PCSI 2 Bases de la dynamique
2021 – 2022 1/3
BASES DE LA DYNAMIQUE
I Un anneau M de masse m peut glisser sans frottement sur une tige.
Cette tige tourne à vitesse angulaire constante 𝜔 = 𝜃̇ dans un plan horizontal autour d'un axe vertical Oz.
A l'instant initial t = 0, l'anneau est immobile en r = a et la tige est confondue avec l'axe Ox du repère.
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
2) En déduire la loi r(t).
3) Décrire le mouvement de l'anneau dans le repère fixe : x(t), y(t).
4) Déterminer la réaction 𝑅&⃗ de la tige sur l'anneau.
Réponse : 𝑅&⃗ + 𝑚𝑔⃗ = 𝑚[(𝑟̈ − 𝑟𝜔!)𝚤⃗ + 2𝜔𝑥̇𝚥⃗] ; r = a chwt ; 𝑅&⃗ = 2𝑚𝑎𝜔!𝑠ℎ𝜔𝑡𝚥⃗ + 𝑚𝑔𝑘&⃗.
II Viscosimètre à chute de bille
Une bille sphérique, de masse volumique µB et de rayon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique µ et de viscosité h. On note g l’accélération de la pesanteur.
En plus du poids et de la poussée d’Archimède, on tient compte de la force de viscosité exercée par le fluide sur la bille, opposée au déplacement et de norme : 6 p h R v où v est la vitesse de la bille.
1) Écrire l’équation différentielle vectorielle vérifiée par le vecteur vitesse de la bille.
2) Montrer qualitativement que la vitesse tend vers une valeur limite notée 𝑣".
3) On suppose que la bille atteint très rapidement cette vitesse limite. On mesure la durée, Dt, nécessaire pour que la bille parcoure une distance H donnée. Établir la relation entre Dt, g, H, R, µB, µ et h.
4) Montrer que l’expression de la viscosité peut se mettre sous la forme : h = K (µB – µ) Dt. Exprimer la constante d’étalonnage K.
5) La durée totale de chute de la bille est de 83 s. Calculer la viscosité du fluide.
AN : K = 14.10-8 SI ; µB = 7880 kg.m-3 ; µ = 912 kg.m-3. Réponse : 𝐾 =!#$%&!.
III Pendule en rotation
Un enfant fait tourner un pendule constitué d’une ficelle de longueur L et de faible masse fixée en O1 à laquelle est attachée un caillou de masse m de manière à ce que le caillou effectue un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire w dans le plan xOy. Le fil O1M garde un angle a constant par rapport à la verticale ascendante Oz au cours du mouvement.
1) Écrire le principe fondamental de la mécanique et le projeter dans le système de coordonnées approprié.
2) En déduire une relation entre w, L, a et la norme du champ de pesanteur g.
Monter que la vitesse angulaire w est forcément supérieure à une certaine valeur w0.
3) Interpréter le cas où w devient très importante.
4) Calculer la valeur de a en degrés pour une longueur de ficelle L = 20 cm, et un caillou faisant 3,0 tours par seconde dans le champ de pesanteur g = 9,8 m.s-2.
Réponse : 𝜔!='()*+# ; a = 82°.
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IV Freinage.
Toute démarche pertinente, même non achevée, fera l’objet d’attribution de points.
Les causes d’accidents sont nombreuses et variées. Afin d’incriminer ou non un éventuel excès de vitesse lors de la sortie de route liée à un dépassement incontrôlé et décrite sur la photographie (figure 1), on vous demande de déterminer l’expression littérale, puis numérique de la vitesse du véhicule en début de la phase de freinage. Toutes données pertinentes et nécessaires à la résolution de cette question pourront être introduites par le candidat.
Figure 1 – Sortie de route Les éléments légaux de marquage au sol sont représentés sur la figure 2.
Figure 2 – Législation de marquage au sol
On rappelle qu’en cas de glissement, la réaction du sol sur les pneumatiques est décrite par la loi de Coulomb, à savoir : 𝑅&⃗ = 𝑇&⃗ + 𝑁&&⃗ , avec en module : T = f N.
𝑇&⃗ et 𝑁&&⃗ sont respectivement les composantes tangentielle et normale de la force de réaction 𝑅&⃗ exercée par le support, f est le coefficient de frottement solide entre les pneumatiques et le revêtement de la chaussée. Par temps sec, on a : f = 0,8.
Réponse : vitesse en début de freinage 𝑣,= @2𝑓𝑔𝑑 où d est la distance d’arrêt.
V Quand te reverrai-je ? Pays merveilleux, où ceux qui s’aiment vivent à deux …
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente, faisant l’angle a avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme 𝐹⃗ = −𝜆𝑣⃗, où l est un coefficient constant positif et 𝑣⃗ la vitesse du skieur.
On note 𝑇&⃗ et 𝑁&&⃗ les composantes tangentielle et normale de la force de frottement exercée par la neige et f le coefficient de frottement solide tel que T = f.N.
On choisit comme origine de l’axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale à la piste dirigée vers le haut.
1) Calculer 𝑇&⃗ et 𝑁&&⃗.
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2) Calculer la vitesse 𝑣⃗ et la position x du skieur à chaque instant.
3)
a) Montrer que le skieur atteint une vitesse limite 𝑣⃗- et calculer 𝑣⃗ en fonction 𝑣⃗-.
b) Application numérique : calculer vl avec l = 1,0 SI, f = 0,9, g = 10 m.s-2, m = 80 kg et a = 45°.
4) Calculer littéralement et numériquement la date t1 où le skieur a une vitesse égale à vl/2.
5) A la date t1, le skieur tombe. On néglige alors la résistance de l’air, et on considère que le coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par le skieur avant de s’arrêter.
Réponse : N = mgcosa ; 𝑣⃗ = 𝑣⃗-E1 − 𝑒.//1H avec t = m/l et vl = tg(sina – f cosa) ; t1 = tLn2 ; 7,1 m.
VI Toboggan
Une personne participant à un jeu télévisé doit laisser glisser un paquet sur un toboggan, à partir du point A de manière à ce qu’il soit réceptionné, au point B, par un chariot se déplaçant le long de l’axe Ox. On néglige les frottements de l’air. Le toboggan exerce sur le paquet non seulement une réaction normale 𝑅&⃗2
mais aussi une réaction tangentielle 𝑅&⃗3 (frottement solide) telle que RT = f.RN avec f = 0,5.
Le chariot part du point C0 à l’instant t = 0 vers la gauche avec une vitesse vC = 0,5 m.s-1. Arrivé en CB, il s’arrête pendant un intervalle de temps dt = 1 s.
La hauteur du toboggan est h = 4,0 m, la distance d est égale à h et C0CB = 2,0 m. La masse du paquet est m = 10 kg et g = 9,8 m.s-2.
1) On pose X = AP où P est la position du paquet à l’instant t. Déterminer X(t) en prenant tA = 0.
En déduire le temps mis par le paquet pour arriver en B.
2) A quel instant le joueur doit-il lâcher le paquet, sans vitesse initiale, pour qu’il tombe dans le chariot ?
Réponse : 1,8 s ; entre 2,2 et 3,2 s.
