la courbe repré- sentativeC de la fonctionf et la droite∆d’équationy=3

(1)

Externat Notre Dame Devoir Maison n°6 (Tle S) Lundi 14 mars 2016

Proposition de corrigé Exercice1 :

Partie A

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)= 3 1+e⁻^2x.

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal³ O,−→

ı ,−→



´, la courbe repré- sentativeC de la fonctionf et la droite∆d’équationy=3.

1 2 3

1 2 3 4

-1

-2 →−

ı

−

→

 C

∆

a

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante surR.

On sait que e⁻^2x>0 quel que soit le réelx, donc 1+e⁻^2x>1>0. Le dénominateur étant non nul, la fonctionf est dérivable surRet sur cet intervalle la fonction étant de la forme

3

u(x), avecu(x)=1+e⁻^2x, doncu^′(x)= −2e⁻^2xon a : f^′(x)= −3u^′(x)

(u(x))² = −3×(−2)e⁻^2x

¡1+e⁻^2x¢2 = 6e⁻^2x

¡1+e⁻^2x¢2 >0 car quotient de deux nombres supé- rieurs à zéro. la fonctionf est donc strictement croissante surR(comme le laisse suppo- ser le graphique).

2. Justifier que la droite∆est asymptote à la courbeC. On a lim

x→+∞

−2x= −∞et en posantX= −2x, lim

X→−∞e^X=0, d’où

Xlim→−∞1+e^X=1 et enfin par quotient de limites lim

x→+∞f(x)=3 : ceci montre que la droite (∆) d’équationy=3 est asymptote àC au voisinage de plus l’infini.

3. Démontrer que l’équation f(x)=2, 999 admet une unique solutionαsurR. Déterminer un encadrement deαd’amplitude 10⁻².

Sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonctionf est continue car dérivable, strictement croissante def(0)= 3

1+1=1, 5 à 3 : il existe donc un réel uniqueα∈[0 ; +∞[ tel quef(α)=2, 999.

La calculatrice donne :

(2)

f(4)≈2,998 99 etf(5)≈2,999 9, donc 4<α<5 ;

f(4, 0)≈2,998 99 etf(4, 1)≈2,999 2, donc 4, 0<α<4, 1 ;

f(4, 00)≈2,998 99 etf(4, 01)≈2,999 01, donc 4, 00<α<4, 01 (encadrement à 10⁻²près).

Partie B

Soithla fonction définie surRparh(x)=3−f(x).

1. Justifier que la fonctionhest positive surR.

On a vu dans la partie A que 0<f(x)<3⇐⇒ −f(x)<0<3−f(x), soith(x)>0 surR. 2. On désigne parHla fonction définie surRparH(x)= −3

2ln¡

1+e⁻^2x¢ . Démontrer queHest une primitive dehsurR.

La fonctionHest dérivable surRet sur cet intervalle : H^′(x)= −3

2×

−2e⁻^2x

1+e⁻^2x = 3e⁻^2x

1+e⁻^2x =3e⁻^2x+3−3

1+e⁻^2x =3e⁻^2x+3 1+e⁻^2x − 3

1+e⁻^2x =3¡

e⁻^2x+1¢ 1+e⁻^2x − 3

1+e⁻^2x =3−f(x)=h(x).

DoncHest une primitive dehsurR. 3. Soitaun réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale Za

0 h(x) dx.

On a vu que surRdonc en particulier sur l’intervalle [0 ; a] (aveca>), la fonction h est positive, donc l’intégrale

Za 0

h(x) dxest égale en unités d’aire à la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de h, l’axe des abscisses, et les droites d’équationx=0 etx=a.

Mais commeh(x)=3−f(x), cette surface est la surface limitée par la droite∆, la courbeC et les droites d’équationx=0 etx=a(voir l’aire hachurée ci-dessus).

b. Démontrer que Za

0

h(x) dx=3 2ln

µ 2 1+e⁻^2a

¶ . D’après la questionB. 2., on a :

Za 0

h(x) dx=[H(x)]^a₀ =H(a)−H(0)= −3 2ln¡

1+e⁻²^×^a¢ +3

2ln¡

1+e⁻²^×⁰¢

=3 2ln 2− 3

2ln¡

1+e⁻²^×^a¢

=3 2ln

µ 2

1+e⁻^2a

¶ .

c. On noteDl’ensemble des pointsM(x; y) du plan défini par

½ x > 0 f(x) 6y 63

Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaineD.

D’après la question précédente, on sait que l’aire deD_a, surface limitée par la droite

∆, la courbeC et les droites d’équationx=0 etx=aest égale à3 2ln

µ 2

1+e⁻^2a

¶ . Or lim

x→+∞e⁻^2x=0, donc lim

x→+∞1+e⁻^2x=1 et lim

x→+∞

µ 2

1+e⁻^2x

¶

=2, donc finalement par composition, l’aire deDest égale à lim

x→+∞

3 2ln

µ 2

1+e⁻^2x

¶

=3

2ln 2≈1, 04 (u. a.)

(3)

Exercice2 :

On considère la fonctionf définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=1

x(1+lnx)

1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentativeC_f de la fonctionf et une courbeC_F. Dans une seule situation, la courbe C_Fest la courbe représentative d’une primitiveF de la fonction f. Laquelle ? Justifier la réponse.

Situation 1 Situation 2

0,5 1,0 1,5

-0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0

0,5 1,0 1,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

C_f

C_F

K _b _bL

0,5 1,0 1,5

-0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0

0,5 1,0 1,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

C_f C_F

K_b L_b

Situation 3

0,5 1,0 1,5

-0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0

0,5 1,0 1,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

C_f

C_F

K_b _bL

CommeFest une primitive def, alorsf est la dérivée deFdonc les variations deFsont données par le signe de f :Fest croissante si et seulementf est positive

C’est donc dans la situation 2 que la courbeCFest la courbe représentative d’une primi- tiveFde la fonctionf.

2. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :

– K le point d’intersection de la courbeC_f et de l’axe des abscisses etD la droite passant par K et parallèle à l’axe des ordonnées ;

– L le point d’intersection deC_F et de l’axe des abscisses, ayant une abscisse supé- rieure à1

2 et∆la droite passant par L et parallèle à l’axe des ordonnées.

L’abscisse du pointLest l’abscisse du point en lequel la fonction f atteint son maximum (voir remarque), nombre pour lequel la dérivée def s’annule et passe du positif au néga- tif.

f^′(x)=

1

x×x−(1+lnx)×1

x² = −lnx

x² s’annule pourx=1.

Pour 0<x<1, lnx<0 doncf^′(x)= −lnx

x² >0, doncf est croissante.

Pour 1<x, lnx>0 doncf^′(x)= −lnx

x² <0, doncf est décroissante.

La fonctionf est donc croissante sur [0 ; 1] puis décroissante sur [1 ;+∞[ ; sa dérivée s’annule pourx=1 donc la fonction f admet un maximum pourx=1 et le pointLa pour abscisse 1.

(4)

Remarque – Il aurait été préférable que le texte précise, par exemple, que l’abscisse du point L était un nombre entier, car rien ne dit dans le texte – hormis le graphique – que le point L a pour abscisse l’abscisse du point en lequel la fonction f atteint son maximum.

a. Déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine du plan délimité par les droitesDet∆, par la courbeC_f et par l’axe des abscisses.

L’aire du domaine du plan délimité par les droitesDet∆, par la courbeC_f et par l’axe des abscisses a une valeur approchée de 0,5 (aire du rectangle coloré en gris sur le graphique).

b. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ? Deux méthodes :

– une méthode graphique: graphiquement on peut lire queF(1)=0 et que F¡

e⁻¹¢

≈ −0, 5 ; donc l’aire est approximativement égale à 0,5.

– une méthode numérique: pour avoir la valeur exacte de l’aire, il faut déterminer une primitive de f.

f(x)=1 x+1

x×lnx La fonctionx7→ 1

xa pour primitive sur [0 ;∞[ la fonctionx7→lnx.

La fonctionx7→1

x×lnxest de la formeu^′u, oùu(x)=lnx, donc a pour primitiveu² 2 soit la fonctionx7→(lnx)²

2 . Donc la fonctionf a pour primitivex7→lnx+(lnx)² 2 . Z1

e⁻¹f(x) dx=

·

lnx+(lnx)² 2

¸¹

e⁻¹

= µ

ln 1+(ln 1)² 2

¶

− µ

ln e⁻¹+(ln e⁻¹)² 2

¶

ln 1=0 et ln e⁻¹= −1 donc Z1

e⁻¹

f(x) dx=0− µ

−1+1 2

¶

=1 2

0,5 1,0 1,5

-0,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

C_f C_F

K D

L

∆