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Mathématique, 5e sec.

Exercices complémentaires

Guide

Introduction aux vecteurs

Mat 5110

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Guide Page 1

1- CONTENU

Exercices complémentaires Introduction aux vecteurs Référence à l'épreuve :

Fichier : R:\BIM90\PERS\068536W\VECTEURS.E01

Question Item Objectif 1 0558 GEO.01.02 2 0608 GEO.01 3 0632 GEO.01.02 4 0485 GEO.01.03 5 0615 GEO.01.02 6 0534 GEO.01.03 7 0510 GEO.01.03 8 0559 GEO.01.03 9 0515 GEO.01.02 10 0587 GEO.01.02 11 0543 GEO.01.02 12 0582 GEO.01 13 0659 GEO.01.02 14 0575 GEO.01.06 15 0523 GEO.01.06 16 0598 GEO.01 17 0624 GEO.01 18 0673 GEO.01 19 0549 GEO.01 20 0500 GEO.01 21 0646 GEO.01 22 0499 GEO.01.02 H T C Ind. d Ind. F Ind. 1 Ind. 2 Dimension C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A C F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A C F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A C M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Légende

H : Habiletés A : Maîtrise de l'application C : Maîtrise des concepts

P : Maîtrise de la résolution de problèmes T : Types d'item A : Appariement

C : Réponse courte E : Réponse élaborée I : Illustration ou texte M : Choix multiple T : Tâche évaluative C : Complexités F : Facile

M : Moyen D : Difficile Ind. d : Indice de discrimination Ind. F : Indice de facilité Ind. 1 : Indice 1

Ind. 2 : Indice 2 Dimension : Dimension

%CE

%

(3)

Guide Page 2

2- CLÉ DE CORRECTION

A D C D

Les composantes du vecteur v sont (2, 4).

D B D

Le produit scalaire des vecteurs u et v est 16.

Le produit scalaire des vecteurs u et v est -75.

%CE

%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(4)

Guide Page 3

Exemple d'une démarche appropriée Soit ^u = (5, 2) et ^v = (2, 3) Produit scalaire

v

u  = (5, 2) • (2, 3)

v

u  = 5  2 + 2  3

v u  = 16 Norme des vecteurs

385 , 5 29 2

5²  ²  

 u

606 , 3 13 3

2²  ²  

 u

Angle entre ^u et ^v

θ cos v u v u  

13 29 θ 16

cos  

 u v v u

cos   0,824 04   34,51

Résultat L'angle entre ces vecteurs mesure 34,51.

B D

%CE

%

11

12 13

(5)

Guide Page 4

Exemple d'une démarche appropriée Hypothèses :

1. ABCDEF est un hexagone régulier 2. AB = a

BC = b

Conclusion : ÂB^ ÂC^ ^DE ^ ÊF^â

B C

D A

F E

-a a

-b b

Affirmations Justifications

1. a) AC AB BC

b) ^AC ^a  ^b

1. a) Relation de Chasles b) Par substitution 2. a) ^DE ^ ^-^AB

b) ^DE ^ ^-^a

2. a) DE et AB sont des vecteurs opposés par définition d'un hexagone régulier.

b) Par substitution 3. a) EF  -BC

b) EF  -b

3. a) _EF et BC sont des vecteurs opposés par définition d'un polygone régulier.

b) Par substitution 4. ÂB^ ÂC ^ ^DE ^ ÊF^

a b - a - b a

a     

4. Addition vectorielle

%CE

%

14

(6)

Guide Page 5

Exemple d'une démarche appropriée



^AB ^BC



₂¹^AC

2 BC 1 2 AB 1 2 BN 1 MB

MN       



^AD ^DC



₂¹^AC

2 DC 1 2 AD 1 2 DO 1 PD

PO       

Les vecteurs MN et PO sont donc parallèles et de même longueur.

Le quadrilatère MNOP est donc un parallélogramme.

GE GF FE AC

CB     à démontrer

1. ^GA ^ ^AC ^ ^FE ^ ^DE ^ ^GE

par substitution car ^CB ^ ^GA et ^GF ^ ^DE 2. GA  AC EF DE  GE

car EF est le vecteur opposé à FE

3. GA  AC  CD  DE  GE

par substitution car EF  CD

4. GC  CE  GE

d'après la loi de Chasles GA  AC  GC et CD  DE  CE

5. GE  GE

d'après la loi de Chasles GC  CE  GE

%CE

%

15

16

(7)

Guide Page 6

BC AB

AC   relation de Chasles

CD BC

BD   relation de Chasles Produit scalaire

BD

AC  =



^AB ^ ^BC

 

^ ^BC ^ ^CD



=



^AB ^ ^BC

 

^ ^BC ^ ^AB



car CD  -AB définition d'un losange

= AB  BC  AB²  BC ²  BC  AB distributivité

= -AB²  BC²

= - ^AB ² ^ ^BC ² définition du produit scalaire

= c²  c² c = longueur d'un côté du losange

= 0

Puisque AC  BD  0, AC  BD Théorème du produit scalaire

%CE

%

17

(8)

Guide Page 7

Exemple d’une démarche appropriée Composantes du vecteur AB

AB = (400  150, 200  125) = (250, 75) Composantes du vecteur manquant

AB

? 

 v

 v

 AB

?

? = (250, 75)  (20, -15)

? = (250  20, 75 + 15)

? = (230, 90)

v

AB A ?

B

Orientation du vecteur manquant tan  =

230 90

  21,37

?

230 km

90 km



Résultat Au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B est de 21.

Notes Ne pas pénaliser l’élève qui n’a pas arrondi le résultat final ou qui a fait une erreur en l’arrondissant.

L’élève qui utilise une stratégie pertinente pour déterminer les composantes du vecteur manquant montre une compréhension partielle du problème.

%CE

%

18

(9)

Guide Page 8

Exemple d'une démarche appropriée Mesure de l'angle A

m A = 180  80 = 100

car deux angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires.

Force résultante (grandeur)

2

Frés = 50² + 100²  2(50)(100) cos 100

Frés  119,3N

A Frés

100

40 50 N

100 N



120

Orientation de la force résultante

50 θ sin 3

, 119

100 sin  

sin θ  0,412 74 θ  24,38

L'orientation est de 24,38 + 40, soit environ 64,38.

Résultat Claude appliquera une force de 119,3N avec une orientation de 64,38.

%CE

%

19

(10)

Guide Page 9

Exemple d'une démarche appropriée Soit

 

^x, ^y le vecteur vent



¹⁰⁰^,¹⁵⁰

   

^ ^x^, ^y ^ ¹²⁰^,¹⁶⁰





¹⁰⁰ ^ ^x^,¹⁵⁰ ^ ^y

 

^ ¹²⁰^,¹⁶⁰



d’où

100 + x = 120 et x = 20 150 + y = 160 et y = 10 Alors

  

^x^, ^y ^ ²⁰^,¹⁰



Vitesse du vent



²⁰^,¹⁰



 ²⁰²¹⁰²  ²²^,³⁶

(km)y

x (km) 100

Ville A 100 avec vent sans vent

Résultat La vitesse du vent est de 22,36 km/h.

Exemple d'une démarche appropriée Soit u le vecteur résultant

Norme du vecteur résultant

u 2 = 8² + 50²  2  8  50  cos 45

u 2  1998,31

u  44,7 Direction

θ sin

8 45

sin 7 ,

44 

 sin  = 0,1266

 = 7,3

270 - 7,3 = 262,7

d

v u

θ

%CE

%

20

21

(11)

Guide Page 10

Résultat La vitesse réelle de la montgolfière est 44,7 km/h dans une direction de 262,7.

%CE

%

(12)

Guide Page 11

Exemple d'une démarche appropriée Traçons le vecteur w.

Puisque les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires,

180  60 = 120

Calculons la norme.

2

2 u 3v

w  

2 

w 1² + 3²  2(1)(3) cos 120

2  w 13

6 , 3 13 

 w

60

u v

w 120



Résultat La norme du vecteur w est de 3,6 unités.

%CE

%

22

(13)

%CE

%

(14)

Mathématique, 5e sec.

Exercices complémentaires

Questionnaire

Introduction aux vecteurs

Mat 5110

(15)

Questionnaire Page 1

Soit le prisme droit à base rectangulaire ci-contre.

A B

D C

E F

H

G

Quel vecteur est égal à la résultante de l'expression _AD + _HE + _AE?

A) _DH C) _FB

B) BE D) BC

%CE

%

1

(16)

Soit u , v et w , trois vecteurs.

v = (-2, -3)

u et w sont représentés dans le plan cartésien suivant :

x y

u 

w 

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est VRAIE?

A) v et -u sont des vecteurs opposés.

B) u et v sont des vecteurs équipollents.

C) w et (v + w ) sont perpendiculaires.

D) u et 3v sont colinéaires.

%CE

%

2

(17)

Soit le parallélogramme PQRS

Q

P S

R

Laquelle des propositions suivantes est FAUSSE?

A) ^PQ ^ ^QR ^ ^PR

B) RP SP  RS

C) ^PS^ ^SR ^ ^RP D) SQ  QR  RS  O

%CE

%

3

(18)

Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme et M est le point de rencontre de ses diagonales.

Antoine fait les affirmations ci-dessous sur les opérations vectorielles :

S

R

T

U M

1) ^ST ^ ^SR ^ ²^MU 2) ^UT ^ ^UR ^ ²^SM 3) ^RS^ ^RU ^ ^RT

4) ^MT ^ ^MR ^ ^MS ^ ^MU ^⁰ 5) ^SR ^ ^ST ^ ^RT

Lesquelles de ces affirmations sont vraies?

A) 1, 2 et 3 seulement C) 2, 4 et 5 seulement

B) 1, 2 et 5 seulement D) 1, 3 et 4 seulement

%CE

%

4

(19)

Soit u  ⁹^, ² et ^v  ^a^, ^b, deux vecteurs qui constituent une base vectorielle.

Le vecteur w = (24, 16) peut être exprimé par la combinaison linéaire suivante : w  2u  3v

.

Quelles sont les composantes du vecteur v?

%CE

%

5

(20)

Soit u et v, deux vecteurs non nuls.

Lequel des énoncés suivants est FAUX?

A) ^u ^^v ^ ^v ^^u C) ²



^u ^ ^v



^ ²^u ^ ²^v

B) ²û ^³^v ^ ⁶^v ^ û D) ²û ^ ³^v ^ ³û ^ ²^v

%CE

%

6

(21)

En tenant compte des éléments ci-dessous,

a et b sont des vecteurs non nuls du plan

b a 

k est un scalaire non nul k  1

Lequel des énoncés suivants est vrai?

A) k(a  b)  ka  kb

B) k(a  b)  ka  kb

C) si a  b  0 alors a et b sont colinéaires D) si a = kb alors a et b sont non colinéaires

%CE

%

7

(22)

Pour construire les pyramides, les Égyptiens utilisaient un système de poulie très ingénieux afin de transporter les blocs de pierre. Ils appliquaient une force orientée de 26 sur les blocs de pierre afin de minimiser le travail nécessaire à leur déplacement. (Le travail (Nm) est défini comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement.)

26

200 m 1500 N

Quel travail, arrondi au Nm le plus près, est nécessaire pour déplacer un bloc de pierre horizontalement, sur une distance de 200 m, si on lui applique une force de 1500 N orientée de 26?

A) 131 511 Nm C) 228 768 Nm

B) 194 076 Nm D) 269 638 Nm

%CE

%

8

(23)

Soit les vecteurs u et v définis ci-dessous.

 AB

u où A(-2, 3) et B(6, 7)

4) - , 4

 ( v

Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v?

%CE

%

9

(24)

Les vecteurs u et v sont représentés dans le plan cartésien ci-dessous.

 AB

u où A(3, 4) et B(8, 14)

 CD

v où C(8, 1) et D(5, -5)

x y

•

A

B

C

D

u

v Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v?

%CE

%

10

(25)

Soit u et v, deux vecteurs représentés dans le plan cartésien ci-dessous.

u  v 

1

1 y

x

Quelle est la mesure de l'angle, au centième près, entre ces vecteurs?

Laissez les traces de votre démarche.

%CE

%

11

(26)

Soit le prisme droit ci-contre. H G

E F

D

A B

C

Laquelle de ces affirmations est FAUSSE?

A) ^BC ^ ^GF ^ ⁰ C) ^AB^ ^AD ^ ⁰

B) ÂB^ ^FE ^ ⁰ D) ÊH ^ ^HF ^ ^FG ^ ÊG ^ ⁰

%CE

%

12

(27)

Considérons le rectangle ABCD illustré ci-dessous.

A B

D C

Lequel des énoncés suivants est vrai?

A) DAABAC C) _ABBCDCCB

B) _AB^BC^ÂC D) _ABÂD^ÂBBC

%CE

%

13

(28)

Soit l'hexagone régulier illustré ci-contre où _AB = a

et BC = b.

B C

D A

F E Démontrez l'identité suivante : ÂB^ ÂC^ ^DE ^ ÊF^ â Laissez les traces de votre démarche.

%CE

%

14

(29)

Dans le quadrilatère ABCD représenté ci-dessous, les points M, N, O et P sont les points milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA.

A

B

C

D

M N

O P

Soit la proposition suivante : les milieux des côtés de tout quadrilatère sont les sommets d'un parallélogramme.

À l'aide de la figure ci-dessus, démontrez cette proposition.

%CE

%

15

(30)

Dans le polygone ci-dessous, ABCDG est un carré.

D et G sont respectivement les points milieu des côtés CG et AF. De plus, le côté AB est parallèle au côté EF.

A

B C

D E

G F

À l'aide des propriétés des vecteurs, montrez que CB  AC  FE  GF  GE. Laissez les traces de votre démarche.

%CE

%

16

(31)

Soit le losange ABCD ci-contre.

À l'aide des vecteurs, démontrez la proposition suivante :

« Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. »

A

B

C

D Laissez les traces de votre démarche.

%CE

%

17

(32)

Un avion quitte l’aéroport A et doit se rendre à l’aéroport B. Dans le plan cartésien ci-contre, ces aéroports sont représentés respectivement par les points A et B. Ce plan est gradué en kilomètres.

Durant le vol, l’avion est soumis à un vent constant. Ce vent est représenté par le vecteur

v = (20, -15). A (150, 125)

B (400, 200)

x

y S

N E O

Le pilote oriente donc l’avion de manière à annuler l’effet du vent.

Quelle est, au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B?

%CE

%

18

(33)

Pierre et Marie tirent sur un objet. Ils appliquent respectivement des forces de 100N et 50N, avec des orientations différentes, soit 40 et 120. La situation est représentée ci-dessous.

40 50 N

100 N 120

Claude leur propose de les remplacer.

Quelle force Claude doit-il appliquer pour produire le même effet sur l'objet (grandeur et orientation)?

%CE

%

19

(34)

Un bimoteur se déplace d’une ville A à une ville B.

Dans un plan cartésien graduée en kilomètre, la ville A est située à l’origine et la ville B, au point (100, 150).

S’il n’y a pas de vent, le vol entre les villes A et B dure une heure.

Mais malheureusement, il y a du vent. Si le pilote du bimoteur ne corrige pas sa direction, il se retrouvera au point (120, 160) après une heure de vol.

Quelle est la vitesse du vent?

%CE

%

20

(35)

Un dirigeable se dirige vers le sud à une vitesse de 50 km/h. Il est dévié par un vent de 8 km/h provenant du sud-est.

Quelle est la vitesse réelle du dirigeable et quelle est sa direction, si cette direction est celle de la résultante?

N

S

E O

N-E

S-E S-O

N-O

%CE

%

21

(36)

Deux vecteurs unitaires u et v forment un angle de 60 l’un par rapport à l’autre.

Quelle est la norme du vecteur w si ^w ^^u ^ ³^v? Laissez les traces de votre démarche.

60  v

u



%CE

%

22

(37)

%CE

%

(38)

Mathématique, 5e sec.

Exercices complémentaires

Cahier de réponses

Introduction aux vecteurs

Nom de l'élève

Groupe Date

Mat 5110

(39)

Cahier de réponses Page 1

[A] [B] [C] [D]

Les composantes du vecteur v sont ______________________________________.

[A] [B] [C] [D]

Le produit scalaire des vecteurs u et v est __________.

Démarche

Résultat L'angle entre ces vecteurs mesure ____________.

[A] [B] [C] [D]

%CE

%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

(40)

Démarche Hypothèses :

1. ABCDEF est un hexagone régulier

2. _AB = a

BC = b

Conclusion : ÂB^ ÂC^ ^DE ^ ÊF^â.

B C

D A

F E

Affirmations Justifications

%CE

%

14

(41)

Démarche

Montrez que

GE GF FE AC

CB    

A

B C

D E

G F

%CE

%

15

16

(42)

Démonstration

A

B

C

D

%CE

%

17

(43)

Démarche

A (150, 125)

B (400, 200)

x

y S

N O E

Résultat Au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B est de __________ .

%CE

%

18

(44)

Démarche

40 50 N

100 N 120

Résultat Claude doit appliquer une force de ______ N avec une orientation de ______.

%CE

%

19

(45)

Démarche

(km)y

x (km) 100

Ville A 100

Résultat La vitesse du vent est de _______________ km/h.

%CE

%

20

(46)

Démarche

Résultat La vitesse réelle du dirigeable est __________ km/h.

dans une direction de __________°.

%CE

%

21

(47)

Démarche

60  v

u



Résultat La norme du vecteur w est de _______________ unités.

%CE

%

22