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Sur la convergence sous-exponentielle de processus de Markov
Xinyu Wang
To cite this version:
Xinyu Wang. Sur la convergence sous-exponentielle de processus de Markov. Mathématiques générales [math.GM]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2012. Français. �NNT : 2012CLF22253�.
�tel-00840858�
N◦ d’Ordre: D.U. 2253
UNIVERSITE BLAISE PASCAL U.F.R. Sciences et Technologies
ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES FONDAMENTALES N
◦718
THESE
pr´esent´ee pour obtenir le grade de
DOCTEUR D’UNIVERSITE
Sp´ecialit´e:
Math´ematiques Appliqu´ees
Par WANG Xinyu Master Universit´ e de Wuhan
Sur la convergence sous-exponentielle de processus de Markov
Soutenue publiquement le 4 Juillet 2011, devant la commission d’examen.
Pr´esident : WU Liming, Professeur
Examinateurs: BOLLEY Fran¸cois, Maˆıtre de conf´erences
CATTIAUX Patrick, Professeur (Rapporteur) CHUPIN Laurent, Professeur
GENTIL Ivan, Professeur (Rapporteur)
GUILLIN Arnaud, Professeur
Remerciements
Je souhaite en premier lieu exprimer toute ma gratitude `a Arnaud Guillin et Liming WU pour ces trois ann´ee de travail passionnant. Je leur suis infiniment reconnaissant, non seulement pour leur encadrement scientifique, mais aussi pour leur confiance et leur soutien.
Je remercie tr`es sinc´erement Patrick Cattiaux et Ivan Gentil d’avoir accept´e de rapporter cette th`ese. Je suis tr`es honor´e par leur lecture attentive de ce manuscrit, leurs pr´ecieux commentaires et leur int´erˆet pour mon travail.
Je remercie chaleureusement Francois Bolley et Laurent Chupin pour l’hon- neur qu’ils m’ont fait en acceptant de participer `a mon jury de th`ese.
Je n’oublie pas de saluer l’ensemble des membres du laboratoire de Math´ematiques de l’UBP ainsi que les autres th´esards qui ont travers´e ces trois ann´ees avec moi.
Je pense `a Val`ere Bitseki Penda, J¨oel Cohen, Mariane Chatard, Mehdi FHIMA, St´ephane Charpentier, Hac`ene Djellout, Damien Ferney et C´edric Barrel.
J’adresse mes plus sinc`eres remerciements aux personnels administratifs du laboratoire de Math´ematiques de l’UBP, `a savoir : Val´erie Sourlier, Karine Da- rot.
Je terminerai en remerciant ´evidemment ma famille et ma belle famille qui m’ont beaucoup soutenu pendant ces trois ann´ees. Merci `a mes amis en France : Huanxiu Guo et Hang Xiong.
Avec beaucoup de tendresse, merci Shulan pour ton soutien et ta patience.
The highest form of pure thought is in mathematics Plato
R´esum´e
Ma th`ese de doctorat se concentre principalement sur le comportement en temps long des processus de Markov, les in´egalit´es fonctionnelles et les tech- niques relatives. Plus sp´ecifiquement, Je vais pr´esenter les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov dans deux approches : la m´ethode Meyn-Tweedie et l’hypocoercivit´e (faible). Le document se divise en trois parties.
Dans la premi`ere partie, Je vais pr´esenter quelques r´esultats importants et des connaissances connexes. D’abord, un aper¸cu de mon domaine de recherche sera donn´e. La convergence exponentielle (ou sous-exponentielle) des chaˆınes de Markov et des processus de Markov (`a temps continu) est un sujet d’actualit´e dans la th´eorie des probabilit´e. La m´ethode traditionnelle d´evelopp´ee et popu- laris´ee par Meyn-Tweedie est largement utilis´ee pour ce probl`eme. Dans la plu- part des r´esultats, le taux de convergence n’est pas explicite, et certains d’entre eux seront bri`evement pr´esent´es. De plus, la fonction de Lyapunov est cruciale dans l’approche Meyn-Tweedie, et elle est aussi li´ee `a certaines in´egalit´es fonc- tionnelles (par exemple, in´egalit´e de Poincar´e). Cette relation entre fonction de Lyapounov et in´egalit´es fonctionnelles sera donn´ee avec les r´esultats au sensL2. En outre, pour l’exemple de l’´equation cin´etique de Fokker-Planck, un r´esultat de convergence exponentielle explicite de la solution sera introduite `a la mani`ere de Villani : l’hypocoercivit´e. Ces contenus sont les fondements de mon travail, et mon but est d’´etudier la d´ecroissance sous-exponentielle.
La deuxi`eme partie, fait l’objet d’un article ´ecrit en coop´eration avec d’autres sur les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Mar- kov `a temps continu. Comme nous le savons, les r´esultats sur les taux de convergence explicites ont ´et´e donn´es pour le cas exponentiel. Nous les ´etendons au cas sous-exponentielle par l’approche Meyn-Tweedie. La cl´e de la preuve est l’estimation du temps de passage dans un ensemble ”petite”, obtenue par Douc, Fort et Guillin, mais pour laquelle nous donnons une preuve plus simple.
Nous utilisons aussi la construction du couplage et donnons une ergodicit´e sous- exponentielle explicite. Enfin, nous donnons quelques applications num´eriques.
Dans la derni`ere partie, mon second article traite de l’´equation cin´etique de Fokker-Planck. Je prolonge l’hypocoercivit´e `a l’hypocoercivit´e faible qui corres- pond `a in´egalit´e de Poincar´e faible. Grˆace `a cette extension, on peut obtenir le taux de convergence explicite de la solution, dans des cas sous-exponentiels.
La convergence est au sensH1 et au sensL2. `A la fin de ce document, j’´etudie le cas de l’entropie relative comme Villani, et j’obtiens la convergence au sens de l’entropie. Enfin, Je donne deux exemples pour les potentiels qui impliquent l’in´egalit´e de Poincar´e faible ou l’in´egalit´e de Sobolev logarithmique faible pour la mesure invariante.
Mots cl´es : m´ethode de couplage, ergodicit´e, hypocoercivit´e, ´equation cin´etique de Fokker-Planck, fonction de Lyapunov, processus de Markov, en- semble petite, ensemble petit, in´egalit´e de Poincar´e faible, in´egalit´es de Sobolev logarithmique faible.
Abstract
My Ph.D dissertation mainly focuses on long time behavior of Markov processes, functional inequalities and related techniques. More specifically, I will present the computable sub-exponential convergence rate of the Markov process in two approaches : Meyn-Tweedie’s method and (weak) hypocoercivity. The paper consists of three parts.
In the first part, I will introduce some important results and related know- ledge. Firstly, overviews of my research field are given. Exponential (or sub- exponential) convergence of Markov chains and (continuous time) Markov pro- cesses is a hot issue in probability. The traditional method - Meyn-Tweedie’s approach is widely applied for this problem. Most of the results about conver- gence rate is not explicit, and some of them will be introduced briefly. In addi- tion, Lyapunov function is crucial in Meyn-Tweendie’s aproach, and it is also related to some functional inequalities (for example, Poincar´e inequality). The relationship of them will be given with results in L2 sense. Furthermore, as a example of kinetic Fokker-Planck equation, a computable result of exponential convergence of the solution of it will be introduced in Villani’ way - hypocoerci- vity. These contents are foundations of my work, and my destination is to study the sub-exponential decay.
In the second part, it is my article cooperated with others about sub- exponential convergence rate of continuous time Markov processes. As we all know, the explicit results of convergence rate is about the exponential case. We extend them to sub-exponential case in Meyn-Tweedie’s approach. The key of the proof is the estimation of the hitting time to small set which was got by Douc, Fort and Guillin, for which we also propose an alternative simpler proof. We also use coupling construction as others and give a quantitative sub-exponential ergodicity. At last, we give some calculations for examples.
In the last part, my second article deal with the kinetic Fokker-Planck equa- tion. I extend the hypocoercivity to weak hypocoercivity which correspond to weak Poincar´e inequality. Through the extension, one can get the computable rate of convergence of the solution, which is also sub-exponential case. The convergence is in H1 sense and in L2 sense. In the end of this paper, I study the relative entropy case as C.Villani, and get convergence in entropy. Finally, I give two examples for potentials that implies weak Poincar´e inequality or weak logarithmic Sobolve inequality for invarient measure.
Mots cl´es : coupling method, ergodicity, hypocoercivity, kinetic Fokker- Planck equation, Lyapunov function, Markov process, petite set, small set, weak Poincar´e inequality, weak logarithmic Sobolev inequality.
Table des mati` eres
I Pr´ esentation g´ en´ erale des r´ esultats 3
1 Aper¸cu de la th`ese 4
1.1 Introduction . . . 4 1.1.1 D´efinition et notation du processus de Markov . . . 4 1.1.2 Processus de Markov et ergodicit´e : un bref rappel historique 4 1.1.3 Semi-groupe, mesure invariante, et processus de Markov
r´eversible . . . 5 1.1.4 Processus de Markov conduit par une ´equation diff´erentielle
stochastique . . . 6 1.2 Ergodicit´e exponentielle des chaˆınes et processus de Markov . . . 7 1.2.1 Ergodicit´e exponentielle des chaˆınes de Markov . . . 7 1.2.2 Bornes quantitatives pour les taux de convergence expo-
nentielles de processus de Markov . . . 8 1.3 In´egalit´e de Poincar´e et temps d’atteinte . . . 10 1.4 Convergence sous-exponentielle des processus de Markov . . . 11 1.5 In´egalit´e fonctionnelle etL2-d´ecroissance de processus de Markov 12
1.5.1 Le lien entre in´egalit´e de Poincar´e (faible) et la conver- genceL2(sous) exponentielle . . . 13 1.5.2 De Lyapunov `a Poincar´e et vice versa . . . 14 1.5.3 In´egalit´e de Lyapunov-Poincar´e et fonction de Lyapunov . 15 1.5.4 In´egalit´e faible de Sobolev logarithmique et convergence
pour l’entropie . . . 17 1.6 Un autre aper¸cu sur l’ergodicit´e des chaˆınes de Markov . . . 18 1.7 Hypocoercivit´e et d´ecroissance exponentielle . . . 19 1.7.1 Op´erateurL=A∗A+B, coercivit´e et hypocoercivit´e . . 20 1.8 L’´equation lin´eaire cin´etique de Fokker-Planck . . . 21 1.8.1 Une nouvelle norme ´equivalente `aH1 . . . 22 1.8.2 Hypocoercivit´e et convergence exponentielle dans le sens
H1 et L2 . . . 22 1.8.3 Convergence exponentielle au sens entropique . . . 23 1.8.4 Comparaison entre les approches habituelles . . . 24
2 Convergence sous-exponentielle de processus de Markov en temps
continu 26
2.1 Taux de convergence explicites sous-exponentielles en temps discret 26
2.2 Les hypoth`eses et les d´efinitions . . . 28
2.2.1 Petite ensemble etD(C,V, φ, b) . . . 28
2.2.2 Conditions de Lyapunov pourD(C,V, φ, b) . . . 29
2.3 Une estimation des moments de temps de retour . . . 30
2.4 R´esultats principaux et les preuves . . . 30
2.4.1 Taux sous-exponentielle de convergence . . . 30
2.4.2 La construction de la trajectoire . . . 31
2.4.3 Condition de d´erive bivari´ee et contrˆole du temps de r´eg´en´eration 32 2.4.4 Preuves . . . 33
2.5 Application et exemple . . . 34
2.5.1 Le cas r´eversible . . . 34
2.6 Probl`emes ouverts . . . 37
3 Convergence sous-exponentielle dans l’´equation cin´etique lin´eaire de Fokker-Planck 38 3.1 Construction de la nouvelle norme . . . 38
3.2 Convergence sous-exponentielle dansH1 et dansL2 . . . 39
3.2.1 Convergence sous-exponentielle dansH1 . . . 39
3.2.2 Convergence sous-exponentielle dansL2 . . . 40
3.3 Convergence sous-exponentielle dans le sens entropique . . . 40
3.3.1 entropie modifi´ee . . . 41
3.3.2 In´egalit´e de Sobolev logarithmique faible et l’´equation cin´etique de Fokker-Planck . . . 41
3.4 Deux exemples . . . 42
3.4.1 Potentiels comme (1 +α) log(1 +|x|) . . . 42
3.4.2 Potentiels comme|x|p . . . 43
3.5 probl`eme ouvert . . . 44
II Explicit sub exponential rates of convergence for conti-
nuous time Markov processes 54
III Sub-exponential decay in Fokker-Planck equation :
weak hypocoercivity 76
Premi` ere partie
Pr´ esentation g´ en´ erale des
r´ esultats
Chapitre 1
Aper¸cu de la th` ese
1.1 Introduction
1.1.1 D´ efinition et notation du processus de Markov
Dans la th´eorie des probabilit´es et des statistiques, un processus de Mar- kov est un processus stochastique qui satisfait `a la propri´et´e de Markov. Un processus satisfait la propri´et´e de Markov, si on peut pr´evoir l’avenir de proces- sus fond´ee uniquement sur son ´etat actuel et non conditionnellement `a tout le pass´e, i.e., conditionnellement `a l’´etat pr´esent du syst`eme, l’avenir et le pass´e sont ind´ependants. Math´ematiquement, on d´efinit un processus de Markov de la fa¸con suivante.
D´efinition 1.1.1. Soit(Ω,F,(F)t≥0,P)un espace de probabilit´e filtr´e ; un pro- cessus adapt´e X d’espace d’´etat (E,E) est un processus de Markov homog`ene adapt´e `a (F)t, de semi groupe de transition Ps, si pour toute f ∈ E+ et tout (s, t)v´erifiant s < t,
E[f(Xt)|(F)s] =Pt−sf(Xs) P−p.p..
1.1.2 Processus de Markov et ergodicit´ e : un bref rappel historique
Les mod`eles de Markov sont largement appliqu´es `a diff´erents domaines.
Malgr´e son apparition datant d’environ un si`ecle, l’´etude des processus de Mar- kov est plus que jamais d’actualit´e, tant dans des applications pratiques que pour des r´esultats th´eoriques fins. Dans cet th`ese, on s’int´eresse principalement au comportement du processus de Markov `a long terme, et plus particuli`erement,
`a la convergence sous-exponentielle du processus de Markov vers sa probabilit´e invariante (qui existera toujours sous nos hypoth`eses).
Tout d’abord, en temps discret, la stabilit´e stochastique et la th´eorie ergo- dique des chaˆınes de Markov ont ´et´e syst´ematiquement ´etudi´ees par Meyn et Tweedie dans le livre r´ef´erence [101], qui fournit un cadre g´en´eral pour l’´etude du
comportement en temps long des chaˆınes de Markov mais principalement avec des contrˆoles non explicites (sauf pour des conditions de type Doeblin). Par la suite l’´etude de bornes quantitatives pour la convergence des chaˆınes de Markov a connu un essor ´enorme ces 20 derni`eres ann´ees suivant l’explosion de l’attrac- tivit´e des m´ethodes de Monte Carlo par chaˆınes de Markov,. Par exemple, Meyn et Tweedie [101], Rosenthal [114], Roberts et Rosenthal [110], Douc, Moulines et Rosenthal [62] ont obtenu les vitesses quantitatives de convergence pour les chaˆınes de Markov (in)homog`enes, avec vitesses exponentielles principalement.
Robert et Rosenthal [110] (voir aussi [102, 103]) ont d´evelopp´e ces r´esultats pour les processus de Markov `a temps continu, en utilisant des conditions de d´erive dites aussi de Lyapunov et des conditions de minoration, li´ees `a des m´ethodes de couplage. Pourtant, la convergence mentionn´ee ci-dessus est g´en´eralement exponentielle (ergodicit´e g´eom´etrique). A ma connaissance, l’´etude de condi- tions pratiques pour la convergence sous exponentielle des chaˆınes de Markov a d´ebut´e par Nummelin et Tuominen [106], mais avec des conditions de Lyapu- nov it´er´ees malheureusement peu exploitables. Douc, Moulines et Soulier [108]
ont g´en´eralis´e les r´esultats sur la convergence sous-exponentielle des chaˆınes de Markov et ont donn´e des conditions simples pour avoir des vitesses calculables de convergence .
Suite `a ces travaux en temps discret, Fort et Roberts [65] furent parmi les pre- miers `a ´etudier, syst´ematiquement, l’ergodicit´e sous-exponentielle de processus de markov (fort) en temps continu. Ils ont pu donn´e une suite de conditions de Lyapunov imbriqu´ees pour ´etablir des vitesses polynomiales. La g´en´eralisation
`a toute vitesse sous exponentielle par une simple condition de Lyapunov a ´et´e donn´ee par Douc, Fort et Guillin [61], qui comme nous le montrerons dans cette th`ese permet de plus d’ˆetre d’une grande utilit´e pour l’obtention de bornes quantitatives !
1.1.3 Semi-groupe, mesure invariante, et processus de Mar- kov r´ eversible
Nous sommes maintenant prˆets pour nos d´efinitions de base et quelques notations. Soit{(Xt)t∈T,(Px)x∈E}un processus de Markov `a temps continu sur un espace d’´etatE, on prendT´egale `aN(temps discret) ouR+(temps continu).
On introduit le semi-groupe associ´ePtd´efini pour fonctions born´ees mesurables f parPtf(x) =Ex[f(Xt)]. La propri´et´e de semi-groupe est Pt+s=Pt◦Psqui est une cons´equence de la propri´et´e de Markov, et on supposera P0 =I. Dans le cas temps discret, on noteraP =P1 etPn=Pn.
On supposera dans la suite l’existence d’une mesure de probabilit´e invariante µ, i.e. tel queµPt=µpour toutt. Les conditions de type Lyapunov, que nous imposerons par la suite, garantirons cette hypoth`ese. On dira queµest r´eversible ou sym´etrique par rapport `a (Pt) si
Eµ[f(X0)g(Xt)] = Z
f Ptgdµ= Z
gPtf dµ=Eµ[g(X0)f(Xt)].
Le semi-groupe se prolonge facilement `a toutLp(µ) pour 1≤p≤ ∞comme une
contraction (i.e. chaque Pta une norme d’op´erateur ´egal `a 1). Le semi-groupe adjoint sera d´esign´e parPt∗. En particulier, pour toute densit´e de probabilit´e suf- fisamment r´eguli`erehpar rapport `aν,R
Pt(x,·)h(x)ν(dx) =Pt∗hdν. Au moins au niveau formel, on peut consid´erer quePt∗agit sur les mesures (probabilit´es), via la formule < f, Pt∗ν >=R
Ptf dν ´ecrite pour des fonctionsf born´ees.Pt∗ν est donc la loi du processus au moment t, lorsque la distribution initiale est ν. Evidemment,Pt∗ν =νPt. Si ν =δx, on d´esigne aussi cette distribution par Pt(x,·).
Enfin, on introduit le g´en´erateur infinit´esimal du semi-groupe d´esign´e parL qui est d´efini parL=P−Iddans le cas `a temps discret, etLf= limt→01
t(Ptf− f) dans le cas `a temps continu, lorsque cette limite a un sens. Les fonctions pour qui la limite existe sont les ´el´ements du domaineD(L) deL, ce domaine d´epend de la topologie choisie (en g´en´eral, certainsLp(µ)) et pour t >0,Ptf ∈D(L).
On supposera toujours l’existence d’un noyau avec les bonnes propri´et´es usuelles C dans le domaine. On a alors
d
dsPsf|s=t=LPtf =PtLf
Pour toute mesure de probabilit´eν, on d´efinit l’´energieEν(f, g) =R
(−Lf)gdν, et sif =g, on noteEν(f) =R
−f Lf dν. De plus, on suppose toujours l’existence d’un op´erateur bilin´eaire sym´etrique Γ appel´e “carr´e du champ”, c’est-`a-dire, l’existence d’une alg`ebre qui est le noyau du g´en´erateurL et tel que pourf et g dans cette alg`ebre,
Γ(f, g) := 1
2(L(f g)−f Lg−gLf).
et Γ(f) = Γ(f, f).
1.1.4 Processus de Markov conduit par une ´ equation diff´ erentielle stochastique
Si l’´equation diff´erentielle stochastique a la forme dXt=b(Xt)dt+σ(Xt)dBt
ou Xt ∈Rn, b(x) ∈ Rn, σ(x) ∈ Rn×m et Bt est un mouvement Brownien de dimension m. La solution est g´en´eralemnt appel´ee diffusion d’Itˆo (homog`ene).
Il est bien connu que la diffusion d’Itˆo est un processus de Markov (fort). Nous pouvons lui associer un op´erateur diff´erentiel du second ordreL.Lest justement le g´en´erateur (infinit´esimal) du processusXt. Sif ∈C02(Rn), etf ∈ D(L) et
Lf(x) =X
i
bi(x)∂f
∂xi
+1 2
X
i,j
(σσT)i,j(x) ∂2f
∂xi∂xj
.
On pose u(t, x) = Ex[f(Xt)], puis u(t,·) ∈ D(L) pour chaque t et satisfait l’´equation aux d´eriv´ees partielles du second ordre
∂u
∂t =Lu, t >0, x∈Rn, u(0, x) =f(x), x∈Rn.
1.2 Ergodicit´ e exponentielle des chaˆınes et pro- cessus de Markov
La convergence exponentielle des chaˆınes de Markov a ´et´e bien ´etudi´ee sous diff´erentes formes. Ce travail a ´et´e motiv´e en grande partie par l’int´erˆet pour les MCMC, algorithmes comprennant l’´echantillonneur de Gibbs et Metropolis- Hastings notamment. Une question fondamentale `a propos des m´ethodes MCMC est leur taux de convergence. Plus pr´ecis´ement, il s’agit de savoir combien de temps il faut faire tourner la chaˆıne avant d’ˆetre proche de l’´equilibre. Il y a eu des approches diff´erentes pour ´etablir la convergence exponentielle. On introduit un de ces r´esultats quantitatifs `a partir de Rosenthal [115], dont la preuve est tr`es courte et simple et permet d’appr´ehender plusieurs concepts int´eressants pour notre ´etude.
1.2.1 Ergodicit´ e exponentielle des chaˆınes de Markov
Comme beaucoup d’id´ees du temps continu sont parfois plus accessibles en temps discret, nous pr´esentons ici la preuve de [115] sur l’ergodicit´e exponen- tielle. On dit qu’une chaˆıne de Markov avec un noyau de transition P(x, dy) sur l’espace d’´etatEsatisfait une condition de minoration sur un sous-ensemble C⊆E, s’il existe une mesure de probabilit´eQsurE, un nombre entier positif k0, etǫ >0, tel que
Pk0(x, A)≥ǫQ(A),∀x∈C, (1.1) pour toutes les parties mesurablesA⊆E. Ici,C est appel´e (k0, ǫ)-small. Nous d´efinissons l’op´erateur ˜P surE×E comme
P h(x, y) :=˜ Z
E
Z
E
h(z, w)P(x, dz)P(y, dw).
Nous disons que ˜P satisfait une condition de d´erive, si
P h(x, y)˜ ≤αh(x, y), x /∈E×E (1.2) pour une fonctionh:E×E→[1,∞) et un certainα <1. Finalement on note
B= max[1, α−1(1−ǫ) sup
E×E
Rh],˜ (1.3)
o`u pour (x, y)∈E×E, Rh(x, y) =˜
Z
E
Z
E
(1−ǫ)−2h(z, w)(P(x, dz)−ǫQ(dz))(P(y, dw)−ǫQ(dw)).
L’ergodicit´e exponentielle est donn´ee dans le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 1.2.1. Consid´erons une chaˆıne de Markov sur un espace d’´etat E, ayant un noyau de transition P(x, dy). Supposons l’existence de C ⊆ E, h : E×E → [1,∞), une mesure de probabilit´e Q(·) sur E, α < 1 et ǫ > 0, tel que (1.1) et (1.2) soient verifi´ees. D´efinissons B par (1.3) et supposons B <+∞. Alors pour toute distribution jointe initialeL(X0, X0′), et tous entiers 1≤j≤k, siXk etXk′ sont deux copies de la chaˆıne de Markov de distribution jointe initialeL(X0, X0′),
kL(Xk)− L(Xk′)kT V ≤(1−ǫ)j+αkBj−1E[h(X0, X0′)].
Remark 1.2.2. Dans [62], Douc, Moulines et Rosenthal ´etendent ce r´esultat, l’extension nous permet d’envisager des modifications de la distance en variation totale, soient des distances pond´er´ees, et les chaˆınes de Markov non homog`enes.
1.2.2 Bornes quantitatives pour les taux de convergence exponentielles de processus de Markov
En outre, Robert et Rosenthal [110] ont ´etendu ces r´esultats aux processus de Markov `a temps continu, et ont appliqu´e leurs r´esultats `a quelques exemples de diffusions de Langevin. Les conditions de d´erive et de minoration permettent d’´etablir des couplages ou des couplages par translation, similaires au cas discret.
On a alors l’analogue
Th´eor`eme 1.2.3. Soit un processus de Markov de probabilit´es de transition Pt(x,·)et de distribution stationnaireµ, supposons queC⊆E est(t∗, ǫ)-small, pour un certain temps positift∗, et un certain ǫ >0. Supposons plus qu’il existe δ >0 et une fonctionh:E×E→[1,∞), telle que
Ex,y(eδτC×C)≤h(x, y), (x, y)∈/ C×C, (1.4) o`u τC×C est le premier temps d’atteinte de C ×C (pour le processus P˜).
Fixons A = sup(x,y)∈C×CEx,y(h(Xt∗, Yt∗)), o`u Xt et Yt sont d´efini conjoin- tement comme dans la preuve ci-dessous. Supposons que A < ∞. Alors pour t >0, et pour tout0< r <1/t∗,
kL(Xt)−µkT V ≤(1−ǫ)[rt]+e−δ(t−t∗)A[rt]−1E(h(X0, Y0)).
Nous donnons la preuve de ce r´esultat ici, car les concepts utilis´es pour le cas sous-exponentiel sont les mˆemes (et une petite erreur de leur d´emonstration est corrig´ee).
D´emonstration. Nous construisons d’abord un temps d’arrˆet al´eatoire T avec L(XT) = Q(·) (Q est la mesure dans la condition de minoration), alors pour tout 0< r <1/t∗ et s >0,
P(T > s)≤(1−ǫ)[rs]+e−δ(s−t∗)A[rt]−1E(V(X0)).
Nous construisons Xt comme suit. Nous commen¸cons par choisir q ∼Q(·), et soit Z1, Z2,· · · une suite de v.a.i.i.d. P(Zi = 1) = 1−P(Zi = 0) = ǫ. Soit
τ1 la premi`ere fois o`u le processus (Xt) est dans l’ensembleC. SiZ1= 1, nous posonsXτ1+t∗ =q. SiZ1= 0, nous choisissonsXτ1+t∗ ∼ 1−1ǫ(P(Xτ1,·)−ǫQ(·)).
Ceci d´efinit le processus (Xt) pour tout temps t > 0, tel que (Xt) soit encore markovien de transitions Pt(x,·). Pour proc´eder, on d´efinitNt= maxi;τi≤t.
Maintenant, pour tout 0< r <t1∗,
P(T > s)≤(1−ǫ)[rs]+P(Ns−t∗ <[rs]).
En notantD1=τ1etDi=τi−τi−1 pouri≥2, pour tout entier positifj, nous avons que
P(Ns=j) =P( Xj i=1
Di> s)≤e−δsE( Yj i=1
eδDi).
En outre, nous avons que E(
Yj i=1
eδDi)≤E((
jY−1 i=1
esDi)E(esDj|Fj−1))≤Aj−1E(V(X0)),
o`uFi =σ{Xt; 0≤t≤τi}. Alors, on construit les processus (Xt) et (Yt) conjoin- tement comme suit. Soient t0=inf{t≥0; (Xt, Yt)∈C×C}, ettn =inf{t≥ tn−1+t∗; (Xt, Yt) ∈ C×C} pour n ≥ 1. Ensuite, pour chaque temps ti, si nous n’avons pas encore coupl´e, on proc´ede comme suit. Avec une probabilit´e ǫ, nous posonsXti+t∗ =Yti+t∗ =q, d´efinissonsT =ti+t∗, et d´eclarons que les proc´ed´es sont coupl´es. Autrement (avec une probabilit´e 1−ǫ),nous choisissons Xt+t∗ ∼1−1ǫ(Pt∗(Xt,·)−ǫQ(·)) etYt+t∗ ∼1−1ǫ(Pt∗(Yt,·)−ǫQ(·)), conditionnel- lement ind´ependants. Dans les deux cas, on remplit les valeurs Xs et Ys pour ti< s < ti+t∗ conditionnellement ind´ependantes, en utilisant les distributions conditionnelles adapt´ees des donn´ees Xti, Yti, Xti+t∗, Yti+t∗. Enfin, si (Xt) et (Yt) ont d´ej`a coupl´e, nous les laissons ´evoluer de mani`ere conditionnellement ind´ependante.
Il est facile de voir que (Xt) et (Yt) suivent marginalement les probabilit´es de transitionPt(·,·). En outre,T est un temps de couplage. Nous avons control´e d´ej`aP(T > s). Le r´esultat d´ecoule alors de l’in´egalit´e de couplage.
G´en´eralement, il est difficile d’´etablir (1.4) directement, et nous avons donc envie de rapporter cette borne `a une condition simple de Lyapunov. Nous avons la proposition ci-dessous (voir [110]).
Proposition 1.2.4. Supposons que C ⊆ E est (t∗, ǫ)-small, et en outre qu’il existe une fonctionV ∈ D(L)avec V(x)≥1 pour toutx∈E,λ >0 etΛ<∞, tel que
LV(x)≤ −λV(x) + Λ1C(x), x∈E.
Alors, en notant B = infx /∈CV(x), nous avons que (1.4) est v´erifi´ee avech=
1
2(V(x) +V(y)) et avecδ =λ−BΛ. D’o`u la conclusion du Th´eor`eme 1.2.3 est valide dans ce cas. En outre, nous avons que A≤ Λδ +e−δt∗supx∈CV(x).
1.3 In´ egalit´ e de Poincar´ e et temps d’atteinte
Dans cette section, nous allons exploiter l’interaction entre in´egalit´es fonc- tionnelles et les fonctions de Lyapunov utilis´ees dans l’approche Meyn-Tweedie.
Comme nous l’avons vu, la m´ethode de couplage (la th´eorie du renouvellement) est aussi une cl´e. Nous allons donner un r´esultat pr´esent´e par Cattiaux, Guillin et Zitt [50].
Pour plus de simplicit´e, nous consid´ererons les processus de diffusion (Xt)t>0
valeur de Rn avec g´en´erateur L=X
i,j
aij∂2ij+X
i
bi∂i
o`u a = σ∗σ, σij et bi ´etant assez lisse (C∞ par exemple). Donc le carr´e du champ Γ(f, g) = hσ∇f, σ∇gi. De plus on suppose que µ(dx) = e−V(x)dx est une mesure de probabilit´e sym´etrique pour le processus, o`u le potentiel V est aussi suppos´e d’ˆetre lisse. DoncLg´en`ere un semi-groupePtµ-sym´etrique et le th´eor`eme d’ergodicit´eL2 nous dit que pour toutf ∈L2(µ),
t→lim+∞kPtf− Z
f dµk2= 0
Si Cest un sous-ensemble ouvert deRn, on d´efinitTC= inf{t >0;Xt∈C}. Consid´erons les ´enonc´es suivants :
(H1) Il existe une fonction de LyapunovV, i.e. une fonction lisseV :Rn→ R, telle que V ≥ 1, une constante λ > 0 et une partie born´ee ouverte connect´eeCtelle que LV ≤ −λV sur (C)c.
(H2) Il existe un sous-ensemble ouvert connexe born´eC et une constante δ > 0 tels que pour tout x ∈ Rn, Ex(eδTC) ≤ ∞, et x → Ex(eδTC) est localement born´ee.
(H2µ) Il existe une partie born´ee ouverte connect´eeCet une constanteδ >0 telles queEµ(eδTC)≤ ∞.
(H3) Il existe des constantesλ >0 etc >0 et une fonctionV ≥1 apparte- nant `aL1(µ) telles que pour toutx∈Rn, kPt(x,·)−µkT V ≤cV(x)e−λt. (H4) µ satisfait `a une in´egalit´e de Poincar´e, i.e. il existe une constanteCp
telle que pour tout lissef, Varµ(f)≤CpR
Γ(f, f)dµ.
(H5) Il existe des constantesθ >0 etc >0 telles que pour toutef born´ee, Varµ(Ptf)≤ce−θtOsc2(f).
(H6) Il existe une constanteCS telle que pour toutf ∈L2(µ), Varµ(Ptf)≤ e−CStVarµ(f).
D´efinition 1.3.1. On dira que L est hypoelliptique fortement s’il peut ˆetre
´ecrit sous forme d’H¨ormander L=P
iXi2+Y o`u Xi’s et Y sont des champs de vecteurs lisses tel que l’alg`ebre de Lie g´en´er´ee par Xi’s est pleine `a chaque x ∈ Rn (i.e. spans l’espace tangent `a chaque x).Remarquons que dans cette situationΓ(f, f) =P
i|Xif|2.
On dira que L est hypoelliptique uniform´ement fortement si tous les Xi sont born´es avec des d´eriv´es born´es (de n’importe quel ordre) et s’il existe N ∈N,
α >0 tel que pour toutξ∈Rn, X
Z∈LN(x)
hZ(x), ξi2≥α|ξ|2
o`u LN(x) repr´esente l’ensemble des crochets de Lie de longueur inf´erieure ou
´egale `aN calcul´es enx.
Nous avons la suite d’´equivalence (voir [50])
Th´eor`eme 1.3.2. Les relations suivantes sont v´erifiees (µ est sym´etrique) – (H1)⇒(H3)⇒(H4)⇔(H5)⇔(H6)
– (H1)⇒(H2) et(H2µ)
– Si L est hypoelliptique uniform´ement fortement, alors (H4) ⇒ (H2) et (H2µ), et (H2) ou(H2µ)⇒(H1).
Sauf le troisi`eme point, tous ces relations sont v´erifi´es pour les chaˆınes de Markov.
Exemples pour les conditions de la d´ erive
En consid´erant l’op´erateurL= ∆− ∇V · ∇et la mesureµ(dx) =e−V(x)dx avecV(x)∈C2(Rn), nous avons que
– S’il existe des constantes α > 0 et R ≥ 0, telles que pour |x| ≥ R, x·
∇V(x) ≥ α|x|, la fonction W = ea|x| pour a > 0 suffisamment petit v´erifie la condition de d´erive.
– S’il existe des constantesa∈(0,1),c >0 etR≥0, telles que pour|x| ≥R, (1−a)|∇V(x)|2−∆V(x)≥c,W =eaV(x) est pourapetit une fonction de Lyapunov.
Pour ces deux exemples, les in´egalit´es de Poincar´e et la convergence exponen- tielle peuvent donc ˆetre prouv´ees.
1.4 Convergence sous-exponentielle des proces- sus de Markov
De l’´etude de la convergence exponentielle, on a d´evelopp´e certaines m´ethodes faciles `a manipuler pour v´erifier l’ergodicit´e. La cl´e de ces m´ethodes est la re- cherche d’une fonction dite de Lyapunov pour le g´en´erateur ([63] et [103]). La convergence sous exponentielle ou polynomiale peut ´egalement ˆetre ´etudi´ee (voir [65]) de cette fa¸con. Une forme tr`es g´en´erale de la m´ethode est expliqu´ee dans l’article de Douc, Fort et Guillin [61], et cette partie de leurs r´esultats sera montr´ee plus en d´etails.
D´esormais, le processus de Markov `a temps continu (Xt) est suppos´e ˆetre un processus de Markov fort homog`ene avec trajectoires c`adl`ag. Pour tout t∗ >0 et tout sous-ensemble ferm´eeC∈ B(E), soitτCt∗ = inf{t≥t∗, Xt∈C}le temps d’atteinte deC retard´e det∗.
Redonnons la d´efinition d’ensemble petit et ´egalement celle de petite en- semble.
D´efinition 1.4.1(Ensemble petit,Petiteensemble). Nous disons que un sous- ensemble non vide C ⊆ E est (t∗, ǫ)-petit (simplement petit) , pour un temps positift∗et unǫ >0, s’il existe une mesure de probabilit´eQ(·)surEsatisfaisant
`
a la condition minorisation
Pt∗(x,·)≥ǫQ(·) ∀x∈C.
Le sous-ensemble C est νa-petite (simplement petite) s’il existe une mesure de probabilit´easur le Borelσ-field of[0,+∞)et une non-trivialeσ-finie mesure νa sur E tel que
Z ∞
0
Pt(x,·)a(dt)≥νa(·) ∀x∈C.
D´efinition 1.4.2. Soitφune fonction positive d´efini sur[1,+∞)etlimx→+∞φ′= 0. Nous disons queV ∈D(L) est une fonction de φ-Lyapunov siV ≥1 et s’il existe une constante b et un petite ensemble ferm´eC tels que pour toutx,
LV(x)≤ −φ◦V(x) +b1C(x).
Quand φ est lin´eaire (φ(x) = ax), nous appelons simplement V une func- tion de Lyapunov. L’existence d’une fonction de Lyapunov signifie d´ecroissance exponentielle (voir [63] et [103]), comme nous l’avons vu dans les paragraphes pr´ec´edents.
Th´eor`eme 1.4.3. ([[61], Th´eor`eme 3.10, 3.12]) Supposons qu’il existe une fonction de φ-Lyapunov V croissante lisse et concave tel que V est born´ee sur un petite ensemble C. De plus, supposons que le processus est irr´eductible dans un certain sens (voir [63] et [61] pour les d´efinitions pr´ecises). Alors il existe une constante positivec telle que pour tout x,
kPt(x,·)−µkT V ≤cV(x)ψ(t), o`uψ(t) = 1/(φ◦Hφ−1)(t)pourHφ(t) =Rt
1(1/φ(s))ds.
Pour les cas g´en´eraux, nous obtiendrons la d´ecroissance sous-exponentielle et des taux calculables dans le chapitre 2.
1.5 In´ egalit´ e fonctionnelle et L
2-d´ ecroissance de processus de Markov
En fait les r´esultats ´enonc´es dans les paragraphes ci-dessus peuvent ˆetre renforc´es par des choix de distances appropri´es plus fortes (que la distance en variation totale) au d´etriment de taux plus lent de convergence (voir [63] et [61]).
Par ailleurs, dans le th´eor`eme 1.2.3, si l’on choisit une mesure initialeL(X0) = f µ pour une fonction f ”sympathique”, la convergence se r´eduit `a l’´etude de Pt∗hpour grandt. Cela devient un probl`eme sur le comportementen temps long de semi-groupes, qui est connue comme ˆetre li´ee aux in´egalit´es fonctionnelles
comme nous l’avons vu pr´ec´edement. Le cadre le plus familier est assur´ement le cadreL2et l’in´egalit´e de Poincar´e (ou Poincar´e faible) dont nous allons pr´esenter rapidement les concepts qui nous int´eressent pour le temps long.
1.5.1 Le lien entre in´ egalit´ e de Poincar´ e (faible) et la conver- gence L
2(sous) exponentielle
Th´eor`eme 1.5.1. Les deux d´eclarations suivantes sont ´equivalentes.
(D´ecroissance exponentielle) Pour toutf ∈L2, il existeCP telle que kPtf−
Z
f dµk22≤e−t/Cpkf− Z
f dµk22.
(Poincar´e in´egalit´e) Pour tout f ∈D2(L)(le domaine de l’extension Fredholm deL),
Varµ(f) :=kf− Z
f dµk22≤Cp
Z
−2f Lf dµ. (1.5)
D´emonstration. Pour plus de simplicit´e, nous supposons que R
f dµ= 0. Si la d´ecroissance exponentiellekPtfk22≤e−t/Cpkfk22est valide, alors pourf ∈D(L),
− Z
f Lf dµ=−hLf, fi = lim
t→0
kfk22− kPtfk22
2t
≥ lim inf
t→0
(1−e−t/Cp)kfk22
2t = kfk22
2Cp
, soit l’in´egalit´e de Poincar´e. En revanche, l’in´egalit´e de Poincar´e implique
d
dtkPtfk22= 2hLPtf, Ptfi ≤ −1/CpkPtfk22
Par le lemme de Gronwall, nous terminons la preuve.
Grˆace `a l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et comme Pt et Pt∗ ont la mˆeme normeL2, l’in´egalit´e de Poincar´e implique un taux exponentiel de convergence en distance en variation totale, au moins pour les lois initiales avec une densit´e L2 par rapport `aµ.
Comme pour l’approche Meyn-Tweedie, on peut obtenir des conditions suf- fisantes pour des taux plus lents de convergence, en utilisant l’in´egalit´e faible de Poincar´e introduite par Rockner et Wang [111] :
Th´eor`eme 1.5.2. Soit Φ satisfaisant Φ(λf) = λ2Φ(f), Φ(Ptf) ≤Φ(f) pour toutt et Φ(f)≥ kfk22. Supposons qu’il existe une fonction d´ecroissante β telle que pour tout s >0 et toute f convenable, l’in´egalit´e suivante (in´egalit´e faible de Poincar´e) soit v´erifi´ee :
kf − Z
f dµk22≤β(s) Z
−f Lf dµ+sΦ(f− Z
f dµ). (1.6) Alors
kPtf − Z
f dµk22≤ξ(t)Φ(f− Z
f dµ), o`uξ(t) = 2 inf{s >0, β(s) log(1/s)≤t}
Dans le cas sym´etrique, nous avons une r´eciproque partielle de ce th´eor`eme (voir [111] Th´eor`eme 2.3).
Th´eor`eme 1.5.3. Supposons que L est normal (i.e. LL∗ = L∗L), s’il existe Φ :L2(µ)→[0,∞] etξ: [0,∞)→(0,∞)d´ecroissante, tel queΦ(λf) =λ2Φ(f) pour toutλ∈Ret f ∈L2(µ),ξ(t)↓0 lorsquet↑ ∞, et
kPtf − Z
f dµk22≤ξ(t)Φ(f− Z
f dµ), (1.7)
Alors (1.6) est valide avec
β(s) = 2sinf
t>0
1
tξ−1(texp[1−t/s])
o`u ξ−1(t) := inf{r > 0 : ξ(r) ≤ t}. Particuli`erement, si (1.7) est vraie pour ξ(t) = exp[−λt] pourλ >0, alors l’in´egalit´e de Poincar´e est v´erifi´ee avecCp= 2λ.
Remark 1.5.4. Dans le cas de l’exponentielle, la preuve originale par [111]
est relativement complexe. En fait, nous pouvons utiliser un argument simple : supposons R
f dµ= 0, pourλ >0. Il est facile de voir quet→logkPtfk2+λt est convexe et born´ee sup´erieurement parce que Varµ(Ptf)≤cfe−λt. Mais une fonction convexe born´ee surR+est n´ecessairement d´ecroissante. DonckPtfk22≤ e−λtkfk22.
En g´en´eral, l’in´egalit´e de Poincar´e faible est ´ecrite pour Φ =k·k∞ou Osc(·).
Ce qui est particuli`erement marquant, c’est que pour toutµsurRn, absolument continue par rapport `a Lebesgue mesure, dµ=e−Vdx avec uneV localement born´ee, satisfait une in´egalit´e faible de Poincar´e.
1.5.2 De Lyapunov ` a Poincar´ e et vice versa
Nous savons que l’existence d’une fonction deφ-Lyapunov est une condition suffisante tractable pour la strat´egie de Meyn-Tweedie (et mˆeme une condition n´ecessaire et suffisante pour le cas exponentielle). N´eanmoins, des conditions suffisantes g´en´erales tractables et pr´ecises pour Poincar´e ou d’autres in´egalit´es fonctionnelles sont moins connues. C’est la motivation du travail de Bakry, Cat- tiaux et Guillin [6]. Ils ont ´etudi´e la relation entre la m´ethode Meyn-Tweedie et l’approche d’in´egalit´e fonctionnelle. Nous pr´esentons ici quelques r´esultats. Soit µ une mesure invariante pour un processus de g´en´erateur L. L’existence d’un
“carr´e du champ” est suppos´e. Ensuite, nous avons (voir [6] Th´eor`eme 2.1) Th´eor`eme 1.5.5 (De Lyapunov `a Poincar´e). Sous les hypoth`eses du th´eor`eme 1.4.3, pour toutef telle que R
f dµ= 0 et tout0< β <1, on a Z
(Pt∗f)2dµ≤Cβψβ(t) Z
|f|V dµ βZ
|f|2−β1−βdµ 1−β
. Le r´esultat s’´etend `aβ= 1 `a condition quef soit born´ee, et dans ce cas,
Z
(Pt∗f)2dµ≤C Z
V dµ
kfk2∞ψ(t).
Si en plus µ est sym´etrique (ou plus g´en´eralement L est normal, i.e. L∗L = LL∗) pour le processus, alors µ satisfait une in´egalit´e faible de Poincar´e avec Φ(f) =C(V)kfk2∞ et
β(s) =sinf
u>0
1
uψ−1(ue(1−u/s)) with ψ−1(a) := inf{b >0, ψ(b)≤a}. Particuli`erement siψ(t) =e−λt,µsatisfait une in´egalit´e de Poincar´e.
D´emonstration. Supposons les hypoth`eses v´erifi´ees, et soitfune fonction born´ee tel que R
f dµ = 0. Alors, si f n’est pas identiquement nulle, on peut d´efinir h =f+/R
f+dµ qui est une densit´e de probabilit´e born´ee. Par cons´equent, si V ∈ L1(µ), R
hV dµ < ∞. Il s’ensuit que kPt∗−1kL1, qui est la distance en variation totale entre µet la loi au momentt (`a partir dehµ), tend vers 0 d`es quet→+∞, avec un tauxcψ(t). Donc pour 0< β <1,
Z
|Pt∗f+− Z
f+dµ|2dµ= Z
f+dµ 2Z
(Pt∗−1)β(Pt∗h−1)2−βdµ
≤ Z
f+dµ 2Z
|Pt∗−1|dµ βZ
|Pt∗h−1|2−β1−βdµ 1−β
≤cβψβ(t) Z
f+V dµ βZ
|f+− Z
f+dµ|2−β1−βdµ 1−β
≤cβψβ(t) Z
f+V dµ βZ
(2f+)2−β1−βdµ 1−β
.
o`u nous avons utilis´e ce quePt∗ est un op´erateur avec la norme ´egale `a 1 dans tous les Lp’s (p≥1), la relation ´el´ementaire |a+b|p ≤2p−1(|a|p+|b|p) pour tout p≥1 et l’in´egalit´e de H¨older. Alors,
Z
(Pt∗f)2dµ ≤ 2 Z
|Pt∗f+− Z
f+dµ|2dµ+ Z
|Pt∗f−− Z
f−dµ|2dµ
≤ 24−βcβψβ(t) Z
|f|V dµ βZ
|f|2−β1−βdµ 1−β
.
Dans le cas sym´etrique, on applique le th´eor`eme 2.3 dans [111] pour prouver la deuxi`eme partie.
Le r´esultat analogue est ´egalement mis en place pour la d´ecroissance de l’entropie relative, voit [6] Th´eor`eme 2.2.
Certains r´eciproques possibles ont ´et´e discut´ees bri`evement dans [6]. Il est sugg´er´e de r´ef´erer `a Section 2 de [6] pour plus de r´esultats. Et [6] a ´egalement soulign´e que il n’est pas possible d’obtenir une r´eciproque exacte `a partir de l’in´egalit´e faible de Poincar´e.
1.5.3 In´ egalit´ e de Lyapunov-Poincar´ e et fonction de Lya- punov
Nous avons vu que l’existence de la fonction de Lyapunov fournit des in´egalit´es fonctionnelles dans le cas sym´etrique, dans ces sections, nous allons ´etudier les
relations entre certaines in´egalit´es modifi´ees de Poincar´e (et donc d´ecroissance exponentielle) et l’existence de la fonction de Lyapunov, sans suppposer de sym´etrie. Ces in´egalit´es ont ´et´e introduites dans [6].
D´efinition 1.5.6 (In´egalit´e (w)-Lyapunov-Poincar´e). Nous dirons queµsatis- fait une (w)-Lyapunov-Poincar´e in´egalit´e, s’il existe une fonction W ∈ D(L) avec W ≥1et une constanteC telles que pour toutes fonctions ”sympathiques”
f avec R f = 0,
Z
f2W dµ≤C Z
(WΓ(f)−f2LW)dµ.
Ici et dans toute la th`ese, ”sympathique” signifie quef appartient au do- maine du g´en´erateur et l’ensemble de ces fonctions est dense dans le domaine de la forme de Dirichlet (par exemple, fonctions lisse `a support compact dans les cas euclidiens usuels).
Nous avons la proposition ci-dessous pour d´ecrire la relation entre (w)- Lyapunov-Poincar´e l’in´egalit´e et la d´ecroissance exponentielle.
Proposition 1.5.7. Les relations suivantes sont ´equivalentes : – µsatisfait une(w)-Lyapunov-Poincar´e in´egalit´e,
– R
(Pt∗f)2W dµ≤e−t/CR
f2W dµpour toutf avecR
f dµ= 0 Particuli`erement pour toute fonction f tel que R
f2W dµ < ∞, Ptf et Pt∗f convergent vers R
f dµsur L2(dµ) avec un taux exponentiel.
La preuve suit le mˆeme raisonnement que pour l’in´egalit´e de Poincar´e dans le Th´eor`eme 1.5.1. Notez qu’une in´egalit´e de Lyapunov-Poincar´e n’est pas une in´egalit´e de Poincar´e pond´er´ee (nous supposons que R
f dµ= 0) et d´epend du g´en´erateurL(pas seulement du carr´e du champ). Mais comme ce que nous avons d´ej`a mentionn´e, Th´eor`eme 2.3 dans [111] nous dit que, dans le cas sym´etrique, si R Pt2f dµ≤ce−δtkfk2∞pour toutf tel queR
f dµ= 0, doncµsatisfait l’in´egalit´e habituelle de Poincar´e avecC= 1/δ. Alors,
Exemple : en utilisant des conditions de Lyapunov
Supposons qu’il existe une fonction de LyapunovV, i.e.LV ≤ −αV +b1C
pour un ensembleC. Supposons que l’on peut trouver un ensemble (grand)U tel que µsatisfait une in´egalit´e locale de Poincar´e surU :
Z
U
f2dµ≤κU
Z
E
Γ(f)dµ+ (1/µ(U)) Z
U
f dµ 2
. pour un certainκU, pour toutf avecR
Ef dµ= 0. Supposons que de plus : 1. SoitU contientC′=C∪ {V ≤2bα}et 2αµ(U)> bµ(Uc),
2. ou bien U contient{V ≤2b/α} etµ(U)> µ(Uc).
On peut alors trouver λ >0 tel que siW =V +λ, µsatisfait une in´egalit´e de (w)-Lyapunov-Poincar´e .
1.5.4 In´ egalit´ e faible de Sobolev logarithmique et conver- gence pour l’entropie
Comme nous avons vu que l’in´egalit´e (faible) de Poincar´e est un outil puis- sant pour l’´etude du comportement en temps longL2(aussi pour l’´etude d’isop´erim´etrie, concentration de la mesure). Cependant, les contrˆoles de L2 ne sont pas bien adapt´es dans diff´erentes situations (m´ecanique statistique, EDP non lin´eaire), o`u descontrˆoles en entropie sont plus naturels. Donc nous allons introduire l’in´egalit´e faible de Sobolev logarithmique et la convergence entropique pour le semi-groupe. Le contenu li´e peut ˆetre lu dans [41].
D´efinition 1.5.8. Nous disons que la mesureµsatisfait une in´egalit´e faible de Sobolev logarithmique, s’il existe une fonction d´ecroissante β(s) : (0,+∞) → R+, telle que pour tout s >0 et chaque f ∈Cb1(E),
Entµf2:=
Z f2log
f2 Rf2dµ
dµ≤β(s) Z
|∇f|2dµ+sOsc2(f) Soit h une fonction born´ee, densit´e par rapport `a la mesure invariante µ.
Nous introduisons le premier r´esultat de la d´ecroissance dans l’entropie avec l’oscillation deh.
Th´eor`eme 1.5.9. Si µ satisfait une in´egalit´e faible de Sobolev logarithmique avec fonctionβ, alors pour chaqueh≥0 avec R
hdµ= 1, pourt assez grand, Entµ(Pth)≤(2 +e−1+ǫ)ξǫ(t) Osc2(√
h) o`uξǫ(t)est donn´ee par, pourr assez petit,
ξǫ−1(r) =−1
2β(r) log(r ǫ).
En revanche, s’il existeξd´ecroissante, telle que pour chaqueh≥0avecR hdµ= 1, nous obtenons
∀t >0, Entµ(Pth)≤ξ(t) Osc2(√ h),
alors µ satisfait une in´egalit´e faible de Sobolev logarithmique avec fonction β(t) =ψ−1(t)o`u ψ(t) = 2p
2ξ(t). Particuli`erement siξ(t)≤ce−αt,µ satisfait une in´egalit´e de Poincar´e.
v
Ce th´eor`eme est juste l’analogue du th´eor`eme 1.5.2 pour l’in´egalit´e faible de Poincar´e. Il est manifeste que le r´esultat couvre la relation d’´equivalence entre la d´ecroissance exponentielle dans l’entropie et l’in´egalit´e de Sobolev logarith- mique.
Un exemple
Pour α ∈ [1,2], la mesure µα(dt) = Zαe−|t|αdt, t ∈ R, (Zα est une nor- malisation constante) satisfait l’in´egalit´e faible de Sobolev logarithmique avec
β(s) =C(log 1/s)(2−α)/α,C >0. Alors on peut trouverC(α)>0 tel que pour tout la densit´e born´ee de probabilit´eh,
Entµα(Pth)≤e−t/[C(α)(1+log(2/α)−1(khk∞))]Entµα(h).
1.6 Un autre aper¸cu sur l’ergodicit´ e des chaˆınes de Markov
Les preuves traditionnelles dans l’´etude des chaˆınes de Markov (processus de Markov) sont ´etablis par l’approche Meyn-Tweedie : trouver une fonction de Lyapunov avec un ensemble petit, d´ecomposer les chaˆınes de Markov en excursion loin de l’ensemble petit et analyser la queue exponentielle de la loi de longueur des excursions. Hairer et Mattingly [87] ont d´evelopp´e une autre m´ethode pour obtenir la contractivit´e de semi-groupes dans une certaine dis- tance de variation totale pond´er´ee. C’est le r´esultat tr`es int´eressant que nous allons d´ecrire maintenant.
D’abord, deux hypoth`eses sont encore suppos´ees pour les chaˆınes de Markov avecP(x,·) sur un espace mesurableE :
1. (A.1 fonction de Lyapunov) Il existe une fonction V :E →[0,∞) et des constantesK≥0 etγ∈(0,1) telles que
P V(x)≤γV(x) +K,∀x∈E.
2. (A.2 ensemble petit) Il existe une constante α∈(0,1) et une mesure de probabilit´eν tel que
xinf∈CP(x,·)≥αν(·),
avecC ={x∈ E :V(x)≤R} pour certain R > 2K/(1−γ) o`u K et γ sont les constantes de A.1.
Afin de pr´esenter le th´eor`eme de Harris, nous introduisons la norme du supre- mum pond´er´ee suivante :
kφk= sup
x
|φ(x)|
1 +V(x). (1.8)
Alors, nous avons
Th´eor`eme 1.6.1. Sous A.1 et A.2,P admet une unique mesure invarianteµ et il existe des constantesC >0 etγ∈(0,1)telles que
kPnφ−µφk ≤Cγnkφ−µ(φ)k pour toute fonction mesurable φ:E→R telle quekφk<∞.
Alors que ce r´esultat est bien connu, les preuves trouv´ees dans la litt´eratures sont souvent compliqu´ees et d´ependent des estimations de l’int´egrabilit´e des temps de retour `a l’ensemble petit. Mais Hairer et Mattingly [87] ont fourni
une preuve tr`es courte et ´el´ementaire du th´eor`eme bas´e sur une astuce simple.
Au lieu de travailler directement avec (1.8), ils ont d´efini toute une famille de normes supremum pond´er´es selon un param`etre d’´echelleβ >0 qui sont toutes
´equivalentes `a la norme originale (1.8) : kφkβ= sup
x
|φ(x)|
1 +βV(x). (1.9)
Ils d´efinissent ´egalement la m´etrique dual associ´eeρβ sur les mesures de proba- bilit´e donn´ee par
ρβ(µ1, µ2) = sup
φ:kφkβ≤1
Z
E
φ(x)(µ1−µ2)dx
Il est bien connu queρβ est une distance de variation totale pond´er´ee : ρβ(µ1, µ2) =
Z
E
(1 +βV(x))|µ1−µ2|dx Avec ces notations, nous avons que
Th´eor`eme 1.6.2. Sous A.1 et A.2, il existeα¯∈(0,1)etβ >0 telles que ρβ(P µ1, P µ2)≤αρ¯ β(µ1, µ2)
pour toute mesure de probabilit´e µ1 et µ2 sur E. Particuli`erement, pour toute α0∈(0, α)et γ0∈(γ+ 2K/R,1) on peut choisir β =α0/K etα¯ = (1−(α− α0))∨(2 +Rβγ0)/(2 +Rβ).
Bien qu’il soit possible de r´eglerβ de fa¸con `a ce queP soit une contraction stricte pour la distanceρβ, ¸ca ne signifie pas queP est une contraction pourρ1. Cette nouvelle approche nous inspire que le choix des normes appropri´ees des op´erateurs nous aidera `a ´etudier l’ergodicit´e du syst`eme. En fait, dans l’´etude de ´equations d’´evolution dissipatives, Villani [126] introduit un nouveau terme
“hypocoercivit´e” qui a ´et´e utilis´e pour r´esoudre la convergence `a l’´equilibre pour certains op´erateurs. Il a ´etendu la coercivit´e `a l’hypocoercivit´e en choisissant les normes appropri´es, et a ´etabli une nouvelle th´eorie de coercivit´e de fa¸con syst´ematique et abstraite. Nous allons l’introduire dans la prochaine section.
1.7 Hypocoercivit´ e et d´ ecroissance exponentielle
Dans de nombreux domaines des math´ematiques appliqu´ees, on rencontre souvent des ´equations d’´evolution dissipatives dans lesquelles apparait (1) un op´erateur dissipatif d´eg´en´er´e et (2) un op´erateur conservatif pr´esentant cer- taines propri´et´es de sym´etrie, tels que la combinaison des deux op´erateurs im- plique la convergence vers un ´etat d’´equilibre d´etermin´e de fa¸con unique. D`es que l’existence et l’unicit´e d’un ´etat stable a ´et´e ´etablie, il y a beaucoup d’outils souples pour prouver la convergence vers l’´etat stationnaire. Dans l’´etude des op´erateurs de Markov, nous avons d´ej`a ´etabli la convergence (sous) exponen- tielle. Par l’approche Meyn-Tweedie, on essaie de capturer des informations sur
le comportement de trajectoires, mais le taux n’est g´en´eralement pas quantitatif ou de mauvaise qualit´e. En utilisant les in´egalit´es fonctionnelles pour obtenir la convergence, nous devrions connaˆıtre la mesure invariante et peut ˆetre obtenir une borne pr´ecise du taux de convergence. Mais pour les processus de Markov conduits par des ´equation diff´erentielles stochastiques totalement d´eg´en´er´ee, les m´ethodes traditionnelles ne conviennent pas.
Par exemple, l’´equation cin´etique de Fokker-Planck (dXt=Ytdt
dYt=√
2dBt− ∇V(Xt)dt−Ytdt (1.10) associ´ee avec
L= ∆v+v· ∇v+v· ∇x− ∇V(x)· ∇v. a une mesure invariantedµ= e−[V(x)+
|v|2 2 ]
Z dxdv.
Mais µ n’est pas sym´etrique, et L est enti`erement d´eg´en´er´e, l’in´egalit´e de Poincar´e (avecE) n’est pas vraie pourµassoci´ee `a la forme de Dirichlet g´en´er´ee par L. Notamment, la courbure de Bakry-Emery du semi-groupe est ´egale `a
−∞.
Villani a utilis´e l’hypocoercivit´e afin d’obtenir des r´esultats sur la conver- gence vers equilibre pour cette ´equation. Dans cet th`ese, nous allons surtout introduire la premi`ere partie du m´emoire [126] : l’op´erateurA∗A+B.
1.7.1 Op´ erateur L = A
∗A + B , coercivit´ e et hypocoercivit´ e
SoitH un espace de Hilbert s´eparable r´eel, pouvant ˆetre consid´er´e comme L2(µ), o`u µ est quelque mesure d’´equilibre ; H est dot´e de la norme k · kH
issue d’un produit scalaireh·,·iH. Dans cette section,nous allons consid´erer des op´erateurs lin´eaires de la forme
L=A∗A+B, B∗=−B et le semi-groupePt=e−tL.
D´efinition 1.7.1(coercivity). SoitLun op´erateur non born´e sur un espace de HilbertH, avec un noyauK.D(L)est dense dans H. On dit que l’op´erateur L estλ-coercif surK⊥, si
hh, LhiH≥λkhk2H, ∀h∈ K⊥∩D(L).
On dit que l’op´erateurLest coercif surHs’il estλ-coercif surHpour unλ >0.
La propri´et´e de coercivit´e est ´equivalente `a la convergenceL2du semi-groupe (en supposant qu’il est bien d´efini) :
Th´eor`eme 1.7.2. L est λ-coercitif sur H si et seulement si ke−tLh0kH ≤ e−λtkh0kH pour tous h0∈ Het t≥0.
La d´efinition de l’hypocoercivit´e est
