∫ ∫ Module M1 – bases scientifiquesCorrection de l'examen écrit

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Licence professionnelle Qualité et Maîtrise de l'Énergie Électrique 6 février 2006

Module M1 – bases scientifiques Correction de l'examen écrit

Exercice 1. Signal périodique

1. Il s'agit d'une sinusoïde redressée de valeur maximale U.

2. La période est T' = T/2 où T = 2π/ω.

3. La valeur moyenne est <u(t)> = 2U/π ; la valeur efficace est U_eff=U/



2 (en effet, le signe n'importe pas).

4. Le signal est pair. Le fondamental s'écrit donc u₁t=U1mcos' t avec '=2. Et l'amplitude s'écrit U_1m=2

T '

∫

0 T '

utcos2tdt=1



∫

0



sincos2d. On obtient U₁_m=−4 U

3  , soit une valeur efficace U₁=2



²

3 U.

5. Le signal est pair, il ne contient donc que des termes en cosinus. Il n'a pas de symétrie par rapport à T'/4 ; aucune harmonique n'est donc a priori nulle. Les harmoniques ont les pulsations 2k où k est un entier positif.

6. T_h=



Ûêff² ⁻Û¹²

U_eff =



⁹^²⁻¹⁶

3 

Problème 2. Asservissement du courant d'une charge RL

A. Étude du régime transitoire sous alimentation à rapport-cyclique constant.

1. La tension est un créneau à deux niveaux E et -E et de rapport cyclique α. Le courant est une suite de portions d'exponentielles croissantes lorsque la tension est positive et décroissante lorsque la tension est décroissante.

2. ut=R itLdit dt 3. 〈ut〉=R〈it〉L〈dit

dt 〉=R〈it〉, avec 〈ut〉=2 −1E, d'où 〈it〉=2 −1E

R .

4. it=E

R



¹⁻^exp

^

^−t^

^ 

sur [0; α.Th] où =L

R . Sur [α.Th ; Th], it=−E

R Cexp



⁻^^t



^{où C}

vérifie la condition de raccordement des 2 solutions soit : iT_h=E

R



¹⁻^exp

^

^−^^T^h

^ 

⁼⁻^R^E^^C^exp

^

^−^^T^h

^

^{, d'où}^C⁼^E^R



^{2 exp}

^

^^^T^h

^

⁻¹



^.

(2)

B. Asservissement par fourchette de courant

5. Le schéma bloc est composé d'un soustracteur d'entrées I* et i(t) donnant I*-i(t), d'un bloc représentant le régulateur TOR composé d'une fonction de commutation à hystéresis d'entrée I*-i (t) et de sortie u(t) et d'un bloc représentant le système d'entrée u(t) et de sortie i(t).

6. La tension est d'abord à +E, permettant au courant de croître de la valeur nulle jusqu'à la valeur I*+a. Alors, la tension passe à -E et le courant décroît jusqu'à I*-a. Puis la tension repasse à +E et le courant croit jusqu'à I*+a. Et ainsi de suite.

7. L'amplitude d'ondulation du courant en régime permanent est 2a.

8. Lors de la première séquence, le courant a comme valeur it=E

R



¹⁻^exp

^

⁻^^t

^ 

. La première commutation a lieu pour i(t) = I*+a ce qui correspond à t₁=−ln



¹^−Î^∗â^^RÊ



^.