mathématiques - S’1
TD 7 : intégrales
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenobleexercices théoriques 1. Calculer à l’aide d’une primitive les intégrales :
A= Z 1
0 −2x+3dx, B=
Z 1
0
2dx
x2+1, C= Z 1
0
√xdx x2+1, D=
Z sinθ
0
√dx
1−x2, E=
Z 4
2
√dx x2−1. 2. Calculer à l’aide d’une (ou plusieurs) intégrations par parties les inté-
grales : A=
Z X
1 lnx dx, B= Z 1
0 x2exdx, C= Z π/2
0 (3x3−2x)cosx dx.
3. Calculer à l’aide d’un changement de variables les intégrales : A=
Z π/4
0 cos2θsinθdθ, B= Z x
0
dt
2t2+1, C= Z π/2
π/4
cosθ dθ (1+cosθ)sinθ (pourAon poserax=cosθ, pourB,y=√
2t, et pourC,x=tanθ2).
4. Calculer à l’aide d’une décomposition en éléments simples les inté- grales :
A= Z 2
1
x2+1
x2+x dx, B= Z 1
0
2x dx
(x+1)(x2+1), C= Z 1
0
x dx (x+1)(2x2+1). 5. Calculer à l’aide d’une linéarisation les intégrales :
A= Z π/3
0 sinθcosθdx, B=
Z π/4
0 sin3θdθ, C=
Z π/4
0 cos2θsinθdθ, D=
Z π/2
0 cos4θdθ.
6. Existence et calcul des intégrales : A=
Z +∞ 1
dx
x2, B=
Z 1
0
√dxx, C= Z +∞
1
dx x(x+1), D=
Z +∞ 1
dx
x(x2+1), E = Z +∞
0 e−xsinx dx, F = Z +∞
0 re−r2 dr, G=
Z +∞ 0
dx
x2+2x+2, Hn=
Z +∞
0 xne−xdx.
7. Montrer que l’intégrale R0+∞sinxx dx converge et que R0+∞|sinxx |dx ne converge pas.
exercices pratiques
1. Courant sinusoïdalCalculer la valeur moyenne des courants sinusoï- daux de périodeT suivants :
(a)i1(t) =I0sin2πTt (b)i2(t) =
I0sin2πTt sikT ≤t<kT+T/2, 0 sikT+T/2≤t<(k+1)T, (c)i3(t) =
I0sin2πTt sikT ≤t <kT+T/2,
−I0sin2πTt sikT+T/2≤t<(k+1)T,
2. Surface de l’orbite de la Terre La Terre parcourt durant l’année une orbite elliptique d’équation x2
a2+y2
b2 =1, avec a=1,496.1011m, b=1,4958.1011m. Calculer la surface de l’orbite.
Quel serait le rayon d’une orbite circulaire de même surface ?
Guillaume Laget - version du 23-06-2006 06:06 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/) - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées
