Spectre des courants dans l’association Transformateur triphasé + redresseur + charge.

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 7 - 1 -

Spectre des courants dans l’association Transformateur triphasé + redresseur + charge.

Corrigé

ia ic ib ic v_a

v_b v_c a

b c Neutre

transformateur triphasé

Pont redresseur triphasé

uc

* Les tensions , et sont alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées de sens direct, de période T et de pulsation

) t (

v_a v_b(t) v_c(t)

ω π π

=2 = 2

. f T tels que v_a(t)=Vˆ.sin(ωt.).

* Les courants i_a(t), i_b(t) et i_c(t) forment un système triphasé équilibré (¹) de sens direct.

Le neutre n’est pas relié.

(

.

)

ˆ .sin

(

2 .

)

... ˆ .sin

(

.

)

...

sin

ˆ₁. _{1 2 2}

)

(_t =I_moy + I t − + I t− + + I_n n t − _n +

ia ω ϕ ω ϕ ω ϕ

3 ...

. 2 . sin ˆ . 3 ...

. 2 . 2 sin ˆ . 3

. 2 sin

ˆ₁. _{1 2 2}

)

( ⎥⎦+

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

+

= _{moy n n}

t I I t I t I n t

ib ω π ϕ ω π ϕ ω π ϕ

3 ...

. 4 . sin ˆ . 3 ...

. 4 . 2 sin ˆ . 3

. 4 sin

ˆ₁. _{1 2 2}

)

( ⎥⎦+

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

+

= _{moy n n}

t I I t I t I n t

ic ω π ϕ ω π ϕ ω π ϕ

a) Si le neutre est relié : i_N(t)=i_a(t)+i_b(t)+i_c(t) La série de Fourier de i_N(t) est donc :

(

3 .

)

0 0 3.ˆ .sin

(

6 .

)

... 3.ˆ .sin

(

3. . ...

sin ˆ . . 3 0 0 .

3 )

( = _moy + + + ₃ − ₃ + + + ₆ − ₆ + + _3n − _3n +

N t I I t I t I n t

i ω ϕ ω ϕ ω ϕ

)

Si le neutre n’est pas relié : i_N(t)=0 . Tous les termes de sa série de Fourier sont donc nuls. Donc I_moy =0. Tous les harmoniques 3 et multiples de 3 des courants i_a(t), i_b(t) et i_c(t) sont également nuls.

b) Exprimons la puissance instantanée transportée par la ligne triphasée:

i_a ib

ic

Phase a Phase b Phase c Neutre

v_a v_b v_c

i_N

La ligne triphasée est soumise à des tensions , et , et est parcourue par des courants , , et qu’elle délivre à sa charge.

) (t v_a )

(t

v_b v_c(t) )

(t

i_a i_b(t) i_c(t) i_N(t)

Il est toujours possible de simuler le comportement de cette charge par trois dipôles montés en étoile qui, pour les mêmes tensions, engendreront les mêmes courants.

(¹ ) Mais pas alternatif sinusoïdal...

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 7 - 2 -

La loi de conservation de l’énergie précise que la puissance électrique instantanée totale consommée par la charge est la somme des puissances électrique instantanées consommées par chaque élément.

) ( ).

( ) ( ).

( ) ( ).

( )

(t v t i t v t i t v t i t

p_e = _{a a} + _{b b} + _{c c}

En remplaçant chaque courant et chaque tension par sa série de Fourier, on obtient :

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥+

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

1

1 1

3 . 4 sin ˆ . 3 .

. 4 sin ˆ.

3 . 2 sin ˆ . 3 .

. 2 sin ˆ. .

sin ˆ . . . sin ˆ. ) (

n n n

n n n

n n n

e

t n I

t V

t n I

t V

t n I

t V

t p

π ϕ π ω

ω

π ϕ π ω

ω ϕ

ω ω

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥+

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

⇒

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

1

1 1

3 . 4 sin 3 . . 4 sin ˆ . ˆ.

3 . 2 sin 3 . . 2 sin ˆ . ˆ. .

sin . . sin ˆ . ˆ. )

(

n n n

n

n n

n

n n

e

t n t

I V

t n t

I V t

n t I

V t

p

π ϕ π ω

ω

π ϕ π ω

ω ϕ

ω ω

Sachant que

2

) cos(

) ) cos(

sin(

. )

sin( a b a b

b

a = − − + , on en déduit :

( )

[ ] [ ( ) ]

{ }

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − − + −

=

⇒

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

1 1 1

3 . 4 . 1 3 cos

. 4 . 1 cos 2 .

.ˆ ˆ

3 . 2 . 1 3 cos

. 2 . 1 cos 2 .

.ˆ ˆ

. . 1 cos .

. 1 cos 2 . .ˆ ) ˆ

(

n n n n

n

n n n

n n n n

e

t n

t I n

V

t n

t I n

V

t n

t I n

t V p

π ϕ ω π ϕ

ω

π ϕ ω π ϕ

ω

ϕ ω ϕ

ω

( )

[ ] ( ) ( )

( )

[ ] ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+ +

− +

+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− +

−

−

=

⇒

∑

∑

∞

=

∞

=

1 1

3 . 4 . 1 3 cos

. 2 . 1 cos .

. 1 cos 2 .

.ˆ ˆ

3 . 4 . 1 3 cos

. 2 . 1 cos .

. 1 cos 2 .

.ˆ ) ˆ

(

n n n n n

n

n n

n n e

t n

t n

t I n

V

t n

t n

t I n

t V p

π ϕ ω π ϕ

ω ϕ

ω

π ϕ ω π ϕ

ω ϕ

ω

Remarque :

Si k n’est pas nul ni multiple de 3 :

[ ]

0

3 . 4 . 3 cos

. 2 . cos .

.

cos ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

− _k k t _k k t _k

t

kω ϕ ω π ϕ ω π ϕ

(C’est la somme de trois fonctions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées de même fréquence)

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 7 - 3 - Si k est un multiple de 3 :

[

kωt ϕ_k

]

k ωt π ϕ_k k ωt π ϕ_k⎥=

[

kωt −ϕ_k

]

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

− 3.cos . .

3 . 4 . 3 cos

. 2 . cos .

. cos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.cos

(

9. .

)

...

2 .ˆ .ˆ . 3

. 9 cos 2 .

.ˆ .ˆ . 3

. 6 cos 2 .

.ˆ .ˆ . 3

. 6 cos 2 .

.ˆ .ˆ 3

. . 3 cos 2 .

.ˆ .ˆ . 3

. 3 cos 2 .

.ˆ .ˆ cos 3

2 . .ˆ .ˆ ) 3 (

10 10 8 8

7 7 5 5

4 4 2 2

1 1

−

− +

−

−

− +

−

−

− +

−

−

=

ϕ ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

ω

ϕ ω ϕ

ω ϕ

I t t V

I t V

I t V

I V

I t t V

I V I

t V p_e

c) Donc dans le cas de tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et de courants triphasés équilibrés, La puissance instantanée transportée par la ligne prend en comptes tous les harmoniques des courants sauf les harmoniques de rang 3 et multiples de 3.

Si le neutre n'est pas relié au transformateur triphasé, les harmoniques des courants , et de fréquence 3f et multiples de 3f sont nuls. (voir la question a).

) t (

i_a i_b(t) i_c(t) Donc dans ce cas, l'expression de p_e(t) prend en compte tous les harmoniques des courants.

La charge du pont redresseur reçoit une puissance instantanée p_c(t)=u_c(t).i_c(t). En général, la fonction puissance instantanée dans la charge est de même période que la tension à ses bornes. Donc :

• Si la tension p_c(t) est de période T/3 (par exemple avec un montage P3)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+

=

⇒

∑

^∞

=1ˆ3 .sin(3 . 3 ) )

(

k k k

moy

c t P P k t

p ω α

⇒ Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 3ω, 6ω, 9ω, 12ω,...etc

• Si la tension p_c(t) est de période T/6 (par exemple avec un montage PD3 à 6 thyristors)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+

=

⇒

∑

^∞

=1ˆ6 .sin(6 . 6 ) )

(

k k k

moy

c t P P k t

p ω α

⇒ Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 6ω, 12ω, 18ω, 24ω,...etc

• On suppose le transformateur triphasé idéal (résistances des bobinages négligeables, pertes fer négligeables, fuites négligeables, inductances principales infinies). On suppose également que le transformateur est couplé sans neutre au primaire (²) et le pont redresseur idéal (pertes nulles).

Sachant que la puissance instantanée est conservative, on en déduit par identification des harmoniques de et que:

) t (

p_e p_c(t)

(²) Si le primaire comporte un fil neutre, et que les courants secondaires présentent des harmoniques homopolaires (harmoniques 3 et multiples de 3) (cela suppose un neutre au secondaire), les courants primaires peuvent présenter des harmoniques homopolaires sans influence sur la puissance instantanée. Ces harmoniques homopolaires peuvent être étudiés séparément par la méthode des

composantes symétriques et le théorème de superposition.

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 7 - 4 - -

- Si est de période T/3, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 ; 2 et/ou 4 ; 5 et/ou 7 ; 8 et/ou 10 … etc

) t ( p_c

-- Si est de période T/6, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 ; 5 et/ou 7 ; 11 et/ou 13 ; 17 et/ou 19 … etc

) t ( p_c

-- Si est de période T/12, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 ; 11 et/ou 13 ; 23 et/ou 25 ; 35 et/ou 37 … etc

) t ( p_c

⇒ Plus la période de la tension (et donc de la puissance instantanée) de sortie du pont redresseur sera faible par rapport à la période de la tension d'alimentation de la ligne triphasée (plus l'ordre du redressement sera élevé), et plus les harmoniques des courants de ligne seront de rangs élevés, et donc plus leur filtrage sera facilité.