2 Positions relatives de droites et de plans dans l'espace.
Plans strictement parallèles
Exemple : le plafond et le sol de la salle de classe sont des plans strictement parallèles.
Plans parallèles et confondus
Plans sécants
On imagine que l'on ouvre la porte de la salle de classe.
Droite et plan strictement parallèles
Droite et plan parallèles : cas où la droite est incluse dans le plan
Droites et plan sécants
A
La droite et le plan se coupent en un point appelé A.
Droites coplanaires ( incluses dans un même plan ).
Droites sécantes
Droites strictement parallèles
Droites confondues
Droites non coplanaires d
d'
La droite d coupe le plan autre part que là où passe la droite d'. On peut imaginer la chaise…
3 Parallélisme
P
Q Ce dessin illustre le théorème 2
Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan Q alors les plans P et Q sont parallèles.
Théorème du toit
∆∆∆∆
D ' D
Si deux droites parallèles D et D' sont incluses respectivement dans deux plans P et P ' sécants selon une droite
∆, alors la droite ∆ est parallèle aux droites d et d'.
4 Orthogonalité dans l'espace.
Théorème 10 D D'
P
D // D '
D ' // P D ⊥ P
Et D ⊥ P
D // D ' D ' ⊥ P
5 Sections planes.
ABCD est un tétraèdre. M, N et P sont trois points appartenant aux arêtes [ AC ] , [ AD ] et [ BC ].
On suppose que les droites ( MN ) et ( CD ) ne sont pas parallèles.
Traçons en rouge la section du tétraèdre par le plan ( MNP ) et justifions la construction.
M ∈ [ AC ] donc M appartient aux plans ( ABC ) et ( MNP ).
P ∈ [ BC ] donc P appartient aux plans ( ABC ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( ABC ) suivant le segment [ MP ].
M ∈ [ AC ] donc M appartient aux plans ( ACD ) et ( MNP ).
N ∈ [ AD ] donc N appartient aux plans ( ACD ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( ACD ) suivant le segment [ MN ].
Les droites ( MN ) et ( CD ) sont dans le plan ( ACD ) et ne sont pas parallèles.
Donc elles se coupent en un point appelé Q.
P ∈ [ BC ] donc P appartient aux plans ( BCD ) et ( MNP ).
Q ∈ ( CD ) donc Q appartient aux plans ( BCD ) et ( MNP ).
Donc la droite ( PQ ) est incluse dans les plans ( BCD ) et ( MNP ).
Notons R le point d'intersection des droites ( PQ ) et ( BD ).
P ∈ [ BC ] donc P appartient aux plans ( BCD ) et ( MNP ).
R ∈ [ BD ] donc R appartient aux plans ( BCD ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( BCD ) suivant le segment [ PR ].
N ∈ [ AD ] donc N appartient aux plans ( ABD ) et ( MNP ).
R ∈ [ BD ] donc R appartient aux plans ( ABD ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( ABD ) suivant le segment [ NR ].
Ainsi la section du tétraèdre ABCD par le plan ( MNP ) est le quadrilatère MNRP.
6 Vecteurs coplanaires.
ABCDEFGH est un cube.
I est le centre du carré ABCD.
J est le centre du carré EFGH.
ÄAB = ÄEF . ÄEJ = 1
2 ÄEG ÄEJ = 1
2 ( ÄEF + ÄFG ) ÄEJ = 1
2 ÄAB + 1 2 ÄFG
Donc les vecteurs ÄAB , ÄFG et ÄEJ sont coplanaires.
ÄDH = ÄAE .
Le point C n'appartient pas au plan ( ABFE ).
Donc les vecteurs ÄEF , ÄDH et ÄBC ne sont pas coplanaires.
