37 ² ×− = ×− = − = − 293674974 a n a a n a a

LFM Mathématiques 4

^ème 1 Ch  13  :  Puissances  d’un  nombre  relatif  et  règles  de  calcul  

1)  Puissances  d’un  nombre  relatif    

Quel  que  soit  le  nombre  relatif  a  et  quel  que  soit  l’entier  positif  n  supérieur  à  1  :    

                                                   

$ !# … ! "

facteurs n

n

a a

a = × ×

                     et                       ⁻

^{= 1} ( ^{a ≠ 0} )

a

ⁿ

a

_n  

De  plus,  

a

¹

= a

^,    

a

⁰

= ¹ ( a ≠ ⁰ )

,     ₁ 1( 0)

≠

− = a

a a      

a

⁻¹est  l’inverse  de  

a

.  

 

anse  lit  aexposant  n.  

a2se  lit  également  a  au  carré.  

a3se  lit  également  a  au  cube.  

 

Exemples  :  •  

2

⁵

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2

                                         •  (−3)⁴ =(−3)×(−3)×(−3)×(−3)  

•  3,2¹ =3,2                                                    •  7⁰ =1                                  •   ³ ₃ 4 4⁻ = 1 Application  :    

Calculer    

5^! =   2014^! =  

−6 ^! =  

−6^! =   (−2)^! =  

 

       

2)  Règles  de  priorités    

•  En  l’absence  de  parenthèses,  on  calcule  les  puissances  avant  d’effectuer  les  autres  opérations.  

     

Exemple  :  7−3²×4=7−9×4=7−36=−29  

 

Application  :  

Calculer  𝐴=18−4^!×5  

               

Calculer  𝐵=48÷2^!+4^!÷8  

       

LFM Mathématiques 4

^ème 2  

•  En  présence  de  parenthèses,  on  effectue  d’abord  les  calculs  entre  parenthèses.  

 

Exemple  :  (3+5)²×(3²+5²)=8²×(9+25)=64×34=2176  

 

Calculer    A  =      

                   

Calculer    B  =  

   

3)  Puissances  et  calcul  

Quels  que  soient  les  nombres  relatifs  aet  bet  quels  que  soient  les  nombres  entiers  m  et  n  :  

n m n

m

a a

a × =

⁺                                  ;                                 _n ^{m n}

m

a a

a

₋

=

                                 ;                                      

a

^m

× b

^m

= ( ab )

^m  

   

Exemples  :      

•  3²×3⁴ =3²⁺⁴ =3^{6  car}  3²×3⁴ =(3×3)×(3×3×3×3)=3⁶  

•   ₃ ^{5 3 2}

5

4 4 4

4 = ⁻ =  ^car   ₃ ²

5

4 4 4 4

4 4

4 4 4 4 4 4

4 = × =

×

×

×

×

×

= ×  

•   ₇ ^{3 7 4}

3

5 5 5

5 _{− −}

=

=  ^car   _{7 4} ⁴

3

5 5 1 5 5 5 5

1 5

5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

5 ₋

=

× =

×

= ×

×

×

×

×

×

×

×

= ×  

•  3⁷×2⁷ =6⁷    

   

Remarque  :  Ces  règles  ne  s’appliquent  pas  pour  des  sommes  ou  des  différences.  

   

Application  :  

𝐴=  ^!_!^!_!^×!_×!^!!_!!                                                                                                                                                                          𝐵=^(!_!^!_!^)!    

               

LFM Mathématiques 4

^ème 3

!

"

# …

$

$ !

$

$ "

# …

zéros n à

égaux facteurs n

n

10 10 10 1 00 0

10

10

=

×

×

×

=

1 0 0 , 0 0 00 1

1 10

10 1 # " … !

!

"

# …

_nzéros

zéros n n

n

= = =

−

II-­‐  Cas  particulier  :  les  puissances  de  10  

1)  Ecriture  décimale  des  puissances  de  10    

nest  un  entier  supérieur  ou  égal  à  1  :      

   

                                                                                                               

                                                                                                                                                                                             (en  n’oubliant  pas  la  virgule  après  le  premier  0)    

 

10n  se  lit  :  dix  «  exposant  »  n    

Exemples  :   !

zéros

facteurs 3

3

3 10 10 10 1000

10 =%"$× "#× =  ^{et   6}

6

10 000 000 1$!#!" =

zéros

 

                                       10 0,00001

5 5 #"!

zéros

− =  

Par  convention,  10⁰ =1  

   

 

2)  Produit  par  une  puissance  de  10    

Exemples  :      

•  25,1×10⁵ =2510000  la  virgule  est  décalée  de  5  rangs  vers  la  droite  

•  25,1×10⁻⁵ =0,000251  la  virgule  est  décalée  de  5  rangs  vers  la  gauche   3)  Opérations  sur  les  puissances  de  10  

a)  Multiplication  et  division  des  puissances  de  10  

Soient  met  ndeux  entiers  relatifs.  

 

        b)  Puissance  d’une  puissance  de  10  

Si  met  nsont  deux  entiers  relatifs      alors  (10^m)ⁿ =10^m×n    

Exemples  :  

( )

^{108 7 =108×7 =1056}    et    

( )

^{103 −5 =103×(−5) =10−15}  

Règles  de  calcul   Exemples  

m n m

n +

=

×10 10

10   10⁻² ×10⁵ =10⁻²⁺⁵ =10³  

m n m n

=10 −

10

10   10 10 10

10

10 6 5 1

5 6

=

=

= ⁻  

LFM Mathématiques 4

^ème 4 4)  Notation  scientifique  

Propriété  :  Un  nombre  décimal  admet  plusieurs  écritures  de  la  forme  a×10ⁿdans  laquelle  adésigne  un  

nombre  décimal  et  nun  entier  relatif.  

 

Exemples  :  2540000=254×10⁴ =25,4×10⁵ =2,54×10⁶ =0,254×10⁷  

                                     0,00138=138×10⁻⁵ =13,8×10⁻⁴ =1,38×10⁻³ =0,138×10⁻²    

Définition  :  La  notation  scientifique  d’un  nombre  décimal  est  l’unique  forme  a×10ⁿ  dans  laquelle  le  nombre   apossède  un  seul  chiffre  non  nul  avant  la  virgule.  

 

Remarque  :  la  notation  scientifique  permet  d’obtenir  un  ordre  de  grandeur  ou  des  encadrements  d’un  nombre.  

 

Exemple  :    

Soit  A=123456789×987654321.    

On  a  calculé  A  et  on  a  obtenu  l’écran  suivant  :  1,219436049×10¹⁹  

•  1,2≈1  ^donc  1×10¹⁹est  un  ordre  de  grandeur  de  A.  

•  Les  encadrements  suivants  indiquent  aussi  un  ordre  de  grandeur  de  A  :    

19

19 2 10

10

1× < A< ×  et    10¹⁹ < A<10²⁰  

   

Application  :  Puissances  de  10    

Donner  l’écriture  scientifique  de  :    

𝐴 =3,4×10^!×0,02×10^!"  

                             

𝐵=18×10^!"

4×10^!