1) Posons puis effectuons les opérations suivantes :
a) Soit $6110div 235$
Le diviseur étant entier alors, en posant et en effectuant l'opération, on obtient :
$$begin{array}{r} 6110-470 ;hline 1410-1410hline 0 end{array}begin{array}{|l} 235hline 26 end{array}$$
b) Soit : $734.32div 26.3$ donc, posons et effectuons l'opération en donnant le résultat avec deux chiffres après la virgule ; c'est à dire à $0.01$ près.
$$begin{array}{r} 734.32 end{array}begin{array}{|l} 26.3hline end{array}$$
Pour effectuer cette opération, on essaie d'abord de rendre le diviseur entier.
Ainsi, on multiplie le diviseur par $10$ pour le rendre entier.
Puis, on multiplie le dividende aussi par le même nombre $10.$ Ce qui revient à déplacer la virgule d'un rang vers sa droite.
Après, on peut effectuer la division, sans oublier de placer la virgule au quotient, au moment d'abaisser le premier nombre après la virgule dans le dividende.
$$begin{array}{r} 7343.20 -526quad ; hline 2083 -1841 hline 2422 -2367 hline 550-526hline .24end{array}begin{array}{|l} 263hline 27.92 \end{array}$$
2) Calculons mentalement les quotients suivants.
c) Soit : $2,009div 100$
En effet, diviser par $100$, revient à déplacer la virgule de deux rangs vers sa gauche.
Ainsi, $2,009div 100=20.09$
d) Soit : $45.37div 0.1$
Solution des exercices : Division des nombres
décimaux arithmétiques - 6e
Exercice 1
On sait que diviser par $0.1$, revient à déplacer la virgule d'un rang vers sa droite.
Donc, $45.37div 0.1=453.7$
3) Donnons un ordre de grandeur de chacun des quotients.
Pour calculer l'ordre de grandeur (OG) d'un quotient, on choisit d'abord une précision adaptée.
Ensuite, on choisira en premier l'ordre de grandeur (OG) du diviseur, puis on choisira pour le dividende, un ordre de grandeur qui permet un calcul rapide et simple.
Enfin, on remplace le diviseur et le dividende par leur ordre de grandeur respectif et on effectue la division de ces ordres de grandeur.
e) Soit : $305div 19.5$
On choisit une précision à la dizaine près.
Ainsi, $19.5$ est proche de $20$
Par ailleurs, le choix de $300$ comme OG de $305$ permet un calcul simple et rapide.
Par suite, l'ordre de grandeur de $305div 19.5$ est égal à :
$$300div 20=30div 2=15$$
f) Soit : $69div 6.9$
Pour une précision l'unité près, on a : $6.9$ est proche de $7$ donc, l'OG de $6.9$ est $7.$
En choisissant $70$ comme OG de $69$, on obtient un calcul simple et rapide.
Ainsi, l'ordre de grandeur de $69div 6.9$ sera donné par :
$$70div 7=10$$
1) Donnons le quotient entier approché par défaut de $dfrac{27}{7}$
Cherchons deux multiples successifs de $7$ qui encadrent l'entier $27.$
On sait que $21 $ et $ 28$ sont deux multiples successifs de $7.$
De plus : $21<27<28$
Donc, $dfrac{21}{7}<dfrac{27}{7}<dfrac{28}{7}$
Ce qui donne : $3<dfrac{27}{7}<4$
Ainsi, le quotient entier approché par défaut de $dfrac{27}{7}$ est égal à $3.$
Exercice 2
2) Donnons le quotient entier approché de la division de $213$ par $13$ à l'unité près par excès.
De la même manière, on a : $208 $ et $ 221$ sont deux multiples successifs de $13$ et qui encadrent l'entier $213.$
Donc, $dfrac{208}{13}<dfrac{213}{13}<dfrac{221}{13}$
Par suite, $16<dfrac{213}{13}<17$
D'où, le quotient entier approché de la division de $213$ par $13$ à l'unité près par excès est le nombre entier $17.$
1) a) Calculons le quotient au dixième près de $96.4$ par $34$ par défaut.
En arrondissant à un chiffre après la virgule par défaut, on obtient : $dfrac{96.4}{34}=2.8$
Donc, $2.8$ représente le quotient au dixième près de $96.4$ par $34$ par défaut.
b) En déduisons le reste de la division à $dfrac{1}{10}$ près.
Soit $r$ le reste de la division alors, on a :
$r=96.4-(34times 2.8)=96.4-95.2=1.2$
Donc, le reste de la division à $dfrac{1}{10}$ près est égal à $1.2$
2.a) Calculons le quotient à $dfrac{1}{100}$ près de $dfrac{117}{17}$ par excès.
En arrondissant à deux chiffres après la virgule par excès, on obtient : $dfrac{117}{17}=6.89$
Donc, $6.89$ est le quotient à $dfrac{1}{100}$ près de $dfrac{117}{17}$ par excès.
b) En déduisons le reste de la division.
Soit $r$ le reste de la division alors, on a :
$r=117-(17times 6.88)=117-116.96=0.04$
Ainsi, le reste de la division à $dfrac{1}{100}$ près est égal à $0.04$
1) Donnons l'écriture décimale de : $dfrac{13.5}{6} $ et $ dfrac{70.2}{26}$
Exercice 4 Exercice 3
On a : $dfrac{13.5}{6}=2.25$ donc, $2.25$ est l'écriture décimale de : $dfrac{13.5}{6}$
On a : $dfrac{70.2}{26}=2.7$ donc, $2.7$ est l'écriture décimale de : $dfrac{70.2}{26}$
2) $dfrac{117}{11}$ n'admet pas une écriture décimale.
En effet, on a : $dfrac{117}{11}=10.636363ldots$
Or, $10.636363ldots$ est un développement décimal illimité périodique de période $63.$
Donc, $dfrac{117}{11}$ n'est pas un quotient exact.
D'où, $dfrac{117}{11}$ n'admet pas une écriture décimale.
3) Donnons une écriture fractionnaire de $7.25$
On a : $7.25=dfrac{725}{100}$
Donc, $dfrac{725}{100}$ est une écriture fractionnaire de $7.25.$
1) Donnons l'écriture décimale de $dfrac{23}{8}$
On a : $dfrac{23}{8}=2.875$
Donc, $2.875$ est l'écriture décimale de $dfrac{23}{8}$
2) a) Encadrons $dfrac{23}{8}$ entre deux entiers naturels consécutifs.
On a : $dfrac{23}{8}=2.875$
Or, $2<2.875<3$
D'où, un encadrement de $dfrac{23}{8}$ entre deux entiers naturels consécutifs est donné par :
$$2<dfrac{23}{8}<3$$
b) Encadrons $dfrac{23}{8}$ entre deux décimaux consécutifs à $0.01$ près.
On a : $dfrac{23}{8}=2.875$ alors,
Donc, on peut écrire : $2.87<2.875<2.88$
D'où, un encadrement de $dfrac{23}{8}$ entre deux décimaux consécutifs à $0.01$ près est donné par :
$$2.87<dfrac{23}{8}<2.88$$
Exercice 5
1) Donnons le quotient approché par excès à l'unité près de la division de $200.87$ par $49.$
Cherchons alors deux multiples successifs de $49$ qui encadrent l'entier $200.87$
En effet, on sait que : $196 $ et $ 245$ sont deux multiples successifs de $49$ et qui encadrent l'entier $200.87$
Donc, $dfrac{196}{49}<dfrac{200.87}{49}<dfrac{245}{49}$
Ce qui donne, $4<dfrac{200.87}{49}<5$
D'où, le quotient entier approché par excès à l'unité près de la division de $200.87$ par $49$ est le nombre entier $5.$
2) $20.42$ est le quotient approché par défaut au centième près de la division de $347.3$ par
$17.$
3) Donner le reste de la division de $75.1$ par $6.3$ aux dixièmes près.
Soit $dfrac{75.1}{6.3}$
Pour rendre entier le dénominateur, on multiplie par $10$ le numérateur et le dénominateur.
Ce qui donne : $dfrac{75.1}{6.3}=dfrac{75.1times 10}{6.3times 10}=dfrac{751}{63}$
Ainsi, aux dixièmes près, on a : $dfrac{751}{63}=11.9$
Soit $r$ le reste de la division alors, on a :
$r=751-(63times 11.9)=751-749.7=1.3$
D'où, le reste de la division de $75.1$ par $6.3$ aux dixièmes près est égal à $1.3$
Écrivons les nombres décimaux suivants sous la forme $dfrac{a}{b}$ avec $b$ non nul
$$3.5;; 27.04;; 100.001;; 4;; 58.273;; 0.4;; 0.045;; 0.0102;; 0.54321$$
On a :
$3.5=dfrac{35}{10}$
$27.04=dfrac{2,704}{100}$
$100.001=dfrac{100,001}{1,000}$
$4=dfrac{4}{1}$
Exercice 6
Exercice 7
$58.273=dfrac{58,273}{1,000}$
$0.4=dfrac{4}{10}$
$0.045=dfrac{45}{1,000}$
$0.0102=dfrac{102}{10,000}$
$0.54321=dfrac{54,321}{100,000}$
a) Exprime ces écritures fractionnaires sous forme de nombres décimaux.
$$dfrac{14.7}{7};;quad dfrac{123}{8};;quad dfrac{154}{11};;quad dfrac{18.75}{7.5}$$
On a :
$dfrac{14.7}{7}=2.1$
$dfrac{123}{8}=15.375$
$dfrac{154}{11}=14$
$dfrac{18.75}{7.5}=2.5$
b) Rangeons les écritures fractionnaires dans l'ordre décroissant.
En rangeant dans l'ordre décroissant les nombres décimaux trouvés en a), on a :
$$15.375>14>2.5>2.1$$
Donc, en remplaçant ces nombres décimaux par leur écriture fractionnaire, on obtient :
$$dfrac{123}{8}>dfrac{154}{11}>dfrac{18.75}{7.5}>dfrac{14.7}{7}$$
1) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par $2$ ; par $3$ ; par $2$ et $3$
$$12;; 31;; 45;; 810;; 27;; 34;; 312;; 431$$
$- $ nombres divisibles par $2$
Un nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair.
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $2$ sont :
$$12;; 810;; 34;; 312$$
$- $ nombres divisibles par $3$
Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3.$
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $3$ sont : Exercice 10
Exercice 8
$$12;; 45;; 810;; 27;; 312$$
Par conséquent les nombres divisibles à la fois par $2$ et par $3$ sont :
$$12;; 810;; 312$$
2) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par $5$ ; par $9$ ; par $5$ et $9$
$$27;; 90;; 45;; 35;; 54;; 792;; 838;; 5$$
$- $ nombres divisibles par $5$
Un nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $5$ ou $0.$
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $5$ sont :
$$90;; 45;; 35;; 5$$
$- $ nombres divisibles par $9$
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9.$
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $9$ sont :
$$27;; 90;; 45;; 54;; 792$$
Ainsi, les nombres divisibles à la fois par $5$ et par $9$ sont :
$$90;; 45$$
Reproduisons puis complétons le tableau ci-dessous
$$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}hline
&&text{Ecriture}&a&b&text{fractionnaire}&text{Ecriture décimale}&&atext{ sur }b&hline&&&
3&4&dfrac{3}{4}&0.75&&&hline&&& 1&8&dfrac{1}{8}&0.125&&&hline&&&
5&2&dfrac{5}{2}&2.5&&&hline &&&
Exercice 11
Revision #1
Created 17 May 2022 20:18:13 by Malik Updated 17 May 2022 20:18:15 by Malik
