SIMONSELLEM–simon.sellem@ens-cachan.fr
Motivation
Toute machine tournante classique comporte un stator et un rotor. Il est nécessaire d’étudier la ré- partition de l’induction magnétique le long de l’entrefer situé entre le rotor et le stator puisque c’est là qu’auront lieu les phénomènes principaux permettant d’expliquer le transfert d’énergie mécanique/- électrique et le fonctionnement des machines alternatives en régime permanent. Cette leçon vient donc introduire les machines tournantes. Toutes les machines fonctionnent sur le même principe : interaction entre deux champs magnétiques.
On se proposera dans un premier temps de faire le lien entre les champs crées dans les machines tour- nantes et le couple qu’elles génèrent en conséquence, après quoi nous présenterons différentes façons de créer des champs tournant, en présentant des théorèmes associés à ces phénomènes.
Nous ferons tout au long de la leçon l’hypothèse queµr1, que l’entrefer est idéal, que les machines ne saturent pas, et que les champs statoriques (non tournants) sont à répartition spatiale sinusoïdale (dernière hypothèse justifiée dans l’autre approche (by J.GORI), ils seront schématiquement représen- tés par une seule spire par souci de lisibilité des figures).
Table des matières
1 Lien entre le champs crées dans les machines et le couple qu’elles génèrent 2 1.1 Etude d’un cas simple . . . 2 1.2 Méthode des moments . . . 2 1.3 Approche à partir des puissances by J. GORI . . . 3 2 Champ tournant créé par une armature mobile alimentée par un courant constant 4 3 Champs tournants créés par une armature monophasée fixe alimentée en courant alterna-
tif 4
4 Champ tournant créé par une armature triphasée fixe alimentée en courant alternatif 5
5 Conclusion 7
1 Lien entre le champs crées dans les machines et le couple qu’elles génèrent
— Expérience à faire avec les mini machines de gros tek alimentées comme il se doit pour montrer les différents phénomènes
— Utilisation possible (et idéale) du logiciel FEMM pour montrer le chemin des lignes de champ au sein d’une machine
1.1 Etude d’un cas simple
Etude du cas le plus simple du dipôle magnétique (autrement dit d’une spire parcourue par un courant I permanent) plongé dans un champB~ uniforme (un tel champ peu être créé par un aimant permanent par exemple) :
FIGURE1 –spire alimentée par un courant constant dans un champ magnétique permanentB~
Le moment de la force de Laplace par rapport au centre d’inertie 0 de la spire s’écrit
~Γ = I
spire
−−→ OP ∧−→
dF = I
spire
−−→ OP ∧I
d−−→ OP ∧B~
Aprè avoir déroulé les calculs (que vous trouverez partout) on trouve
~Γ =IS~n∧B~ =M~ ∧B~ (1)
Le champ magnétique exerce un moment qui va avoir tendance à faire tourner la spire sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétique dipolaireM~ s’aligne dans la direction deB~. Le moment est de plus maximal quand les deux champs sont orthogonaux. On commence à préssentir ce qu’il va se passer, de manière cette fois dynamique, dans les machines avec des champs rotoriques et statoriques tournants...
1.2 Méthode des moments
D’une facon générale, on peut parler de la méthode des moments afin de donner le lien entre champ créé dans une machine et création de couple dans celle-ci (attention, ne pas utiliser si le niveau de la leçon est BTS)
Wmag= 1 2µ0
· Z Z Z
Vol
(Bresultant)2dVol avec−−→
Bres=−−−−→
Brotor+−−−−→
BstatorLe couple s’écrit alors : Cem=
∂Wmag
∂θ
irotor,istator=cte
(2)
On démontre ceci avec deux bilans d’énergie sur une machine :
∂We=∂Wmeca+∂Wstocke+∂Q ou encore
idΦ +Ri2dt=Crdθ+Ri2dt+∂Wmag+JΩdΩ et un deuxième bilan
idΦ +Cedθ+dWmag
On écrit enfin la différentielle deWmagqui donneidΦ +Cedθd’après bilan 1 et on a le résultat attendu.
1.3 Approche à partir des puissances by J. GORI
On se place dans le cas d’une paire de pôles et d’une machine triphasée. Pour garder un caractère général, on suppose qu’il y à trois spires convenablement réparties (pour avoir un système équilibré) et qu’il existe un champ tournantb0(t)tel que :
b0(t) =B√
2 cos(ω0t−θ) ce qui induit dans chaque phase les tensions :
e1=−ω0B√
2 sin(ω0t−θ)S
e2=−ω0B√
2 sin(ω0t−θ−2π 3 )S e3=−ω0B√
2 sin(ω0t−θ−4π 3 )S
Si le système décrit précédemment est alimenté par un système de courants triphasé équilibré, les courants sont alors de la forme :
i1=I√
2 sin(ωt−φ) i2=I√
2 sin(ωt−φ−2π 3 ) i3=I√
2 sin(ωt−φ−4π 3 ) On a alors l’échange d’énergie suivant entre réseau et machine :
Pe(t) =
3
X
j=1
ej(t)ij(t) = 3 2
h−ω0B√ 2SI√
2 cos(ω0t−ωt+φ−θ)i
Soit :
Pe(t) =−3ω0BSIcos((ω0−ω)t+φ−θ) et au final, on obtient pour le couple, en considérant
Pe=Cem×Ω
|Cem|= 3BSIcos((ω0−ω)t+φ−θ) Sur une période, le couple moyen est nul dans le cas général. Toutefois :
< Cem>T=A <cos((ω0−ω)t+φ−θ)>T6= 0si ω0 =ω
2 Champ tournant créé par une armature mobile alimentée par un courant constant
On considère le bobinage rotorique représenté sur la figure ci-dessous parcouru par un courant constant I supposé positif. On considère un point M fixe de l’entrefer situé à l’abscisse angulaire θ par rapport à l’axe du stator (fixe)
FIGURE2 –Cas d’un bobinage bipolaire porté par une armature tournante
Le rotor tourne à la vitesseΩ(dans le sens positif, etΩconstant), l’induction magnétique au point M peut s’écrire :
B(M) =B(θ, t) =B0cos(Ωt−θ) (3)
L’induction dans l’entrefer dépend à la fois de la date t et de la position du point M. En un point fixe de l’entrefer on observe au point M un champ qui varie sinusoïdalement en fonction du temps à la pulsationΩ. Si maintenant un prend une photo de ce qu’il se passe à l’instant t, on a une répartition spatiale sinusoïdale en fonction de la position du point M dans l’entrefer.
On peut généraliser facilement le résultat ci-dessus dans le cas d’une machine comportant p paires de pôles :
B(θ, t) =B0cos(pΩt−pθ) =B0cos(ωt−pθ) (4) avecω=pΩla vitesse électrique
3 Champs tournants créés par une armature monophasée fixe ali- mentée en courant alternatif
On considère toujours le schéma de la figure 1 mais cette fois le rotor est fixe et le courant injecté dans celui-ci est de la formei(t) =Icos(ωt)ce courant crée toujours un champs
B(θ, t) =ki(t) cos(θ) =kIcos(ωt) cos(θ)
d’où
B(θ, t) = 1
2kIcos(ωt−θ) +1
2kIcos(ωt+θ) (5)
L’analyse de ce résultat et la généralisation comme dans le paragraphe précédent à une armature p- polaire nous amène au théorème de Leblanc :
Une armature p-polaire, fixe, monophasée, à répartition spatiale sinusoïdale, ali- mentée par un courant alternatifi(t) =Icos(ωt)crée deux champs tournants :
— de même amplitude à répartition spatiale sinusoïdale ;
— tournant en sens inverse l’un de l’autre à a même vitesse ωp;
— dont les axes coïncident avec l’axe du bobinage lorsque le courant qui les traverse est maximal
4 Champ tournant créé par une armature triphasée fixe alimentée en courant alternatif
On considère maintenant un bobinage triphasé constitué de trois bobines identiques et réparties sur la périphérie du stator. Les axes des bobines sont décalés entre eux d’un angle électrique égal à 2π3 .
FIGURE3 –Armature triphasée fixe alimentée par un système triphasé équilibré direct de courants
Les courants qui alimentent les bobinages ont pour expression :
i1(t) =Icos(ωt) i2(t) =Icos(ωt−2π3 ) i3(t) =Icos(ωt−2π3 ) Si l’on considère le point M situé :
— à l’angleθdu bobinage 1
— à l’angleθ+4π3 du bobinage 2
— à l’angleθ+2π3 du bobinage 3
Ces bobinages créeront au point M des inductions respectives B1, B2, B3 dont les amplitudes sont données ci-dessous :
B1(θ, t) =kIcos(ωt) cos(θ)
B2(θ, t) =kIcos(ωt−2π3 ) cos(θ+4π3 ) B3(θ, t) =kIcos(ωt−4π3 ) cos(θ+2π3 ) Et le champ résultant au point M s’écritB(M) =B1+B2+B3.
— PETIT DIAGRAMME DE FRESNEL POUR MONTRER DANS LE PLAN COMPLEXE CE QU IL SE PASSE AVEC LA SOMME DES CHAMPS
La linéarisation des sinus donne donc
B(θ, t) = kI
2 [cos(ωt+θ)+cos(ωt−θ)]+kI
2 [cos(ωt+θ+2π
3 )+cos(ωt−θ−6π 3 )]+kI
2 [cos(ωt+θ−2π
3 )+cos(ωt−θ−6π 3 )]
B(θ, t) = kI
2 [3·cos(ωt−θ)] +kI
2 [cos(ωt+θ+ cos(ωt+θ+2π
3 ) + cos(ωt+θ−2π 3 )
| {z }
=0
]
Au final :
B(θ, t) =kI
2 [3·cos(ωt−θ)] (6)
Ce qui nous amène, après généralisation comme dans les parties précédentes aux machines à p paires de pôles, à l’énoncé du théorème de Ferraris :
Une armature fixe, triphasée à répartition de champ spatiale sinusoïdale parcourue par un système de courants sinusoïdaux triphasés équilibrés donne naissance à un seul champ tournant à la vitesseΩs=ωp dont l’axe coïncide avec l’axe du bobinage lorsque le courant qui le traverse est maximal.
Remarques :
(a) Si l’on inverse l’ordre de succession des phases, on inverse le sens de rotation du champ
(b) Plus généralement, en considérant une armature multipolaire, polyphasée contenant q phases identiques décalées régulièrement de 2πq . Les phases sont alimentées par des courants sinus équilibrés ayant la forme :
ik(t) =Icos
ωt∓(k2π q )
Et au point M le courant génère un champ B(θ, t) =Bcos
ωt∓(k2π q )
·cos
(k2π q )−pθ
Le champ résultant a pour expression
B(θ, t) =Bq
2cos(ωt∓pθ) (7)
On doit alors corriger un peu le théorème de Ferraris dans ce cas plus général pour lequel il y aura dans l’entrefer un champ tournant à la vitesse±ωp
5 Conclusion
Il existe différentes solutions pour créer des champs tournants, si l’on considère des bobinages tripha- sés idéaux au sens de la création de champs rotoriques à répartition spatiale sinusoïdale :
Solution 1
Création d’un champ statorique tournant à la vitesseωs
iastatorique =Icos(ωst+φ) ibstatorique =Icos(ωst+φ−2π3) icstatorique =Icos(ωst+φ+2π3)
Comme vu précédemment, on a créé en un point M de l’entrefer un champ tournant à la vitesseωs Solution 2
Injection de courants constants au rotor mais le rotor tourne àΩdonc on a crée un champ tournant à la vitessepΩ(dans le cas général).
Solution 3
On injecte des courants statoriques toujours sur un système triphasé idéal variables en fonction du temps
iarotorique=Icos(ωrt+φr) ibrotorique=Icos(ωrt+φr−2π3) icrotorique=Icos(ωrt+φr+2π3)
Dans cette troisième solution, on a vu avec le théorème de Ferraris que l’on créait en un point de l’entrefer un champ tournant à la vitesseωr, mais comme ces courants sont injectés au rotor, celui-ci tourne lui même à la vitessepΩ. On a donc créé un champ dans l’entrefer tournant àpΩ +ωr.
Si l’on combine la solution 1 et la solution 2, pour qu’il y ait couple moyen non nul on doit avoir d’une part des répartitions spatiales de même période (pr =ps=p) et d’autre part les champs rotoriques et statoriques tournant à la même vitesse i.e. pΩ =ωs . On appelle ce type de machine machine synchrone Si l’on combine la solution 1 et la solution 3, pour qu’il y ait couple moyen non nul on doit avoir d’une part des répartitions spatiales de même période (pr=ps=p) et d’autre part les pΩ +ωr=ωs. On appelle ce type de machine machine asynchrone
Références
[1] Dominique Bareille,Electrotechnique, transformateurs et machines tournantes. Dunod 2006.
[2] Gilles FeldChamp d’induction dans l’entrefer d’une machine. cours, 2013.
[3] Gilles FeldConversion électromécanique. cours, 2013.
