S´ edimentation de macromol´ ecules.
On assimile des macromol´ecules `a des sph`eres de rayon r = 1 µm, de masse volumique µ = 1,2.103 kg.m−3, en suspension dans un fluide de masse volumique µ0 = 1,0.103 kg.m−3 et de vis- cosit´e η= 1,0.10−3kg.m−1.s−1. L’intensit´e de la pesanteur estg= 9,81 m s−2.
Question 1 :
Au bout d’un tempsτ tr`es bref, les mol´ecules acqui`erent une vitesse de chute constante v∞. Calculer τ et v en fonction des donn´ees, puis num´eriquement. Calculer le nombre de Reynolds pour v´erifier a posteriori l’hypoth`ese utilis´ee.
Projetons sur la verticale descendante l’´equation du mouvement sans oublier la pouss´ee d’Archim`ede ni la force de traˆın´ee (formule de Stokes) :
4π
3 µ r3dv dt = 4π
3 µ r3g−4π
3 µ0r3g−6π η r v Par identification `a la forme canonique τdvdt +v=v∞, on tire :
v∞= 2 (µ−µ0)r2g
9η = 2µ∗r2g 9η avec µ∗=µ−µ0, et
τ = 2µ r2 9η
L’A.N. donneτ = 0,267µs etv∞= 0,437µm s−1 = 1,57 mm h−1 (vitesse du microbe au galop ?).
Le nombre de Reynols est ici :
R= µ0r v
η = 0,437 10−6
tr`es largement dans la zone de validit´e de la formule de Stokes (R<10).
Question 2 :
En d´eduire l’existence d’une densit´e de flux de particules js, due `a ce ph´enom`ene de s´edimentation, que l’on exprimera en fonction des donn´ees et de la densit´e particulaire not´ee n(z).
Cette densit´e de flux rel`eve d’un ph´enom`ene convectif, c’est-`a-dire m´esoscopique.
A l’oral on peut ´evoquer l’analogie avec le−→
j =µ−→v de la m´ecanique des fluides ou le−→ j =P
iρi−→vi
de l’´electromagn´etisme pour affirmer que le fluxdescendant est js =n v∞.
Si l’examinateur demande des pr´ecisions, dites que, pendant dt, les particules descendent de dz = v∞dtet que celles qui traversent une surface horizontale d’aire dS pendant dtse trouvent initialement dans un cylindre de base dS et de hauteur dz; elles sont donc contenues dans un volume dV = dSdz qui en contient, `a l’altitude z,
dN =n(z) dV =n(z) dSdz=n(z) dS v∞dt
Le flux particulaire est dN/dtet la densit´e de flux descendant js= dN
dSdt =n(z)v∞
Puisque les particules descendent, il y en a plus en bas qu’en haut, c’est pourqouind´epend de z.
Question 3 :
La s´edimentation a pour cons´equence l’apparition d’un gradient de concentration donc
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d’une densit´e de flux de particules jd, due `a la diffusion (de coefficient D). Exprimer jd en fonction des donn´ees et de la densit´e particulaire n(z).
Cette densit´e de flux rel`eve d’un ph´enom`ene diffusif, c’est-`a-dire microscopique.
Elle suit la loi de Fourier donc, si l’axe des z est, selon la tradition, orient´e vers le haut, le flux diffusif ascendantest
jd=−Ddn dz Question 4 :
Que peut-on dire, en r´egime permanent, de la diff´erence js−jd? Et compte tenu de ce qui se passe au fond et en surface ?
Le nombre de particules contenues dans un cylindre de hauteut dzest constante, donc pendant un intervalle de temps dt il entre autant de particules par la cote z qu’il n’en sort par la cotez+ dz on en d´eduit que les flux globaux, puis les densit´es de flux globales sont ´egaux ; donc la densit´e de flux globale est uniforme soit puisqu’elle est somme alg´ebrique des contributions convective et diffusive
−js(z) +jd(z) =Cte
Or au fond (et aussi en surface), le flux est nul, car aucune mol´ecule ne peut quitter la solution en traversant le fond, donc la constante est nulle.
Question 5 :
En d´eduire quen(z)v´erifie la loi :n(z) =n(0) exp (−z/h) o`u l’on exprimera h en fonction des donn´ees.
On a donc
−n(z)v∞−Ddn dz = 0 dn
n =−v∞
D dz d’o`u
n(z) =n(0) expv∞z D
=n(0) exp
2µ∗r2g z 9η D
Question 6 :
En identifiant ce r´esultat `a une r´epartition de Boltzmann, en d´eduire la relation d’Ein- stein : D=kBT /6π r η
La statistique de Boltzmann donnerait
n(z) =n(0) exp
E(z) kBT
o`u E(z) est l’´energie potentielle de la macromol´ecule `a l’altitudez. Le bilan de la pesanteur et de la pouss´ee d’Archim`ede est une force en m∗g =µ∗V g avec V = 43π r3 donc une ´energie en m∗g z = µ∗V g z
En identifiant les arguments des exponentielles, on a : 2µ∗r2g z
9η D = µ∗43πr3g z kBT d’o`u, en touillant `a peine :
D= kBT 6π r η
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