IX. Équations résolubles par radicaux

M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1

IX. Équations résolubles par radicaux

Exercice 1 On noteAffn le groupe des bijections affines deZ/nde la forme : fa,b : x7→ax+b, a∈(Z/n)^×, b∈Z/n

a) Montrer queAffn est résoluble.

b) SoientK un corps de caractéristique0eta∈K. Montrer que le groupe de Galois du polynômeXⁿ−asurKest isomorphe à un sous-groupe deAff_n (indication : le corps de décomposition deXⁿ−asur K est engendré par ζ, une racine primitive n−ème de l’unité, et θ une racine n−ième de a.

Siσ est dans le groupe de Galois, il existe a∈(Z/n)^×, b∈Z/n tels que : σ(ζ) =ζ^a,σ(θ) =ζ^bθ; considérer alors l’application :σ7→fa,b).

c) On suppose queK contient les racinesn−ièmes de l’unité. Montrer que si a∈K, le groupe de Galois deXⁿ−asurKest cyclique. Réciproquement si L/K est une extension galoisienne cyclique de degré n, alors il existe a∈K tel queL=K(√ⁿ

a).

d) Soit p un nombre premier. Montrer que si a ∈ K, le polynôme X^p−a admet une racine dansK ou est irréductible surK (indication soit xune racine de l’équation, considérerN_K(x)/K(x)). Dans ce dernier cas, montrer que l’extensionK(√^p

a)/K est galoisienne cyclique de degrép.

Exercice 2 (Caractérisation des équations résolubles par radicaux) Soient K un corps de caractéristique0 et Ωune clôture algébrique deK. On dit qu’un élément z ∈ Ω peut s’exprimer avec des radicaux (sous-entendu : irréductibles) s’il existe une suite de corps :

K=K0⊆K1⊆...⊆KN

tels quez∈KN et pour touti, Ki =K_i−1(^pi√

ai)pour certains nombres pre- mierspiet élémentsai∈K_i−1pour lesquels l’équationX^pi−aiest irréductible surKi−1.

a) Soitf(X)∈K[X]. Montrer que sif a une racine dansΩqui peut s’expri- mer avec des radicaux, alors le groupe de Galois def surKest résoluble.

b) Montrer par récurrence sur nque les racines n−ièmes de l’unité peuvent s’exprimer avec des radicaux surK.

c) Réciproque du a) : montrer que si le groupe de Galois def surKest réso- luble, alors toutes les racines def peuvent s’exprimer avec des radicaux.

On dit dans ce cas que l’équationf = 0 est résoluble par radicaux surK.

Exercice 3 (Un exemple d’extension par radicaux qui n’est pas normale)

a) Montrer que les extensionsQ(i√

2)/Q et Q(√⁴

2(1−i))/Q(i√

2) sont nor- males.

b) Montrer que l’extensionQ(√⁴

2(1−i))/Qn’est pas normale.

Exercice 4 (Les sous-groupes transitifs et résolubles de S_p,p premier) Soitpun nombre premier.

a) Vérifier que Affp peut s’identifier à un sous-groupe transitif de Sp et plus précisément au normalisateur deh(12...p)i.

b) Vérifier que siσ∈Aff_pfixe deux éléments de{1, ..., p}, alorsσest l’identité.

c) Montrer que tout sous-groupe transitif et résoluble de S_p est conjugué à un sous-groupe deAff_p.

d) Déduire des questions précédentes que si f est un polynôme irréductible surQde degrép, alors sont équivalentes :

2

i) l’équationf = 0 est résoluble par radicaux surQ.

ii) Six1, x2sont des racines distinctes quelconques def, alorsQ(x1, x2) contient toutes les racines def.

e) Montrer que sif est un polynôme irréductible surQavec une racine réelle qui peut s’exprimer avec des radicaux, alorsf a toutes ses racines réelles ou une seule racine réelle.