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Mamouni MPSI-Maths

R´esum´e de cours D´eriv´ees et Primitives

mamouni.myismail@gmail.com www.chez.com/myismail .

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R´ esum´ e de cours : D´eriv´ees et Primitives

HX5-MPSI, CPGE My Youssef, Rabat

10 octobre 2008

1 Notion de d´ eriv´ ee.

Dans toute cette partie I d´esigne un intervalle de R,f ∈ F(I,R) eta∈I.

1.1 G´ en´ eralit´ es

D´efinition 1 On dit que f est d´erivable en a si et seulement si : la limite suivante

x→alim

f(x)−f(a)

x−a existe et soit finie on la note parf⁰(a) et on l’appelle d´eriv´ee de f au point a.

Proposition 1 Toute fonction d´erivable en un point est continue en ce point ; la r´eciproque n’est pas toujours vraie.

Remarque 1 .

1) f est d´erivable en a si et seulement si lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h existe et soit finie, dans ce cas lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f⁰(a).

2) Si f est d´erivable en a, alors la courbe de f au point a admet une tangente d’´equation :y=f⁰(a)(x−a) +f(a).

En particulier sif⁰(a) = 0, alors la tangente est horizontale, et si lim

x→a

f(x)−f(a) x−a =

∞, alors elle est verticale.

1.2 D´ eriv´ ees classiques

Fonction D´eriv´ee Domaine Fonction D´eriv´ee Domaine

cos −sin R sin cos R

xⁿ, n∈N^∗ nxⁿ⁻¹ R x^α αx^α−1, , α∈R x >0 1

xⁿ, n∈N^∗ − n

xⁿ⁺¹ R^∗ tanx 1 + tan²x= 1

cos²x x6= π 2 +kπ

exp(x) exp(x) R lnx 1

x x >0

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1.3 Op´ erations sur les d´ eriv´ ees

Dans cette partie on suppose f etg d´erivables au pointa, on a les r´esultats suivants : 1) f+g est d´erivable ena avec(f+g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a).

Dans le cas g´en´eral, si (fk)k est une famille finie de fonctions d´erivables au point a, alors la sommeX

k

fk est aussi d´erivable au point a, avec

X

k

fk

!0

(a) =X

k

f_k⁰(a)

autrement dit on peut intervertir les signes somme finie et d´eriv´ee.

2) f g est d´erivable enaavec (f g)⁰(a) =f⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a).

Dans le cas g´en´eral, si (f_k)_k est une famille finie de fonctions d´erivables au point a, alors le produitY

k

fk est aussi d´erivable au pointa, avec

Y

k

f_k

!⁰

(a) =X

k

f_k⁰(a)Y

i6=k

f_i(a)

donc on ne peut pas intervertir les signes produit finie et d´eriv´ee.

3) Si f⁰(a)6= 0, alors 1

f est d´erivable en aavec 1

f 0

(a) =−f⁰(a) f²(a).

4) Si f(a) ∈ I et si g est d´erivable en f(a) alors gof est d´erivable en a avec (gof)⁰(a) = f⁰(a)g⁰(f(a)).

En particulier sif est d´erivable on a les r´esultats suivants : (fⁿ)⁰ =nf⁰fⁿ⁻¹, e^f0

=f⁰e^f, (lnf)⁰ = f⁰ lnf.

5) Si f est bijective et d´erivable en a, alors f⁻¹ est d´erivable en b =f(a) avec f⁻¹0

(b) = 1

f⁰(f⁻¹(b)).

1.4 Extremum

D´efinition 2 .

1) On dira que f admet un minimum global au point a si et seulement si f(a)≤f(x), ∀x∈I.

2) On dira que f admet un maximum global au point a si et seulement si f(a)≥f(x), ∀x∈I.

3) On dira quef admet au pointaun extremum global, si elle y admet un minimum ou maximum global.

D´efinition 3 .

1) On dira que f admet un minimum local au point a si et seulement si

∃ε >0 tel quef(a)≤f(x), ∀x∈I∩]a−ε, a+ε[.

2) On dira que f admet un maximum local au point a si et seulement si

∃ε >0 tel quef(a)≥f(x), ∀x∈I∩]a−ε, a+ε[.

3) On dira quef admet au pointaun extremum local, si elle y admet un minimum ou maximum local.

Remarque 2 Un extremum global est local, la r´eciproque n’est pas toujours vraie.

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Proposition 2 Si f admet un extremum local ou global au pointa, si f est d´erivable au pointa, et si a n’est pas une borne de l’intervalle I, alors f⁰(a) = 0.

Remarque 3 .

1) La r´eciproque de la proposition pr´ec´edente n’est pas toujours vraie, i.e. f⁰(a) = 0;f admet au point aun extremum.

2) Les trois conditions de la proposition pr´ec´edente sont necessaire, si on enl`eve l’une d’elles, la d´eriv´ee n’est pas forc`ement nulle.

1.5 D´ eriv´ ees successives

1.5.1 G´en´eralit´es D´efinition 4 .

1) On dira que f est de classe C¹ sur I si f est d´erivable sur I et sif⁰ continue sur I, l’ensemble de telles fonctions se noteC¹(I,R).

2) On dira que f est de classe Cⁿ sur I si f est n-fois d´erivable sur I et si f⁽ⁿ⁾ continue sur I, l’ensemble de telles fonctions se note Cⁿ(I,R).

3) On dira que f est de classe C^∞ sur I si f Cⁿ sur I, ∀n ∈ N, autrement dit indifiniment d´erivable, l’ensemble de telles fonctions se note C^∞(I,R).

Remarque 4 Avec les notations pr´ec`edentes, on a :

1) f est de classeC⁰sur I⇐⇒f est continue surI, autrement dit :C⁰(I,R) =C(I,R).

2) f est de classe Cⁿ⁺¹ sur I=⇒f est de classe Cⁿ sur I, donc Cⁿ⁺¹(I,R)⊂ Cⁿ(I,R).

3) C^∞(I,R) = \

n∈N

Cⁿ(I,R).

1.5.2 D´eriv´ees classiques

A apprendre les d´` eriv´ees suivantes : 1) (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x.

2) (cosx)⁽ⁿ⁾= cos x+n^π₂ . 3) (sinx)⁽ⁿ⁾= sin x+n^π₂

. 4) (xⁿ)^(k)= A^k_nx^n−k si n≥k

n! si n=k

0 si n > k 5)

1 x

⁽ⁿ⁾

= (−1)ⁿn!

xⁿ⁺¹ . 6) (lnx)⁽ⁿ⁾= (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!

xⁿ .

1.5.3 Quelques caract´erisations globales

Toutes les fonctions consid´er´ees sont de classe C^∞, on a les r´esultats suivants : Th´eor´eme 1 f croissante sur I si et seulement si f⁰ ≥0 sur I.

Remarque 5 f⁰>0surI=⇒f strict. croissante surI, la r´eciproque n’est pas toujours vraie. Toutefois si f⁰ >0 sur I sauf peut ˆetre en un nombre fini ou d´enombrable de points, alors f est strict. croissante sur I

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Th´eor´eme 2 f convexe sur I si et seulement si f⁰⁰≥0 sur I.

On rappelle qu’une fonctionf est dite convexe surI si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e suivante :

f(tx+ (1−t)y)≤tf(x) + (1−t)f(y),∀t∈[0,1],∀x, y∈I

2 Primitives

2.1 G´ en´ eralit´ es

Toutes les fonctions consid´er´ees sont continues sur [a, b].

D´efinition 5 On appelle primitive def sur [a, b]toute fonctionF de classeC¹ sur[a, b]

telle que F⁰ =f.

Th´eor´eme 3 L’applicationF d´efinie pour toutx∈[a, b]par la relationF(x) = Z x

a

f(t)dt est l’unique primitive de f sur [a, b] qui s’annulle en a et toute autre primitive G de f s’obtient `a l’aide de la formule G(x) =

Z x

a

f(t)dt+G(a).

2.2 Propri´ et´ es de l’int´ egrale

– Lin´eaire : Z

[a,b]

f+λg= Z

[a,b]

f+λ Z

[a,b]

g.

– Positif : f ≥0 =⇒ Z

[a,b]

f ≥0.

– Croissant : f ≤g=⇒ Z

[a,b]

f ≤0 Z

[a,b]

. – Relation de CHASLES.

Z

[a,b]

f + Z

[b,c]

f = Z

[a,c]

. –

Z

[a,b]

f

≤ Z

[a,b]

|f|.

– Z

[a,b]

f g

≤sup

[a,b]

|f|

Z

[a,b]

|g|. In´egalit´e de la moyenne.

2.3 Technique de calculs

Toutes les fonctions consid´er´ees sont de classe C¹, on a les r´esultats suivants : Th´eor´eme 4

Z b

a

f⁰(t)dt=f(b)−f(a) not´e souvent[f]^b_a.

Th´eor´eme 5 Int´egration par parties : Z b

a

f⁰(t)g(t)dt= [f g]^b_a− Z b

a

f(t)g⁰(t)dt

Th´eor´eme 6 Changement de variable : Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(u)du, o`u u=ϕ(t).

Fin.

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