UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2017
D. Piau, L. Coquille M1 – MAT414
Processus stochastiques – Feuille d’exercices 2 Temps d’arrêt et marche aléatoire simple sur Z
1 Temps d’arrêt
Soit T, T1, T2 des temps d’arrêt et k∈N. On note a∨b= max{a, b}eta∧b= min{a, b}.
Montrer que :
1. T∧kest un temps d’arrêt.
2. T1+T2,T1∨T2, etT1∧T2 sont des temps d’arrêt.
2 Tribu des événements antérieurs à T
SoitT un temps d’arrêt pour une filtration(Fn)n↑ F. On définit la tribu des événements antérieurs à T ainsi :
FT :={A∈ F :A∩ {T ≤n} ∈ Fn∀n≥1}
Montrer que :
1. FT ⊂ F est une tribu.
2. T est FT-mesurable.
3. Si T1 ≤T2, alors FT1 ⊂ FT2
3 Espérance conditionnelle et temps d’arrêt
Question 3.1. SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN, positive ou nulle, soitXn= inf{X, n}, et(Fn)n la filtration canonique de(Xn)n.
1. CalculerE(Xn+1|Fn).
2. On noteT = inf{n:Xn=Xn−1}. Montrer queT est un(Fn)-temps d’arrêt, puis calculerT en fonction deX.
Question 3.2. Soit T un temps d’arrêt presque sûrement fini pour une filtration (Fn)n, et X une variable aléatoire intégrable. Montrer que E(X|FT) =P
n≥0E(X|Fn)1T=n.
4 Homogénéité spatiale et propriété de Markov de la marche aléatoire
On considère la marche aléatoire simple unidimensionnelle
Sn=
n
X
i=1
Xi
avec S0=aet(Xi)i≥1 une famille i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli :
P(Xi= +1) =p, P(Xi =−1) =q, p+q= 1.
On notePa la loi de Sn, etF = (Fn)n la filtration naturelle associée, i.e.
Fn=σ(S1, . . . , Sn) =σ(X1, . . . , Xn).
Question 4.1. (Homogénéité spatiale) Montrer que pour touta∈Z,
Pa(S0 =s0, . . . , Sn=sn) =P0(S0 =s0−a, . . . , Sn=sn−a).
Question 4.2. (Propriété de Markov)
SoitB ∈ Fn. Montrer que pour touts∈Ztel que Pa({Sn=s} ∩B)>0on a
Pa((Sn, . . . , SN)∈A|{Sn=s} ∩B) =Ps((S0, . . . , SN−n)∈A) pour tout ensembleA de trajectoires de longueurN > n.
Question 4.3. (Propriété de Markov forte)
Soit T un temps d’arrêt presque sûrement fini pour la filtration F. Montrer que le processus ( ˜Sn)n≥0
défini parS˜n=ST+n−ST est une marche aléatoire sur Z, de loiP0, indépendante deFT.
5 Récurrence/transience de la marche aléatoire simple sur Z
On note
τ0 = inf{n≥1 :Sn= 0}
gn=P0(Sn= 0) hn=P0(τ0=n) Les fonctions génératrices correspondantes sont
G(s) =
∞
X
n=0
gnsn, H(s) =
∞
X
n=1
hnsn.
Noter que τ0 peut être défective (P(τ0 =∞)>0), auquel casH(1) =P0(τ0 <∞)<1.
Question 5.1. Calculer gn puis montrer que 1. G(s) = 1 +G(s)H(s).
2. G(s) = (1−4pqs2)−1/2. 3. H(s) = 1−(1−4pqs2)1/2.
Indication : Utiliser la formule du binôme de Newton généralisée poura∈Ret|x|<1 :
(1 +x)a=X
n≥0
a n
xn où a
n
= a(a−1). . .(a−n+ 1)
n! .
La marche aléatoire est dite récurrente si le retour à son point de départ est (presque) certain ; sinon elle est ditetransiente. On dit qu’elle estrécurrente-nulle si elle est récurrente et que l’espérance de temps de retour est infinie, et récurrente-positive si cette espérance est finie. Nous allons montrer que la marche aléatoire simple unidimensionnelle est récurrente-nulle si p = 12 et transiente dans les autres cas.
Question 5.2. Montrer que la probabilité que la marche retourne au moins une fois à l’origine égale
P0(τ0 <∞) = 1− |p−q|.
Dans le cas où cela est certain, i.e. lorsque p= q = 12, montrer que l’espérance du temps de premier retour est infinie,
E0(τ0) =∞.
Question 5.3. Soit b ∈ N et τb = inf{n ≥ 1 : Sn = b} le temps du premier passage en b. Notons hb(n) =P0(τb=n) etHb(s) =P∞
n=1hb(n)sn la fonction génératrice associée.
1. Pourb≥2 exprimerhb en fonction dehb−1 eth1. En déduire que Hb(s) = [H1(s)]b.
2. En conditionnant sur la direction de premier pas, montrer que h1(n) =qh2(n−1)pour n >1.
3. En déduire une équation quadratique pourH1(s). Montrer que
H1(s) = 1−p
1−4pqs2
2qs .
4. Trouver Hb(s) pourb≤ −1.
Question 5.4. (Contre-exemple à l’identité de Wald) SoitT = inf{n≥0 :Sn= 1}.
1. Montrer queE0(ST)6=E0(T)E0(X1).
2. Montrer queT n’est pas intégrable (en utilisant la question précédente ou par combinatoire).
