Couplage de la vélocimétrie par images de particules en deux temps avec la décomposition en modes propres pour la caractérisation d'un écoulement

(1)

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Couplage de la vélocimétrie par images de particules en

deux temps avec la décomposition en modes propres

pour la caractérisation d’un écoulement

Thomas Favelier

To cite this version:

Thomas Favelier. Couplage de la vélocimétrie par images de particules en deux temps avec la

décompo-sition en modes propres pour la caractérisation d’un écoulement. Dynamique des Fluides

[physics.flu-dyn]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2006. Français. �tel-00080473�

(2)

N d'ordre : 16-2006 Année 2006

THESE DE DOCTORAT

présentée devant

l'UNIVERSITE CLAUDE BERNARD - LYON 1

ECOLE DOCTORALE :MECANIQUE - ENERGETIQUE -GENIE CIVIL

-ACOUSTIQUE

pour obtenir le titre de DOCTEUR

(arrêté du 25 avril 2002)

Spécialité : MECANIQUE DES FLUIDES

par

M Thomas FAVELIER

Couplage de la vélocimétrie par images de particules en

deux temps avec la décomposition en modes propres pour la

caractérisation d'un écoulement

Soutenue publiquement le 28 Février 2006

Jury : MM.

Borée J., Professeur, ENSMA Poitiers (Rapporteur)

Lusseyran F., Chargé de recherche, LIMSI, Paris VI et Paris XI

(Rapporteur)

Gence J.-N., Professeur, Université Claude Bernard Lyon I

(Di-recteur)

Kourta A., Chargé de recherche, IMFT, Toulouse

Michard M., Professeur associé, INSA, Lyon (Directeur)

(3)

(4)

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD – LYON I

Président de l'Université

M. le Professeur D. DEBOUZIE

Vice-Président du Conseil Scientifique

M. le Professeur J.F. MORNEX

Vice-Président du Conseil d'Administration

M. le Professeur R. GARRONE

Vice-Présidente du Conseil des Etudes et

de la Vie Universitaire

M. le Professeur G. ANNAT

Secrétaire Général

M. J.P. BONHOTAL

SECTEUR SANTE

Composantes

UFR de Médecine Lyon R.T.H. Laënnec

Directeur : M. le Professeur D. VITAL-DURAND

UFR de Médecine Lyon Grange-Blanche

Directeur : M. le Professeur X. MARTIN

UFR de Médecine Lyon-Nord

Directeur : M. le Professeur F. MAUGUIERE

UFR de Médecine Lyon-Sud

Directeur : M. le Professeur F.N. GILLY

UFR d'Odontologie

Directeur : M. O. ROBIN

Institut des Sciences Pharmaceutiques et Biologiques

Directeur : M. le Professeur F. LOCHER

Institut Techniques de Réadaptation

Directeur : M. le Professeur L. COLLET

Département de Formation et Centre de Recherche

en

Biologie

Humaine

Directeur

:

M. le

Professeur

P. FARGE

SECTEUR SCIENCES

Composantes

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Directeur : M. le Professeur A. HOAREAU

UFR de Biologie

Directeur : M. le Professeur H. PINON

UFR de Mécanique

Directeur : M. le Professeur H. BEN HADID

UFR de Génie Electrique et des Procédés

Directeur : M. le Professeur A. BRIGUET

UFR Sciences de la Terre

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UFR de Mathématiques

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UFR STAPS

Directeur : M. le Professeur R. MASSARELLI

Observatoire de Lyon

Directeur : M. le Professeur R. BACON

Institut des Sciences et des Techniques de l'Ingénieur

Directeur : M. le Professeur J. LIETO

de Lyon

IUT A

Directeur : M. le Professeur M. C. COULET

NT B

Directeur : M. le Professeur R. LAMARTINE

(5)

(6)

Fluides et d'acoustique de m'avoir accueilli dans cette unité de recherche pour ce travail

de thèse. Merci également à Marc Michard en tant que tuteur et mentor de m'avoir fait

conance sur ce projet il y maintenant plus de 3 ans. Son expérience m'a été bénéque

pourdirigerdansunedirectionjustetoutletravailettouteslespistesquej'aiétéamenésà

exploreretquisontprésentesdanslemanuscritsuivant.Saconnaissance delathématique

a été un précieux guide dans ma démarche scientique. Je remercie également Jean-Noël

Gence pour sonanalyse et sonregard critique lors de la miseen forme et larédaction de

ce travail.

Je tiens encoreune fois àremercier MJacques Borée et M FrançoisLusseyran d'avoir

évalué mon travail en acceptant d'être rapporteur. Merci à M Michel Stanislas d'avoir

présidélejurylorsde laprésentation oralede cettethèse,et àMAzzedineKourtad'avoir

également apportésonavisau coursde lasoutenance.

Au cours de ce travail, j'ai eu lachance de pouvoirtravailler en collaboration avec M

Cédric Hoareau,M Jacques Borée et MPatrick Braud du LEA de Poitiers avec qui nous

avonsréaliséunegrossepartdel'expérimentation.Cefûtuneexpériencetrèsenrichissante

etjeles remercie d'avoir permis cette collaboration.

Ce travail ne se serait sans doute pas déroulé aussi bien sans le soutien de Nathalie

Grosjean pour à la fois son soutien technique pour les expériences et le post traitement.

MerciNathde m'avoir accompagné,en musiqueetenbonnehumeur!Ilmereste de

nom-breusespersonnesencoreàremercier,quim'ontaidéauquotidien.DominiqueEchampard,

pour son soutien matériel, sa bonne humeur ses astuces, Roger Michelet pour son aide

précieuse de l'élaboration dumontage analogique, Bernard Barbier, PascaleJeandel pour

toutela partie informatique,l'atelier, ainsiqueChristine Lance, etArlène Taulet de

l'ad-ministration.

Pendant ce travail,j'ai passéde nombreuses heuresdevant cetordinateur à

m'interro-ger, me questionner, simuler,écouter de la musique, modéliser, rédiger, corriger, grogner,

m'énerver, etc. Mais c'estégalement un espace de vie, et je remercie toutes les personnes

quej'aicôtoyéesauquotidien.MerciauxautresthésardsnotammentIvanapouravoir

sup-porté mes coups degueule dans lebureau, Laure, Guillevic, Charles,Stéphane, Wouter...

désolé pour ceux queje necite pas, j'enoublie certainement beaucoup.

DerniersremerciementspourmesamisLolo(nonjenemettraipasnosconversationsen

annexe,etrassuretoi,dansmonnouveauposte,jenepeuxplust'embêterendirectLive!),

Marjo,Did...,lafamille pour leursoutienmoral.J'avoue,j'ai dûpasmalleurpomperl'air

cesderniersmois.EnnmerciàmachèreettendreCharlotte, pour tout:sonsoutien,son

moral, sonamour,sa joie, satendresse, soncourage etsapatience etsurtout aucours de

l'écriture etlarelecturede ce travail.

Lesremerciements, petitmoment àlan delarédactionoù onserendcompte qu'une

thèseestuntravailderecherchepersonneletcependantimpliqueénormémentdepersonnes,

etmobiliseuneéquipe.Merciencoreàtous.Maintenant jevoussouhaitebonnelecture(et

(7)

(8)

Nomenclature 13

I Approche générale 17

1 Cadre - État de l'art 19

1.1 Introduction . . . 19

1.2 Del'utilité d'obtenirdesmodélisationssimples . . . 20

1.3 Modélisationde faible ordredans lalittérature . . . 21

1.4 Cadre- Travaux menés pour cesrecherches . . . 23

2 Bases mathématiques 25 2.1 Grandeursstatistiques usuelles en unpoint . . . 25

2.2 Corrélations . . . 25

2.2.1 Corrélation temporelle . . . 26

2.2.2 Corrélationsspatialesetspatio-temporelles . . . 26

2.2.3 Métrologiesexistantes . . . 27

2.3 Décompositionorthogonale enmodespropres . . . 27

2.3.1 Principe . . . 27

2.3.2 Méthodedes snapshots. . . 29

3 Cas du cylindre circulaire 31 3.1 Décompositionde HussainetReynolds . . . 31

3.2 Descriptionde l'écoulement -Typesrégimes existants. . . 31

3.3 Caractérisation del'écoulement - Nombrede Strouhal . . . 34

3.4 Ledécollement . . . 34

3.5 Lazonede mélange. . . 35

3.6 Sillageetstructurestourbillonnaires . . . 35

II Expérimentations 37 4 Dispositifs expérimentaux 41 4.1 Géométrieétudiée . . . 41

4.1.1 Choixde lagéométrie . . . 41

4.1.2 Montage expérimental etdénitions desnotations. . . 42

4.2 Veines d'essais . . . 43

4.3 Étudedel'inuencedunombredeReynoldsetduconnementsurl'expérience 44 4.4 Implantation de sondes depression pariétale . . . 44

(9)

4.4.3 Traitement etmiseen forme dusignal depression. . . 45

5 Techniques de mesure - Méthodes expérimentales 47 5.1 Mesurespar untube de Pitot . . . 47

5.2 Anémométrie par lchaud . . . 47

5.2.1 Principe . . . 47

5.2.2 Mesures . . . 48

5.3 Mesure depression pariétale . . . 48

5.4 Vélocimétriepar Imagede Particule - PIV . . . 49

5.4.1 Principe . . . 49

5.4.2 Particules-traceurs . . . 49

5.4.3 Système d'illumination . . . 50

5.4.4 Acquisition desimagesettraitement . . . 51

5.4.5 Origine deserreurs . . . 52

5.5 PIV 2temps . . . 53

5.5.1 Principe de lamesureen deuxtemps . . . 54

5.5.2 Système d'émission . . . 55

5.5.3 Système de réception . . . 55

5.5.4 Traitement desdonnées . . . 56

5.6 VélocimétrielaserDoppler- LDV . . . 57

5.6.1 Principe de fonctionnement delaLDV . . . 57

5.6.2 Description dela chaîne demesure (DonnéesLEA Poitier) . . . 58

5.7 Convergence statistiquedesmesures . . . 60

5.8 Inuencedu post-traitement desmesuresde vitessepar PIV . . . 62

5.9 Critère de visualisation destructurescohérentes :Lafonction indicatrice 2 64 6 Présentation de l'écoulement 67 6.1 Zonesd'analyseetmétrologies employées. . . 67

6.2 Nombre de Strouhal . . . 68

6.3 Analyse spectrale . . . 70

6.4 Mesure deséchellesde temps etde longueur . . . 71

6.4.1 Échelle intégrale temporellede l'écoulement . . . 71

6.4.2 Échellesintégrales de longueur . . . 73

6.4.3 Échelle de Taylor . . . 75

6.4.4 Échelle de Kolmogorov . . . 75

6.5 Zone de recirculation . . . 76

6.5.1 Cartographie dela zonederecirculation . . . 76

6.5.2 Étude du point de lazonede recirculation àx=D =0:4etz=D=0:0 78 6.6 Zone de mélange . . . 78

6.6.1 Cartographie . . . 79

6.6.2 Prols obtenus par LDV etpar PIV . . . 79

6.6.3 Étude du point de lazonede mélangeà X=D=0:1et Z =D=0:54 . 82 6.6.4 Structures àhaute fréquencedanslazonede mélange . . . 83

6.7 Sillage proche . . . 85

6.7.1 Analyse desdistributions de vitessedanslesillage proche . . . 85

6.7.2 Prols obtenus par LDV etpar PIV . . . 85

6.7.3 Prols obtenus par lchaud danslesillage. . . 87

(10)

6.8 Fenêtre d'analyseetlimitede laPIV . . . 89

6.8.1 Taillede lafenêtre d'interrogation . . . 89

6.8.2 Limitede résolution de laPIV . . . 92

6.9 Mécanismede génération desstructures- Étude dephase . . . 95

6.9.1 Plande mesure . . . 95

6.9.2 Déclenchement . . . 96

6.9.3 Analysede lapression . . . 100

6.9.4 AnalysePIV . . . 100

6.10 Mesuresdecorrélation devitesse . . . 102

6.10.1 cartographie del'écoulement . . . 102

6.10.2 Prols decorrélation etComparaisonPIV - LDV etPIV - Filchaud 105 6.10.3 Vitessed'advection . . . 108

Synthèse 109 III Décomposition par POD et analyse 111 7 Décomposition orthogonale en modes propresde l'écoulement 113 7.1 Étude desvaleurspropres d'unedécomposition . . . 113

7.1.1 Valeurspropres del'ensemble desexpérimentations . . . 113

7.1.2 CasdesmesuresàfaiblenombredeReynolds-Mesuresrésoluesdans letemps . . . 115

7.2 Modespropres de l'écoulement . . . 117

7.2.1 Descriptiondesmodesprincipaux . . . 117

7.2.2 Modesharmoniques . . . 120

7.2.3 Modesdesécoulementàtrèsfaible nombredeReynoldsetdes simu-lationsnumériques . . . 121

7.3 Coecients . . . 123

7.3.1 Évolutiondescoecients- Cas desmesures résolues temporellement 123 7.3.2 Relationentrecoecients . . . 124

7.3.3 Décorrélation descoecientsPOD . . . 124

7.4 Commentaire sur lesmodes harmoniqueset les coecientsassociés . . . 128

7.5 Conclusion. . . 129

8 Détermination d'unparamètrede phase dudétachement tourbillonnaire par l'analyse des coecientsPOD 131 8.1 Dénitionde laphase' POD . . . 131

8.1.1 Idée généraleetdénition . . . 131

8.1.2 Rayonmoyen etdispersiondescoecientsa 1 et a 2 . . . 132

8.2 Comparaisons des statistiques synchronisées avec la pression et les coe-cientsPOD . . . 134

8.3 Analyse de ladécomposition POD des mesures synchronisées par le signal depression pariétale . . . 136

8.4 Analysedesautres coecients enfonction de laphase' POD . . . 140

(11)

9.1 Introduction . . . 145

9.2 Modèle de reconstruction de l'instationnarité à grande échelle à l'aide de l'analyse POD. . . 146

9.3 Modèletemporel . . . 146

9.4 Expressiondu modèleréduit à partir de ladonnéedeschampsinstantanés . 149 9.5 Modèled'ordre supérieur- Introduction delaturbulence danslemodèle . . 151

9.5.1 Complément delapartie déterministe . . . 151

9.5.2 Introduction de la turbulence dansle modèle - modèle stochastique simple . . . 151

9.6 Étapesde laconstruction d'unmodèle d'ordre supérieur . . . 153

10 Analyse du modèle 155 10.1 Exemplesde reconstructions . . . 155

10.2 Prols de vitessemoyenne etdescomposantes dutenseur de Reynolds . . . 155

10.3 Histogrammes devitesse . . . 162

10.4 Echellestemporelles despremiers coecients . . . 164

10.5 Corrélationsspatiales etspatio-temporelles. . . 167

10.6 Application au lâcherde particule uide . . . 171

11 Conclusions et perspectives 173 11.1 Conclusionetdiscussion . . . 173

11.2 Perspectives . . . 175

IV Annexes 177

A Systèmede synchronisation des lasers pourla PIV en deux temps 179

B Détermination des paramètres du modèle stochastique 183

C Moments d'ordre 1 et 2 en diérentsprols du modèlede faible ordre 185

D PDF des vitesses dans l'écoulement 195

E Ensemble des corrélations spatio-temporelles explorées avec un modèle

de faible ordre 201

(12)

3.1 Schémaprésentant lesmodicationsdel'écoulementselonlesrégionsautour

ducylindre . . . 32

3.2 Variation descoecients C

d ,C df ,C dp , C 0 l etC pb en fonction dunombre de

ReynoldsZdravkovich (1997) . . . 33

3.3 Angle de séparation en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre

circulaire(Ballengee &Chen (1971)) . . . 35

4.1 Schéma ducylindre tronquéetreprésentation 3Ddumontage expérimental 42

4.2 Schema dubarreau etduporteelectret . . . 45

5.1 Photographie du système de mesure à deux ls chaud pour les mesures de

corrélationsspatiales . . . 48

5.2 Représentationpolairedel'intensitédelumièrediuséeenfonctiondel'angle

dediusionpourtroistaillescaractéristiquesdeparticulesutilisées.

L'inten-sité delumière est représentéeen échelle logarithmique. . . 50

5.3 Exempled'uneimage desparticulesenregistrée parlacaméra au niveau du

point dedécollement pour unécoulement autourd'uncylindre semi-circulaire 50

5.4 Planche schématisant l'ensemble du processus d'analyse lors d'une mesure

devitesse parPIV . . . 51

5.5 Chronologie des diérents signaux de synchronisation lors des mesures en

deuxtemps . . . 54

5.6 Schéma de principede l'optiquede réception . . . 55

5.7 Cartographies du coecient de corrélation pour r = 0 et = 0s (a) et

pour r=0 et =100s (b) . . . 56

5.8 Convergence statistique de l'erreur relative pour la vitesse moyenne et la

variance en fonction dunombred'échantillons (mesures lchaud) . . . 61

5.9 Inuence de la fréquence d'échantillonnage sur le coecient de corrélation

spatiale(mesures lchaud) au point (X=D =5;Z =D =0:28) . . . 62

5.10 Evolutiondes prols de R

uu ((X=D =3:6;Z =D =0:28);r x =D =0;r y =D= 0;r z

=D;)pour =0set =400sen fonctiondunombred'échantillons

PIVenregistrés . . . 63

5.11 inuence des étapes d'analyses PIV sur lamesure de lavitesse : prols de

vitesse moyenne (à gauche) et de l'écart-type (à droite) après une analyse

par corrélation adaptative, une étape de redressement/ ré-échantillonnage

etunltragedu champ de vitesses . . . 63

5.12 Variation de lafonction

2

en fonction durapport entre letauxde

(13)

cylindre tronqué . . . 68

6.2 RelationexpérimentaleliantlavaleurdunombredeStrouhalaveclenombre

deReynoldsdanslecasd'uncylindretronquépourdeuxexpériencesdiérentes 68

6.3 Signauxtemporels,autocorrélationetdensitéspectraled'énergiedes

compo-santes u etw aux points (X=D =0:4;Z =D =0) et(X=D =1:9;Z =D =0)

(DonnéesLEA - Poitiers) . . . 70

6.4 Analyse spectrale dessignaux temporels de vitesselelong d'undemi prol

à X=D=5 . . . 72

6.5 Autocorrélationdusignaldevitesselchaudaupoint(X=D=5;Z =D=0:25) 72

6.6 Coecient d'autocorrélation spatialeau point(X=D =0:1;Z =D =0:55) . . 73

6.7 Cartographies deséchelles intégrales delongueursobtenue par PIV . . . 74

6.8 Vorticité et isocontour de la fonction

2 ( 1 2 2= en bleu et 2= 2

1 en rouge) associé au champ moyen de vitesse hu(x )i (a)

et cartographie de l'énergie des uctuations de vitesse (b). (Le champ de

vecteur a étésouséchantillonné d'unfacteur 2pour plusde clarté) . . . 77

6.9 Développementlongitudinaldelavitessemoyenne hUi=U

1

(a)ethWi=U

1

(b) . . . 77

6.10 Cartographie des diérentes composantes du tenseur de Reynolds

u 02 , w 02 ,ethu 0 w 0 i . . . 78

6.11 Lois de probabilité conjointe (a) etmarginales (b etc) de u etw au point

(X=D =0:4;Z =D=0) . . . 78

6.12 Présentation du champ moyen et des uctuations au niveau de la zone de

mélangeobtenue parPIV (U

1

=30ms

1

) . . . 79

6.13 Comparaison LDV- PIV des composantes de hUi=U

1 (a, e), hWi=U 1 (b, f), u 2 =U 2 1 (c,g) et w 2 =U 2 1 (d, h) pour X=D =0:1 ((a), (b), (c), (d)), etpour X=D=0:4((e), (f),(g), (h)) . . . 80

6.14 Lois de probabilité conjointe (a) etmarginales (b et c) de u etw au point

(X=D =0:1;Z =D=0:54) . . . 82

6.15 Lois deprobabilité appliquéeà lavaleurde lafrontièrez

c

etdistributionde

vitessecorrespondante au milieudu proldecouche limitedanslecasd'un

prol devitessethéorique . . . 83

6.16 Isocontours de lafonction 2 ( 1 2 2= en bleuet 2= 2 1en

rouge)surunchampinstantanéprésentantlaformationd'unestructure(Le

champde vecteur aété souséchantillonné d'unfacteur2 pour plus declarté) 84

6.17 Spectre du signal de vitesse enregistré par l chaud au niveau du point de

décollement du cylindre tronqué(X=D=0:02;Z =D=0:52) . . . 85

6.18 Lois de probabilité conjointe (a) etmarginales (b et c) de u etw au point

(X=D =1:7;Z =D=0) . . . 85

6.19 Comparaison LDV - PIVdes composantes deh Ui=U

1 (a, e),hWi=U 1 (b, f), u 2 =U 2 1 (c,g) et w 2 =U 2 1 (d, h) pour X=D =1:2 ((a),(b), (c), (d)), etpour X=D=1:7((e), (f),(g), (h)) . . . 86

6.20 Évolutionduproldevitessemoyenneetdesuctuationsdevitesseobtenues

par anémométrie lchauden X=D=3; 5;7 . . . 87

6.21 Cartographieduchampmoyen etdesdiérentescomposantesdutenseurde

Reynolds. . . 88

6.22 Comparaisonduproldevitessemoyenneetdesuctuationsdevitesseissus

(14)

32pixels (à droite)pour lanormedu champmoyen (aetb) lavariancedes uctuationsde u 2

(c etd),etlavariance desuctuations de

w 2

(eet f) 90

6.24 Inuence de la dimension de la fenêtre d'analyse :prols à X=D = 0:1 de

h Ui=U 1 (a), hWi=U 1 (b), u 2 =U 2 1 (c) et w 2 =U 2 1 (d); en bleu : 32

pixels;enrouge :16 pixels . . . 92

6.25 Inuence de la dimension de la fenêtre d'analyse :prols à X=D = 1:2 de

h Ui=U 1 (a), hWi=U 1 (b), u 2 =U 2 1 (c) et w 2 =U 2 1 (d); en bleu : 32

pixels;enrouge :16 pixels . . . 93

6.26 Inuencede lataille delafenêtre d'interrogation surlamesurede lavitesse

dansunecouchedemélange:prolsdevitessemoyenne(àgauche) eterreur

relative de la vitesseestimée (à droite) pour une fenêtre d de 0:1e, 0:5e, e,

2e,5e, et10e(e :épaisseur caractéristique dela couche de mélange) . . . . 94

6.27 Montageexpérimentaldedéclenchement delamesurePIVpar

synchronisa-tionexterne surlesignalde pressionpariétale . . . 96

6.28 Signaux instantanés enregistrés : signal de pression amplié, signal ltré,

signalTTL etsignalQSwitch laser . . . 99

6.29 Histogramme de l'intervalle de temps entre deux enregistrements successifs

pour les mesuressynchronisées . . . 99

6.30 Valeur moyenne dusignalde pressionmesuré enfonction de laphase' . . 100

6.31 Champsdevitesse(souséchantillonné) etstructurescohérentesdénies par

lecritère 2

àl'avalducylindretronqué(isocontours delafonction

2 pour

j 2

j>0:7) . . . 101

6.32 Positiondes7pointsdemesuredecorrélationspatialedanslesillage du

cy-lindre tronqué.Représentation delanormede lavitesse(a)en coordonnées

physiquesetdel'énergiedeuctuationk (b)encoordonnées

adimensionna-lisées . . . 102 6.33 Cartographies de R uu (x;r x ;r y =0;r z ;) (à gauche) et de R ww (x;r x ;r y = 0;r z

;) (à droite) à laposition (X=D = 0:5;Z =D = 0:54) pour diérentes

valeurs de . . . 103 6.34 Cartographies de R uu (x;r x ;r y =0;r z ;) (à gauche) et de R ww (x;r x ;r y = 0;r z

;) (à droite) à la position (X=D = 1:2;Z =D = 0:5) pour diérentes

valeurs de . . . 104

6.35 ComparaisonLDV-PIVdescorrélationsR

uu (x;r x =D=0;r y =D=0;r z =D;) etR uu (x;r x =D;r y =D=0;r z =D=0;)aupointP1(X=D =0:5;Z =D =0:54)106

6.36 ComparaisonPIV l chaud des corrélations R

uu (x;r x =0;r y =0;r z ;) au point P1 (X=D = 5;Z =D = 0:28) pour 0, 200, 400, 800, 1300, 2300 s (à gauche) et100,300,600, 1000,1800, 3000 s(à droite) . . . 107

6.37 Corrélation spatio-temporelle sur desenregistrements de 5000 échantillons.

ComparaisonPIV - lchaud . . . 107

6.38 Déplacement de l'extremum de lacorrélation adimensionnalisée par le

dia-mètre D, en fonction du temps adimensionnalisé pour les points (X=D =

0:5;Z =D=0:54)() et(X=D =3:6;Z =D=0:28)() . . . 108

7.1 Variation du pourcentage d'énergie cinétique présent dans les 12 premiers

modesdansles diérentesexpériencesréalisées . . . 114

7.2 Variation des 12 premières valeurs prorpres dans le cas d'une simulation

numérique autour d'un cylindre circulaire : R e = 100 (), R e = 100 (Æ),

(15)

pour chacunedes vitesses :U 1 =1:2cm:s 1 (R e =114), U 1 =1:4cm:s 1

(R e =133) avec une grille de turbulence, U

1 = 5:5cm:s 1 (R e = 522) et U 1 =10cm:s 1

(R e=950) pour les mesuresà faible vitessedansl'eau . . . 116

7.4 Pourcentagede l'énergiecinétiquedesuctuationsde vitessecontenue dans

unereconstruction contenantlesipremiersmodespourlesdiérentes

expé-riences réalisées . . . 117

7.5 Modespropresetstructurescohérentesdéniesparlecritère

2 (isocontours de lafonction 2 pour j 2 j>0:7) . . . 118

7.6 Associationduchampmoyenhu(x)i avec lepremiermode ((a)a

1 =hri a 1 et a 2

=0), ou avec le deuxième mode ((b) a

1 =0 eta 2 =h ri a2 ) (isocon-tours dela fonction 2 pour j 2 j>0:7). . . 119

7.7 Associationduchampmoyenh u(x)i avec lemode 3:valeurminimaledea

3

(a),a 3

=0(b)(champmoyen)etvaleurmaximale dea

3

.Représentationde

lavorticité! (s 1

)endensitédecouleur etlesisocontours delafonction

2

pourj 2

j>0:7 . . . 119

7.8 Associationduchampmoyenh u(x)i avec lemode 4:valeurminimaledea

4

(a),a 4

=0(b)(champmoyen)etvaleurmaximale dea

4

.Représentationde

lavorticité! (s 1

)endensitédecouleur etlesisocontoursdelafonction

2

pourj 2

j>0:7 . . . 120

7.9 Présentationdelatopologiedesstructurescohérentesprésentesdansla

pre-mièrepairede modesharmoniquepourles troisexpériences(isocontoursde

lafonction

2 pour j

2

j>0:7). . . 122

7.10 Association du champ moyen h u(x)i avec le mode 7 ((a) a

7 = hri a7 et a 8 =0), ou avec le mode 8 ((b) a 8 = 0 et a 8 = hri a 8 ) (isocontours de la fonction 2 pour j 2 j>0:7) . . . 123

7.11 Evolution des coecient POD a

1 = a1 , a 2 = a2 eta 3 = a3 en fonction de la

réalisation dans le cadre de mesures résolues en temps (à gauche) et de

mesures nonrésolues (à droite) . . . 124

7.12 Relation entre les premiers coecient POD pour l'ensemble desréalisation

dansle cadrede mesures non résolues(à gauche) et de mesuresrésolues en

temps (à droite). . . 125 7.13 Evolution de R a 1 (t)a 2 (t+)

en fonction du temps pour la position proche

du point de décollement (a)etdanslesillage (b) . . . 125

7.14 Coecient de corrélation R a i (A)a i (B)

() en fonction du temps pour les

coecientsdes100premiersmodes((a)amontet(c)aval)etéchelleintégrale

de temps ((b)amont et(d) aval) . . . 127

7.15 Coecient de corrélation R a i (A)a i (B)

() en fonction du temps pour les

coecients despremiers modes(R e=50k) . . . 127

8.1 Représentation de a

2 =f(a

1

) (a)etdistributiondescoecientsa

1 eta 2 en fonction de laphase' POD (b). . . 132 8.2 Représentationdea 2 =f(a 1

)pourunedécompositionsurundomaine

com-plet symétrique(a)etpour unedécompositionsur undemi domaine (Z>0) 133

8.3 Représentation dea

2 =f(a

1

)danslecadredel'expériencede BenChiekh

(16)

rayon hri avec :associationdu champ moyen hu(x )i avec lepremier mode ((a) a 1 = h ri a 1

) et avec le premier mode en augmentant le rayon de la

valeur r ((b)a 1 =(hri+ r ) a1

),eten diminuant lerayon delavaleur

r ((c)a 1 =(hri r ) a 1 ) . . . 134

8.5 Statistiquesobtenuesaveclesmesuressynchronisésaveclesignaldepression

pour laphase'=0

Æ

((a), (c), (e))etpour laphase'=90

Æ

((b), (d), (f)) . 137

8.6 StatistiquesobtenuesaveclaphasedénieparPOD,avecunangle'

POD = 15 Æ pour la phase ' POD = 0 Æ

((a), (c), (e)) etpour la phase '

POD = 90 Æ ((b), (d),(f)) . . . 138 8.7 Répartition de laphase ' POD

desmesures de vitessesynchronisées '=0

Æ

(a)et'=90

Æ

(b). . . 139

8.8 Statistiquesobtenuesaveclesenregistrementsselectionnéesdanslesmesures

synchronisées,aveclaphase'

POD

dénieparPOD,avecunangle'

POD = 15 Æ ,pour laphase'=0 Æ

((a), (c), (e)) etpour la phase'=90

Æ

((b), (d),

(f)) . . . 141

8.9 Étude de la répartition des coecients a

1

à a

6

normalisés par leur écart

type en fonction de la phase '

POD

dénie par l'étude des deux premiers

coecients danslecasde l'analyse enavaldanslesillage . . . 142

8.10 Étude de la répartition des phases '

aiai+1

en fonction de la phase '

POD

déniepar l'étudedesdeuxpremiers coecients danslecasdel'analyse en

avaldanslesillage . . . 143

9.1 Comparaison entre les moyennes de phases obtenues avec les mesures

syn-chronisées avec lesignal depression(à gauche)etlareconstructionavec les

deuxpremiers modes(à droite) pour lesphases :0; =2; et3=2 . . . 147

9.2 Variation de laphase' POD enfonction du temps (R e=114) . . . 148 9.3 Comparaison deR a 1 a 2

() relevé expérimentalement (PIV2T)avec une

mo-délisationde typesin(2f

0

t) . . . 149

9.4 Spectre de la composante de vitesse U au point (X=D =4;Z =D =0) avec

unmodèle contenant lesmodes1et2 (a)et en ajoutant lesmodes 5et6 (b)152

10.1 Exempledechampsinstantannés(souséchantillonné)enfonctiondunombre

demodesintégrésaumodèle.Structurescohérentesdéniespar lecritère

2

(isocontours j

2

j>0:7) . . . 156

10.2 Proldecomparaison entrelesvaleursexpérimentales(enrouge)etmodèle

dereconstruction (enbleu) deh Ui=U

1

ethWi=U

1

pour X=D=0:1 . . . . 157

dereconstruction (enbleu) deh Ui=U

1

ethWi=U

1

pour X=D=3:5 . . . . 157

dereconstruction (enbleu) de

p hu 2 i=U 2 1 et p h w 2 i=U 2 1 pour X=D=0:1 . 158

dereconstruction (enbleu) de

p hu 2 i=U 2 1 et p h w 2 i=U 2 1 pour X=D=3:5 . 158

10.6 Cartographiesdesquantités

p h u 2 i=U 2 1 et p hw 2 i=U 2 1

danslazonede

mo-délisationamont en fonction dunombre de modesdans lemodèle . . . 160

10.7 Cartographiesdesquantités

p h u 2 i=U 2 1 et p hw 2 i=U 2 1

danslazonede

mo-délisationavalen fonction du nombredemodesdanslemodèle . . . 161

10.8 Proldecomparaison entrelesvaleursexpérimentales(enrouge)et modèle

de reconstruction (en bleu) de h uwi=U

2 1

pour X=D = 0:1 (en haut) et

(17)

1 1

au point (X=D = 0:7;Z =D = 0:5) pour la partie déterministe, la partie

aléatoire etun modèleintégrant 20 modesou100 modes . . . 163

10.10Histogrammedesuctuationsdevitesse(U h Ui)=U

1

et(W h Wi)=U

1 au

point(X=D =1:7;Z =D =0) pour lapartie déterministe,lapartie aléatoire

etun modèleintégrant 20modesou100 modes . . . 163

10.11Evolution de la distribution de lacomposante de vitesseau point (X=D =

0:7;Z =D = 0:5) en xant les déphasage des modes (a) ou en les laissant

uctuer (b) . . . 165

10.12Corrélation C

ai(A)ai(B)

() en fonction du temps pour les coecients des

premiers modesR e=50k . . . 166

10.13Coecient de corrélation entre l'écart r = r

i h ri et a i = a i pour les

décompositions danschacunedeszonesmodélisées . . . 166

10.14ExempledeproldecomparaisonR

((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D=0;r Z =D=

0; =0)mesuréeparPIVetmodéliséenfonctiondunombredemode

consi-déré- =0s. . . 168

10.15Prol de comparaison à Z =D constant entre R

UU ((X=D = 1:2;Z =D = 0:5);r X =D;r Y =D =0;r Z

=D=0;) en PIV et avec un modèle en fonction

dunombredemodeconsidérémodesPODaupoint(X=D=1:2;Z =D=0:5)

pourdiérentesvaleursde =0;200;400; et800s . . . 168

UU ((X=D = 0:4;Z =D = 0);r X =D;r Y =D = 0;r Z

=D = 0;) en PIV et avec un modèle en fonction

du nombre demode considérémodesPOD aupoint (X=D=0:4;Z =D =0)

10.17ExempledeproldecomparaisonR

U"U" ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D=0;r Z =D=

0; =0)obtenueparPIVltréeetmodéliséeenfonctiondunombredemode

considéré - =0s . . . 170

((X=D = 1:2;Z =D = 0);r X =D;r Y =D=0;r Z

=D=0;) enPIV etavecunmodèleenfonctiondu

nombre de mode considéré modes POD au point (X=D = 1:2;Z =D =0:5)

10.19Trajectoired'uneparticuleuideinjectéeauniveaudupointdedécollement

(X=D = 0:1;Z =D = 0:54) (a) et évolution de l'écart de la position de la

particule uidepar rapport au modèle le plus élevé au cours du temps (b)

en fonction dunombrede modespris en compte danslemodèle . . . 172

A.1 Schémadumontageexpérimentaldemesureendeuxtemps(a)et

photogra-phiedu système(b) . . . 180

A.2 Chronogramme de l'ensemble des signaux générés pour la synchronisation

de deuxsystèmes PIVstandards enPIV 2T . . . 181

C.1 Prolde comparaison entre lesvaleursexpérimentales(enrouge)etles

sta-tistiques obtenuesavec lemodèledereconstruction (enbleu)pour X=D=0:1186

(18)

C.5 Proldecomparaison entreles valeursexpérimentales(enrouge) etles

sta-tistiquesobtenuesaveclemodèlede reconstruction(enbleu)pourX=D=3:5190

D.1 histogramme des uctuations de vitesse (U h Ui)=U

1

et (W hWi)=U

1

en diérentspointsde l'écoulement,avec un modèle intégrant 20modes en

diérenciant lapartie déterministe etlapartie aléatoire . . . 196

1

et (W hWi)=U

1

endiérentspointsdel'écoulement,avec unmodèleintégrant 100modesen

1

et (W hWi)=U

1

en diérentspointsde l'écoulement, avec un modèle intégrant 20modes en

1

et (W hWi)=U

1

endiérentspointsdel'écoulement,avec unmodèleintégrant 100modesen

E.1 ProldecomparaisonàZ =DconstantentreR

UU ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D= 0;r Z

=D=0;) enPIV etavec unmodèle enfonction dunombre demodes

PODconsidéré pour diérentes valeursde . . . 203

E.2 Prol de comparaison à X=D constant entre R

UU ((X=D;Z =D);r X =D = 0;r Y =D=0;r Z

=D;) en PIV etavec unmodèle en fonction dunombre de

modesPODconsidéré pourdiérentesvaleursde . . . 204

ww ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D= 0;r Z

=D=0;) enPIV etavec unmodèle enfonction dunombre demodes

E.4 Prol de comparaison à X=D constant entre R

ww ((X=D;Z =D);r X =D = 0;r Y =D=0;r Z

=D;) en PIV etavec unmodèle en fonction dunombre de

modesPODconsidéré pourdiérentesvaleursde . . . 206

uu ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D= 0;r Z =D=0;)etR ww ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D=0;r Z =D=0;)enPIV

ltréeetavec lapartiealéatoire dumodèleenfonction dunombredemodes

E.6 ProldecomparaisonàX=DconstantentreR

uu ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D= 0;r Z =D=0;)etR ww ((X=D;Z =D);r X =D;r Y =D=0;r Z =D=0;)enPIV

ltréeetavec lapartiealéatoire dumodèleenfonction dunombredemodes

(19)

(20)

(21)

Tab.1 Acronyme

Acronyme Dénition

CCD Charge Coupled Device

CNAM ConservatoireNationaldes ArtsetMétiers

CNRTR2A Centre National de Recherche Technologique en

Aérodyna-mique etAéroacoustique

LDV Laser DopplerVelocimetry(Vélocimétrie laserDoppler)

LEA Laboratoire d'ÉtudeAérodynamique

LIF Laser Induced Fluorescence(Fluorescence induitepar laser)

LMFA Laboratoire deMécanique desFluides et d'Acoustique

Nd :YAG Yttrium AluminumGarnet doppé Neodym

PIV ParticleImageVelocimetry(VélocimétrieparImagede

Par-ticules)

POD ProperOrthogonalDecomposition(Décomposition

Orthogo-nale enModesPropres)

R e NombredeReynolds

St NombredeStrouhal

(22)

Lettre Dénition

a n

Coecient POD associéaun

ieme mode

C ij

Corrélation spatiale

D Diamètreducylindre tronqué

e x

Vecteur unitairedansladirection X

e y

Vecteur unitairedansladirection Y

e z

Vecteur unitairedansladirection Z

f 0

Fréquencede l'échapement tourbillonnaire

f 1

Fréquenced'acquisition dusystème PIV

f acq

Fréquenced'acquisition d'unsignalanalogique

f struct

Fréquence des tourbillons secondaires dans la zone de

mé-lange

k Energie cinétique

L Envergure du cylindre

L X

Longueurdu plande mesure

L Z

Largeur duplande mesure

L

Echelle intégralede longueur

l

Echelle deKolmogorov

R Rayon de lasurface decalcul de

2

R ij

Tenseur de corrélationspatiale devitesse

R ij

Coecient de corrélationspatiale

r Séparationentredeux points

T Echelle intégralle temporelle

T a

k

Temps de cohérence ducoecient POD a

k

t instantde lamesure

u(x ;t) Vitesse instantannée

hu(x)i Composantemoyenne de lavitesse

u 0

(x;t) Fluctuationde vitesse

u(x ;t) Composantedéterministe desuctuations

u 00

(x;t) Composantealéatoire duchampde vitesse

~

u(x ;t) Moyenne dephase

U 1

Vitesse deréférence

U Composantedevitesseselonladirectionprincipalede

l'écou-lement

V Composantede vitesseselon ladirection d'homogénéité

W Composantede vitesseselon ladirection verticale

X Variablesd'espace etdetemps

x Position dupoint de mesure

X Directionprincipale de l'écoulement

Y Directiond'homogénéité

(23)

Tab.3 Notations Grecques

Lettre Dénition

Æ x

Dimension caractéristique delazone demesure

Æ l

Epaisseur de latranche laser

t Pasdetemps élémentaire de modélisation

Æt Intervalle de temps entre deuxpulseslaser

n

Variablealéatoire gaussienne

(n)

(x) Mode(n) POD

' Phase baséesurlesignal depression

' POD

Phase baséesurl'analyse POD

2

Fonction indicatrice (dénition intégrale)

2

Fonction indicatrice (dénition locale)

n

Valeur propreassociéau n

ieme

mode POD

Viscosité cinématique

! Pulsation dudétachement tourbillonnaire

intervalle entredeuxacquisitions PIVsuccessive(PIV2T)

S

(24)

(25)

(26)

Cadre - État de l'art

1.1 Introduction

Dans un tourbillonde poussière qu'élève un vent impétueux; quel qu'il

pa-raisse à nos yeux, dans la plus areuse tempête excitée par des vents opposés

qui soulèvent les ots, il n'y a pas une seule molécule de poussière ou d'eau

qui soit placée au hasard, qui n'ait sa cause susante pour occuper le lieu où

elle setrouve, etqui n'agisse rigoureusement de la manière dont elledoit agir.

Un géomètre qui connaîtraitexactement les diérentes forces qui agissentdans

les deux cas, et les propriétés des molécules qui sont mues, démontrerait que,

d'après les causes données, chaque molécule agit précisément comme elle doit

agir,et nepeut agir autrementqu'ellene fait.

PaulHenri DietrichBaron d'Holbach - Le systèmede lanature

Encestermesfûtexpriméepourlapremièrefoisl'idéedudéterminismeausensphysique

du terme. Mais c'est à l'astronome et mathématicien Pierre-Simon Laplace, que revient

d'avoir arméledéterminismeuniverseldanstoute sarigueur :

Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'eet de son état

antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour

un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la

situationrespectivedes êtresquilacomposent,sid'ailleurselleétaitassezvaste

poursoumettre ces données à l'analyse,embrasseraitdans la même formuleles

mouvementsdesplusgrandscorpsdel'universetceuxdupluslégeratome:rien

ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses

yeux.L'esprithumainore,dansla perfection qu'ilasudonner àl'astronomie,

une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en mécanique et en

géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de

comprendre danslesmêmesexpressionsanalytiqueslesétats passésetfuturs du

systèmedumonde. Enappliquant la mêmeméthodeà quelquesautresobjets de

sesconnaissances,il estparvenuà rameneràdes loisgénérales lesphénomènes

observés, et à prévoir ceux que les circonstances données doivent faire éclore.

Pierre-Simon Laplace - Essaiphilosophique surlesprobabilités

En vertu du déterminisme universel, l'intelligence qui connaîtrait avec une absolue

précision la position et l'énergie de tout objet dans la position initiale pourrait calculer

(27)

Le but de tout mécanicien est d'obtenir l'ensemble deséquations permettant la

connais-sance complètedusystèmeauquel celui-cis'intéresse,etde pouvoir entrouver lasolution.

Le postulat sous-jacent du déterminisme scientique universel moderne est que tout

sys-tème physique est, à terme, programmable et modélisable. Le problème principale réside

souvent dans la recherche d'une formulation simple. En eet, comme le précise Laplace,

l'esprithumain n'orequ'un faibleaperçude laréalité.Pour comprendrelesphénomènes,

nous recherchons des modèles plus simples, approchant la réalité et nous permettant de

prévoirles phénomènes.

Dans le cadre de la mécanique des uides, si on ne s'intéresse qu'à une seule particule, il

est possible de faire lebilan desforces s'exerçant surelle et de là, en déduire saposition

et sa trajectoire. Cependant, le nombre de particules à prendre en compte est tellement

important que l'on ne cherche pas à résoudre le système d'équations posées par le

pro-blème initial. A ce problème, on préfère adopterdesmodèlesde résolution, plus oumoins

complexes, et adaptés que l'on confronte à l'expérience an de tester son ecacité et sa

pertinence.

Avec la découverte des principes de la physique moderne, nous nous sommes éloignés du

concept originel donné par lanotion de déterminisme. De nos jours, on qualie de

déter-ministe toute quantité qui est régie par une loi mathématique, et que l'on peut opposer

au terme "aléatoire". Dans ces nouvelles approches de la physique, il ne convient plus

seulement dedécrirelemouvement déterministe, maisd'introduire unecomposante

repré-sentative des mouvements aléatoires et chaotiques des particules. Cette composante est

très importante carelle estliée à lanotion deturbulence en mécanique desuides.

La résolution numérique de ce problème peutsefaire par diérentes méthodes, commela

résolution directe des équations de Navier et Stockes, la simulation des grandes échelles,

ou encoreà partirdeséquations de NavieretStockesmoyennées (RANS).

Parallèlement àcedéveloppement destechniquesdesimulation quisuiventde prèsles

évo-lutionstechniquesdesmoyensinformatiques,ilsecrééede plusenplusde modèlesdits de

faible(oubas)ordrequipermettentd'avoiruneconnaissanceglobale del'écoulement,avec

un certaindegré deprécision à moindrefrais.

L'objectif de ce travail reste cependant relativement modeste car nous nous attacherons

uniquement à analyser et à apporter une modélisation de faible ordre à partir de l'étude

expérimentale d'un écoulement turbulent présentant une instationnarité à grande échelle

etpériodique.Cettemodélisationcependants'attacheraàlafoisàreproduirelapartiedite

déterministe et lapartiealéatoire.

1.2 De l'utilité d'obtenir des modélisations simples

L'ensemble des méthodes de simulations numériques citées précédemment permettent

le calculde l'historique etdesréponses fréquentielles desécoulements en utilisant plus de

10 4

-10 6

degrés de liberté. Ainsi il est possible d'obtenir une connaissance complète des

évènements présents dans l'écoulement, les vitesses, les pressions... En contrepartie, ces

calculs demandent untemps de calculsouvent très long, ce quipeutêtre pénalisant selon

les applicationssouhaitées.

Un modèle de faible ordre possède par dénition un nombre beaucoup plus restreint de

degrés de liberté qu'un modèle complet, mais doit posséder, idéalement, une précision

comparable touten fournissant une économie decalcul.

L'élaboration de modèles de faibleordre d'écoulement incompressible joueun rôlede plus

en plusimportant danslarechercheaussibienindustrielle quefondamentale.Eneet,ces

(28)

fondamentaux, uneanalyse rapidedes phénomènesde mouvement.

Un autre domaine où l'application de modèle de faible ordre commence à être largement

utiliséeest lecontrôle d'écoulement. Cetteapproche de contrôle del'écoulement prendde

nos jours une part de plus en plus importante dans le développement et l'amélioration

desystèmes aérodynamiques. Aujourd'hui, cesméthodestrouvent de nombreuses

applica-tions,dansl'augmentation desperformancesded'ailesàhauteportance,danslaréduction

des bruits de cavités, dans le contrôle de jets et sillages, mais encore dans de nombreux

autres systèmesdynamiques (Pack & Joslin (1998)).Cesdernières annéesont été

l'ob-jetde grandes avancées dansles techniquesde contrôle, du fait de l'augmentation rapide

descapacités d'investigations etde calculs. Même si lespuissances de calculsaugmentent

de jour en jour, l'établissement de système de faible ordre est crucial aussi bien pour le

contrôle en temps réel, que dans l'établissement d'analyse de stabilité et de bifurcations

dansdesgéométries un peu complexes, qui sont impossibles àobtenir avec d'autres types

desimulations (pour desquestionssoit de complexitésoit de coûts).

Bien évidemment, il est nécessaire de choisir entre laprécision etla simplicité dans

l'éla-boration d'unmodèle simple. Cecidépend de la nature de l'écoulement et de l'utilisation

souhaitée. Le modèle obtenu n'est qu'une approximation de la physique de l'écoulement.

Cependant, quece soit en développement, en analyse,en optimisation, ouencore en

stra-tégie de contrôle, domaines ayant besoin de faibles systèmes, l'utilisation de modèles de

basordres esttrès prometteuse.

Lesattentesconcernantuntelmodèlesontmultiples:ildoitpouvoirdemanièreraisonnable

fournirlespremiersmomentsstatistiques(moyennesetécart-types)maiségalementdonner

lesdiérenteséchelles detemps etdelongueur présentesdansl'écoulement.Le modèle

de-vraitalorspermettre lecalculdesfonctionsdecorrélations spatialesetspatio-temporelles,

etreproduire les distributions devitesse nongaussiennes, conformesà l'écoulement.

Finalement, la diculté dans la recherche d'un modèle de faible ordre est de dénir une

représentation simple en chaque point d'étude de l'écoulement. L'outil utilisé an de

ré-soudreceproblèmeestlaPOD.LaDécompositionOrthogonaleenmodesPropres

(traduc-tionfrançaisedel'acronymeanglaisPOD-ProperOrthogonalDecomposition)desdonnées

(aussibiennumériquesqu'expérimentales) nousore,commenousleverrons parla suite,

la possibilité de découpler la partie spatiale du problème initiale de la partie temporelle.

DepluslaPODnousfournitune baseadaptéeauxconditionslimites observées. Enn,un

autreintérêt non négligeable de laPODrésidedanssapropension à analyserles données.

Comme nous le verrons, il est possible d'interpréter physiquement les modes issus de la

décomposition POD (ce qui n'est pas toujours le cas dans les diérentes décompositions

existantes).Lesstructurescohérentesjouentunrôleessentieldansl'évolutiondenombreux

écoulements. Une compréhension de ceux-ci passe par une analyse précise des structures

cohérentes et desdiérents phénomènes. L'analyse fournie par laPOD peutapporter des

éléments de réponses, commenous l'observerons tout au long du travail d'élaboration du

modèle.

1.3 Modélisation de faible ordre dans la littérature

L'élaboration d'un modèle de faible ordre peut s'eectuer par diérentes méthodes.

Nousnouscontenteronsdeparler desmodèles baséessurlesdécompositions detypePOD.

Laliste destravauxmentionnés par lasuiteest loin d'êtreexhaustive,nousne présentons

ici qu'un bref aperçu des recherches actuelles. La majeur partie de ceux-ci font parti de

(29)

La POD aétélargement commentéedanslalittérature ces dernièresannées, commeoutil

pourl'élaborationdemodèlesréduits.Cetteméthodeaétéutiliséeavecsuccèsdansl'étude

denombreusesapplicationsdecouchelimite,desillage,decavitéouvertepourneciterque

celles-ci(Dean etal (1991),Berkooz etal (1993),Atwell&King(2005)).De

nom-breuxeortsontétéeectuéspour l'étudede l'écoulement enavald'uncylindrecirculaire.

Cecas, bienqued'apparencesimple,regroupeunelarge gammede phénomènes,etaservi

commeexpériencede référencedansdenombreusesapplicationsen mécaniquedesuides.

Mais il existeégalement desapplications dansle casd'écoulementscomplexes commedes

turbo-machines (Epureanu et al (2000)). La POD nous fournit dans ce cas une base

orthogonale d'unensemble de données (ensemble qui peut être théorique, expérimentale,

ou issu desimulations numériques).

Concernant les recherches plus théoriques (simulations ou développement théoriques), il

est possible d'appliquer la POD directement aux équations du problème. Le modèle est

déduit d'uneprojectiondes équationsde base.

Une autre approche de lamodélisation, qui estla seule possible sil'on considère des

don-nées expérimentales, est d'analyser les données instantanées (résolues en temps ou non).

La première approche est la plus courante chez les numériciens. On comprend aisément

que lemodèlefait l'économied'une analysepréalable.

Dans le casd'un écoulement bidimensionnel autour d'uncylindre circulaire, Dean et

al (1991)(R e=100etR e=150)expliquequeladonnéede6modesPODsontsusants

pourreproduireladynamiqueduuideenavaldel'obstacle. Cependant,ladécomposition

aétéfaitepar laméthodeditedessnapshots(détails auparagraphe2.3.2)réaliséeàpartir

de seulement 20réalisationsselectionnées dansles simulations numériques .

Le mêmetyped'analyseaétéeectuéesurdesmodes3Dcettefois-ciparMa &

Karnia-dakis (2002):ils ont utilisé 40 snapshotsissusd'un calculDNS(R e=185)pour dénir

la base modale de leur écoulement. Un très bon accord est obtenu à partir de 20 modes.

Toujours pour un cylindre circulaire à un nombre de Reynolds R e = 100, Sirisup et al

(2005)montrequedanslecadred'uneréductiondelasimulation numérique directeparla

PODpermetd'obtenirunrésultat précis,avec uneréductiondutempsdecalculdel'ordre

de 80%. De plus, un tel modèle permet d'observer le comportement de l'écoulement de

manière asymptotique.

Smith et al (2002) ont à travers l'étude expérimentale par PIV du sillage dans un

cylindre dansl'eau (R e=125)déterminé unmodèlepermettant avec un nombrerestreint

de modes(4 ou 8) decapturer ladynamique destourbillonsde l'écoulement.

Pourcequiestdesgéométriespluscomplexes,l'applicationdelaPODdanslarecherche

d'un modèle réduit du système a permis à Epureanu et al (2000) de créer desmodèles

composésde 15 à 75degrés de libertéqui permettent de prévoir avec précision laréponse

instationnaire d'unsystèmecomportant près de 15000 degrésde liberté.

Atraversl'ensembledecetaperçubibliographique,ilapparaît quelamajeurpartiedes

travaux de modélisation d'écoulement instationnaire est relative à des simulations

numé-riquesconcernantdesnombresdeReynoldsdel'ordrede100à200.Ilexistepeudetravaux

à l'heureactuelleconcernant l'élaboration demodèlesde basordre àdesnombresde

Rey-noldsplusélevés.Lesétudesdisponiblessontissuesdesanalysesdedonnéesexpérimentales

faites par PIV. Ben Chiekh et al(2004) a établi une approche de modélisation d'ordre

4 delacomposante instationnaire déterministe présentedanslesillage d'uneplaque plane

(modélisationbidimensionnelledel'écoulement).Lemême typed'étudeaétéeectuéepar

(30)

lesmêmes caractéristiquesd'instationnarité à grandeéchelle périodique.

1.4 Cadre - Travaux menés pour ces recherches

L'objectifdecetravailestlamodélisationd'unécoulement présentantune

instationna-rité.Une partimportanteaétéaccordée auxexpérimentationsenvue d'élaborerlesbases

dedonnées nécessaires àces recherches.

Après cette brève introduction, nous allons présenter, toujours dans cette partie, les

bases mathématiques nécessaires à ce travail, avant de fournir une descriptionglobale de

l'écoulement à l'avald'un obstacledanslecasdu cylindre circulaire.

Une seconde partie est dédiée au travail expérimental. Nous y présenterons les

dié-rents dispositifs ainsi que les techniques de mesures qui ont été employées. Pour obtenir

lesinformationssurladynamique, ila éténécessairededévelopperetdemettreen oeuvre

une technique basée sur la Vélocimétrie par Image de Particules - PIV, que nous

décri-rons plusen détail au chapitre 5.5. Diérentes confrontations et vérications desmesures

obtenuespar ce nouveau protocole expérimental ont étéfaitesavec d'autres techniquesde

métrologie.

Dansledernierchapitredecettepartie,nousprésenteronsunedescriptionglobalede

l'écou-lementderéférenceutilisé.Nousnoussommesattachésàexplorerpardiérentestechniques

de mesure(vélocimétriepar image de particules- PIV,vélocimétrielaserDoppler - LDV,

anémométrielchaud) l'écoulement considéréand'enconnaîtrelatopologie,les

proprié-tésstatistiques ainsiquediérentesinformations surladynamique.

Ladernièrepartiedecemémoireestconsacréeàl'élaborationd'unmodèledebasordre

en commençant par faire une étudede ladécomposition en modespropres de notre

écou-lement de référence. Le chapitre suivant est axé sur la détermination d'un paramètre de

phasedu détachement tourbillonnaire par l'analyse descoecientsPOD. Aprèsce travail

nousétablirons diérentes modélisations de l'écoulement instationnaire en tenant compte

d'unepartie déterministe àgrandeéchelle etd'unepartie aléatoire.L'analysedesmesures

expérimentales non résolues en temps va nous conduire à l'élaboration d'un modèle de

reconstruction temporelledu champ aérodynamique instationnaire, en utilisant une

tron-cature de ladécomposition PODdu champde vitesse auxpremiers modesde même type

quecelleproposéeparBenChiekhetal (2004)etVanOudheusden etal (2005).Nous

ajouteronsà ce modèle une partie aléatoire. Les résultats ainsiobtenus seront alors

com-parés avec des mesures expérimentales dans un dernier chapitre. L'objectif de ce modèle

est de répondreaux diérentes attentes citées précédemment, mais ildoit surtout décrire

lapartie déterministe de l'écoulement, ainsiqueretranscrire lapartie aléatoire.

Enn nousconclurons ce travail en donnant les principales évolutions possibles de ce

travailde recherche.

CesrecherchesontpartiellementétésoutenuesnancièrementparleCNRTR2A(Centre

nationaldeRecherche TechnologiqueenAérodynamiqueetAéroacoustique),réunissantles

industriels, à travers la collaboration des groupes PSA Peugeot-Citroën, Renault, et le

(31)

(32)

Bases mathématiques

2.1 Grandeurs statistiques usuelles en un point

Les grandeurs analysées sont essentiellement les composantes de vitesse obtenue par

diérentes techniques de mesure. Nous utiliserons donc cette quantité an de dénir les

outilsmathématiquesnécessairesdansnotre travail.Pourdesmesuresdevitesse,l'analyse

d'unensembleU

(k)

i

(x);k =1::N deN échantillons statistiquesindépendant dela

compo-santeU

i

delavitesseduuidemesuréeenunpointxcomporteenpremierlieul'évaluation

des moments statistiques que sont la moyenne et la variance des composantes de vitesse

d'unphénomène statistiquement stationnaire. La moyenne estcalculée classiquement par

larelation : hU i (x)i= 1 N N X k=1 U (k) i (x) (2.1)

Pour chaque réalisationU

(k)

i

(x);k =1::N, ondénit alors lauctuation :

u (k) i (x)=U (k) i (x ) hU (k) i (x)i (2.2)

Pour le calculdelavariance de lavitesseon adopteles notationssuivantes :

2 u i = u 2 i (x) = 1 N ( N X k=1 [u (k) i (x )] 2 ) (2.3) 2.2 Corrélations

L'étude des écoulements turbulents et instationnaires nécessite d'accéder à des

gran-deurs quipermettent de caractériser nement laturbulence àtravers desgrandeurs telles

que le champ moyen et l'écart-type des uctuations de vitesse, mais aussi par des

para-mètrestels quedeséchelles delongueur spatialesou/et temporelles. Ilexiste deszonesoù

leschamps de vitesseprésentent unecertaine cohérence, notamment deszones

tourbillon-naires. De telles zones sont qualiées de structures. Pour faire ressortir cette cohérence

spatiale d'un point de vue statistique, l'outil le plus simple est la corrélation en deux

points.

Considéronsdeuxvariablesaléatoires,f etgdemoyennenulle.Leurfonctiondecorrélation

esth fgi. Sif etg sont indépendantes, il apparaît que h fgi=0.Sinon, a priori, h fgi 6=0

etsatisfaitjh fgij p hf 2 ih g 2 i.

(33)

Cela suggère d'introduire lecoecient de corrélationR dénipar : R= hfgi p hf 2 ih g 2 i (2.4)

etqui estborné.

Ainsi, siles deux variables aléatoires f et g sont indépendantes, R =0 et si les deux

va-riables sont linéairement liées, jR j=1. Pour R 6=0 et jR j6=1, on aura un certain degré

de dépendanceentreles phénomènesreprésentés par lesvariables aléatoiresf etg.

2.2.1 Corrélation temporelle

Considéronsdeséchantillons U

(k)

i

(x )mesurésàdesinstantst

k

,on peutévaluer

l'auto-corrélation temporelle enun point x :

C ij (x;)=hu i (x;t)u j (x ;t+)i= 1 N N X k=1 u (k) i (x)u (k) j (x;) (2.5) avec u (k) i (x)=u i (x;t k ) etu (k) j (x ;)=u i (x;t k +) (2.6)

Lecoecient decorrélationtemporelleencepointestobtenuennormalisantparles

écart-types: R ij (x ;)= hu i (x;t)u j (x;t+)i r u 2 i (x ) D u 2 j (x) E (2.7)

2.2.2 Corrélations spatiales et spatio-temporelles

La corrélation spatiale entre uctuations de vitesse mesurées simultanément en deux

pointsavec une séparationde r,calculée aupoint x, estdéniepar la relation:

C ij (x;r)=hu i (x )u j (x+r)i= 1 N N X k=1 u (k) i (x)u (k) j (x+r) (2.8)

La normalisation parles écart-typesdessignauxpermetde calculerlecoecient de

corré-lationspatiale : R ij (x ;r)= hu i (x )u j (x+r)i r u 2 i (x) D u 2 j (x+r) E (2.9)

La corrélationspatio-temporelle s'obtient en décalant les échantillons statistiques

tempo-rellement etspatialement : C ij (x;r;)=hu i (x;t)u j (x+r;t+)i= 1 N N X k=1 u (k) i (x)u (k) j (x+r;) (2.10)

Onen déduitlecoecient de corrélationspatio-temporellesuivant:

R ij (x;r;)= hu i (x;t)u j (x+r;t+)i r u 2 i (x) D u 2 j (x) E (2.11)

(34)

2.2.3 Métrologies existantes

Les fonctions de corrélations spatiales et spatio-temporelles dans un écoulement sont

utilisées par certains modèles pour l'étude de la propagation des ondes acoustiques. Il

importe donc de pouvoir accéder à ces dernières par voie expérimentale en conguration

complexe.

Une telle analyse nécessite la mesure de la cohérence spatiale des diérentes structures

présentesdans l'écoulement. Detelles mesures ont déjàété eectuées par anémométrie l

chaud (Comte Bellot & Corsin (1971)),ou par anémométrie laser Dopplerbipoint.

Belmabrouk (1992) et Belmabrouk & Michard (1998) ont travaillé sur des

me-suresLDAbipointandemesurerleséchellesturbulentesdelongueurdansunécoulement

complexe et de déterminer l'échelle de Taylor. Des explorations de corrélation spatiale et

spatio-temporelles ont été eectuées par Kerhervé et al (2004) dans un jet froid

su-personique grâce àdesmesures LDA en deuxpoints.

Toujoursdanslemêmeobjectif,maispourobtenir l'ensembledelacartographiedes

corré-lationsspatio-temporelles,Chatellier et al(2005)ont combinéune technique globale

de mesure (PIV) avec une mesure ponctuelle (LDA ou l chaud). L'intérêt de cette

mé-thode hybride, est de tirer avantage de la résolution temporelle donnée par la mesure en

un point, associé à la mesure globale dans un plan apportée par la PIV. Au cours de ce

travaildethèse,nousavonsmisaupointunetechniqueexpérimentaledanslebutd'obtenir

lescartographies decorrélations spatio-temporelles,en n'importequel point delazonede

mesure. Cette technique, présentée au paragraphe 5.5, est basée sur l'analyse de champs

devitesse obtenus par PIV.

Par lasuite, l'analyse destenseursde corrélation de vitesse permetde donner les échelles

intégrales detemps etde longueur danslazoned'étude.

2.3 Décomposition orthogonale en modes propres

Ladécomposition orthogonaleen modes propres est une décomposition des donnéessur

un ensemble defonctions orthogonales choisies enfonction de leur représentation du

phé-nomène.la décompositionpermet, commenousleverrons,defaireuneanalysedesdonnées

enrestant proche des mécanismesphysiques, ce qui n'est pas forcémentle cas avec des

dé-compositions de type Fourier. Cette méthode introduite par Lumley en 1967 est également

connue entraitement du signalsous lenomdedéveloppement deKarhunen-Loève. Tenant

compte des contraintes aux frontières du domaine de la zone d'étude, cette méthode

ren-contre un vif succès avec le développement des techniques permettant la connaissance de

champs complets de vitesse en mécanique des uides, aussi bien par voie numérique, par

simulationde l'écoulement, ou expérimentale, à l'aide desystèmes PIV.

Cette méthode peut être une technique pour observer et dénir les structures cohérentes

présentesdans unécoulement.Nousutiliseronsplutôtcettedécompositionandedécoupler

la partie spatiale de la partie temporelle dans un champ de vitesse, ce qui facilitera une

modélisationde l'écoulement.

2.3.1 Principe

An de présenter la méthode, considérons un ensemble de réalisation d'un champ de

vitesseU(x;y;z;t)=U(X) dansundomaine S.X représenteles variables d'espaceetde

(35)

Dénissonsle produit scalaire suivant : (U;V)= N c X i=1 Z S U i (X)V i (X)dX (2.12)

avec lanorme associée:

jjUjj=(U;U) 1=2

(2.13)

N c

représentele nombrede composantes duchampde vitesse. Endimension 2,leproduit

scalaire s'écrit sous laforme:

(U;V)= Z S U x (X)V x (X)dX + Z S U y (X)V y (X)dX (2.14)

Nouscherchonsunensembledefonctionsdonnantunebaselamieuxadaptéeàl'ensemble

de données U(X).Sinousconsidérons laprojection du U sur:

=

(;U)

( ;)

(2.15)

L'ensemble desfonctions optimales sont celles qui maximisent laprojection 2.15 surla

totalité del'ensembleU.Uneétudevariationnellemontrequetrouverl'ensemblerevient

à maximiserl'équation dusecond ordre, équationde Fredholm:

Z S U i (x)U j (x 0 ) j (x 0 )dx 0 = i (x) (2.16)

que l'on peut écrire également sous la forme, avec le tenseur symétrique des corrélations

spatiales: Z S R i;j (x;x 0 ) j (x 0 )dx 0 = i (x) (2.17) R i;j (x ;x 0 )= U i (x)U j (x 0 ) (2.18)

La résolution de ce problème peutsefaire en calculant les valeurspropres et lesfonctions

propres du tenseur de corrélationspatiale. Ce tenseur est symétrique, à coecients réels,

donc il est diagonalisable. Ainsi il existe alors un ensemble unique, complet, inni et

dénombrable defonctions vériant l'équation 2.16.

Notons

(n)

(X) lesfonctionspropresissuesdeladiagonalisation dutenseurdecorrélation

spatiale,et n

lavaleurpropreassociée.L'ensembledesvaleurspropresestclasséparordre

décroissant. Lesfonctionspropres sont choisiesorthonormales :

( (n) ; (m) )=Æ n;m (2.19)

Chaque champ de vitesse peut alors être décomposé sur la base des fonctions propres

établies : 8i=1::Nc;U i (X)= X n a n (i) (n) (X) (2.20) Chaquecoecient a n

estobtenupar projection des champs U sur lemode

(n) : a n (i)=(U; (n) ) (2.21)

Il estimportant de noterqueces coecients sont décorellés:eneet,ils vérient l'égalité

suivante: h a n a p i= n Æ n;p (2.22)

(36)

C'est une décomposition optimale de l'énergie cinétique contenue dans le domaine S : h(U;U)i= X n n (2.23)

Onobtient une décompositiondu tenseur decorrélation :

R i;j = X n n (n) i (X) (n) j (X 0 ) (2.24)

2.3.2 Méthode des snapshots

Dans le cas de la méthode directe, la dimension du système à résoudre est de taille

(N c M) 2 ,N c

étant lenombre de composantes pris en compte, etMle nombrede point

du maillageétudié. Cela peut poser des problèmes de résolution lorsque l'on s'intéresse à

desmaillagesrelativement ranés.

Sirovich (1987)aproposéuneautreformulation de ladécompositionens'intéressantau

tenseur K déni par:

K i;j = 1 N Z D U (i) (X)U (j) (X)d(X) (2.25)

KreprésentelacorrélationdedeuxréalisationsdelavitesseU.LesvecteurspropresV de

ladiagonalisation du tenseur K permettent d'obtenir les modespropres de l'écoulement,

commeledonne larelation :

(n) (X)= (n) p ( (n) ; (n) ) ; (n) = N X i=1 V (n) U (i) (X): (2.26)

Graceàcetteméthode,leproblèmeàrésoudreestdedimensionN,nombrederéalisations,

ce qui permet de faire des économies de calculimportantes lorsque lenombre de champs

(37)

(38)

Cas du cylindre circulaire

L'écoulement autour d'un cylindre circulaire est un exemple classique des écoulements

autour d'un obstacle. Sa principale caractéristique est l'allée de détachement

tourbillon-naire qui se créé dans le sillage lorsque l'ondépasse la première bifurcation super critique

(Hopf), et qui persiste pour des nombres de Reynolds très élevés. C'est un cas qui a été

très bien documenté par de nombreux auteurs, mais qui reste encore aujourd'hui l'objet

de nombreuses recherches du fait de la simplicité de la géométrie considérée. Un ouvrage

relativement complet sur le sujet est présenté par Zdravkovich (1997). Il est apparu

in-téressantd'observer l'écoulement dans ce cas avantde considérer notre géométrie, an de

se familiariseravec les phénomènes que nousserons amenés à interpréter.

3.1 Décomposition de Hussain et Reynolds

Dans ce type découlement, on note qu'il existe un phénomène pseudo périodique à

grande échelle se développant dans le sillage. La simple décomposition de Reynolds de

l'écoulement ne paraît pas adaptée à la problématique posée par cette géométrie. Il est

plus judicieux de tenir compte dans les uctuations du caractère quasi-périodique, qui

peut être distingué de la composante aléatoire résiduelle. Cette décomposition du signal

duvitessea étéproposée par Hussain& Reynolds (1970):

u(x;t) = hu(x)i+u 0 (x;t) (3.1) = hu(x)i+u(x; t)+u 00 (x;t) (3.2) = u(x;~ t)+u 00 (x;t) (3.3)

Cettedécompositionnouspermetdeséparernonseulementlacomposantemoyenneh u(x )i

quiestinvarianteaucoursdutemps,maisaussilacomposanteuctuantedéterministe

(pé-riodique) u(x; t) ,en nelaissant dansundernier termeu

00

(x;t) quelapartie aléatoire du

champdevitesse.

3.2 Description de l'écoulement - Types régimes existants

Typiquement, lorsque l'on dispose un cylindre dans un écoulement, les zones

pertur-bées sont caractérisées par une variation locale de la vitesse en intensité, en direction et

en temps. Il en résulte alors que lamoyenne temporelle de la vitesseautour de l'obstacle

peut être plus grande, égale ou inférieure à la vitesse de l'écoulement libre selon la zone