les données . . . 10

3.2 Estimation des taux de mortalité bruts . . . 11

3.2.1 Éléments théoriques . . . 11

3.2.2 Application . . . 14

3.2.3 Résultats obtenus . . . 15

3.3 Ajustement des taux bruts . . . 18

3.3.1 Éléments théoriques . . . 18

3.3.2 Mesure de la qualité de l'ajustement . . . 21

3.3.3 Résultats obtenus . . . 22

3.4 Comparaison avec les tables réglementaires et la table d'expérience Predica . . . 29

3.4.1 Les tables de mortalité réglementaires . . . 30

3.4.2 Phase épargne . . . 30

3.4.3 Phase rente . . . 33

4 Le bilan économique du portefeuille épargne-retraite 36 4.1 Cadre réglementaire . . . 36

4.1.1 Historique . . . 36

4.1.2 Les principales critiques à l'encontre de Solvabilité I . . . 37

4.1.3 Les grands objectifs de Solvabilité II et ses impacts sur le régime prudentiel français 38 4.1.4 Les trois piliers de Solvabilité II . . . 38

4.2 Évaluation des provisions en Best Estimate . . . 40

4.3 Méthodologie . . . 41

5 Modélisation du passif d'un contrat épargne-retraite 45 5.1 Hypothèses . . . 45

5.2 Détermination des model-points . . . 46

5.2.1 Model-points pour les polices en phase épargne . . . 46

5.2.2 Model-points pour les polices en phase de rente . . . 46

5.3 Projection des ux d'épargne . . . 47

5.3.1 Probabilité de survenance des évènements . . . 47

5.3.2 Projection des ux de prestations . . . 50

5.4 Projection des ux de rente . . . 53

5.4.1 Conversion des polices d'épargne en phase de rente . . . 53

5.4.2 Projection des ux . . . 55

5.5 Résultats obtenus . . . 57

5.5.1 Provisions mathématiques . . . 57

5.5.2 Nombre de polices . . . 57

5.5.3 Prestations décès . . . 58

5.5.4 Prestations transferts, rachats et arrérages uniques . . . 58

5.5.5 Prestations arrérages . . . 59

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7.1 Éléments théoriques . . . 64

7.1.1 Le compte de résultat . . . 64

7.1.2 Analyse par marge . . . 65

7.2.1 Scénario déterministe . . . 66

7.2.2 Scénario stochastique . . . 74

8 Estimation de la solvabilité 77 8.1 Elements théoriques . . . 77

8.1.1 Formule standard . . . 77

8.1.2 Modèle interne . . . 79

8.2 Application . . . 80

8.2.1 Module de risque marché . . . 80

8.2.2 Module de risque vie . . . 80

8.2.3 Autres modules . . . 81

8.2.4 Module de risque opérationnel . . . 81

8.2.5 Ajustement pour impôts diérés . . . 82

9 La rentabilité du portefeuille épargne-retraite 85 9.1 Elements théoriques . . . 85

9.1.1 Produit Net Bancaire . . . 85

9.1.2 Résultat Net Part du Groupe . . . 85

9.1.3 Return On Equity . . . 85

10 Étude de sensibilités 89 10.1 Baisse de la mortalité . . . 89

10.2 Décalage de l'âge de passage en phase de rente . . . 90

10.3 Baisse des taux . . . 91

10.4 Versements complémentaires . . . 91

10.4.1 Marge technique . . . 94

10.4.2 Marge nancière . . . 94

10.4.3 Marge administrative . . . 95

10.4.4 Rentabilité . . . 95

10.5 Modication de l'allocation d'actifs . . . 96

11 Conclusion 98 A Notice d'information du produit épargne-retraite des agriculteurs 100 B Statistiques descriptives des portefeuilles 108 B.1 Description des polices d'épargne . . . 108

B.2 Description des polices de rente . . . 112

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Chapitre 1

Introduction générale

Depuis plusieurs années, les assureurs sont confrontés à un environnement économique incertain : crise nancière, crise de la dette, baisse des rendements obligataires, réglementation de plus en plus complexe... Tous ces évènements ont un impact sur la rentabilité des produits d'assurance, ce qui conduit les entreprises à piloter plus précisément leur politique de souscription. Par ailleurs, l'arrivée à la retraite des papy-boomers fait mécaniquement augmenter les engagements viagers constitués par les assureurs : dans le cas des produits d'épargne-retraite, on constate un transfert progressif et signicatif des provisions mathématiques d'épargne vers les provisions mathématiques de rente. Ce phénomène, associé à celui de l'allongement de la durée de la vie, fait craindre un risque viager sur le résultat technique de l'assureur.

Il devient alors indispensable de s'assurer que les taux de mortalité réellement constatés ne s' éloignent pas des taux de mortalité utilisés pour la tarication des rentes.

L'objectif du mémoire est donc double : suivre la mortalité d'un portefeuille épargne-retraite et estimer la rentabilité d'un produit, en prenant pour exemple le produit d'épargne-retraite des agriculteurs, clien- tèle historique du groupe Crédit Agricole et de Predica. Il permettra de vérier si le risque de longévité est avéré ou non et de présenter une méthodologie pour l'estimation de la rentabilité d'un produit avec toutes les limites que l'on pourra identier.

La première partie du mémoire (chapitre 1) fournit des éléments généraux sur la retraite en France, un zoom sur le marché des contrats Madelin agricole et présente le produit d'épargne-retraite des agriculteurs de Predica. La seconde partie du mémoire (chapitre 2) sera consacrée à l'étude de la mortalité du portefeuille. Enn la dernière partie, composée des chapitres 4 à 10, est consacrée à l'estimation du bilan économique du produit, de sa solvabilité et de sa rentabilité.

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retraite

2.1 Les bases du système de retraite en France

Le système de retraite en France repose sur 3 niveaux de prise en charge :

Figure 2.1 Les 3 niveaux de prise en charge

Le 1^er niveau Les principaux régimes de base obligatoires sont gérés par la Caisse Nationale d'As- surance Vieillesse (CNAV), la Mutualité Sociale Agricole (MSA) ou encore par le Régime Social des Indépendants (RSI). Ils sont nancés par une cotisation prélevée sur les salaires.

Le 2^me niveau Tout comme les régimes de base, il existe une multitude de régimes complémentaires obligatoires. Les plus connus sont l'AGIRC¹et l'ARRCO²pour les salariés du privé ; l'IRCANTEC³et la RAFP⁴pour les salariés de la fonction publique. Ils sont aussi nancés par une cotisation prélevée sur les salaires.

Le 3^me niveau Le3^me niveau de prise en charge correspond aux régimes supplémentaires facultatifs gérés par les organismes d'assurances habilités à proposer des contrats de retraite supplémentaire : les sociétés d'assurances, les mutuelles relevant du Code de la mutualité et les institutions de prévoyance régies par le Code de la sécurité sociale. Nous eectuons un zoom sur ces régimes dans le paragraphe suivant.

1. Association générale des institutions de retraite complémentaire des cadres, créée par la convention collective nationale des cadres du 14 Mars 1947

2. Association pour le régime de retraite complémentaire des salariés, créée par l'accord du 08 Décembre 1961 3. Institution de retraite complémentaire des agents non titulaires de l'État et des collectivités publiques 4. Retraite additionnelle de la fonction publique

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2.2 Les régimes supplémentaires facultatifs

Les régimes supplémentaires facultatifs ont pour objectif de compenser en tout ou partie la baisse de revenus liée au départ à la retraite. En eet, les régimes obligatoires de base et complémentaires orent des prestations moindres en comparaison des derniers revenus constatés. Par ailleurs, depuis plusieurs années on assiste à une dégradation progressive du taux de remplacement (première retraite / dernier salaire d'activité) des cadres et non-cadres qui passeraient, pour les non-cadres, de 80% en 2003 à 70%

en 2050, et de 60% à 50% pour les cadres⁵.

Les assureurs, soutenus par les pouvoirs publics, ont saisi cette opportunité pour proposer à leur client diérents produits leur permettant d'épargner pour la retraite. On peut distinguer deux catégories de produits : les produits collectifs et les produits individuels. Pour les produits collectifs, nous pouvons citer : le contrat de retraite à cotisations dénies est un contrat d'assurance vie collectif souscrit par l'entreprise et ouvert à tous les salariés ou à une catégorie objective de salariés, selon le choix de l'entreprise. Il est obligatoire pour les salariés concernés. Ce contrat est dit à cotisations dénies car le taux de cotisation est déterminé au moment de sa souscription et ne varie plus par la suite. Il est également connu sous le nom de contrat "article 83", en référence à l'article 83 du Code général des impôts dénissant sa scalité⁶.

le contrat de retraite à prestations dénies est un contrat d'assurance vie collectif souscrit par l'entreprise. Il peut être réservé à une catégorie spécique de salariés. Ce contrat est dit à prestations dénies car le niveau de la rente versée pendant la retraite est déterminé au moment de sa souscription. Il est également connu sous le nom de contrat article 39 , en référence à l'article 39 du Code général des impôts dénissant sa scalité.

le contrat Indemnités de Fin de Carrière (ou IFC) est un contrat d'assurance de groupe destiné à la constitution d'un fonds collectif. Ce dernier est exclusivement nancé par l'employeur. Le contrat permet à l'employeur de provisionner les sommes en amont en vue du versement des IFC. Pour bénécier des prestations, le salarié doit être présent dans l'entreprise au moment de son départ à la retraite et remplir les conditions requises pour le versement des IFC.

Pour les produits individuels, nous pouvons citer :

le Plan d'Epargne Retraite Populaire (ou PERP), créé par la loi du 21 août 2003, permet à chacun de se constituer une épargne retraite en complément des régimes de retraite obligatoires. La sortie s'eectue principalement en rente viagère.

les contrats de retraite Madelin : le régime a été institué par la loi n^o94-126 du 11 février 1994 dite loi Madelin , reprise par l'article 154 bis du code général des impôts. Il permet au travailleur non salarié (TNS) de déduire de son revenu imposable les cotisations versées au titre d'un contrat Madelin, an de se constituer une retraite complémentaire, de s'assurer au travers d'un contrat prévoyance (incapacité de travail, invalidité, décès), d'un contrat mutuelle (complémentaire santé) ou de garantie chômage TNS.

les contrats de retraite Madelin agricole : le régime a été institué par l'article 55 de la loi n^o97-1051 du 18 Novembre 1997 d'orientation sur la pêche maritime et les cultures marines. Il s'agit d'une déclinaison de la loi Madelin pour les travailleurs non salariés des professions agricoles. L'objet de ce mémoire porte spéciquement sur le contrat "Madelin agricole" proposé par Predica.

5. Évolutions et perspectives des retraites en France. Rapport annuel du COR Juin 2017

6. Dans la suite du mémoire, les références règlementaires sont celles en vigueur à la date de rédaction du mémoire

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Figure 2.2 Évolution et répartition des cotisations par année et par typologie de contrats

Prestations En 2015, le montant des prestations versées au titre de contrats d'assurance retraite s'élève à 7,8 milliards d'euros, en progression de 8 % sur l'année. Ce chire est à comparer au montant des versements des régimes obligatoires de retraite (régimes de base et complémentaires) qui est de plus de 300 milliards d'euros en 2015.

Figure 2.3 Evolution des prestations par année

7. Chires clés "Les contrats d'assurance retraite en 2015" - FFA - 30/06/2016

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Provisions mathématiques Au 31 décembre 2015, le montant des engagements des sociétés d'assurances au titre des contrats d'assurance retraite s'élève à 180,3 milliards d'euros, en progression de 6 % sur un an. Ces provisions ont augmenté de 31 % depuis n 2011 et représentent 12 % de l'ensemble des provisions mathématiques des contrats d'assurance vie au 31 décembre 2015.

Figure 2.4 Répartition au 31/12/2015 des provisions mathématiques par typologie de contrats

2.3 Les contrats "Madelin agricole"

Comme observé précédemment, les contrats "Madelin agricole" représentent un faible pourcentage de l'ensemble des régimes supplémentaires facultatifs. Cependant, ces chires sont à rapprocher de ceux de la population cible : les TNS des professions agricoles. En 2014, les agriculteurs représentent seulement 1,9 % des personnes en emploi⁸. Le taux d'équipement des exploitants agricoles en activité est de 54% en 2015⁹. La marché est très concentré, puisque deux sociétés d'assurances représentent à elles-seules 63%

des cotisations et 79% des provisions mathématiques en 2015.

Figure 2.5 Marché des contrats "Madelin agricole" par société en 2015, en fonction des cotisations

8. Insee Références, édition 2016 - Travail - Emploi - 01/03/2016 9. Les contrats de retraite "Madelin agricole" en 2015 - AFA - Mai 2016

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Figure 2.6 Marché des contrats "Madelin agricole" par société en 2015, en fonction des provisions mathématiques

2.4 Le produit épargne-retraite des agriculteurs de Predica

Prediagri retraite est un contrat d'épargne retraite réglementée (Madelin Agricole) distribué par les caisses régionales du Crédit Agricole. Il s'agit d'un contrat d'assurance vie de groupe à adhésion faculta- tive, souscrit par l'Association Nationale des Déposants du Crédit Agricole Mutuel (Andecam) auprès de Predica. Prediagri retraite est un contrat de capital diéré avec contre-assurance, à versements réguliers et libres, obligatoirement converti en rente, libellé en euros. Il relève de la branche 20 dénie à l'article R321-1 du Code des Assurances. Le contrat est exclusivement réservé aux Travailleurs Non Salariés (TNS) du secteur agricole : notamment le chef d'exploitation ou d'entreprise agricole, son conjoint ou ses aides familiaux, dont l'âge est compris entre 18 et 68 ans révolus.

Fonctionnement

Phase épargne : l'adhérent-assuré se constitue progressivement des droits qui seront convertis à l'échéance en rente viagère. L'adhérent-assuré choisit un montant de versements réguliers et leur périodicité (mensuels, trimestriels, annuels). Le montant minimum annuel des versements est choisi par le client et est indexé annuellement sur le plafond de la Sécurité Sociale. L'adhérent-assuré peut compléter ses versements réguliers par des versements libres sous condition que la somme annuelle des versements ne dépasse pas 15 fois le montant minimum choisi à l'adhésion.

Les versements sont rémunérés chaque année au 31/12. Le taux technique est égal à 0,50% et garantit le montant de l'épargne nette investie, compte tenu des frais de gestion annuels égaux à 0,50% prélevés chaque 31/12 sur le capital moyen géré du contrat après aectation de la rémuné- ration. La participation aux bénéces est calculée et aectée chaque 31/12.

En cas de décès pendant la phase épargne, les droits acquis au décès seront versés sous forme : d'une rente temporaire d'éducation non réversibles aux bénéciaires désignés, mineurs au jour

du décès, jusqu'au 25 ans révolus des bénéciaires,

ou d'une rente viagère non réversible au prot de tout autre bénéciaire désigné

Phase rente : le versement du complément de retraite intervient au plus tôt à la liquidation de la pension dans un régime d'assurance vieillesse ou à l'âge légal de départ à la retraite. L'adhérent- assuré peut choisir entre :

une rente viagère individuelle

une rente viagère réversible à 60% ou 100% : en cas de décès, celle-ci est versée, en totalité ou en partie, à la personne désignée par l'adhérent-assuré

une rente viagère individuelle avec annuités garanties : cette option a pour objectif de garantir, à partir de la conversion en rente de l'épargne-retraite, un nombre minimum d'années de service de la rente

Les deux options de réversion et les annuités garanties sont compatibles. La rente est versée à terme échu selon la périodicité choisie. Les rentes sont calculées selon les modalités et les barèmes en vigueur à Predica au moment de la conversion des droits acquis en rente.

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Rachat pour cas de force majeure Ce contrat ayant pour objet la constitution d'une retraite complémentaire, aucun rachat n'est possible à l'exception des cas de force majeure suivants :

L'arrivée en n de droit d'assurance chômage

L'invalidité de l'adhérent-assuré correspondant à la2^me ou3^me catégorie de la Sécurité Sociale Le décès du conjoint ou du partenaire pacsé

une situation de surendettement de l'adhérent-assuré

La liquidation judiciaire : en cas de cessation d'activité non salariée

Une procédure de conciliation ; le président du tribunal de commerce auprès duquel est institué une procédure de conciliation doit en faire la demande avec l'accord de l'assuré

Transfert L'adhérent-assuré peut demander de transférer l'épargne-retraite sur un autre contrat de même nature d'une autre compagnie d'assurance. L'adhérent-assuré dispose à l'adhésion, puis chaque année, de l'information relative à la valeur de transfert du contrat.

Garantie de rente Dès l'adhésion au contrat Prediagri retraite, l'adhérent-assuré peut bénécier de la garantie de rente. Elle garantie dès la phase de constitution de l'épargne-retraite un montant minimum de rente annuelle. Elle s'applique uniquement à la rente viagère individuelle. La garantie est soumise à conditions :

la durée minimum de la phase de constitution de l'épargne-retraite doit être de 10 ans.

le respect de l'engagement annuel de versements.

Le montant minimum garanti de la rente est calculé aux conditions techniques en vigueur à Predica à la date de souscription de la garantie de rente ou de tous actes ultérieurs pouvant modier ce montant.

Garantie exonération des versements réguliers L'adhérent-assuré peut souscrire au moment de l'adhésion une garantie exonération des versements réguliers. Elle permet la prise en charge du montant des versements réguliers en cas d'incapacité de travail et sous certaines conditions. Elle prend eet dans le cas ou l'adhérent-assuré est en incapacité de travailler pendant plus de 3 mois et est valable pendant 1095 jours maximum.

Fiscalité Un des avantages du dispositif Madelin Agricole est la scalité associée. Pendant la phase épargne, les versements sont déductibles du revenu professionnel imposable, sous certaines limites et sous certaines conditions de versement. Il est ainsi possible de déduire jusqu'à 70 374 e de son revenu professionnel en 2015. L'épargne constituée n'est pas soumise à l'ISF, ni aux contributions sociales. En cas de décès, les bénéciaires de la rente sont exonérés de droits de succession. Pendant la phase rente, celle-ci est soumise à l'impôt sur le revenu au titre des pensions et retraites. Sous certaines conditions, la valeur du capital constitutif de la rente peut-être exonéré d'ISF. Les prélèvements sociaux sont dus à hauteur de 7,40%¹⁰ sur la rente. Enn, en cas de décès, la rente réversible au prot du conjoint n'est pas soumise aux droits de succession.

La notice d'information du produit Prediagri retraite est disponible en Annexe A.

10. taux en vigueur au 01/01/2015

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épargne-retraite

L'objet de ce chapitre est de s'intéresser spéciquement à la mortalité du portefeuille épargne-retraite des agriculteurs. La direction de l'Actuariat construit et renouvelle régulièrement une table de morta- lité d'expérience pour l'ensemble de son portefeuille, l'épargne-retraite des agriculteurs étant un sous- ensemble. An d'avoir une meilleure connaissance du risque associé et estimer au mieux la rentabilité dans le chapitre suivant, nous évaluerons les diérences entre la mortalité du portefeuille épargne-retraite et la mortalité de l'ensemble des assurés Predica.

Nous présenterons tout d'abord le portefeuille étudié avec quelques statistiques descriptives. Nous es- timerons ensuite les taux de mortalités bruts avec la méthode de Kaplan-Meier. Nous ajusterons les résultats obtenus sur une loi analytique par la formule de Makeham et vérierons la qualité de l'ajustement. Enn, nous eectuerons une comparaison avec les tables réglementaires et la table d'expérience Predica.

A noter que nous séparerons la phase épargne de la phase rente car le risque étudié et les tables de mortalité associées dièrent selon la phase.

3.1 Les données

Nous disposons d'un portefeuille de contrats de retraite régis par le dispositif "Madelin Agricole". Les données sont issues du datawarehouse Predica et sont extraites au 31/12/2015.

Qualité des données La première étape consiste à procéder à un nettoyage des données. Il va per- mettre de vérier que les variables nécessaires à l'étude sont correctes et de supprimer les doublons et incohérences.

La phase épargne (constitution du capital) et la phase rente sont gérées séparément dans le système d'information. L'extraction brute nous restitue 183 765 polices d'épargne et 47 253 polices de rente. Nous appliquons les traitements suivants an d'éliminer les incohérences :

Suppression des polices en doublons

Suppression des polices dont le statut est "Sans eet administratif"

Suppression des polices dont la date de naissance de l'assurée n'est pas renseignée ou incorrecte (< à 1850)

Suppression des polices dont la date de décès est incorrecte Suppression des polices dont la date d'eet n'est pas renseignée

Suppression des polices dont le rôle de l'unique personne rattachée est diérent de "Souscripteur".

Nous obtenons ainsi 2 portefeuilles : phase épargne : 182 055 polices phase rente : 46 363 polices

L'annexe B présente les statistiques descriptives des 2 portefeuilles.

10

(16)

3.2 Estimation des taux de mortalité bruts

3.2.1 Éléments théoriques

Cette partie présente la méthode utilisée pour l'estimation des taux de mortalité bruts et le calcul de l'intervalle de conance associé.

Choix de l'estimateur Pour calculer les taux de mortalités bruts, l'estimateur de Kaplan-Meier a été choisi. Il est couramment utilisé pour estimer la fonction de survie car il possède un certain nombre de bonnes propriétés : il est convergent, asymptotiquement gaussien, cohérent et est également un estimateur du maximum de vraisemblance généralisé. Toutefois, cet estimateur est biaisé positivement¹. L'estimateur de Kaplan-Meier est l'unique estimateur cohérent de la fonction de survie². Un autre avan- tage de l'estimateur est qu'il peut prendre en compte des données censurées, y compris à droite.

Les censures La prise en compte des censures dans l'estimation des taux de mortalité est importante car nous ne disposons pas systématiquement d'observations complètes. Certaines personnes ont pu entrer dans la cohorte après le début de la période d'observation. D'autres sont sorties avant la n de la période d'observation alors qu'elles sont toujours vivantes. Par ailleurs l'entrée des individus s'eectue à des temps calendaires diérents. L'exemple ci-dessous permet d'illustrer la notion de censures.

On souhaite estimer la fonction de survie d'individus à l'âge de 40 ans. Pour cela, nous prenons dans notre exemple une fenêtre d'observation de 3 ans : de 2010 à 2012. L'évènement observé est le décès de la personne. Nous supposons 3 individus qui, du fait de leurs dates de naissances respectives, sont entrés dans le champ de l'observation à des années diérentes : l'individu 1 a eu 40 ans en 2010, l'individu 2 a eu 40 ans en 2011 et l'individu 3 a eu 40 ans en 2012.

Figure 3.1 Illustration

L'individu 1 est décédé pendant la période d'observation : il s'agit d'une observation complète et non censurée.

L'individu 2 est décédé pendant la période d'observation mais cette information n'est pas prise en compte car son contrat a été résilié avant son décès : nous avons ici une censure du à une sortie anticipée du champ des observations.

L'individu 3 est décédé après la période d'observation : nous ne l'éliminons pas de l'étude sous peine de biaiser vers le bas l'estimation de la durée moyenne de survie. Nous avons ici une censure liée au choix de notre période d'observation.

L'estimateur de Kaplan-Meier³ Soit une censure (résiliation, terme, . . . ) intervenant à une époque Ci dans l'observation de l'individu numéro i : il quitte alors le champ de l'observation alors qu'il est peut-être en vie. En désignant par Ti son époque aléatoire de décès, la sortie du chier s'opère alors à M in(Ci, Ti). On suppose que les variablesCiet Ti sont indépendantes.

Considérons un groupe initial de N individus d'âge x soumis à une même loi de mortalité et à un processus de censures. On l'observe pendant une durée globale tg à des dates successives0< t1< . . . <

tk < . . . < tg, qui sont les époques possibles de censures, les décès étant observables dans les intervalles correspondants. At_k on notec_k censures, entret_k et t_k+1 on enregistred_k décès ;n_k est l'eectif obser- vable après lesc_k censures. On a les relationsn₀=N;n_k+1=n_k−d_k−c_k+1. On noteπ_k la probabilité de décès d'un individu vivant àt_kavantt_k+1etS(t)=tp_xla probabilité de survie à l'époque t de chacun

1. Modèles de durée Frédéric Planchet Support ISFA 2015-2016 2. DROESBEKE et al. [1989]

3. Théorie et pratique de l'assurance vie Pierre Petauton Dunod 4ième édition

(17)

La maximisation de Ls'obtient en écrivant : δL δπk

= dk

πk

−nk−dk

1−πk

= 0 Ceci conduit à l'estimateurπ_k= ^d_n^k

k et à : S(t) = Y

k,t_k<t

1−dk

n_k

pour t < tg

Propriétés

Pourg→ ∞,S(t)converge presque sûrement verstp_x Pourg→ ∞,√

t_g·[S(t)−_tp_x]est asymptotiquement gaussien.

Variance La variance deS(t)est donnée par la formule de Greenwood : V ar(S(t)) =S²(t)· X

k,tk6t

dk

nk·(nk−dk)

Exemples⁴ Exemple 1 : On considère pour l'instant uniquement des données complètes (non censurées) représentant les temps de réalisation de l'évènement "décès" pour 8 individus. Il s'agit de rentiers âgés de 88 ans issus du portefeuille épargne-retraite Prediagri. On souhaite calculer la probabilité de survie à 1 an, à l'âge de 88 ans. Le temps de réalisation notékest exprimé en jours.

k nk dk 1−dk/nk S(t)

0 8 0 1 1

35 8 1 0,875 0,875

71 7 1 0,857143 0,75

113 6 1 0,833333 0,625

205 5 1 0,8 0,5

238 4 1 0,75 0,375

258 3 1 0,666667 0,25

270 2 1 0,5 0,125

296 1 1 0 0

La représentation graphique associée est :

Figure 3.2 Fonction de survie S(t) des rentiers de 88 à 89 ans, sans tenir compte des censures S(t)est une fonction en escalier dont la valeur change uniquement aux temps correspondant aux décès observés. En eet à un instanttkse produit un décès qui mène à une estimationS(tk). Le prochain décès

4. Les exemples sont issus du Support ISFA 2015-2016 sur les Modèles de durée de Frédéric Planchet, mais appliqués avec les données réelles du portefeuille de rentiers Prediagri de Predica

(18)

se produira à l'instanttk+1 et donc entre les tempstk inclus ettk+1 exclus aucune information nouvelle n'apparaît relativement à celle dont on dispose entk : il n'y a donc pas lieu de réviser l'estimateur de la fonction de survie.

Exemple 2 : On introduit les données censurées. Dans ce cas la fonction de survie n'est estimée que pour les temps observés mais il faut naturellement ajuster le nombre d'individus à risque. La règle est que pour une durée donnée t_k on ne comptabilise dans les individus risqués que ceux qui ont une date d'évènement égale ou supérieure à tk ou une durée de censure supérieure à tk (au passage on notera qu'une convention est que si, pour un individu quelconque, les survenues de l'évènement et de la censure sont concomitantes alors on le considère comme comme non censuré. En d'autres termes, on impose que la réalisation de l'évènement précède la censure). Les données censurées sont signalées par l'exposant * :

k nk dk ck 1−dk/nk S(t)

0 53 0 0 1 1

1* 53 1 1 1

11* 52 1 1 1

25* 51 1 1 1

35 50 1 0,98 0,98

57* 49 1 1 0,98

65* 48 1 1 0,98

71 47 1 0,978723 0,959149

92* 46 1 1 0,959149

113 45 1 0,977778 0,937835

166* 44 1 1 0,937835

187* 43 1 1 0,937835

205 42 1 0,976190 0,915505

232* 41 1 1 0,915505

236* 40 1 1 0,915505

238 39 1 0,974359 0,892031

238* 38 1 1 0,892031

258 37 1 0,972973 0,867922

270 36 1 0,972222 0,843813

270* 35 1 1 0,843813

296 34 1 0,970588 0,818995

298* 33 1 1 0,818995

303* 32 1 1 0,818995

319* 31 1 1 0,818995

324* 30 1 1 0,818995

359* 29 1 1 0,818995

365* 28 28 1 0,818995

La représentation graphique associée est :

Figure 3.3 Fonction de survie S(t) des rentiers de 88 à 89 ans

Il existe des durées supérieures à 296 jours mais elles sont toutes censurées. En conséquence dans ce deuxième exemple, et contrairement au précédent, la valeur estimée de la fonction de survie correspondant

(19)

la révision de l'estimateur calculé en t_k ne se produira qu'en t_k+1 et les temps censurés compris entre ces deux instants ne seront pris en compte que pour l'évaluation du nombre d'individus à risque ent_k+1. Selon ce raisonnement si on a dépassé le maximum des temps d'évènement réalisé alors on doit avoir naturellement une horizontale pour le dernier segment.

Intervalle de conance Il s'agit de trouver deux bornesb1_t etb2_t telles que∀t >0on ait : Prob[b2_t ≥t

px≥b1_t] = 1−α, ouαest un seuil de risque xé a priori.Comme énoncé précédemment, nous avons :

√n[S(t)−tpx] pVar(S(t))

−→L N(0,1)quandn→+∞

d'où un intervalle de conance pourtpxde niveau asymptotique(1−α): IdC1−α{tpx}=

"

S(t)−q₁₋^α

2 ∗

rVar(S(t))

n ;S(t) +q₁₋^α

2 ∗

rVar(S(t)) n

#

Un inconvénient de la construction de l'intervalle de conance avec la formule précédente est que les bornes obtenues peuvent être extérieures à l'intervalle[0,1].

3.2.2 Application

Choix de la durée d'observation An de disposer d'un échantillon assez large et compte-tenu de la volumétrie modeste du portefeuille étudié, la durée d'observation est xée à 10 ans, du 01/01/2006 au 31/12/2015. Cependant, une durée trop longue peut entraîner un biais dans les résultats. En eet, plus la durée est longue, plus l'écart entre les générations observées est important. Or, les générations n'ont pas la même mortalité. Ce point sera à prendre en compte dans l'interprétation des résultats.

Préparation des données Avant d'estimer les taux de mortalités bruts, un dernier traitement est à appliquer sur les portefeuilles. En eet, certains adhérents disposent de plusieurs polices. Nous agrégeons donc par personne, uniquement dans le cas ou les dates d'eet et de n de contrat se chevauchent. Dans l'exemple ci-dessous, les 2 adhérents ont chacun 2 polices. Pour l'adhérent 1, les périodes "d'eet" des 2 contrats se chevauchent. On conserve donc une seule information pour cet adhérent, on prenant pour nouvelle date d'eet Min(DateEet1,DateEet2) et pour date de n Max(DateFin1,DateFin2), si les deux contrats sont clos. Pour l'adhérent 2, les périodes d'eet des 2 contrats ne se chevauchant pas, on conserve les 2 informations distinctes.

Figure 3.4 Illustration

Pour appliquer l'estimateur de Kaplan-Meier, 4 informations sont utiles : la date de naissance

la date de décès

la date d'eet de la police la date de n de la police

Kaplan-Meieir est appliqué avec un intervalle de temps journalier, soittg= 365Nous faisons abstractions des années bissextiles. Pour le portefeuille rente, on exclut de l'étude les adhérents disposant d'une police de rente de type arrérage unique⁵, car dans ce cas il n'y a pas de risque viager.

5. Possibilité pour l'assureur de verser la rente en une seule fois lorsqu'elle est inférieure à un certain seuil (Article A160-3 du Code des Assurances

(20)

Synthèse Le tableau suivant résume le nombre d'individus par sexe ayant une police en vigueur sur la période d'observation 2006-2015, suite au traitement d'agrégation.

Epargne Rente Homme 124 971 11 047 Femme 45 214 5 555

Total 170 185 16 602

Le tableau suivant résume le nombre de décès par sexe sur la période d'observation 2006-2015.

Epargne Rente

Homme 3 971 654

Femme 970 227

Total 4 941 881

3.2.3 Résultats obtenus

Les graphiques ci-dessous présentent les taux de mortalités bruts obtenus, avec leur intervalle de conance en pointillés.

3.2.3.1 Phase épargne

Figure 3.5 Taux de mortalité bruts pour l'ensemble des épargnants

Commentaires On observe un intervalle de conance très proche des taux bruts jusqu'à l'age de 67 ans environ. Au delà, l'intervalle de conance et la régularité de la courbe sont aectés par le manque de données. Ce point est peu important pour l'étude de la mortalité en phase épargne, car le départ en retraite s'eectue généralement avant 67 ans. A noter qu'il y a 57 épargnants de plus de 82 ans. Il s'agit très certainement de contrats "oubliés". Nous n'avons pas observé de décès après 82 ans, d'où les taux de mortalités nuls.

(21)

Figure 3.6 Taux de mortalité bruts pour les épargnants homme

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que pour le portefeuille de l'ensemble des épargnants. A noter ici que nous n'avons observé aucun décès à l'âge de 78 ans pour les hommes sur toute la durée d'observation (seulement 82 individus ont atteints cet âge durant la période d'observation).

Figure 3.7 Taux de mortalité bruts pour les épargnantes femme

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que pour le portefeuille de l'ensemble des épargnants. A noter ici que nous n'avons observé aucun décès à l'âge de 79 ans pour les femmes sur toute la durée d'observation (seulement 56 individus ont atteints cet âge durant la période d'observation).

(22)

3.2.3.2 Phase rente

Figure 3.8 Taux de mortalité bruts pour l'ensemble des rentiers

Commentaires On observe un intervalle de conance très proche des taux bruts jusqu'à l'age de 80 ans environ. Le manque de données au delà de 80 ans aecte les résultats. A titre d'exemple, 709 personnes ont atteint l'âge de 80 ans durant la période d'observation, et seulement 33 ont atteints l'age de 90 ans.

L'âge du dernier rentier est de 100 ans.

Figure 3.9 Taux de mortalité bruts pour les rentiers homme

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que pour le portefeuille de l'ensemble des rentiers. L'irrégularité importante de la courbe est due à un portefeuille très réduit : 11 047 observations sur la période 2006-2015 pour les rentiers hommes.

(23)

Figure 3.10 Taux de mortalité bruts pour les rentières femme

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que pour le portefeuille de l'ensemble des rentiers. L'irrégularité importante de la courbe est due à un portefeuille très réduit : 5 555 observations sur la période 2006-2015 pour les rentes femmes. En conséquence, dans la suite de l'étude, nous ne diérencierons pas les hommes des femmes pour la phase de rente.

3.3 Ajustement des taux bruts

Les observations statistiques ne permettent pas d'obtenir précisément les taux de mortalité, mais plutôt un intervalle de conance, plus ou moins large selon la qualité et la quantité des données à disposition. Pour lisser les taux de mortalité et éliminer les aberrations, il est intéressant d'obtenir une courbe continue fonction de l'âge, comprise dans l'intervalle de conance. L'obtention d'une formule analytique permettra en outre de faciliter les calculs.

3.3.1 Éléments théoriques

Choix de la méthode d'ajustement La méthode d'ajustement retenue est le lissage par la formule de Gompertz-Makeham. Cette méthode est couramment utilisée dans la construction des tables d'expé- rience et est particulièrement adaptée pour une représentation partielle des tables générales, avec des observations peu nombreuses.

Estimation des paramètres⁶L'hypothèse de Gompertz-Makeham est que le taux instantané de mor- talité à partir d'un certain âge s'exprime par :

µx=a+b·c^x (3.1)

L'interprétation souvent eectuée est que le premier terme constant positif représente la mortalité acci- dentelle et le second terme croissant exponentiellement représente la mortalité due au vieillissement. En réalité, ces termes peuvent être quelconques : a pourrait être par exemple négatif. Il est donc inutile d'en déduire une interprétation et il est nécessaire de la considérer comme une simple formule d'ajustement avec 3 paramètres quelconques.

A partir de la formule (3.1), on obtient :

ln(p_x) =ln(1−q_x) =−a−b(c−1) ln(c) c^x Avec :

ln : logarithme néperien

q_x: taux annuel de mortalité à l'age x

(24)

px: la probabilité annuelle de survie associée

Les paramètres de la formule de Gompertz-Makeham sont estimés par la méthode du maximum de vraisemblance. Supposons que l'on ait un ensemble d'observations de taux annuels de mortalité entre les âges entiers x₀ etx_M, soit :

un nombre observé de vivants d'agesxen début de période, notéN_x un nombre de décès entre les agesxetx+ 1, noté D_x.

La fonction de vraisemblance associée est : V =

x=xM

Y

x=x0

(q_x)^D^x·(p_x)^(N^x^−D^x⁾

Dans l'hypothèse de Makeham, on a la formule :

ln(p_x) =−α−β·e^γx Avec :

α=a β =b(c−1)

ln(c) γ=ln(c) et tel que :

φ=ln(V) =

x=xM

X

x=x0

Dxln(qx) + (Nx−Dx)ln(px)

est une fonction de α, β et γ. Les meilleurs coecients de la formule seront ceux qui maximisent la vraisemblance ou encore la fonction φ. Une condition nécessaire est l'annulation des dérivées partielles deφpar rapport àα,β etγ :

d= ∂φ

∂α =−X

N_x+X D_x 1−px

= 0

e= ∂φ

∂β =−X

e^γxN_x+X e^γx 1−px

·D_x= 0

f =∂φ

∂γ =−βX

xe^γxN_x+βX xe^γx 1−px

·D_x= 0

Pour résoudre ce système à 3 équations, nous procédons par itérations.

Première itération La première étape consiste à trouver une première valeur des coecients pour initialiser ensuite les itérations. On utilise pour cela la méthode de King et Hardy. La formule (3.1) permet d'obtenir :

lx=lx₀·e⁻

Rx

x0(α+βc^t)dt

l_x=l_x₀·e

−α(x−x0)− β ln(c)^(c

x−c^x⁰)

pourx>x₀ que l'on peut mettre sous la forme :

lx=k·s^x·g^(c^x⁾ Avec :

k=lx0·e

αx₀+ β ln(c)^c

x0

constante positive arbitraire s=e^−α<1

g=e

− β ln(c) <1

(25)

logpx=log(s) +c (c−1)log(g) On posen= xM −x0

3 . Soit : A_x=

x+n+1

X

k=x

logP_k=n·logs+ (c−1)log(g)c^xcⁿ−1 c−1 On calcule :

A_x+n−A_x+2n Ax−Ax+n

= log(g)(cⁿ−1)(c^x+n−c^x+2n) log(g)(cⁿ−1)(c^x−c^x+n) =cⁿ d'où :

c=

Ax+n−Ax+2n

A_x−A_x+n

1 n

Avec Ax−Ax+n=log(g)(cⁿ−1)(c^x−c^x+n)on en déduitgpuisβ et b. Avec Axon en déduitspuisαeta.

Itérations suivantes La première itération nous a permis d'obtenir α0, β0, γ0, valeurs pour les- quelles d = d0; e = e0; f = f0. On écrit que : α = α0−u; β = β0−v; γ = γ0−w. On aura approximativement siu,v,wsont des écarts minimes :

d=d0−ug−vh−wi e=e₀−uh−vj−wk f =f₀−ui−vk−wl Soit sous forme matricielle :

d e f

=

d₀ e₀ f0

−J u v w

avecJ =

g h i h j k i k l avec :

g= ∂²φ

∂α² =X

− px

(1−p_x)² ·Dx

h= ∂²φ

∂α∂β =X

− pxe^γx (1−px)² ·Dx

i= ∂²φ

∂α∂γ =βX

−x·p_xe^γx (1−px)² ·Dx

j= ∂²φ

∂β² =X

− p_xe^2γx (1−px)² ·D_x k= ∂²φ

∂β∂γ =X

−xe^γxNx+X xe^γx

1−p_x− xe^2γxpx

(1−p_x)²

·Dx

l=∂²φ

∂γ² =βX

x²e^γxNx+βXx²e^2γx

1−p_x −βx²e^2γxpx

(1−p_x)²

·Dx

Si l'on veut l'annulation des dérivées partielles d e f

= 0 0 0

il faut prendre :

u v w

−J⁻¹·

d₀ e₀ f₀

(26)

On obtient ainsi une deuxième approximation deα,β etγ :

α1=α0−u;β1=β0−v;γ1=γ0−w

On itère ainsi le procédé qui converge vers la solution à condition de partir d'une valeur de départ pas trop éloignée de l'optimum. Pour éviter une divergence, on ajoute un procédé de rappel vers une valeur plus vraisemblable : Si le produit scalaire(du+ev+f w)est positif, on remplaceu,v,wparu=u−rd; v=v−reet w=w−rf avec :

r=(du+ev+f w) d²+e²+f²

3.3.2 Mesure de la qualité de l'ajustement

L'ajustement réalisé, il est important de mesurer la qualité de l'ajustement, à savoir si les taux ajustés sont une bonne représentation de la mortalité. On va vérier que les diérences entre les taux ajustés et les taux observés sont bien aléatoires et non liés à une déformation de l'ajustement.

Intervalle de conance des taux lissés⁷Nous pouvons calculer à nouveau un intervalle de conance, cette fois-ci à partir des taux lissés. Pour un nombre d'observations assez grand, la méthode du maximum de vraisemblance conduit à ce que les écarts entre les valeurs de α, de β et de γ avec l'estimation la plus vraisemblable, soit αb, βb et bγ sont des variables normales centrées dont la matrice des variances - covariances est au signe près 1

E(J) =K. CommeE(Dx) =Nx·(1−px)la matriceE(J)est de la forme :

g h i h j k i k l

, avec :

g=P p_x 1−px

N_x h=P p_xe^γx 1−px

N_x i=βP

−xe^γxp_x 1−px

N_x j=P

−e^2γxpx

1−px

Nx k=βP

−xe^2γxpx

1−px

Nx l=βP

−x²e^2γxpx

1−px

Nx

On a par hypothèse :

ln(px) =−α−βe^γx

Aux alentours de la valeur la plus vraisemblable, on aura approximativement : ln(px) =−αb−βeb ^b^γx−dα−dβe^b^γx−βxb ·e^b^γx·dγ où dα, dβ et dγ sont des variables normales. Dès lors :

Var(ln(px)) = 1·e^b^γx,βxeb ^γx^b ·K·

1 e^b^γx βxeb ^b^γx

Un intervalle de conance à 95 % pour ln(p_x) est :

h−αb−βeb ^b^γx−1,96p

Var(ln(px)),−αb−βeb ^γx^b + 1,96p

Var(ln(px))i

Comme q_x = 1−p_x = 1−e^ln^(p^x⁾, nous pouvons en déduire l'intervalle de conance pour les taux de mortalités lissés :

h

1−e⁻^α−^b ^βe^b^b^γx^−1,96

√Var(ln(p_x)),1−e⁻^α−b^b ^βe^γx^b ^+1,96

√Var(ln(p_x))i

L'intervalle de conance obtenu ne permet pas de valider ou rejeter l'ajustement. Il permet cependant de mesurer sa qualité : plus la proportion de taux observés présents dans l'intervalle sera grande, meilleure sera la qualité de l'ajustement.

Critère de délité aux taux bruts⁸ On calcule la distance en valeur absolue entre les taux lissés et les taux bruts. Lorsqu'il y a délité des taux bruts aux taux lissés, on a

x_M

X

x=x₀

|qbx−qx| →0

Plus la somme des distances entre taux bruts et taux lissés se rapproche de 0, plus la délité est grande.

8. Lignes directrices mortalité de la Commission d'Agrément - Version approuvée du 20 Juin 2006

(27)

x=x₀

Pour z= 1 etz= 2, on obtient : Px_M−1

x=x₀ (qx−qx+1)²→0 PxM−2

x=x0 (q_x−2q_x+1+q_x+2)²→0

Test du Khi-deux On calcule la statistique : Z=

xM

X

x=x0

(N_xqb_x−N_xq_x)² Nxqx

L'hypothèse nulle est : les taux bruts suivent la loi analytique estimée par Gompertz-Makeham. Sous l'hypothèse nulle, la statistique calculée suit asymptotiquement une loi du χ² à (x_M −x₀−r) degrés de libertés, ourest égal au nombre de paramètres estimés (3 pour Makeham). On peut donc construire un test de niveau α en rejetant l'hypothèse nulle lorsque la statistique de test est plus grande que le quantileQd'ordre1−αde la loi duχ²à (xM−x0−r) degrés de libertés : autrement dit, on acceptera l'ajustement pourZ < Q.

3.3.3 Résultats obtenus

Nous appliquons la méthode d'ajustement pour les polices épargne (ensemble des épargnants, homme, femme) et les polices rentes (ensemble des rentiers).

3.3.3.1 Phase épargne

Intervalle d'âge choisi :[x0= 36;xM = 72]

La plage la plus able correspond à celle ou l'intervalle de conance est le plus proche des taux bruts. Cette plage est plus visible en observant les rapports (q_x⁻−qx)

q_x et (q_x⁺−qx)

q_x . A noter par ailleurs que la loi de Makeham tend à sous-estimer la mortalité avant 30 ans et à la surestimer au-delà de 80 ans. C'est pourquoi il est préférable de rester dans cet intervalle.

Figure 3.11 Rapport entre l'intervalle de conance à 95% et lesqx bruts Paramètres de Makeham :a= 0,000002629;b= 0,000053;c= 1,0772

Proportion de taux bruts dans l'intervalle de conance à 95% du modèle : 97,22 %

Une proportion importante de taux bruts dans l'intervalle de conance permet de donner un premier aperçu de la qualité de l'ajustement

Critère de délité aux taux bruts : 0,0113

Le résultat est proche de 0, ce qui indique une bonne délité entres les taux lissés et les taux bruts.

Critère de régularité des taux lissés : pour z=1 : 4,93E-06

(28)

pour z=2 : 2,50E-08

Les résultats sont très proches de 0, ce qui indique une bonne régularité des taux lissés.

Test du Chi-deux : le nombre de degrés de liberté est égal à 33. La statistique du test vaut χ²_obs = 45,07 pour une valeur critique de χ² = 47,4 au seuil de 5%. L'hypothèse nulle est donc acceptée.

Figure 3.12 Lissage et intervalle de conance associé sur l'intervalle 36-72 ans pour l'ensemble des épargnants

Figure 3.13 Résultat du lissage pour l'ensemble des épargnants

Commentaires On observe que le lissage suit bien les taux bruts jusqu'à l'âge de 74 ans environ. Au delà, la courbe obtenue semble sous-estimer la mortalité. Comme indiqué précédemment, ce point est peu important pour l'étude de la mortalité en phase épargne car le départ en retraite s'eectue généralement avant 67 ans.

(29)

Figure 3.14 Rapport entre l'intervalle de conance à 95% et lesqx bruts Paramètres de Makeham :a= 0,000167;b= 0,000037;c= 1,0861

pour z=2 : 4,60E-08

Test du Chi-deux : le nombre de degrés de liberté est égal à 30. La statistique du test vaut χ²_obs = 43,46pour une valeur critique de χ² = 43,77 au seuil de 5%. L'hypothèse nulle est donc acceptée.

Figure 3.15 Lissage et intervalle de conance associé sur l'intervalle 38-71 ans pour les épargnants homme

(30)

Figure 3.16 Résultat du lissage pour les épargnants homme

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que le lissage pour l'ensemble des épargnants.

Epargne - Femme

Intervalle d'âge choisi :[x₀= 44;x_M = 71]

Figure 3.17 Rapport entre l'intervalle de conance à 95% et lesqx bruts Paramètres de Makeham :a=−0,00017;b= 0,000043;c= 1,0735

pour z=2 : 7,48E-09

Test du Chi-deux : le nombre de degrés de liberté est égal à 24. La statistique du test vaut χ²_obs= 27,94pour une valeur critique deχ²= 36,415au seuil de 5%. L'hypothèse nulle est donc acceptée.

(31)

Figure 3.18 Lissage et intervalle de conance associé sur l'intervalle 44-71 ans pour les épargnantes femme

Figure 3.19 Résultat du lissage pour les épargnantes femme

(32)

Commentaires On retrouve les mêmes caractéristiques que le lissage pour l'ensemble des épargnants.

3.3.3.2 Phase rente

Figure 3.20 Rapport entre l'intervalle de conance à 95% et lesqx bruts Paramètres de Makeham :a=−0,00517;b= 0,000121;c= 1,0703

Proportion de taux bruts dans l'intervalle de conance à 95% du modèle : 90,91 % La proportion est sensiblement plus faible pour les polices de rente mais reste acceptable Critère de délité aux taux bruts : 0,0522

La délité des taux lissés aux taux bruts est faible Critère de régularité des taux lissés :

pour z=1 : 2,93E-05 pour z=2 : 1,20E-07

Test du Chi-deux : le nombre de degrés de liberté est égal à 18. La statistique du test vaut χ²_obs= 37,55pour une valeur critique deχ²= 28,869au seuil de 5%. L'hypothèse nulle doit donc être rejetée. Le manque de données pour les rentes ne nous permet pas d'obtenir un ajustement de qualité.

Figure 3.21 Lissage et intervalle de conance associé sur l'intervalle 60-81 ans pour l'ensemble des rentiers

(33)

Figure 3.22 Résultat du lissage pour l'ensemble des rentiers

Commentaires La faible qualité de l'ajustement se visualise très bien sur les graphiques. Dès 77 ans, l'ajustement semble sous-estimer fortement la mortalité. Contrairement au taux de mortalités pour les épargnants, ce point est problématique car nous sommes ici sur un risque viager. Un deuxième ajustement a été réalisé, sur un intervalle d'âge plus élevé, malgré l'irrégularité plus forte des taux bruts au dessus de 80 ans.

Paramètres de Makeham :a= 0,00174;b= 2,25E−08;c= 1,1884

Proportion de taux bruts dans l'intervalle de conance à 95% du modèle : 96 % La proportion de taux brut dans l'intervalle de conance est acceptable.

La délité des taux lissés aux taux bruts est mauvaise.

Critère de régularité des taux lissés : pour z=1 : 0,003363494

pour z=2 : 6,48318E-05

Les résultats sont proches de 0, ce qui indique une bonne régularité des taux lissés.

Test du Chi-deux : le nombre de degrés de liberté est égal à 21. La statistique du test vaut χ²_obs= 58,13pour une valeur critique deχ²= 32.671au seuil de 5%. L'hypothèse nulle doit donc la aussi être rejetée.