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dissipatifs en maillage quelconque et applications à la LES en aérothermique cavité nacelle à l’arrêt moteur
Quentin Dubois
To cite this version:
Quentin Dubois. Approximation volumes finis d’ordre élevé - Flux dissipatifs en maillage quelconque et applications à la LES en aérothermique cavité nacelle à l’arrêt moteur. Milieux fluides et réactifs.
UNIVERSITE DE LORRAINE, 2016. Français. �tel-01461413�
Table des matières
Introduction v
1 Lois de conservation de la mécanique des fluides 1
1.1 Introduction . . . 2
1.2 Notations . . . 2
1.3 Contexte thermodynamique . . . 3
1.4 Équations de Navier-Stokes . . . 3
1.4.1 Théorème de transport . . . 3
1.4.2 Conservation de la masse . . . 4
1.4.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . 4
1.4.4 Conservation de l’énergie . . . 5
1.5 Fermeture des équations de Navier-Stokes . . . 7
1.5.1 Tenseur des contraintes . . . 7
1.5.2 Loi de Fourier . . . 8
1.6 Les équations d’Euler . . . 8
1.6.1 Forme conservative . . . 9
1.6.2 Forme quasi-linéaire . . . 10
1.6.3 Variables physiques . . . 10
1.6.4 Hyperbolicité des équations d’Euler . . . 11
2 Description de la chaîne Cedre 13 2.1 Présentation générale . . . 14
2.2 Modèle géométrique . . . 14
2.3 Le solveur fluide Charme . . . 15
2.3.1 Modèles physiques . . . 15
2.3.2 Discrétisation spatiale . . . 16
2.3.3 Intégration temporelle . . . 21
3 Convection naturelle : constats et problèmes 23 3.1 Introduction . . . 24
3.2 Solution analytique de type tourbillon . . . 24
3.2.1 Tourbillon statique . . . 24
3.2.2 Tourbillon en translation uniforme . . . 27
3.3 Propagation numérique d’un tourbillon en régime bas Mach . . . 28
3.3.1 Manifestation du problème bas Mach . . . 29
3.3.2 Influence des paramètres numériques . . . 30
3.3.3 Observations sur l’intégration temporelle implicite . . . 36
4 Analyse du problème de transport du tourbillon 45
4.1 Introduction . . . 47
4.2 Équations d’Euler . . . 48
4.2.1 Notations . . . 48
4.2.2 Équations d’Euler linéarisées . . . 48
4.2.3 Décomposition spectrale du jacobien ˚Jn . . . 49
4.2.4 Composantes acoustique et hydrodynamique d’une perturbation q0 . . . 51
4.2.5 Exponentielle de la matriceαJ˚n . . . 52
4.3 Équations d’Euler linéarisées périodiques . . . 53
4.3.1 Notations pour fonctions périodiques sur le d-cube Ω = [0, L1]× · · · ×[0, Ld] 53 4.3.2 Solution des équations d’Euler linéarisées sur led-cube . . . . 55
4.4 Fonctions de grille périodiques dansRd. . . 57
4.5 Algèbre matricielle . . . 59
4.5.1 Matrice de permutation Pµ . . . 60
4.5.2 Opérateur vec et produit de Kronecker . . . 60
4.6 Équations d’Euler semi-discrètes linéarisées : schéma d’ordre 1 . . . 62
4.6.1 Analyse de dispersion vectorielle . . . 62
4.6.2 Schéma volumes finis linéarisé pour la dynamique des gaz . . . 63
4.6.3 Structure de la matrice ˚A . . . 65
4.6.4 Exponentielle de la matrice ˚A . . . 67
4.6.5 Solution du système volumes finis linéarisé . . . 68
4.7 Équations d’Euler semi-discrètes linéarisées : schémas d’ordre élevé . . . 69
4.7.1 Introduction . . . 69
4.7.2 Schéma d’ordre 2 . . . 70
4.7.3 Schéma d’ordre 4 . . . 72
4.8 Solutions continues et discrètes de type tourbillon . . . 73
4.8.1 Propagation d’ondes simples de type tourbillon . . . 73
4.8.2 Solution des équations d’Euler linéarisées d’une onde simple de type tourbillon 74 4.8.3 Solution des équations d’Euler semi-discrètes linéarisées d’une onde simple de type tourbillon . . . 74
4.9 Principe de l’analyse d’erreur entre solutions exacte et approchée . . . 75
4.9.1 Dissipation et dispersion : le cas monodimensionnel scalaire . . . 75
4.9.2 Dissipation et dispersion : le cas des équations d’Euler linéarisées bidimen- sionnelles . . . 77
4.9.3 L’erreur de projection modale . . . 79
4.10 Étude numérique de l’erreur de dispersion, dissipation et modale de quelques flux numériques . . . 81
4.10.1 Dissipation, dispersion pour un flux compressible classique . . . 81
4.10.2 Dissipation, dispersion pour le flux hllc bas mach . . . 88
4.10.3 Dissipation, dispersion pour le flux hll . . . 92
4.10.4 Détermination de l’erreur de projection modale . . . 93
4.11 Conclusion . . . 95
5 Intégration temporelle pour la convection naturelle à bas Mach 97
5.1 Introduction . . . 98
5.2 L’intégration temporelle dans Cedre . . . 99
5.2.1 Schémas d’intégration explicites . . . 99
5.2.2 Schémas d’intégration implicites . . . 100
5.3 Stabilité des schémas de type Runge-Kutta . . . 103
5.3.1 Introduction . . . 103
5.3.2 Domaine de stabilité pour une équation différentielle scalaire . . . 104
5.3.3 Domaine de stabilité pour un système d’équations différentielles . . . 107
5.4 Stabilité des schémas Runge-Kutta pour l’équation de convection discrétisée par volumes finis . . . 109
5.4.1 Principe de l’analyse . . . 109
5.4.2 Deux représentations graphiques pour la stabilité matricielle . . . 110
5.4.3 Analyse de stabilité pour le schéma VF d’ordre 2 avec un schéma RKE2 . . 111
5.4.4 Analyse de stabilité du schéma Euler implicite (RKI1) pour une discrétisa- tion VF d’ordre 2 . . . 113
5.5 Analyse de stabilité du schéma RKE4 pour une discrétisation volumes finis d’ordre 4114 6 Analyse de stabilité matricielle pour les équations d’Euler semi-discrètes li- néarisées 119 6.1 Introduction . . . 120
6.2 Principe de la méthode . . . 120
6.3 Flux numériques pour les équations d’Euler . . . 122
6.3.1 Forme Flux Difference Splitting d’une fonction flux numérique . . . 122
6.3.2 Flux numérique de roe . . . 123
6.3.3 Flux numérique hll . . . 124
6.3.4 Flux numérique hllc . . . 125
6.3.5 Flux numérique hllc bas mach . . . 126
6.3.6 Flux numérique ausm . . . 127
6.4 Expression de la matrice ˚A . . . 130
6.5 Spectre de ˚Adans le cas supersonique . . . 131
6.5.1 Description analytique de la forme du spectre . . . 132
6.5.2 Influence du paramètre uu12/h/h12 . . . 135
6.5.3 Influence de l’ordre de discrétisation . . . 135
6.6 Spectre de ˚Adans le cas subsonique . . . 136
6.6.1 Le cas du flux hll . . . 136
6.6.2 Le cas du flux hllc . . . 138
6.6.3 Le cas du flux hllc bas mach . . . 140
6.7 Influence de la forme de la matrice ˚Asur la stabilité de l’intégration en temps . . 140
6.7.1 Utilisation du schéma RKE2 . . . 142
6.7.2 Utilisation d’un schéma RKI . . . 142
6.8 Conclusion . . . 145
7 Simulation numérique d’un écoulement de convection naturelle dans la cavité nacelle 147 7.1 Introduction à l’aérothermique dans une turbomachine . . . 148
7.2 Configuration de la maquette d’essai . . . 149
7.2.1 Généralités sur les turboréacteurs . . . 149
7.2.4 Le banc expérimental d’essai . . . 152
7.3 Détermination des ordres de grandeur caractéristiques de l’écoulement . . . 154
7.3.1 Données générales de l’écoulement . . . 154
7.3.2 Advection et temps de séjour . . . 155
7.3.3 Nombre de Mach . . . 156
7.3.4 Effets visqueux . . . 156
7.3.5 Effet moteur de la gravitation . . . 157
7.3.6 Sillages . . . 157
7.4 Paramètres de la simulation numérique . . . 158
7.4.1 Conditions limites . . . 158
7.4.2 Détermination des paramètres numériques . . . 160
7.5 Résultats du calcul . . . 163
7.5.1 Convergence vers l’écoulement moyen . . . 163
7.5.2 Allure générale de l’écoulement . . . 164
7.5.3 Comparaisons avec les données expérimentales . . . 167
Conclusion 171
Introduction
Savoir déterminer avec certitude les paramètres des écoulements fluides ainsi que les flux d’énergie échangés avec l’extérieur est un enjeu essentiel pour l’industrie aéronautique. En effet, la connaissance de ces informations permet de concevoir et d’optimiser un aéronef soit dans sa globalité, soit par composantes. Le compartiment fan de la cavité nacelle du turboréacteur est un exemple d’une composante à étudier. Ce compartiment comprend des éléments chauffants tels que des boîtiers électroniques ou un réservoir d’huile. La connaissance de la température du fluide dans cette cavité à tout instant permettrait, par exemple, de déterminer si des protections thermiques sont nécessaires et, le cas échéant, de les dimensionner parfaitement.
Reproduire le phénomène physique d’intérêt expérimentalement est un premier moyen d’ob- tenir des informations sur la convection des fluides et sur l’énergie échangée avec le milieu. Le banc d’essai peut être une maquette à échelle réduite dans une soufflerie. Il peut aussi être un système déjà fonctionnel, outillé de capteurs, permettant des relevés de vitesse, température, de pression, éventuellement équipé de dispositifs permettant de visualiser directement l’écoulement.
L’approche expérimentale présente des inconvénients. Elle nécessite un outillage complexe qui doit permettre la mesure sans en influencer le résultat, de plus les mesures sont sujettes à des erreurs de relevé ; enfin le coût global de la réalisation de l’expérience, depuis la conception du banc jusqu’à l’obtention des mesures, peut rendre impraticable la réalisation de l’approche expérimentale dans certains cas.
La simulation numérique du phénomène est un autre moyen d’obtenir des informations sur l’écoulement. Elle consiste à résoudre numériquement le modèle mathématique décrivant l’écoule- ment du fluide. Le système physique d’équations aux dérivés partielles du modèle est discrétisé en espace et en temps. Ceci donne un système approché équivalent au modèle exact lorsque les pas de discrétisation tendent vers zéro. C’est ce système approché qui est résolu numériquement. Plu- sieurs classes de méthodes existent qui comprennent elles-même un certain nombre de variantes.
La méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes variationnelles sont trois classes de telles méthodes. L’approche numérique est moins onéreuse, plus rapidement mise en œuvre, et permet de calculer les valeurs d’intérêt dans tout le domaine. Cependant des problèmes inhérents à la méthode mathématique d’approximation peuvent apparaître, que ce soit des problèmes mathématiques ou des limitations informatiques. De plus, suivant la méthode utilisée, la manifestation de ces problèmes peut dépendre du régime de l’écoulement.
Dans cette thèse, nous considérons la méthode des volumes finis appliquée à la résolution des équations de Navier-Stokes compressibles pour les écoulements de convection naturelle dans le régime bas Mach. De façon intuitive, ce régime correspond à la limite incompressible des équations de la dynamique des gaz. Il correspond à une vitesse hydrodynamique très faible face à la vitesse du son. Il est naturellement possible de concevoir des méthodes de calcul spécifiques pour ce régime. C’est le cas des méthodes pour la mécanique des fluides incompressibles. L’enjeu du présent travail consiste à utiliser une méthode de volumes finis décentrée bien adaptée à la dynamique des gaz dans le régime bas Mach pour la convection naturelle.
dans différents contextes : écoulement en milieu poreux, climatologie, écoulement de cheminée, écoulement stratifié. Dans la plupart de ces cas, les corrections proposées sont basées sur les travaux de Choi et Merkle [32,5], Chorin [6] ou Turkel et al. [41,42] pour la recherche de solutions stationnaires et sur les travaux de Guillard, Viozat et Murrone [13,44,12] ou Dellacherie, Omnes et Raviart [8,9] pour la recherche de solutions instationnaires.
L’objectif principal de ce travail est de contribuer à la compréhension du comportement de la méthode des volumes finis décentrés dans le cadre de la simulation de la convection naturelle.
Pour l’industriel Safran Aircraft Engines, l’un des objectifs est d’analyser les résultats de Cedredans un contexte tridimensionnel réaliste (banc expérimental de la cavité Nacelle). Dans un second temps, il s’agit de valider les éventuelles améliorations numériques apportées.
Le plan de la thèse est le suivant. Le chapitre 1 rappelle les équations fondamentales de la mécanique des fluides. Le chapitre 2 fait le point sur la chaîne de calcul Cedre. Le chapitre 3 constitue le point de départ de notre analyse. Celle-ci est centrée sur le problème de la convection d’un tourbillon compressible en translation uniforme. Le chapitre 4 consiste en une analyse des problèmes observés, à bas Mach, dans le chapitre 3. On dérive en particulier la solution exacte du système semi-discret obtenu pour les équations d’Euler linéarisées. Le point de vue développé dans ce chapitre permet d’éclaircir le comportement de la méthode des volumes finis décentrée pour les équations d’Euler en dimension 2 lorsque différents types de flux numériques sont utilisés. Dans le chapitre 5, on fait le point sur l’analyse de stabilité d’un schéma en temps appliqué à un système dynamique linéaire. On y rappelle en particulier, les différents types de stabilité classiquement considérés pour un système discret en temps. L’éclairage obtenu aux chapitres 4 et 5 voit son aboutissement au chapitre 6 où une analyse de stabilité matricielle pour les équations d’Euler semi-discrètes linéarisées est effectuée. On y compare en particulier la linéarisation des formules de flux numériques les plus courantes : roe, hll, hllc, et hllc bas mach. Finalement dans le chapitre 7, on présente les résultats numériques obtenus sur le cas du banc d’essai qui constitue la référence pour le problème industriel. La conclusion fait l’objet du chapitre 8.
Chapitre 1
Lois de conservation de la mécanique des fluides
Sommaire
1.1 Introduction . . . . 2
1.2 Notations . . . . 2
1.3 Contexte thermodynamique . . . . 3
1.4 Équations de Navier-Stokes . . . . 3
1.4.1 Théorème de transport . . . . 3
1.4.2 Conservation de la masse . . . . 4
1.4.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . . 4
1.4.4 Conservation de l’énergie . . . . 5
1.5 Fermeture des équations de Navier-Stokes . . . . 7
1.5.1 Tenseur des contraintes . . . . 7
1.5.2 Loi de Fourier . . . . 8
1.6 Les équations d’Euler . . . . 8
1.6.1 Forme conservative . . . . 9
1.6.2 Forme quasi-linéaire . . . . 10
1.6.3 Variables physiques . . . . 10
1.6.4 Hyperbolicité des équations d’Euler . . . . 11
1.1 Introduction
La modélisation mathématique de la mécanique des fluides comporte deux aspects : la ther- modynamique d’une part, la modélisation des phénomènes convectifs d’autre part.
La famille des écoulements considérés dans ce travail est celle des écoulements de convection naturelle. Dans ce régime, la mise en mouvement du fluide résulte du gradient de la masse volumique. Le fluide est donc nécessairement compressible. De plus, ce gradient peut lui-même résulter d’une variation de température. Avec un tel moteur de la convection naturelle, la vitesse hydrodynamique est très faible devant la vitesse du son. On parle dans ce cas de régime bas Mach.
Ces caractéristiques d’écoulement peuvent suggérer une modélisation de type Boussinesq ; il s’agit d’un fluide incompressible où l’effet des variations de densité est pris en compte uniquement dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement (terme source). Cependant, ce point de vue est trop restrictif dans notre contexte : nous souhaitons délibérément demeurer dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles complètes. En effet, le contexte de ce travail est le développement d’un outil logicel (Cedre) capable de résoudre tous les régimes fluides par la résolution des équations primitives (équations de Navier-Stokes compressibles).
Nous ne souhaitons donc pas faire d’hypothèse a priori (de type Boussinesq par exemple ou fluide incompressible).
À terme, le but demeure le développement d’un solveur multiphysique général (Cedre) ca- pable de prendre en compte tous les régimes, en particulier le régime bas Mach quasi-incompressible.
Le contexte industriel de cette étude (refroidissement à l’arrêt d’une turbomachine) est un exemple typique de l’importance de ce régime en aéronautique.
Ce chapitre est un rappel des équations à résoudre et de la thermodynamique associée. La section 1.2 rappelle les notations. La section 1.3 précise les relations thermodynamiques. La section 1.4 détaille l’obtention des lois de conservation en mécanique des fluide (point de vu Eulerien).
Dans la section 1.5, on rappelle la modélisation d’un écoulement Newtonien. Finalement, les équations d’Euler sont dérivées des équations de Navier-Stokes dans la section 1.6.
1.2 Notations
Dans la suite de ce travail, on utilise les notations suivantes : L’espace estRd avec d∈ {1,2,3}. La variable d’espace est
x= (xµ)µ=1...d∈Rd. (1.1)
La variable temps est
t∈R+. (1.2)
La masse volumique du fluide est
ρ(x, t)∈R+. (1.3)
La vitesse du fluide est
u(x, t)∈Rd. (1.4)
La température est
T(x, t)∈R+. (1.5)
La pression est
p(x, t)∈R+. (1.6)
1.3. CONTEXTE THERMODYNAMIQUE
L’énergie totale est notée
E(x, t)∈R+. (1.7)
1.3 Contexte thermodynamique
Les écoulements auxquels on s’intéresse peuvent être considérés comme des perturbations d’un état initialement au repos, en équilibre thermodynamique. L’état thermodynamique au repos est décrit par deux variables d’état indépendantes. Un choix possible est la température du fluideT ainsi que sa masse volumique ρ. Les autres grandeurs thermodynamiques peuvent s’exprimer en fonction de ces deux variables. La pression au repos notamment est donnée par la loi d’état
p=pe(ρ, T). (1.8)
On se limite ici à la loi d’état des gaz parfaits, c’est-à-dire les gaz dont les molécules ont un volume négligeable et qui interagissent uniquement par collision élastique. Dans ce cas, on peut montrer que
pe =ρR
MT , (1.9)
où Rest la constante universelle des gaz parfaits égale à la différence des capacités thermiques molaires à pression constante et volume constant Cp−Cv etM est la masse molaire du fluide.
Cette limitation se justifie dans le contexte industriel considéré ici car le fluide évolue à une température compatible avec les hypothèses du gaz parfait.
Notons finalement que l’on désigne par incompressible un fluide dont la masse volumique ne varie pas le long de ses lignes de courant et qui n’est pas affectée par les variations de pression.
Dans le cas d’un fluide incompressible, l’équation d’état prend une forme particulière découlant immédiatement de cette hypothèse :
dρ
dt = 0. (1.10)
1.4 Équations de Navier-Stokes
Dans cette section, on rappelle la forme générale des lois de conservation de la mécanique des fluides dans un repère cartésien.
1.4.1 Théorème de transport
On appellevolume de contrôleV(t) le volume matériel de fluide qui se déplace avec l’écoulement et qui contient à chaque instanttles particules de fluide contenues dans un volumeV(t= 0) =V0 quelconque (figure 1.1) .
V0 V(t)
Fig. 1.1 Volume de contrôleV0 à l’instantt= 0. À un instantt >0, le volume de contrôle estV(t).
La dérivation des équations de la mécanique des fluides nécessite le théorème de transport, [7]. Ce théorème s’énonce de la façon suivante.
Théorème 1.1. Soit un volume de contrôle V(t). Pour toute fonction scalaire (x, t)→ f(x, t), on a la relation :
d dt
Z
V(t)f dx=Z
V(t)
∂tf + X
1≤µ≤d
∂µ(f uµ)dx. (1.11) C’est un théorème d’interversion de l’opérateur de dérivation et de l’opérateur d’intégration.
1.4.2 Conservation de la masse
La première relation provient de la loi de conservation de la masse. D’après cette loi, la variation de masse dans un volume de contrôle est égale au taux de production de masse dans ce même volume. Avec une production de masse nulle, on a
d dt
Z
V(t)ρdV = 0. (1.12)
D’après le théorème de transport, Z
V(t)
∂tρ+ X
1≤µ≤d
∂µρuµdx= 0, (1.13)
et donc la forme locale de l’équation de conservation de la masse est
∂tρ+ X
1≤µ≤d
∂µρuµ= 0 . (1.14)
1.4.3 Conservation de la quantité de mouvement
L’équation de conservation de la quantité de mouvement provient du principe fondamental de la dynamique appliqué aux particules fluides d’un volume de contrôle V(t). D’après ce principe, la variation de la quantité de mouvement dans un volume de contrôle quelconque est égale à la somme des forces qui s’y applique. Les forces qui s’exercent sur le volume sont de deux natures différentes. Les premières sont des forces volumiques. Ce sont des forces telles que la force de gravité ou la force électromagnétique ; on les notefv= fv,ν1
≤ν≤d. Les secondes, aussi appelées contraintes, s’appliquent sur la surface du volume de contrôleV(t) ; on les notefs= fs,ν1
≤ν≤d. Le principe fondamental de la dynamique se traduit dans un repère cartésien par les équations intégrales suivantes
d dt
Z
V(t)ρuν dx=Z
V(t)fv,νdx+Z
δV(t)fs,ν dς(x), ∀ν ∈J1, dK (1.15) oùδV(t) désigne la surface du volume V(t), dx= dx1dx2dx3 est la mesure surR3 et dς(x) est la mesure de surfaceδV(t). Les équations (1.15) peuvent s’écrire sous la forme vectorielle suivante :
d dt
Z
V(t)ρudx=Z
V(t)fvdx+Z
δV(t)fsdς(x). (1.16) Si le fluide est soumis à la pesanteur, la densité de force volumiquefv s’écrit
fv=ρg, (1.17)
1.4. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES
où g est l’accélération gravitationnelle, verticale orientée vers le bas.
La force surfacique fs s’appliquant en un point xde la surface δV(t) s’exprime à l’aide d’un tenseur τ et de la normale à δV(t), n . Le théorème suivant donne la structure de la force surfaciquefs.
Théorème 1.2. Si x→fs(x) est C1 alors il existe un tenseur d’ordre 2,τ, appelé tenseur des contraintes tel que la force surfacique s’appliquant en un point x de la surface δV(t) est une fonction continue et linéaire de n, la normale sortante à la surface au point x :
fs=τ·n. (1.18)
Sa démonstration peut se trouver dans [1] et [2].
On a donc ici
fs(x) =τ(x)·n(x), ∀x∈δV(t), (1.19) soit par composante, (1.19) s’écrit
fs,ν(x) = X
1≤µ≤d
τν,µ(x)nµ(x), ∀x∈δV(t), ∀ν ∈J1, dK. (1.20) La relation (1.15) se réécrit donc
d dt
Z
V(t)ρuν dx=Z
V(t)fv,ν dx+Z
δV(t)
X
1≤µ≤d
τν,µnµdx, ∀ν∈J1, dK. (1.21) En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski à (1.21), on obtient
d dt
Z
V(t)ρuν dx=Z
V(t)
fv,ν+ X
1≤µ≤d
∂µτν,µ
dx, ∀ν ∈J1, dK. (1.22)
Par le théorème de transport, (1.22) devient Z
V(t)
∂t(ρuν) + X
1≤µ≤d
∂µ ρuνuµ
dx=Z
V(t)
fv,ν+ X
1≤µ≤d
∂µτν,µ
dx. (1.23)
Cette relation étant valable pour tout volume de contrôleV(t), (1.23) s’écrit
∂t(ρuν) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµuν) =fv,ν+ X
1≤µ≤d
∂µτν,µ . (1.24)
À ce stade, le tenseur des contraintes τ n’est pas spécifié en fonction des inconnues.
1.4.4 Conservation de l’énergie
La conservation de l’énergie totale est l’expression du premier principe de la thermodynamique sous forme locale. Elle exprime que la variation de l’énergie totale dans le volume de contrôle V(t) est la somme de deux quantités notées Qet W :
d dt
Z
V(t)ρEdx=Q+W . (1.25)
Le terme W provient du gain d’énergie résultant du travail des forces s’appliquant au volume V(t). Le terme Q représente le gain d’énergie de type chaleur. L’énergie totale massiqueE est la somme de l’énergie interneeet de l’énergie cinétique :
E =e+1
2kuk2. (1.26)
Le travail, W, des forces agissant sur le volume de contrôle V(t) est le produit scalaire entre les forces et la vitesse. Il se décompose, d’après (1.15), en la somme de deux termes : le travail des forces volumiques et le travail des forces surfaciques :
W =Z
V(t)
X
1≤µ≤d
uµfv,µ dx+Z
δV(t)
X
1≤µ≤d
uµfs,µ dx. (1.27) Par l’équation (1.20) et le théorème de Green-Ostrogradski, la relation (1.27) se réécrit
W =Z
V(t)
X
1≤µ≤d
uµfv,µ+ X
1≤µ≤d 1≤ν≤d
∂ν(τµ,νuµ)dx. (1.28)
La chaleur, Q, est la somme de la contribution volumique Qvet de la contribution surfacique Qs :Q=Qv+Qs. Considérons d’abord le terme de surface, on a
Qs=Z
δV(t)
X
1≤µ≤d
ϕµnµdx, (1.29)
où ϕest le vecteur densité de flux thermique. D’après le théorème de Green-Ostrogradski (1.29) équivaut à
Qs =Z
V(t)
X
1≤µ≤d
∂µϕµdx. (1.30)
En substituant (1.27) et (1.30) dans (1.25) et en l’absence de source volumique, on obtient donc d
dt Z
V(t)ρEdx=Z
V(t)
X
1≤µ≤d
uµfv,µ+ X
1≤µ≤d 1≤ν≤d
∂ν(τµ,νuµ) + X
1≤µ≤d
∂µϕµ
dx. (1.31)
En utilisant le théorème de transport, l’équation (1.31) devient Z
V(t)
∂t(ρE) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµE)dx=Z
V(t)
X
1≤µ≤d
uµfv,µ+ X
1≤µ≤d 1≤ν≤d
∂ν(τµ,νuµ) + X
1≤µ≤d
∂µϕµ dx.
(1.32) La forme locale de cette équation est l’équation de conservation de l’énergie
∂t(ρE) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµE) = X
1≤µ≤d
uµfv,µ+ X
1≤µ≤d 1≤ν≤d
∂ν(τµ,νuµ) + X
1≤µ≤d
∂µϕµ (1.33)
1.5. FERMETURE DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES
Les équations (1.11), (1.24) et (1.33) forment lesystème de Navier-Stokesqui décrit l’évolution des grandeurs thermodynamiques d’un fluide compressible :
∂tρ+ X
1≤µ≤d
∂µρuµ= 0
∂t(ρuν) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµuν) =fv,ν+ X
1≤µ≤d
∂µτν,µ, ∀ν∈J1, dK
∂t(ρE) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµE) = X
1≤µ≤d
uµfv,µ+ X
1≤µ≤d 1≤ν≤d
∂ν(τµ,νuµ) + X
1≤µ≤d
∂µϕµ
(1.34)
Les inconnues de ce système sont la masse volumique ρ, lesdcomposantes de la vitesse u ainsi que l’énergie totaleE. Les termes indéterminés sont le tenseur des contraintes τ et la densité de flux de chaleurϕ. Au total, on a donc un système de d+ 2 équations scalaires et (d+ 2) +d2+d inconnues scalaires. Pour compléter le système d’équations, il faut spécifierτetϕcomme fonctions de (ρ,u, E).
1.5 Fermeture des équations de Navier-Stokes
1.5.1 Tenseur des contraintes
On rappelle que d’après le théorème 1.2, les contraintes surfaciques fs s’appliquant sur le contourδV(t) d’un volume de contrôleV(t) s’écrivent à l’aide du tenseur des contraintesτ et de la normale à δV(t),n de la manière qui suit
fs=τ·n. (1.35)
À l’équilibre hydrostatique, c’est-à-dire pour un fluide au repos, les forces de surface sont nécessairement normales et identiques dans toutes les directions. Ceci implique que le tenseur des contraintes doit nécessairement prendre la forme
τ =−psI, (1.36)
où ps est un scalaire positif appelé pression statique et Ile tenseur dont tous les coefficients sont nuls sauf ses coefficients diagonaux qui valent 1. La définition de pe, la pression au sens thermo- dynamique (voir (1.8)) est également définie pour un fluide au repos. La définition mécanique de la pressionps coïncide donc nécessairement avec pe :
ps=pe. (1.37)
On définit la pression dynamiquepcomme le scalaire qui prend en compte les effets dynamiques.
Cette fonction est nécessairement l’opposée de la trace du tenseur des contraintes τ divisé pard.
À l’équilibre, il doit se confondre avec la pression statiqueps. On a donc p=−tr(τ)
d . (1.38)
On peut montrer (voir [1]) quep est relié à la pression thermodynamique pe par la relation
p−pe=κ∇ ·u, (1.39)
oùκest le second coefficient de viscosité ou viscosité de volume. Pour des fluides quasi-incompressibles, cette contribution est négligeable et il convient alors de faire l’hypothèse de Stokes :
κ= 0, (1.40)
ce qui mène àp=pe.
Lorsque le fluide est en mouvement, les coefficients extra-diagonaux du tenseur des contraintes sont non-nuls. Le tenseur τ prend alors une forme plus générale qu’il est pratique d’écrire en suivant le formalisme utilisé par Batchelor[2] qui distingue la partie isotrope−pI de la partie non isotrope deτ :
τ =−pI+σ. (1.41)
Le tenseur σ est appelé déviateur des contraintes. Il ne faut pas le confondre avec le tenseur des contraintes visqueuses défini par ˜σ=psI+τ . Le tenseur σ s’annule lorsque le fluide est à l’équilibre et on retrouve bien alors la relation (1.36).
La relation entre le déviateur des contraintes σ et les propriétés locales du fluide dépend naturellement du fluide considéré. Un cas particulier fondamental est celui des fluides isotropes.
Ce sont les fluides dont les propriétés locales ne dépendent pas de la direction considérée. Parmi ceux-ci, on distingue trois catégories se différenciant par leur comportement :
• les fluides au comportement élastique,
• les fluides au comportement visqueux,
• les fluides au comportement visco-élastique.
Les fluides les plus courants tels que l’air ou l’eau sont des fluides dont le comportement est principalement visqueux. Nous considérons ici le cas des fluides Newtonien, c’est-à-dire le cas où le tenseur des contraintes visqueuses est une fonction affine des taux de déformation (∇u+∇⊥u)/2.
Dans cette hypothèse, on en déduit que le déviateur des contraintes s’écrit σ=µ ∇u+∇⊥u−2
3∇ ·uI. (1.42)
Donc le tenseur des contraintes s’écrit
τ =−pI+µ ∇u+∇⊥u−2
3∇ ·uI. (1.43)
1.5.2 Loi de Fourier
La relation exprimant le flux de chaleur ϕest la loi de Fourier :
ϕ=−λt∇T , (1.44)
où T est la température et λ désigne la conductivité thermique du fluide en W m−1K−1. Pour un gaz parfait, la température s’exprime dans le jeu de variable (ρ,u, E) par la relation
T = 1 Cv
E−1
2kuk2
. (1.45)
1.6 Les équations d’Euler
Les équations d’Euler correspondent aux équations de Navier-Stokes avec l’hypothèse d’un fluide idéal. Ceci signifie que l’on néglige les effets de viscosité et de conduction thermique.
1.6. LES ÉQUATIONS D’EULER
Autrement dit, dans le cas d’un fluide Newtonien, les coefficients de viscositéµ dans (1.43) et de conductivité thermique λt dans (1.44) sont nuls :
µ= 0, λt= 0. (1.46)
Dans ces conditions, le système (1.34) se réécrit
∂tρ+ X
1≤µ≤d
∂µρuµ= 0
∂t(ρuν) + X
1≤µ≤d
∂µ(ρuµuν)−∂νp=fv,ν, ∀ν ∈J1, dK
∂t(ρE) + X
1≤µ≤d
∂µ
ρuµE+p ρ
= X
1≤µ≤d
uµfv,µ
(1.47)
Ce systèmei constitue les équations d’Euler. Le système (1.47) est entièrement spécifié par la donnée d’une équation d’état du type (1.9).
1.6.1 Forme conservative
Une écriture vectorielle plus concise se formule à l’aide du vecteur des variables conservatives q= (ρ, ρu, ρE)T∈Rd+2
∂tq+ X
1≤µ≤d
∂µfµ(q) =S(q), (1.48)
où le vecteur S(q) ∈ Rd+2 est le vecteur des sources volumiques. Pour tout µ, 1 ≤ µ ≤ d, la fonction vectorielle q→fµ(q) est appelée densité de flux Euler dans la directionµ. L’inconnue du système (1.48) est (t,x)7→q(t,x)∈Rd+2.
En l’absence de source de chaleur, le vecteur des sources volumiques s’écrit
S= (0,fv,u·fv)T, (1.49)
où XT désigne la transposée du vecteurX, supposé être un vecteur colonne.
En dimension d= 3, les flux Euler dans les directionsx,yetzde la base canonique s’écrivent
fx(q) =
ρux ρu2x+p
ρuxuy ρuxuz ux(ρE+p)
, fy(q) =
ρuy ρuxuy
ρu2y+p uyuz uy(ρE+p)
, fz(q) =
ρuz ρuxuz
ρuyuz ρu2z+p uz(ρE+p)
. (1.50)
Dans le système de notations de l’équation (1.48), on a fx =f1,fy =f2 etfz =f3. Chacun des vecteursf(q)µ, pour 1≤µ≤3, s’interprète comme un flux de quantité q dans la directionx,y ou z. Soit n= (n1, n2, n3)∈R3, le flux fn est défini par
fn(q) = X
1≤µ≤d
nµfµ(q). (1.51)
De ce fait, on a
fn(q) =
ρu·n ρ(u·n)u+pn
ρu·n(E+ pρ)
. (1.52)
1.6.2 Forme quasi-linéaire
L’équation (1.48) est la formulation conservative des équations d’Euler exprimées en variable q. Ce système peut aussi s’écrire dans une forme équivalente dite quasi-linéaire en développant le terme de divergence de manière à faire apparaître le gradient deq. Le système d’Euler sous forme quasi-linéaire s’écrit :
∂tq+ X
1≤µ≤d
Jµ(q)∂µq= 0, (1.53)
où les matricesJµ,∀µ∈J1, dKsont définies de la manière qui suit.
Définition 1.1. On appelle matrice jacobienne dans la direction µla matrice Jµ(q)∈ Md+2(R) et définie par
Jµ(q)p1p2 = ∂fµ(q)p1
∂qp2
, ∀(p1, p2)∈J1, d+ 2K
2. (1.54)
On appelle jacobienne des flux Euler dans la direction n ∈ Rd la matrice Jn(q) ∈ Md+2(R) définie par
Jn(q)p1p2 = ∂fn(q)p1
∂qp2
, ∀(p1, p2)∈J1, d+ 2K
2. (1.55)
Il résulte de la relation (1.51) que pour toute direction n∈Rd Jn(q) = X
1≤µ≤d
nµJµ(q). (1.56)
On a alors Jn(q) =
0 nx ny nz 0
−(u·n)ux+nx∂ρp u·n+nx(ux+∂ρuxp) nyux+nx∂ρuyp nzux+nx∂ρuzp nx∂ρEp
−(u·n)uy+ny∂ρp nxuy+ny∂ρuxp u·n+ny(uy+∂ρuyp) nzuy+ny∂ρuzp ny∂ρEp
−(u·n)uz+nz∂ρp nxuz+nz∂ρuxp nyuz+nz∂ρuyp u·n+nz(uz+∂ρuzp) nz∂ρEp
∂ρ(ρu·n(E+pρ)) ∂ρux(ρu·n(E+pρ)) ∂ρuy(ρu·n(E+pρ)) ∂ρuz(ρu·n(E+pρ)) ∂ρE(ρu·n(E+pρ))
(1.57) qui a la structure par bloc :
Jn =
0 nT 0
(−u·n)u+∂ρpn (u·nId+u⊗nT+∇ρup) ∂ρEpn
∇q(ρ·u(E+pρ))
(1.58)
1.6.3 Variables physiques
Le système des équations d’Euler est parfois formulé en variables physiques (ou primitives).
On appelle variables physiques le vecteur U :
U=
up T
.
1.6. LES ÉQUATIONS D’EULER
La forme primitive des équations d’Euler est
∂tU+ X
1≤µ≤d
∂µ˜fµ(U) = ˜S(U), (1.59)
oùU7→˜fµ(U) est le flux Euler exprimé en variables physiques et ˜S(U) est le vecteur des sources volumiques exprimé en variables physiques.
1.6.4 Hyperbolicité des équations d’Euler
On rappelle la définition suivante pour un système de la forme (1.48) avec S(q) = 0.
Définition 1.6.1. Un système de lois de conservation (1.48)est hyperbolique si pour toutn∈Rd et tout q∈Rd+2, la matrice
Jn(q) = X
1≤µ≤d
nµJµ(q) (1.60)
est diagonalisable à valeurs propres réelles.
On a la proposition suivante.
Proposition 1.6.2. Le système des équations d’Euler est un système hyperbolique. La jacobienne des fluxJn(q)a trois valeurs propres réelles :u·n, d’ordre de multiplicité algébriqued,u·n+cknk et u·n−cknk d’ordre de multiplicité 1.
Cette proposition peut être démontrée par deux méthodes. La première consiste en un calcul direct, effectué dans la section 4.2. La seconde méthode utilise la proposition suivante.
Proposition 1.6.3. Il existe un système de variablesq7→q(q)ˆ ∈Rd+2tel que la matriceAo(ˆq) = Dqˆq soit symétrique définie positive et tel que la matrice Aµ(ˆq) = Dqˆfµ(ˆq) soit symétrique.
Corollaire 1.6.4. Le système des équations d’Euler est hyperbolique.
En effet, on a la démonstration suivante.
Démonstration. Le système (1.53) se réécrit Ao(ˆq)∂tqˆ+ X
1≤µ≤d
Aµ(ˆq)∂µqˆ = 0 (1.61)
avec
Aµ(ˆq) =Jµ(q(ˆq))Ao(ˆq), 1≤µ≤d . (1.62) Soitn∈Rd, par symétrie deAµ(ˆq) et puisqueAo(ˆq) est symétrique définie positive, il existe une base de vecteurs propres (Rα)1≤α≤d+2 etλα ∈R tels que
X
1≤µ≤d
nµAµ(ˆq)Rα =λαAo(ˆq)Rα (1.63)
ce qui équivaut à X
1≤µ≤d
nµJµ(q)R0α=λαRα0 (1.64)
avec R0α =AoRα.
Chapitre 2
Description de la chaîne Cedre
Sommaire
2.1 Présentation générale . . . 14 2.2 Modèle géométrique . . . 14 2.3 Le solveur fluide Charme . . . 15 2.3.1 Modèles physiques . . . . 15 2.3.2 Discrétisation spatiale . . . . 16 2.3.3 Intégration temporelle . . . . 21
2.1 Présentation générale
La plateforme Cedreest une chaîne de calculs pour la mécanique des fluides et l’énergétique.
De nombreux formats de maillage sont acceptés en entrée de chaîne (Gmsh,Icem,Centaur, Star-Ccm+ etc.) et une interface graphique sous qt permet à l’utilisateur de saisir les données de modèles physiques et méthodes numériques. Des utilitaires supplémentaires permettent de préciser des conditions initiales dépendant de l’espace, ou des conditions aux limites fonction de l’espace et/ou du temps.
Le code Cedre proprement dit fait interagir un ensemble de solveurs consacrés à des sous- systèmes physiques intervenant dans les applications d’énergétique :
• le solveur Charme simule l’écoulement d’un milieu soumis aux équations de l’aérother- mochimie (extension des équations de Naviers-Stokes prenant en compte les réactions chimiques entre plusieurs espèces) ;
• le fluide peut porter une phase dispersée liquide ou solide traitée dans l’approche eulérienne (solveur Spiree) ou suivant le point de vue lagrangien (solveur Sparte) ;
• le solveur Acacia permet de simuler les transferts thermiques dans des parois solides indéformables ;
• les échanges radiatifs sont simulés par suivi de rayons (solveur Astre) ou par une méthode d’ordonnées discrètes (solveur Rea) ;
• le solveur Film applique une approche de Saint-Venant à la simulation de films liquides ruisselant sur les parois.
Diverses possibilité de post-traitement sont offertes en sortie de chaîne : passage par une interface graphique sous qt pour l’exploitation des résultats globaux et l’écriture de fichiers pour les logiciels de visualisation, sorties directes Ensight, écritures sur nuages de points pour certains types de post-traitements (acoustique etc.)
Le code Cedre est adapté au calcul massivement parallèle. La parallélisation s’étend éga- lement aux opérations d’entrée-sortie et à divers prétraitements géométriques (partitionnement dynamique, intersections de maillages, etc.)
2.2 Modèle géométrique
L’espace physique de simulation est représenté par une ou plusieurs zone(s) ou domaine(s) utilisateur. En général, chacun de ces domaines correspond au résultat d’une séance de maillage et à une numérotation indépendante pour les diverses entités géométriques (sommets, faces, cellules, faces limites). Pour les besoins du calcul parallèle, chaque domaine est partitionné auto- matiquement (PtScotch, ParMetis) en sous-domaines, mais cette opération est maintenant transparente pour l’utilisateur et ne concerne pas le modèle géométrique proprement dit.
Chaque domaine utilisateur est constitué de cellules polyédriques quelconques. Plus précisé- ment,
• chaque cellule est limitée par un nombre quelconque de faces comme dans l’exemple en 2 dimensions de la figure 2.1. Inversement, chaque face met en communication deux cellules exactement, y compris aux frontières où le maillage est complété par des cellules limites qui serviront de supports à des degrés de liberté indépendants,
• chaque face repose sur un nombre quelconque de sommets. Le contour polygonal (en général non plan dans une configuration géométrique en 3 dimensions) de chaque face est constitué de segments de droites reliant les sommets, ce qui définit complètement le vecteur surface.
Par convention, chaque face est constituée d’une triangulation reposant sur les arêtes du
2.3. LE SOLVEUR FLUIDE CHARME
α β
Fig. 2.1Maillage de polyèdres quelconques : celluleαayant 6 faces au contact d’une celluleβ à 4 faces. La triangulation unique depuis les barycentres est en pointillé.
contour et sur un point commun. En général, il est commode de définir ce point commun comme centre de gravité de la triangulation car cette définition implicite a une solution unique. On représente la triangulation des cellulesα etβ en pointillé sur la figure 2.1.
Chaque cellule est ainsi complètement définie et on peut calculer toutes ses propriétés géométriques (volume et centre de gravité de chaque cellule, vecteur surface et centre de gravité de chaque face
etc.). Les données de maillages sont les positions de sommets et les connectivités définissant
• la liste des sommets du contour de chaque face,
• la liste des faces de chaque cellule,
• le nom affecté à chaque face limite.
Ce maillage peut être mobile et/ou déformable (fonctionnalité Ale) : la connaissance de la position de chaque sommet en fonction du temps permet de calculer à chaque instant les données géométriques et cinématiques (vitesses moyennes de faces, volumes balayés pendant un intervalle de temps donné etc.). La position des sommets en fonction du temps peut être imposée ou calculée (cas d’un maillage lié rigidement à un solide soumis à un torseur dynamique issu du fluide).
Le code permet maintenant des remaniements topologiques au cours du calcul, ce qui signifie que la liste des sommets, faces et cellules et les connectivités associées peuvent évoluer au cours d’un calcul. La première application opérationnelle de cette généralisation est de permettre d’intersecter dynamiquement des maillages en éliminant les parties cachées.
2.3 Le solveur fluide Charme
2.3.1 Modèles physiques
Ce solveur est dédié aux simulations numériques fondées sur les équations de bilan de l’aéro- thermochimie. Par rapport à la turbulence, divers niveaux de modélisation sont possibles (pas de modèles, modèles adaptés à la simulation des grandes échelles, modèles de type Rans). Le jeu de variable des quantités conservées q, étendu aux équations de l’aérothermochimie, décrivant l’état du système en tout point et à chaque instant est
• masses volumiques des espèces chimiques du mélange fluide (nesp quantités),
• quantité de mouvement volumique du mélange (3 composantes pour une quantité vecto-
