Partie II. Sommes et produits de racines.

(1)

MPSI B Année 2012-2013 Corrigé DM 10 24 avril 2020

Partie I. Propriétés trigonométriques.

1. a. En utilisant la dénition :

T2= 2X²−1 T3= 4X³−3X b. On démontre par récurrence la propriété

(Pn) :







deg(Tn) =n coecient dominant deT_n=2ⁿ⁻¹

Tcn(−X) =(−1)ⁿTn

La dernière relation signie queTn est "de même parité" que n. 2. Écrivons d'abord une relation entre exponentielles :

eî(n+2)θ+eînθ =eî(n+1)θ eîθ+e^−iθ

= 2 cosθe^i(n+1)θ En prenant la partie réelle, on obtient

cos(n+ 2)θ+ cosnθ= 2 cosθcos(n+ 1)θ De même :

e^(n+2)θ+e^nθ =e^(n+1)θ e^θ+e^−θ

= 2 chθe^(n+1)θ

En prenant la partie paire de l'expression considérée comme une fonction de θ, on obtient

ch(n+ 2)θ+ chnθ= 2 chθch(n+ 1)θ Il sera utile pour la question 3. d'écrire ces formules comme :

cos(n+ 1)θ= 2 cosθcosnθ−cos(n−1)θ ch(n+ 1)θ= 2 chθchnθ−ch(n−1)θ 3. a. Utilisons une récurrence forte. Introduisons la propriété

(Pn) ∀k∈ {0,· · ·, n},∀x∈R: (

fTn(cosx) = cos(nx) Tf_n(chx) = ch(nx)

Cette propriété est vériée pourn= 1. La relation de récurrenceTn+1= 2XTn− T_n−1 et les factorisations de la question 2. montrent quePn−1 entrainePn.

b. Pour tout nombre réelutel que |u| ≤1, il existe des réelsxtels queu= cosx.

Alors

Tf_n(u)

=

Tf_n(cosx)

=|cos(nx)| ≤1

Pour tout nombre réelu >1, il existe un unique réelx >0tel queu= chx. Alors

Tfn(u)

=

Tfn(chx)

=|ch(nx)|= ch(nx)>1

Pour tout nombre réelu <−1, il existe un unique réelx >0 tel queu=−chx. Alors

Tfn(u)

=

Tfn(−chx) =

(−1)ⁿTfn(chx) =

Tfn(chx)

= ch(nu)>1 4. a. D'après les questions précédentes :

Tfn(cosx) = 0⇔cosnx= 0⇔nx≡ π

2 modπ

⇔ ∃k∈Ztel que x= (2k+ 1)π 2n Pour les racines dans[0, π], on doit se limiter auxk∈ {0,· · · , n−1}. On obtient doncnracines distinctes car la restriction decosdans cet intervalle est injective.

b. La restriction à[0, π]de la fonctioncosest strictement décroissante, lescos^(2k+1)π_2n pour k ∈ {0,· · · , n−1} prennent donc n valeurs distinctes qui sont toutes des racines de Tn. Comme Tn est de degré n elles forment l'ensemble de toutes les racines deTn.

À cause du caractère décroissant, pour numéroter les racines dans l'ordre croissant, il faut "inverser" les indices.

Lorsquekcroît de0àn−1alorsk⁰=n−kdécroît denà1et lescosaugmentent.

En revenant à la lettre kpour désigner l'indice, on obtient que les nracines de T_n sont les

x_k = cos2(n−k) + 1

2n π=−cos2k−1

2n πaveck∈ {1,· · ·n}

Partie II. Sommes et produits de racines.

1. Dans la partie I, on a vu queT_nest de degrénet de coecient dominant2ⁿ⁻¹. Comme les racines deT_n sontx₁,· · · , x_n, la décomposition en facteurs irréductibles s'écrit

T_n = 2ⁿ⁻¹

n

Y

k=1

(X−x_k)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1210C

(2)

MPSI B Année 2012-2013 Corrigé DM 10 24 avril 2020 La deuxième égalité est de nature trigonométrique.

cosnx= Re(cosx+isinx)ⁿ= Re

n

X

l=0

n l

(cosx)^n−l(isinx)^l

!

(binôme)

=

n

X

k=0

n 2k

(cosx)^n−2k(−1)^k(sinx)^2k (seuls les indices pairs contribuent)

=

n

X

k=0

n 2k

(cosx)^n−2k(cos²x−1)^k

car−sin²x= cos²x−1.

Rappelons que dans cette questionnest pair : n= 2p. Dénissons un polynômeQ_n par :

Qn=

p

X

k=0

n 2k

X^n−2k(X²−1)^k

On aQfn(cosx) = cosnx=Tfn(cosx). Ainsi le polynômeTn−Qn admet une innité de racines ; à savoir toutes les valeurs du cosc'est à dire [−1,+1]. Ce polynôme doit donc être nul et

T_n =

p

X

k=0

n 2k

X^n−2k(X²−1)^k

2. a. Ici encore,nest pair égal à2pet la parité deTn se lit très bien sur la deuxième expression qui ne contient que des puissances paires de X. On en déduit que σ₁ = 0. On aurait pu remarquer aussi que les racines vont par paires. Chaque racine peut être appariée à son opposée, la somme de toutes est donc nulle.

Le calcul duσ_n se fait en cherchant les termes de degré0 dans la somme. Ils ne peuvent venir que du seulk=p. On a donc

terme de degré 0 deTn= n

2p

(−1)^p= 2ⁿ⁻¹(−1)ⁿσn= 2ⁿ⁻¹(−1)ⁿπn

On en déduit :

σ_n =π_n= (−1)^p2¹⁻ⁿ

Le calcul duσ2est plus compliqué car tous les termes de la somme contribuent : terme degrén−2 deTn =

p

X

k=0

n 2k

(terme degré2k−2 de(X²−1)^k)

=

p

X

k=0

n 2k

(−k) (formule du binôme)

=−1 2

p

X

k=0

n 2k

2k=−n 2

n

X

k=1

n−1 2k−1

(rel. coe. binôme) La somme de tous les ⁿ⁻¹_i

est égale à (1 + 1)ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁻¹. La diérence entre les sommes pour les indices pairs et impairs est nulle. On en déduit que ces deux sommes sont égales entre elles et valent2ⁿ⁻². On obtient donc :

terme degrén−2deT_n=−n2²ⁿ⁻³= 2ⁿ⁻¹σ₂⇒σ₂=−n 4

b. Pour les polynômes symétriques en général : sn = σ²₁ −2σ2. Dans notre cas particulier, on obtient, en revenant à l'expression des racines :

sn =

n

X

k=1

cos²2k−1 2n π= n

2

3. On peut calculersn directement à partir de l'expression avec les racines

n

X

k=1

cos²2k−1 2n π On commence par linéariser lescos² :

cos²θ=1 2 +1

2cos 2θ On obtient alors

sn= n 2 +1

2

n

X

k=1

cos2k−1 n π

On utilise ensuite l'exponentielle, la partie réelle et une somme de termes en progression géométrique ou les propriétés des racinesn-èmes de l'unité

n

X

k=1

cos2k−1 n π= Re

n

X

k=1

eⁱ^2k−1ⁿ ^π

!

= Re e⁻^iπⁿ

n

X

k=1

eⁱ^2πⁿⁿ

!

= 0

(3)

car la somme la plus à droite est formée par les racinesn-èmes de l'unité.

Partie III. Minimalité.

1

1 1 2ⁿ⁻¹N(P)

−2ⁿ⁻¹N(P)

Fig. 1: Graphe deT6

1. a. L'ensembleUn n'est évidemment pas un sous-espace vectoriel, il n'est pas stable par la multiplication par un réel car le coecient dominant est multiplié aussi.

b. La fonction polynomiale associée à un polynôme est continue. Sa restriction au segment[−1,1]est donc bornée et atteint ses bornes. On peut donc poser

N(P) = maxn P(x)e

, x∈[−1,1]o

Si la fonction polynomiale est nulle sur le segment, le polynôme admet une innité de racines, il doit donc être nul. Ainsi pour un polynôme non nulN(P)>0. c. L'ensemble{N(P), P ∈ Un} est une partie deR non vide et minorée par0, elle

admet donc une borne inférieure mn. Il n'est absolument pas évident que cette borne soit le plus petit élément, c'est l'objet des questions suivantes.

2. Le polynôme Tn est de degré n et de coecient dominant 2ⁿ⁻¹, de plus il vérie :

|fTn(x)| ≤1pour tous les x∈[−1,1]et il atteint plusieurs fois les valeurs1 et−1 (ce point sera détaillé dans la question3.a.). On en déduit que pour le polynôme unitaire 2¹⁻ⁿT_n :

N(2¹⁻ⁿT_n) = 2¹⁻ⁿ ⇒m_n≤2¹⁻ⁿ 3. a. Comme en I, on utiliseTf_n(cosx) = cosnx.

cosnx= 1⇔nx≡0 mod 2π⇔ ∃k∈Ztqx= 2kπ n On se limite à[0, π]pour assurer l'injectivité ducos.

Le polynômeTn−1admet donc bⁿ₂c+ 1 racines qui sont les

cos2kπ

n avec0≤k≤ bn 2c De même

cosnx=−1⇔nx≡π mod 2π⇔ ∃k∈Ztqx= (2k+ 1)π n Le polynômeT_n+ 1admet donc bⁿ⁻¹₂ c+ 1racines qui sont les

cos(2k+ 1)π

n avec0≤k≤ bn−1 2 c

Remarquons de plus queTfn(1) = cos 0 = 1. Il est évident à cause des monotonies des restrictions descos que ces racines s'entremèlent. Pour les disposer précisé- ment, il est commode de séparer les cas pairs et impairs. La valeur1est atteinte auxy_i, la valeur−1 est atteinte auxz_i

n bⁿ₂c+ 1 bⁿ⁻¹₂ c+ 1 racines

2p p+ 1 p y1=−1< z1< y2<· · ·< zp< yp+1= 1 2p+ 1 p+ 1 p+ 1 z₁=−1< y₁< z₂<· · ·< z_p+1< y_p+1 = 1 b. Dans les deux cas, on obtientn+ 1racines qui formentnintervalles. De l'hypo-

thèse N(P)<2⁻ⁿ⁺¹, on tire que 2ⁿ⁻¹P ne prend (en module) que des valeurs strictement plus petites que1. Le polynômeTn−2ⁿ⁻¹P admettra donc au moins nracines. Or ce polynôme est de degré strictement plus petit car les coecients de degréns'annulent.

(4)

c. D'après la question précédente,2⁻ⁿ⁺¹est un minorant de{N(P), P ∈ Un}ce qui entraine l'inégalité manquante 2⁻ⁿ⁺¹ ≤ mn car la borne inférieure est le plus grand des minorants.

4. a. La fonction suivante répond aux conditions demandées t→ a+b

2 +tb−a 2

b. À partir du polynômeP vériant l'hypothèse, formons un polynômeQ: Q=P(b a+b

2 +Xb−a 2 )

Ce polynôme est de degré p et de coecient dominant (^b−a₂ )^p. De plus, par construction, il vérie :

∀x∈[−1,1] : Q(x)e

≤2

Formons un polynôme unitaire et appliquons le résultat de 3.

N 2^p

(b−a)^pQ

≤ 2^p+1

(b−a)^p ⇒2^−p+1≤ 2^p+1

(b−a)^p ⇒(b−a)^p≤2^2p⇒b−a≤4