(1)QUELQUES NOTIONS DE PROBABILITE P(AB|C

QUELQUES NOTIONS DE PROBABILITE

P(AB|C) = P(A|BC) P(B|C) = P(B|AC) P(A|C) ; P(A+B|C) = P(A|C) + P(B|C)−P(AB|C) Si. . ., P(A) = P(A|B₁)P(B₁) +. . .+ P(A|B_n)P(B_n) ; P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P( ¯¯ B) Si P(A)>0, alors P(B|A) = ^P(A|B)P(B)_P(A)

SiY₁, . . . , Y_n sont des v.a. ind´ependantes, alors V(Y₁+. . .+Y_n) = V(Y₁) +. . .+ V(Y_n) SiZ=a+bY: E(Z) =a+bµY ; σ²_Z=b²σ²_Y

Variables al´eatoires discr`etes:

µ_Y = E(Y) =P

y_i ∈ Ep_iy_i ; σ_Y² = V(Y) = E(Y −µ)²=P

y_i∈ Ep_i(y_i−µ)²= E(Y²)−µ² Bernoulli: Ei={0,1}et p0= 1−π; p1=π ; E(X) =π; V(X) =π(1−π)

Binomiale: X∼Bin(n, π) ; p_x=_{x! (n−x)!}^n! π^x(1−π)^n−x ;E(X) =nπ ; V(X) =nπ(1−π) Poisson: X ∼Pois(µ) ; px= Pr(X=k) = e^{−µ µ}_k!^k ;pk=p_k−1×^µ_k ;E(X) = V(X) =µ Sin >50 etπ <0.10, Bin(n, π)≈Pois(nπ)

Variables al´eatoires continues:

µX= E(X) =R

Ex f(x)dx ; σ_X² = V(X) = E(X−µ)²=R

E(x−µX)² f(x)dx= E(X²)−µ²_X Distribution normale: X ∼N(µ, σ²) ; E(X) =µ; V(X) =σ²; Z= ^X−µ_σ ∼N(0,1)

Siµ≥5, Pois(µ)≈N(µ, µ) ; Si nπ≥5 etnπ(1−π)≥5, Bin(n, π)≈N(nπ, nπ(1−π))

ESTIMATION ET COMPARAISON DE PROPORTIONS - McNemar -G²

•Objectif: estimerπ=PN

i=1Xi/N.

•π∼Beta(a, b): E(π) =_a+b^a ; Mode(π) = _a+b−2^a−1 ; V(π) = _(a+b)2^ab(a+b+1) ; Uniforme sia=b= 1.

•Siy=nbre de succ`es, a prioriπ∼Beta(a, b),n^∗= (a+b−2) +net ˆπ=^(a−1)+y_n∗ , alors (π|Y =y)∼Beta(a+y, b+n−y)≈ N(ˆπ,π(1ˆ −π)/nˆ ^∗) ; πˆ±1.96p

ˆ

π(1−ˆπ)/n^∗

•Siδ=π2−π1, (δ=π2−π1|Y1=y1, Y2=y2)≈ N(ˆπ2−πˆ1,πˆ2(1−ˆπ2)/n2+ ˆπ1(1−πˆ1)/n1).

•Donn´ees pair´ees: (π2−π1|donn´ees)^approx.∼ N(ⁿ²¹⁻ⁿ_n ¹²,^s_n^2D) ; ⁿ²¹⁻ⁿ_n ¹² ±1.96 qs²_D

n

avecs²_D= ⁿ²¹⁺ⁿ_n ¹² −⁽ⁿ²¹⁻ⁿ_n2¹²⁾². Condition d’utilisation: n21+n12≥25.

•McNemar: ⁽ⁿ_n^21−n12)2

21+n₁₂ < χ²₁(0.95) . . . sin21+n12≥25.

•G²= 2PI i=1

PJ

j=1O_ijlog_O

ij

Aij

avecO_ij et A_ij valeurs observ´ee et attendue respvt.

•log(RR): log_p

1

p₂

±1.96×q ₁

n₁₁ −_n¹

1+ +_n¹

21 −_n¹

2+

ESTIMATION ET COMPARAISON DE MOYENNES

¯

y=_n¹Pn

i=1yi ; ˆσ²= ¹_nPn

i=1(yi−y)¯²= _n¹Pn i=1y²_i

−y¯² ; s²= _n−1ⁿ σˆ²

¯

y=_n¹PK

k=1nkyk =PK

k=1wkyk ; ˆσ²=PK

k=1wk(yk−y)¯²= PK

k=1wky_k²

−y¯²avecwk=nk/n

•Moyenne isol´ee: (µ|donnees)∼t_n−1(¯y, s²/n) ; ¯y±t_n−1(0.975)^√s_n ; (µ|donnees)^n→∞∼ N

¯ y,^s_n²

•Comparaison de 2 moyennes: siθ=µ1−µ2,

→ Approx: (θ|donnees)^approx.∼ N(¯y−x, s¯ ²₁/n₁+s²₂/n₂) ; (¯y−x)¯ ±1.96p

s²₁/n₁+s²₂/n₂

→ Siσ²₁=σ₂²: (θ|donnees)∼t_n1+n2−2

¯

y−x, s¯ ²_p

1 n1 +_n¹

2

avecs²_p=^(n1−1)s_n ^{21+(n2−1)s22}

1+n2−2 ; (¯y−x)¯ ±t_n1+n2−2(0.975)

r

1 n1 +_n¹

2

s²_p

→ Siσ²₁6=σ₂²: (θ|donnees)^approx.∼ tdf(¯y−x, s¯ ²₁/n1+s²₂/n2) avec df= s²₁/n1+s²₂/n2²

/n

1

n₁−1 s²₁/n1² +_n¹

2−1 s²₂/n2²o

(Satterthwaite).

•Donn´ees pair´ees: (µ_D|donnees)∼t_nD−1( ¯d, s²_D/n_D) ; ¯d±t_nD−1(0.975) s_D/√ n_D

•ANOVA I:

→ Fobs= PK

k=1n_k(¯y_k−¯y)²/(K−1)

s²_p = MC(Facteur)

MC(Erreur) < FK−1,n−K(0.95) avecs²_p= ^{(n1−1)s21+...+(n}_n−K ^K−1)s2K

→ (µk−µj|donnees)∼tn−K

¯

yk−y¯j,

1 nk +_n¹

j

s²_p

; (¯yk−y¯j)±tn−K(0.975) r

1 nk +_n¹

j

s²_p