Semaine du 27/09 au 01/10
1 Cours
Intégrales impropres (révisions) Familles sommables
Ensembles dénombrables Définition. Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie deℕ.
Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.ℤ,ℕ2etℚsont dénombrables maisℝne l’est pas.
Familles sommables Définition de la sommabilité. Linéarité de la somme. Lien entre série et famille sommable. Théorème de somma- tion par paquets. Invariance de la sommabilité et de la somme par permutation des inidices.
Séries doubles Sommabilité d’une famille indexée parℕ2et interversion de l’ordre de sommation. Produit de Cauchy.
2 Méthodes à maîtriser
• Pour le théorème de sommation par paquets, les partitions classiques sont – ℕ2= ⨆
𝑛∈ℕ
({𝑛} × ℕ)(colonnes);
– ℕ2= ⨆
𝑛∈ℕ
(ℕ × {𝑛})(lignes);
– ℕ2= ⨆
𝑛∈ℕ
{(𝑝, 𝑞) ∈ ℕ2, 𝑝 + 𝑞 = 𝑛} = ⨆
𝑛∈ℕ
{(𝑘, 𝑛 − 𝑘), 𝑘 ∈J0, 𝑛K}(diagonales).
3 Questions de cours
Retour sur le DS n°01 Soit𝑓 ∶ 𝑡 ∈] − ∞, 0[∪]0, 1[↦ −ln(1 − 𝑡) 𝑡 .
1. Justifier que𝑓se prolonge en une fonction continue sur] − ∞, 1[que l’on note encore𝑓.
2. On poseL ∶ 𝑥 ↦ ∫
𝑥
0
𝑓(𝑡)d𝑡. Justifier queLest de classe𝒞1sur] − ∞, 1[et calculer sa dérivée.
3. Déterminer le sens de variation deL.
4. Justifier queLpeut se prolonger en une fonction continue sur] − ∞, 1].
5. Déterminer la limite deLen−∞.
Retour sur le DS n°01 On considère à nouveau les fonctions𝑓etLde la question de cours précédente.
1. Résoudre l’équation différentielle𝑥𝑧′+ 𝑧 = 1
1 − 𝑥 sur] − ∞, 0[et]0, 1[. On exprimera les solutions à l’aide de la fonction 𝑓.
2. En déduire les solutions de l’équation différentielle𝑥𝑦″+ 𝑦′= 1
1 − 𝑥. On exprimera les solutions à l’aide de la fonctionL.
Retour sur le DS n°01 On considère l’intégraleI = ∫
+∞
0
( 1
𝑡(𝑡2+ 1)− 1
𝑡(4𝑡2+ 1))d𝑡.
1. Justifier la convergence deI.
2. Calculer la valeur deIà l’aide d’une décomposition en éléments simples.
Série exponentielle et produit de Cauchy On admet que pour𝑧 ∈ ℂ,𝑒𝑧=
+∞
∑
𝑛=0
𝑧𝑛
𝑛!. Montrer que∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℂ2, 𝑒𝑎+𝑏= 𝑒𝑎𝑒𝑏.
Série géométrique et produit de Cauchy Soient𝑎et𝑏deux nombres complexes distincts de module strictement inférieur à1. Montrer que
+∞
∑
𝑛=0
𝑎𝑛+1− 𝑏𝑛+1 𝑎 − 𝑏 = 1
1 − 𝑎⋅ 1 1 − 𝑏.
