Chapitre 2
Les Édifices Ordonnées : Les
cristaux
FIGURE2.1: L’obsidienne est un matériau amorphe, il se brise le long de lignes courbes.
L’obsidienne est produite lorsque la foudre frappe du sable, ce qui fait rapidement pas- ser le sable sous forme de liquide, qui se re- froidit ensuite très rapidement.
Dans ce chapitre nous étudions deux grandes familles de solides : les solides amorphes et les solides cristallins. Ces deux types de solides se dis- tinguent par certaines de leurs propriétés à l’échelle macroscopique, cepen- dant c’est véritablement l’agencement miscroscopique de leurs constituants qui les distingue : les atomes d’un solide cristallin sont ordonnés, alors que les atomes d’un solide amorphe sont désordonnés.
Dans ce chapitre nous présentons ces deux types de solide à l’échelle macroscopique, puis étudions en détails la structure microscopique des cristaux.
1
Les différents types de solides
1.1
Les solides amorphes
Les solides amorphes sont les solides tels que le verre, ou l’obsidienne, (voir figure2.1. Les atomes des matériaux amorphes sont désordonnés car ils sont obtenus suite au refroidissement très rapide d’un liquide, ce qui ne donne pas assez de temps aux atomes pour s’ordonner. Un solide amorphe, c’est un fluide figé, sans ordre de position au delà de l’échelle moléculaire.
Cet agencement désordonné des constituants à l’échelle microscopique se répercute sur les propriétés macroscopiques des solides amorphes, par exemple ils se brisent le long de lignes courbes.
Nous n’approfondirons pas l’étude des solides amorphes dans le cadre de ce cours.
1.2
Un cristal : Le chlorure de sodium
FIGURE2.2: Échantillon de chlorure de so- dium NaCl (aussi utilisé comme sel de table), mines de sel de Wieliczka, en Pologne. Ce so- lide se rompt le long de facettes bien planes.
CR É D I T SPH O T O:Didier Descouens
Les cristaux vont occuper une part plus importante du cours. Pour cela avant de les définir dans le cas général, nous présentons un cas particulier :
le chlorure de sodium, utilisé par exemple comme sel de table.
Le chlorure de sodium, issu de l’évaporation de l’eau de mer, présente une structure à facettes, comme l’illustre la figure2.2. Lorsqu’on découpe ces facette, la structure à facettes est préservée : on découpe facilement le sel en cubes, que l’on peut à leur tour découper en cubes et ainsi de suite.
On peut alors s’interroger : peut-on découper indéfiniment le sel et tou- jours obtenir de plus petits cubes ? La réponse est négative : en effet, lorsqu’on
atteint l’échelle atomique1, on découvre un agencement microscopique bien 1. L’échelle atomique correspond à des lon- gueurs de l’ordre de l’angström, noté Å 1 Å= 1×10−10m
particulier entre les ions Na+et Cl–, comme l’illustre la figure2.3: le sel est constitué de la répétition périodique d’un motif dans trois directions de l’espace.
Na Cl
Cl
Na
Cl
Na Na
Cl
Na Cl
Na
Cl
b c
a
Cl
Na
Na
Cl
Cl
Na
Cl
Na
Na Cl
Na Na
Cl Cl
Na
FIGURE 2.3: Structure microscopique du chlorure de sodium NaCl, visualisée sur le lo- giciel Vesta. Les centres des ions Cl–et Na+ sont séparés dea=2.57 Å.
Propriété 2.1: Lien macro-micro
De nombreuses propriétés macroscopiques peuvent s’expliquer à partir de la structure microscopique du sel. Par exemple on peut cite :
• La friabilité est due à la faiblesse des liaisons entre groupes NaCl !
• La masse volumique dépend de l’agencement spatial des atomes et de leur masse.
1.3
Les cristaux : cas général
a) b)
c)
FIGURE2.4: EX E M P L E S D E C R I S TAU X: a) Un motif (en rouge) se répète périodique- ment dans une direction, on parle d’un cris- tal à une dimension (1D).
b) Un motif (en rouge) se répète dans deux directions, on parle d’un cristal à deux di- mensions (2D).
c) Aucun motif ne se répète de façon pério- dique, ce n’est pas un cristal.
Le chlorure de sodium n’est pas un cas isolé de solide à facettes. En effet on peut observer que le quartz, le diamant, le graphite, la glace d’eau, le cuivre, l’or, le plutonium etc... présentent un ordre spatial périodique de leurs constituants à l’échelle miscroscopique. Il appartiennent tous à une même famille d’éléments chimiques : les cristaux.
Définition 2.1: Cristal
Un cristal est défini par un motif répété périodiquement dans une ou plusieurs directions de l’espace.
Définition 2.2: Maille élémentaire
Dans un cristal, une maille est une zone de l’espace à partir de la- quelle on peut reconstituer le cristal par répétition périodique. Elle est dite élémentaire si elle ne contient pas de sous-maille plus petite.
(Voir figure2.5)
FIGURE2.5: EX E M P L E S: Voici deux cristaux en 2D : un cristal carré et un cristal hexago- nal. Les atomes sont représentés en bleu et les liaisons en noir. En rose, nous colorions des mailles : laquelle n’est pas élémentaire ? Pourquoi ?
1.4
TODO : Plusieurs formes cristallines d’un même com- posé (variétés allotropes)
Un composé de formule chimique donnée peut cristalliser sous différents formes de structures qui ont des propriétés macroscopiques différentes.
Ainsi les minéraux se caractérisent par leur composition chimique et leur organisation cristalline. Une roche est formée de l’association de cristaux d’un même minéral ou de plusieurs minéraux. Des structures cristallines existent aussi dans les organismes biologiques (coquille, squelette, calcul rénal, etc.).
2
Propriétés des cristaux en 3D
Jusqu’à présent, nous avons seulement présenté des cristaux 1D et 2D par soucis didactique, car cela est plus simple pour définir les notions de maille et de motif. Cependant la majorité des cristaux présents dans la nature cristallisent dans 3 directions de l’espace (on parle de cristaux 3D). À partir de maintenant, nous ne parlons plus que de cristaux 3D.
La plus simple des mailles que l’on puisse réaliser en 3D est la maille cubique. Lorsqu’on positionne des atomes de différentes façons dans la maille cubique, on obtient différents cristaux. Par la suite, nous proposons l’étude de deux cristaux dérivés de la maille cubique : le cristal cubique simple et le cristal cubique à faces centrées.
En2.1nous définissons des grandeurs reliées aux cristaux 3D, ces gran- deurs permettent de montrer que l’étude du contenu d’une seule maille d’un cristal permet de déduire les propriétés du solide dans son ensemble. En2.2 nous présentons et nous étudions la maille cubique simple en détails pour manipuler ces grandeurs dans leur contexte. En2.3nous présentons et nous étudions la maille cubique simple en détails.
2.1
Définitions
Définition 2.3: Nombre d’atomes par maille
Le nombre d’atomes par maillesN est le nombre d’atomes CO M - P L E TS que contient une maille du cristal.
Définition 2.4: Compacité
La compacité d’un cristal, notéec, c’est la proportion de volume occupée dans une maille :
c=Voccupé Vmai l l e
La structure microscopique du cristal conditionne certaines de ses pro- priétés macroscopiques, dont la masse volumique. En effet, par définition, la masse volumique d’un cristal est la masse d’un échantillon de ce cristal sur le volume du cristal. Or le cristal est constitué de la répétition périodique d’un même motif, il suffit donc de raisonner sur une maille pour déterminer la masse volumique du cristal dans son ensemble !
Propriété 2.2: Propriétés macroscopiques
La masse volumique peut s’exprimer ρ=mmai l l e
Vmai l l e ρ= n∗m
Vmaille
oùnest le nombre d’atomes par maille,mest la masse d’un de ces atomes etVmailleest le volume de la maille.
2.2
Le cristal cubique simple
La maille cubique simple est représentée en perspective figure2.6.
FIGURE2.6: Maille cubique simple vue en perspective cavalière.
CA L C U L D U N O M B R E D’AT O M E S D A N S L A M A I L L E : Dans la maille
cubique simple, on trouve 8 atomes, chacun de ces atomes est partagé en 8 (voir2.6) car il appartient à 8 mailles différentes. Ainsi on a
N=8·1 8=1 atome par maille.
FIGURE2.7: Maille cubique simple, condi- tion de tangencea=2r. Pour le montrer, représentez une face de la maille, remar- quez que les atomes sont tangents au milieu d’une arête.
CO M PA C I T ÉSoitale paramètre de maille, qui désigne la longueur de l’arête du cube. On cherche à exprimer la compacité du cristal en fonction dea, dans l’hypothèse où les atomes sont représentés par des sphères en contact bord-à-bord, comme illustré figure2.7.
D’une part le volume de la maille Vm=a3 .
D’autre part le volume occupé dans la maille
Voccupé= 1
|{z}
Nombre d’atomes dans la maille
×
Volume d’une sphère de rayonr
z }| { 4 3πr3
Oùrest le rayon d’un atome. La condition de tangence, illustrée figure2.7 permet d’exprimerren fonction dea:
r=a 2 Ainsi
Voccupé=1×4 3π³a
2
´3
Finalement, on obtient c=Voccupé
Vm =4 3π³a
2
´3 1 a3=π
6'52%
NB : En fin de compte, on remarque que la compacitécne dépend pas du paramètre de maillea!
MA S S EVO L U M I QU ELe polonium21084Po cristallise selon la maille cubique simple. Son paramètre de maillea=3.36 Å. Quelle est sa masse volumique ?
D’une part
mmai l l e=
N=
z}|{1 ×
Masse d’un atome
z }| {
(210mn+84 me−
|{z}
me−'mn/1000 donc négligé
)=210×1.67×10−27=3.5×10−25kg
D’autre part
Vmai l l e=a3=(3.36×10−10)3=38.0×10−30m3
Finalement on obtient par le calculρ=9210 kg/m3, à comparer à la valeur expérimentaleρX P=9200 kg/m3, soit 0.01% seulement d’écart relatif entre les deux valeurs !
2.3
Cristal cubique à faces centrées
FIGURE2.8: Maille cubique faces centrées (CFC) vue en perspective cavalière.
CA L C U L D U N O M B R E D’AT O M E S D A N S L A M A I L L E : Dans la maille CFC, on trouve 8 atomes partagés en 8 (voir2.8) car il appartient à 8 mailles différentes. On trouve aussi 6 atomes partagés en 2. Ainsi on a
N=8·1 8+6·1
2=4 atomes par maille.
FIGURE2.9: Maille CFC, condition de tan- genceap
2=4r. Pour le montrer, représen- tez une face de la maille, puis utilisez le théo- rème de Pythagore.
CO M PA C I T ÉSoitale paramètre de maille, qui désigne la longueur de l’arête du cube. On cherche à exprimer la compacité du cristal en fonction dea, dans l’hypothèse où les atomes sont représentés par des sphères en contact bord-à-bord, comme illustré figure2.9.
D’une part le volume de la maille Vm=a3 .
D’autre part le volume occupé dans la maille
Voccupé= 4
|{z}
Nombre d’atomes dans la maille
×
Volume d’une sphère de rayonr
z }| { 4 3πr3
Oùrest le rayon d’un atome. La condition de tangence, illustrée figure2.9 permet d’exprimerren fonction dea:
4r=ap 2
Ainsi
Voccupé=4×4 3π
Ãap 2 4
!3
Finalement, on obtient
c=Voccupé Vm =42
3π p23
43 =π p2
6 '74%
NB : En fin de compte, on remarque que la compacitécne dépend pas du paramètre de maillea!
MA S S EVO L U M I QU ELe polonium21084Po cristallise selon la maille cubique simple. Son paramètre de maillea=3.36 Å. Quelle est sa masse volumique ?
D’une part
mmai l l e=
N=
z}|{1 ×
Masse d’un atome
z }| {
(210mn+84 me−
|{z}
'mn/1000 donc négligé
)=210×1.67×10−27=3.5×10−25kg
D’autre part
Vmai l l e=a3=(3.36×10−10)3=38.0×10−30m3
Finalement on obtient par le calculρ=9210 kg/m3, à comparer à la valeur expérimentaleρX P=9200 kg/m3, soit 0.01% seulement d’écart relatif entre les deux valeurs !
À la fin de ce chapitre, je sais (extrait du B.O.) :: Cristallographie : Savoirs
• Le chlorure de sodium solide (présent dans les roches ou issu de l’évaporation de l’eau de mer) est constitué d’un empilement régulier d’ions : c’est l’état cristallin.
• Plus généralement, une structure cristalline est définie par une maille élémentaire répétée périodiquement.
• Un type cristallin est défini par la forme géométrique de la maille, la nature et la position dans cette maille des entités qui le consti- tuent.
• Les cristaux les plus simples peuvent être décrits par une maille cubique que la géométrie du cube permet de caractériser. La po- sition des entités dans cette maille distingue les réseaux cubique simple et cubique à faces centrées.
• La structure microscopique du cristal conditionne certaines de ses propriétés macroscopiques, dont la masse volumique.
• Dans le cas des solides amorphes, l’empilement d’entités se fait sans ordre géométrique. C’est le cas du verre. Certaines roches volcaniques contiennent du verre, issu de la solidification très rapide d’une lave.
À la fin de ce chapitre, je sais (extrait du B.O.) :: Cristallographie : Savoirs-faire
• Utiliser une représentation 3D informatisée du cristal de chlorure de sodium.
• Relier l’organisation de la maille au niveau microscopique à la structure du cristal au niveau macroscopique.
• Pour chacun des deux réseaux (cubique simple et cubique à faces centrées) :
· Représenter la maille en perspective cavalière.
· Calculer la compacité dans le cas d’entités chimiques sphé- riques tangentes.
· Dénombrer les atomes par maille et calculer la masse volu- mique du cristal.
