Problème 1 : Liquéfaction de l’azote par le procédé Linde-Hampson
On représente sur la figure ci-dessous le schéma de principe du procédé Linde-Hampson de liquéfaction industrielle de l’azote (plus précisément du diazoteN2).
Compression1→2 De l’azote est introduit sous forme gazeuse dans un compresseurCsous la pression atmosphérique, dans l’état1. Il y subit une compression isotherme qui l’amène à l’état2.
Refroidissement2→3 L’azote est refroidi de manière monobare dans l’échangeurE: il en sort dans les conditions3.
Détente3→4 Il ensuite détendu dans le détendeurDjusqu’à la pression atmosphérique, c’est l’état4. On obtient alors un mélange d’azote liquide et gazeux.
Séparation4→5et6 le liquide (conditions5) et la vapeur (conditions6) sont séparés.
Vapeur dans l’échangeur6→1 La vapeur traverse l’échangeur à contre-courant. Elle en ressort dans les conditions1.
Les échanges énergétiques du fluide avec l’extérieur n’auront lieu que durant la traversée du compresseur.
L’étude de ce procédé sera effectuée au moyen du diagramme joint (figure Fig. 1) représentant la tempé- rature en fonction de l’entropie massique de l’azote dans les domaines du gaz et du mélange liquide gaz.
Ce diagramme devra être rendu avec la copie.
Données : Les coordonnées de certains points sont données dans le tableau ci-dessous :
1 2 3 4 5 6
P(bar) 1,01 200 200 1,01 1,01 1,01 θ(°C) 27 27
On rappelle que les valeursθetTd’une température exprimée respectivement en◦C et en K vérifientT = θ+273,15. On donne rappelle également la valeur de la constante des gaz parfaitsR=8,314 J·K−1·mol−1 et la masse molaire de l’azoteM(N) =14,0 g·mol−1.
I Préliminaires
On considère une machine traversée par un fluide en écoulement permanent. On notewule travail utile reçu par le fluide de la machine (par un organe mobile par exemple) etqle transfert thermique reçu par le fluide d’une source de chaleur de température stationnaireT0, lorsqu’une unité de masse du fluide traverse la machine.
Dans toute la suite, on négligera les variations d’énergie cinétique et potentielle.
1. On note∆hla variation d’enthalpie massique du fluide à la traversée de la machine. Rappeler, sans l’établir, l’expression∆hen fonction dewuetq.
2. Quelle inégalité vérifie la variation∆sd’entropie massique du fluide à la traversée de la machine ? Dans quel cas devient elle une égalité ?
3. On considère maintenant une machine pouvant être traversée selon deux circuits différents, chacun étant pourvu d’une entrée et d’une sortie (l’échangeurEdu schéma précédent). On notemla masse de fluide traversant la machine pendant une durée∆tpar un des circuits etm0 la masse de fluide la traversant pendant la même durée∆tpar l’autre circuit. On désigne parWule travail reçu par l’ensemble du fluide de la machine et parQle transfert thermique reçu par l’ensemble du fluide d’une source de chaleur à la température stationnaireT0.
(a) On note∆het∆h0les variations d’enthalpie massique des massesmetm0de fluide traversant selon les deux circuits. Que devient la relation1?
(b) On note de même∆set∆s0les variations correspondantes d’entropie massique. Que devient l’inégalité2?
4. On donne l’expression de la variation d’entropie∆Sdenmoles d’un gaz parfait lors de la transforma- tion entre un état caractérisé par la pressionPiet la températureViet un état caractérisé parPfetVf:
∆S= nR γ−1
ln
Pf
Pi
+γln
Vf
Vi
, (1)
dans laquelleγdésigne le rapport des capacités thermiques massique à pression constante et à volume constant, considéré constant.
(a) On considère une transformation isentropique à partir d’un état de pressionPiet de température Ti. Établir l’expression de la pressionPfà l’issue de la transformation en fonction de la tempéra- ture finaleTf, dePiet deTi.
(b) On considère une compression adiabatique réversible de l’étatPi=50 bar;θi=0 °C à une tem- pératureθf =−100 °C. Quelle sera la pressionPfsi le gaz est parfait ?
(c) Déterminer, à partir des courbes de la figure 1 la pression obtenue lors d’une compression adia- batique réversible de N2des mêmes conditions (Pi, Ti) à la même températureTf. En déduire la valeur deγsi l’on suppose que le diazote se comporte lors de cette compression comme un gaz parfait. Commenter.
(d) Mêmes questions pour (Pi=200 bar;Ti=−90 °C) etθf =−140 °C.
Dans toute la suite, on ne suppose pas, sauf mention explicite du contraire, que le diazote est parfait.
II Transformation dans le compresseur C
On considère que la compression, isotherme, est effectuée de manière réversible.
1. Placer les points1et2sur le diagramme et en déduire leur enthalpie et entropie massiques.
2. Exprimer en fonction des coordonnées des différents points puis calculer numériquement le transfert thermiqueqCreçu par une unité de masse d’azote traversant le compresseur.
3. Exprimer en fonction des coordonnées des différents points puis calculer numériquement le travail que doit fournir le compresseurwuCpour comprimer une unité de masse d’azote.
4. Que vaudraientwuCetqCpour un gaz parfait ? Où la différence avec le gaz parfait est-elle la plus manifeste ?
III Transformation dans le détendeur D
Déterminer la nature de la transformation dans le détendeur. En déduire une relation entreh3eth4.
IV Séparation dans S
1. Placer les points5et6sur le diagramme et en déduire leur enthalpie et entropie massiques.
2. Vérifier la cohérence de ces valeurs en comparanth6−h5ets6−s5.
3. Exprimer la masseyd’azote liquide obtenu par kilogramme d’azote comprimé en fonction deh4, h5
eth6.
V Transformations dans l’échangeur thermique E
1. Quelle relation vérifienth1, h2, h3, h6ety?
2. En déduire l’expression en fonction des coordonnées des différents points, puis la valeur numérique, dey.
3. Placer les points3et4sur le diagramme et donner leur enthalpie et entropie massiques.
4. Calculer le travail à fournir pour liquéfier un kilogramme d’azote.
VI Utilisation en réfrigérateur
On modifie dans cette partie la machine de la manière suivante.
• les caractéristiques des points du cycle restent les mêmes ;
• on n’effectue plus de séparation du liquide et de la vapeur : le mélange reste dans l’état4;
• il n’y a plus d’échange thermique entre le fluide évoluant de 2 à 3 et celui évoluant de 4 à 1 ;
• la transformation de 2 à 3 se fait au contact d’une source de température notéeTc;
• la transformation de 4 à 1 est utilisé pour prélever de l’énergie thermique d’une source de température notéeTf;
1. Le but de la machine étant, comme pour une machine frigorifique, de prélever de l’énergie thermique lors de l’étape4→1, proposer une expression de son efficacité en fonction des enthalpies massiques des différents points et du travailwuC. Calculer sa valeur.
2. Comparer les températuresT3etTcd’une part etT1etTf d’autre part. Peut-on dire qu’on a réalisé une machine frigorifique ?
Fig. 1 : DiagrammeT, sde l’azote. Les courbes indicéesp=xxxsont des isobares dont l’indice indique la pression (en bar). Les courbes indicéesh=xxxsont des isenthalpiques dont l’indice indique l’enthalpie massique (en kJ.kg−1). Les symbolesL, L+GetGindiquent les domaines respectifs du liquide seul, du mélange liquide / gaz et du gaz seul.
Correction du problème 1
I Préliminaire
1. Il s’agit simplement du premier principe industriel.
2. On a de même∆s>Tq
0, avec égalité si et seulement si la transformation est réversible.
3. On applique le premier principe industriel séparément à chacun des fluides en écoulement permanent.
Chaque circuit reçoit du travail et du transfert thermique :
• de la machine,
• de l’autre fluide.
(a) Comme l’énergie qui est cédée par un un fluide à l’autre est entièrement cédée par l’autre, la somme du travail et du transfert thermique, la réunion des deux fluides ne reçoit globalement de travail et de transfert thermique que de la machine. Le premier principe industriel s’écrit finale- ment :
m∆h+m0∆h0=Wu+Q.
(b) On écrit directement le bilan d’entropie pour la réunion des deux fluides : S(t+ ∆t) +msf+m0s0f−
S(t) +msi+m0s0f
= Q T0
+ Sc
|{z}
>0
.
soit m∆s+m0∆s0> Q T0
.
4. (a) Sur une transformation isentropique,∆S= 0et on obtient la loi de Laplace : PfVfγ=PiViγ→Pf1−γTfγ=Pi1−γTiγ→Pf=Pi
Tf Ti
γ/(γ−1)
(2) (b) Pour une transformation adiabatique réversible, la compression est isentropique. On applique
donc la formule précédente.
(c) On suit l’isentropique verticale du point initial, situé sur le point de l’isobare 50 bar d’ordonnée θi = 0 °C, jusqu’à l’ordonnéeθf = −100 °C. On se trouve alors sur l’isobarePf =10 bar. On calcule alors :
γ= ln(Pf/pi)
ln(Pf/Pi)−ln(Tf/Ti)=1,40, (3) on retrouve bien la valeur de7/5attendue pour un gaz diatomique dans des conditions raison- nables de température.
5. Pour cette nouvelle compression, le calcul avec la formule du gaz parfait donnePf =65 bar. En re- vanche la lecture du diagramme conduit à une pression dePf <50 bar, significativement différente : on est trop près de la courbe de saturation pour que le modèle du gaz parfait soit applicable.
II Transformation dans le compresseur C
1. On représente les points1et2aux intersections de l’isothermeθ= 27◦C avec les isobaresP = 1,01et P= 200. On en déduit leur enthalpie et entropie massiques, rassemblées dans le tableau 1.
2. La transformation étant réversible et isotherme :q1→2=T2(s2−s1) =−492kJ.kg−1. 3. Selon les relations du préliminaire :wu,C= (h2−h1)−q1→2= 457kJ.kg−1.
4. Pour un gaz parfait, la deuxième loi de Joule pour un fluide en écoulement donne∆h=wuC+qC= 0 puisque la transformation est monotherme. On calcule d’abordqCsur cette transformation isotherme et réversible avec l’expression des variations deS:
qC=T1∆s= T1nR
m(γ−1) ln(Pf/Pi) +γln(Vf/Vi)
= T1R
M(γ−1) γln(Tf/Ti)−(γ−1)ln(Pf/Pi)
=−T1R
M ln(Pf/Pi) =−4,57·102kJ·kg−1 On calcule alors :
wuC=−qc=4,57·102kJ·kg−1.
On retrouve le même résultat, aux imprécisions de lecture près : le modèle du gaz parfait est satisfai- sant car on reste dans le domaine où la deuxième loi de Joule est vérifiée,ieoù les isenthalpes sont des isothermes. C’est pour des pressions encore plus hautes, qu’on pourrait observer une différence significative.
III Transformation dans le détendeur D
Le gaz ne reçoit ni travail utile ni transfert thermique, la transformation est donc isenthalpique. On en déduith3=h4.
IV Séparation dans S
1. Les points5et6sont respectivement les intersections de l’isobareP = 1,01bar horizontale (car c’est aussi une isotherme) sous la courbe de saturation, avec la courbe de saturation. On peut lire sa tempé- ratureTeq= 78K.
2. On vérifie qu’on a bienh6−h5=Teq(s6−s5).
3. En utilisant le théorème des moments :y=hh6−h4
6−h5.
V Transformations dans l’échangeur thermique E
1. L’enthalpie totale se conserve puisque l’échangeur ne reçoit ni travail utile, ni transfert thermique de l’extérieur. Par ailleurs, seulement une fraction1−ydu fluide est réinjecté sous forme de vapeur. Le bilan enthalpique s’écrit donc :
∆h= 0 = (h3−h2) + (1−y) (h1−h6).
2. Avec l’expression précédente deyet puisqueh3=h4, on détermineyselon : h2+ (1−y) (h6−h1) =h6(1−y) +yh5→y=h1−h2
h1−h5
= 8,1.10−2.
3. On place le point4à l’aide de la relation3, puis le point3, à l’intersection de l’isenthalpique passant par4et de l’isobareP =200 bar.
4. Par cycle, seule une fractionydu gaz admis est liquéfié, pour un travail massiquewu,C. Le travail pour liquéfier un kilogramme est donc :wu,Cy =5,64·103kJ·kg−1.
VI Utilisation en réfrigérateur
1. On prélève l’énergie thermique massiqueq4→1=h1−h4de la « source froide » en utilisant le travail massiquewuC: l’efficacitéeest donc :
e=h1−h4
wuC =0,54. (4)
2. Pour que le contact avec la source de chaleur entre2et3permette le refroidissement du fluide, on doit avoirθc6θ3=−110 °C. De même on doit avoirθf >θ1 =27 °C. La source « froide » est donc ici à une température supérieure à celle de la source « chaude ». On n’a pas ici une machine frigorifique utile puisque le bilan thermique est ici simplement un transfert de l’énergie de la source àθfvers la source àθc6θf : en effet le bilan énergétique du compresseur est quasiment nul. La mise en contact direct des deux sources conduirait au même bilan et le calcul du rendement proposé à la question précédente n’a que peu d’intérêt.
La seule utilité de cette machine est de contrôler la vitesse à laquelle s’effectue ce transfert d’une source à l’autre en contrôlant le débit de N2dans la machine.
1 2 3 4 5 6
h(kJ.kg−1) 515 480 265 265 83 280 s(J.kg−1.K−1) 3840 2200 1200 2260 -150 2440
Tab. 1 : Entropie et enthalpie massiques des différents points
(1) (2)
(3)
(4) (6) (5)
Fig. 2 : DiagrammeT, sde l’azote. Les courbes indicéesp=xxxsont des isobares dont l’indice indique la pression (en bar). Les courbes indicéesh=xxxsont des isenthalpiques dont l’indice indique l’enthalpie massique (en kJ.kg−1). Les symbolesL, L+GetGindiquent les domaines respectifs du liquide seul, du mélange liquide / gaz et du gaz seul.
