Contrôle commun
Janvier 2017
Série : ES
Épreuve : Spécialité Mathématiques
Durée de l'épreuve : 45 minutes Coefficient : 1
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 2 pages numérotées 1/2 à 2/2
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Exercice (spécialité)
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un médicament pour injection. Ce laboratoire peut produire entre 0 et 100 litres de ce médicament par mois et dispose des résultats antérieurs suivants :
Volume de médicament produit en dizaines de litres
0 2 6 10
Bénéfice mensuel en centaines d'euros
−30 −32 96 80
On admet que le bénéfice mensuel de ce laboratoire peut être modélisé par une fonction f définie sur [0 ;10] par f (x)=ax3+bx2+cx+d où a , b, c et d sont quatre nombres réels.
La variable x désigne le nombre de dizaines de litres commercialisés et f (x) exprime le bénéfice mensuel, exprimé en centaines d'euros.
On cherche à déterminer les valeurs des coefficients a, b, c et d afin de faire quelques prévisions.
1.a Expliquez pourquoi d=−30 .
1.b Justifier soigneusement que les réels a, b, c vérifient le système (S)
{
10002168aa+4a+100+36b+2b+6b+10c=−c=c=1262110 .2.a En déduire trois matrices M , X et R telle que le système précédent soit équivalent à MX=R . 2.b On admet que la matrice M est inversible . En déduire les valeurs des coefficients a, b et c , puis préciser l'expression de f (x).
En utilisant le modèle obtenu par la fonction f , répondre aux questions suivantes.
3.a Quel serait le bénéfice de ce laboratoire pour la commercialisation 55 litres de ce médicament ?
3.b Quelle est la quantité à commercialiser de ce médicament pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut alors ce bénéfice maximal ?
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