TEST DE CONFORMITE POUR UNE VARIANCE ET INTERVALLE DE CONFIANCE

ENFA - Bulletin du GRES n°7 – janvier 1999 page 19 Contact : Conf [email protected]

TEST DE CONFORMITE POUR UNE VARIANCE ET INTERVALLE DE CONFIANCE

Exemple :

On extrait d’une fabrication, dont le caractère masse est distribué selon le modèle normal, un échantillon aléatoire simple de taille 18.

Les masses, exprimées en grammes, des 18 éléments de cet échantillon sont les suivantes : 304 334 307 309 330 314 310 316 309

314 299 311 348 290 311 309 326 278.

La moyenne de la fabrication est supposée inconnue.

Est-il possible, au seuil de 5% de conclure que la variance de la fabrication est différente de 605 ?

Proposition de corrigé :

Notations :

Soit X le caractère masse d’un élément de la fabrication.

Soit σ

la variance de X.

Soit respectivement n et s

la taille et la variance de l’échantillon extrait.

1) Méthode usuelle :

La variance σ

de la population est une valeur certaine mais inconnue. Afin de répondre à la question posée dans l'énoncé ci-dessus, mettons en œuvre un test relativement à cette variance.

• Formulation des hypothèses du test : H

: σ

≠ 605 ; H

: σ

= 605.

• D’après la formulation de H

le test est bilatéral.

• La variable aléatoire d’échantillonnage de la fabrication est S

, variance des échantillons aléatoires simples de taille 18 extraits de la fabrication.

• La loi de probabilité de la variable aléatoire nS ²

σ 2 est une loi du χ

à n − 1 degrés de liberté.

• Sous l’hypothèse H

, la loi de probabilité de la variable aléatoire 605

S 18 ²

est la loi du χ

à 17 degrés de liberté.

• Représentation graphique du seuil de signification du test, mise en évidence des valeurs

critiques et de la région de rejet de H

:

ENFA - Bulletin du GRES n°7 – janvier 1999 page 20 Contact : Conf [email protected]

Seuil de signification : α = 0,05

χ _α

17 2 2

;

χ _α

17 1 2 2

; − χ ²

⎯⎯⎯+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

rejet de H

non rejet de H

rejet de H

Les valeurs critiques χ _α

17 2 2

;

et χ _α

17 1 2 2

; − , c’est-à-dire χ ₁₇ ² _{; 0 , 025} et χ ₁₇ ² _{; 0 , 975} , sont respectivement définies par les relations :

025 , 0 nS )

( Prob et

025 , 0 nS )

(

Prob ₁₇ ² _{; 0 , 975}

2 2 2

025 , 0

; 2 17

2 ≥ χ =

= σ χ

σ ≤

A l’aide d’une table de la fonction de répartition d’une variable aléatoire du χ

à 17 degrés de liberté, on obtient :

2

025 , 0

;

χ 17 = 7,56 à 10

près et χ ₁₇ ² _{; 0 , 975} = 30,19 à 10

près.

• Règle de décision :

Pour la variable aléatoire nS ²

605 , la région de rejet de H

au seuil de 5% est [0 ;7,56] ∪ [30,19; +∞ [.

• Décision :

La variance s

de l’échantillon extrait est égale à 18

5 ,

4254 soit 236,36 à 10

près.

Pour cet échantillon, la valeur de la variable aléatoire nS ² 605 ^est

18 236 36 605

× ,

soit 7,03 à 10

près. Cette valeur appartient à la région de rejet de H

.

Donc, au seuil de 5%, au vu des observations, on rejette l’hypothèse H

.

Au seuil de 5%, au vu des observations, on peut conclure que la variance de la fabrication est différente de 605.

α/2 α/2

0

ENFA - Bulletin du GRES n°7 – janvier 1999 page 21 Contact : Conf [email protected]

2) Autre méthode :

La variance σ

de la population est une valeur certaine mais inconnue. Afin de répondre à la question posée dans l'énoncé ci-dessus, nous allons déterminer, pour σ

, un intervalle de confiance à 95% et regarder s'il contient ou non le nombre 605.

Pour la mise en œuvre de cette méthode, nous conservons les cinq premières étapes de la méthode usuelle, la différence par rapport à cette dernière apparaissant au niveau de l’énoncé de la règle de décision.

A partir des relations équivalentes suivantes :

025 , 0 S )

( 18 Prob et

025 , 0 S )

( 18

Prob ₁₇ ² _{; 0 , 975}

2 2 2

025 , 0

; 2 17

2 ≥ χ =

= σ χ

σ ≤

95 , 0 S )

( 18

Prob _{2 17} ² _{; 0 , 975}

2 2

025 , 0

;

17 < χ =

< σ χ

95 , 0 S )

18 S

( 18

Prob 2

025 , 0

; 17

2 2

2 975 , 0

; 17

2 =

< χ σ χ <

on établit que 18 S [

S ; ] 18

2 025 , 0

; 17

2 2

975 , 0

; 17

2

χ

χ est un intervalle de confiance aléatoire de la variance σ

au niveau de confiance 0,95.

La variance s

de l’échantillon extrait est égale à 236,36 à 10

près.

. près 10

à 8 , s 562

et 18 près 10

à 9 , s 140

18 1

2 025 , 0

; 17

2 1

2 975 , 0

; 17

2

=

= χ χ

]140,9 ; 562,8[ est une estimation par intervalle de confiance à 95% de la variance σ

. On peut alors énoncer :

• Règle de décision :

Au seuil de 5%, on rejette H

si 605 n’appartient pas à l’intervalle de confiance de la variance σ

déterminé à partir de l’échantillon extrait.

• Décision :

605 n’appartient pas à]140,9 ; 562,8[.

Donc, au seuil de 5%, au vu des observations, on rejette l’hypothèse H

.

ENFA - Bulletin du GRES n°7 – janvier 1999 page 22 Contact : Conf [email protected]

Remarque :

Pour le test de conformité d’une moyenne μ, on aurait pu faire de même, c'est-à-dire regarder si l'intervalle de confiance de μ déterminé à partir des observations contenait ou non la valeur proposée.

~≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈~