1 Qu’est-ce qu’une quadrature ? 1

(1)

Quadratures

S´ ebastien Joann` es October 1, 2015

1 Qu’est-ce qu’une quadrature ? 1

1.1 Introduction . . . . 1

1.2 Les principales m´ ethodes de quadrature . . . . 2

2 Erreur d’interpolation et pr´ ecision de la quadrature 2 3 M´ ethodes de quadrature simple 2 3.1 M´ ethode des rectangles . . . . 3

3.2 M´ ethode des trap` ezes . . . . 3

3.3 M´ ethode de Simpson . . . . 3

3.4 M´ ethode de Newton-Cotes . . . . 3

4 M´ ethode de Gauss 4

5 M´ ethode de Monte-Carlo (exemple de l’estimation de pi) 4

1 Qu’est-ce qu’une quadrature ?

1.1 Introduction

En math´ ematiques, le terme quadrature est une op´ eration g´ eom´ etrique visant ` a rechercher et construire un carr´ e d’aire ´ egale ` a une surface donn´ ee. La quadrature la plus c´ el` ebre est probablement la quadrature du cercle, probl` eme vieux de 2000 ans tout simplement impossible ` a r´ ealiser ` a la r` egle et au compas.

Depuis le XVIIe si` ecle, le terme quadrature est associ´ e au calcul d’aires et au calcul int´ egral.

Soit f une fonction dont on ne connaˆıt les valeurs qu’en un nombre fini de points (mesures) ou que la primitive ne peut se calculer analytiquement. La quadrature vise ` a approcher la quantit´ e I suivante:

I = Z b

a

f (x) dx (1)

1

(2)

Il s’agit donc de d´ eterminer l’aire de la surface d´ elimit´ ee par l’axe (Ox), les droites d’´ equation x = a et x = b et la courbe d’´ equation y = f (x).

1.2 Les principales m´ ethodes de quadrature

Les principales m´ ethodes de quadrature repose sur l’interpolation par morceaux de la fonction f .

• [a, b] est d´ ecoup´ e en sous-intervalles [x _i , x _i+1 ] ou [x _i−1 , x _i , x _i+1 ] pour lesquels nous connaissons y _i−1 = f (x _i−1 ), y _i = f (x _i ) et y _i+1 = f (x _i+1 ).

• Une interpolation de la fonction est r´ ealis´ ee sur chaque intervalle.

• C’est l’int´ egrale du polynˆ ome d’interpolation qui est ´ evalu´ ee sur chaque sous-intervalle.

Les diff´ erences entre les m´ ethodes de quadrature proviennent du nombre de points d’interpolation pour chaque sous-intervalle:

• M´ ethode ` a 1 point : m´ ethode des rectangles

• M´ ethode ` a 2 points : m´ ethode des trap` ezes

• M´ ethode ` a 3 points : m´ ethode de Simpson

• M´ ethode ` a n points : m´ ethode de Newton-Cotes

2 Erreur d’interpolation et pr´ ecision de la quadrature

Soit f une fonction de classe C ⁿ⁺¹ sur l’intervalle [a, b]. Il est possible de d´ emontrer que:

∀x ∈ [a, b], il existe η ∈ [a, b] tel que

f (x)–p(x) = (x − x 0 ) (x − x 1 ) . . . (x − x n )

(n + 1)! f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (η) (2)

En particulier, le point η ´ etant inconnu, le corollaire donnant une majoration de l’erreur d’interpolation est plus utile:

|f (x)–p(x)| ≤ | (x − x 0 ) (x − x 1 ) . . . (x − x n ) |

(n + 1)! sup

x∈[a,b]

|f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) | (3)

3 M´ ethodes de quadrature simple

>>> import numpy as np ... import scipy as sp ... import matplotlib as mpl

... import matplotlib.pyplot as plt ... %matplotlib inline

Le module integrate de Scipy contient de nombreuses possibilit´ es de quadrature.

D´ ecouvrez ces nombreuses fonctionnalit´ es via l’aide du module integrate.

2

(3)

>>> from scipy import integrate ... #help(integrate)

3.1 M´ ethode des rectangles

Soit x ₀ , x ₁ , . . . , x _n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x _i = a + i (b − a) /n.

Sur chaque intervalle [x _i , x _i+1 ], la fonction f est approch´ ee par la constante f (x _i ) et l’approximation de I par la m´ ethode des rectangles et donn´ ee par:

I R = b − a n

n−1

X

i=0

f (x i ) (4)

3.2 M´ ethode des trap` ezes

Soit x ₀ , x ₁ , . . . , x _n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x _i = a + i (b − a) /n.

Sur chaque intervalle [x i , x i+1 ], la fonction f est approch´ ee par la fonction affine co¨ıncidant en x i

et x i+1 . L’approximation de I par la m´ ethode des rectangles et donn´ ee par:

I _T = b − a 2n

"

f (x ₀ ) + 2

n−1

X

i=1

f (x _i ) + f (x _n )

#

(5)

>>> x = np.linspace(-1,1,10) ... y = x**2

... print integrate.trapz(y, x) 0.683127572016

3.3 M´ ethode de Simpson

Pour la m´ ethode de Simpson, la fonction f est approxim´ ee sur chaque intervalle par une parabole.

>>> x = np.linspace(-1,1,10) ... y = x**2

... print integrate.simps(y, x) 0.66849565615

3.4 M´ ethode de Newton-Cotes

La m´ ethode de Newton-Cotes est une g´ en´ eralisation des m´ ethodes pr´ ec´ edentes au degr´ e n. Il s’agit de d´ eterminer p le polynˆ ome d’interpolation de f sur un sous-intervalle Ω _i de [a, b] puis de calculer l’int´ egrale de p.

p (x) =

n

X

i=0

f (x _i ) L _i (x) (6)

3

(4)

Sur Ω i , on a:

I Ω

_i

= Z

Ω

i

f (x) dx ≈

n

X

i=0

f (x i ) Z

Ω

i

L i (x) dx =

n

X

i=0

ω i f (x i ) (7)

ω _i correspond au poid (pond´ eration) associ´ e ` a la valeur f (x _i ) et est diff´ erent d’une m´ ethode ` a l’autre.

4 M´ ethode de Gauss

Dans certaines circonstances (degr´ e d’interpolation ´ elev´ e), la m´ ethode de Newton-Cotes peut ne pas converger. La m´ ethode de Gauss permet de choisir de mani` ere optimale les poids ω _i ainsi que les points x _i afin d’´ eviter tout ph´ enom` ene de Runge.

On peut en particulier distinguer les m´ ethodes de:

• Gauss-Legendre

• Gauss-Chebyshev

• Gauss-Lobato

• Gauss-Laguerre

• Gauss-Radau

Ces diff´ erentes configurations sont tr` es utilis´ es pour la m´ ethode des ´ el´ ements finis.

Pour la configuration de Gauss-Legendre, les points ainsi que les poids sont donn´ es par:

>>> print np.polynomial.legendre.leggauss(1) ... print np.polynomial.legendre.leggauss(2) ... print np.polynomial.legendre.leggauss(3) (array([ 0.]), array([ 2.]))

(array([-0.57735027, 0.57735027]), array([ 1., 1.]))

(array([-0.77459667, 0. , 0.77459667]), array([ 0.55555556, 0.88888889, 0.55555556]))

Nous obtenons de mˆ eme les points et les poids de la configuration de Gauss-Chebyshev:

>>> print np.polynomial.chebyshev.chebgauss(1) ... print np.polynomial.chebyshev.chebgauss(2) ... print np.polynomial.chebyshev.chebgauss(3) (array([ 6.12323400e-17]), array([ 3.14159265]))

(array([ 0.70710678, -0.70710678]), array([ 1.57079633, 1.57079633]))

(array([ 8.66025404e-01, 6.12323400e-17, -8.66025404e-01]), array([ 1.04719755, 1.04719755, 1.04719755]))

5 M´ ethode de Monte-Carlo (exemple de l’estimation de pi)

4

1 Qu’est-ce qu’une quadrature ? 1

Quadratures

S´ ebastien Joann` es October 1, 2015

Contents

1 Qu’est-ce qu’une quadrature ? 1

1.1 Introduction . . . . 1

1.2 Les principales m´ ethodes de quadrature . . . . 2

2 Erreur d’interpolation et pr´ ecision de la quadrature 2 3 M´ ethodes de quadrature simple 2 3.1 M´ ethode des rectangles . . . . 3

3.2 M´ ethode des trap` ezes . . . . 3

3.3 M´ ethode de Simpson . . . . 3

3.4 M´ ethode de Newton-Cotes . . . . 3

4 M´ ethode de Gauss 4

5 M´ ethode de Monte-Carlo (exemple de l’estimation de pi) 4

1 Qu’est-ce qu’une quadrature ?

1.1 Introduction

Depuis le XVIIe si` ecle, le terme quadrature est associ´ e au calcul d’aires et au calcul int´ egral.

Soit f une fonction dont on ne connaˆıt les valeurs qu’en un nombre fini de points (mesures) ou que la primitive ne peut se calculer analytiquement. La quadrature vise ` a approcher la quantit´ e I suivante:

I = Z b

a

f (x) dx (1)

1

Il s’agit donc de d´ eterminer l’aire de la surface d´ elimit´ ee par l’axe (Ox), les droites d’´ equation x = a et x = b et la courbe d’´ equation y = f (x).

1.2 Les principales m´ ethodes de quadrature

Les principales m´ ethodes de quadrature repose sur l’interpolation par morceaux de la fonction f .

• [a, b] est d´ ecoup´ e en sous-intervalles [x i , x i+1 ] ou [x i−1 , x i , x i+1 ] pour lesquels nous connaissons y i−1 = f (x i−1 ), y i = f (x i ) et y i+1 = f (x i+1 ).

• Une interpolation de la fonction est r´ ealis´ ee sur chaque intervalle.

• C’est l’int´ egrale du polynˆ ome d’interpolation qui est ´ evalu´ ee sur chaque sous-intervalle.

Les diff´ erences entre les m´ ethodes de quadrature proviennent du nombre de points d’interpolation pour chaque sous-intervalle:

• M´ ethode ` a 1 point : m´ ethode des rectangles

• M´ ethode ` a 2 points : m´ ethode des trap` ezes

• M´ ethode ` a 3 points : m´ ethode de Simpson

• M´ ethode ` a n points : m´ ethode de Newton-Cotes

2 Erreur d’interpolation et pr´ ecision de la quadrature

Soit f une fonction de classe C n+1 sur l’intervalle [a, b]. Il est possible de d´ emontrer que:

∀x ∈ [a, b], il existe η ∈ [a, b] tel que

f (x)–p(x) = (x − x 0 ) (x − x 1 ) . . . (x − x n )

(n + 1)! f (n+1) (η) (2)

En particulier, le point η ´ etant inconnu, le corollaire donnant une majoration de l’erreur d’interpolation est plus utile:

|f (x)–p(x)| ≤ | (x − x 0 ) (x − x 1 ) . . . (x − x n ) |

(n + 1)! sup

x∈[a,b]

|f (n+1) (x) | (3)

3 M´ ethodes de quadrature simple

>>> import numpy as np ... import scipy as sp ... import matplotlib as mpl

... import matplotlib.pyplot as plt ... %matplotlib inline

Le module integrate de Scipy contient de nombreuses possibilit´ es de quadrature.

D´ ecouvrez ces nombreuses fonctionnalit´ es via l’aide du module integrate.

2

>>> from scipy import integrate ... #help(integrate)

3.1 M´ ethode des rectangles

Soit x 0 , x 1 , . . . , x n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x i = a + i (b − a) /n.

Sur chaque intervalle [x i , x i+1 ], la fonction f est approch´ ee par la constante f (x i ) et l’approximation de I par la m´ ethode des rectangles et donn´ ee par:

I R = b − a n

n−1

X

i=0

f (x i ) (4)

3.2 M´ ethode des trap` ezes

Soit x 0 , x 1 , . . . , x n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x i = a + i (b − a) /n.

Sur chaque intervalle [x i , x i+1 ], la fonction f est approch´ ee par la fonction affine co¨ıncidant en x i

et x i+1 . L’approximation de I par la m´ ethode des rectangles et donn´ ee par:

I T = b − a 2n

"

f (x 0 ) + 2

n−1

X

i=1

f (x i ) + f (x n )

#

(5)

>>> x = np.linspace(-1,1,10) ... y = x**2

... print integrate.trapz(y, x) 0.683127572016

3.3 M´ ethode de Simpson

Pour la m´ ethode de Simpson, la fonction f est approxim´ ee sur chaque intervalle par une parabole.

>>> x = np.linspace(-1,1,10) ... y = x**2

... print integrate.simps(y, x) 0.66849565615

3.4 M´ ethode de Newton-Cotes

La m´ ethode de Newton-Cotes est une g´ en´ eralisation des m´ ethodes pr´ ec´ edentes au degr´ e n. Il s’agit de d´ eterminer p le polynˆ ome d’interpolation de f sur un sous-intervalle Ω i de [a, b] puis de calculer l’int´ egrale de p.

p (x) =

n

• [a, b] est d´ ecoup´ e en sous-intervalles [x _i , x _i+1 ] ou [x _i−1 , x _i , x _i+1 ] pour lesquels nous connaissons y _i−1 = f (x _i−1 ), y _i = f (x _i ) et y _i+1 = f (x _i+1 ).

Soit f une fonction de classe C ⁿ⁺¹ sur l’intervalle [a, b]. Il est possible de d´ emontrer que:

(n + 1)! f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (η) (2)

|f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) | (3)

Soit x ₀ , x ₁ , . . . , x _n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x _i = a + i (b − a) /n.

Sur chaque intervalle [x _i , x _i+1 ], la fonction f est approch´ ee par la constante f (x _i ) et l’approximation de I par la m´ ethode des rectangles et donn´ ee par:

Soit x ₀ , x ₁ , . . . , x _n , n + 1 points r´ eguli` erement espac´ es, i.e. x _i = a + i (b − a) /n.

I _T = b − a 2n

f (x ₀ ) + 2

f (x _i ) + f (x _n )

La m´ ethode de Newton-Cotes est une g´ en´ eralisation des m´ ethodes pr´ ec´ edentes au degr´ e n. Il s’agit de d´ eterminer p le polynˆ ome d’interpolation de f sur un sous-intervalle Ω _i de [a, b] puis de calculer l’int´ egrale de p.

f (x _i ) L _i (x) (6)

ω _i correspond au poid (pond´ eration) associ´ e ` a la valeur f (x _i ) et est diff´ erent d’une m´ ethode ` a l’autre.

Dans certaines circonstances (degr´ e d’interpolation ´ elev´ e), la m´ ethode de Newton-Cotes peut ne pas converger. La m´ ethode de Gauss permet de choisir de mani` ere optimale les poids ω _i ainsi que les points x _i afin d’´ eviter tout ph´ enom` ene de Runge.