Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique.

(1)

Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique.

Patrick Joly

INRIA-Rocquencourt

Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.1/27

Un exemple de problème à résoudre.

Exemple: la conduction de la chaleur. SoitΩun domaine de R^N(N = 1,2,3) de frontièreΓ =∂Ω = Γ₀∩Γ₁. On s’intéresse à ladistributionde température dansΩet à sesfluctuationsdans le temps sachant que:

Une températureθ`est imposée sur la partieΓ₀. Un flux de chaleurq`est imposé sur la partieΓ1. On connait la distribution de température initialeθ₀.

θ₀

θ`

q`

La démarche de l’ingénieur mathématicien

1. Modélisation / mise en équations.

Construction du problèmecontinu(système d’EDP).

2. Analyse mathématique du problème posé. COURS-TD Questions d’existence,unicité.Propriétésdes solutions.

3. Conception d’une méthode numérique. COURS-TD Construction d’un problèmediscrétisé.

4. Analyse numérique. COURS-TD

Questions destabilité,convergence,précision.

5. Algorithmique. ADMIS

Choix de méthodes de résolution endimension finie.

6. Mise en oeuvre sur ordinateur. PROJETS Relève de laprogrammationet de l’informatique 7. Pre et Post Traitement (maillages / visualisation).

Outils de laCAO.

La mise en équations

Lesdonnéesdu problème:

Lagéométriedu problème (Ω,Γ0,Γ1)

Les fonctions:θ0(x), x∈Ω, θ`(x, t), x∈Γ0, q`(x, t), x∈Γ1. Laconductivitédu milieu :σ(x)>0, x∈Ω.

Lesinconnuesdu problème:

Latempérature: θ(x, t), x∈Ω, t >0.

Lefluxde chaleur: ~q(x, t), x∈Ω, t >0.

Les lois de laphysique:

Loi deconservation: ∂θ

∂t +div~q= 0.

Loi deconduction: ~q=−σ∇θ.

(2)

La mise en équation

Loi deconservation: ∂θ

∂t +div~q= 0.

Loi deconduction: ~q=−σ∇θ.

Si on élimine~qle problème à résoudre s’écrit:











Trouverθ(x, t) : Ω×]0, T[−→Rtel que:

∂θ

∂t −div σ∇θ) = 0, x∈Ω, t >0, σ∂θ

∂n=q`, (−~q·n=q`) x∈Γ1, t >0,

θ=θ`, x∈Γ₀, t >0,

θ(x,0) =θ₀(x), x∈Ω.

Nature du problème











∂θ

∂t −div σ∇θ) = 0, x∈Ω, t >0, σ∂θ

∂n =q_`, x∈Γ₁, t >0,

θ=θ`, x∈Γ0, t >0,

θ(x,0) =θ₀(x), x∈Ω.

Letempsfaisant partie explicitement desvariablesdu problème, on a affaire à un problème d’évolution.

Tantmathématiquementquenumériquement, les variablesxettjouent un rôledifférent.

Nature du problème











∂θ

∂t −div σ∇θ) = 0, x∈Ω, t >0, σ∂θ

∂n=q`, x∈Γ₁, t >0,

θ=θ_`, x∈Γ₀, t >0,

θ(x,0) =θ₀(x), x∈Ω.

L’équation de lachaleurest le prototype des équations paraboliquesqui modélisent les phénomènes dediffusion.

Elles interviennent aussi en mécanique desfluides(milieux poreux, diffusion depolluants), ou enfinance(Black-Scholes).

Ces équations seront abordées au cours 8.

Les difficultés de l’analyse mathématique.

Vu detrès loin, le problème peut être mis sous la forme:

Trouveru∈V tel queAu=d

oùV est un espacevectoriel(espace defonctions),Aest un opérateur linéaire, le vecteuruest la fonction inconnueθetd représente les données(θ₀,θ`,q`).

Cela ressemble à unsystème linéaire.

Les différences majeures, sources de difficultés, sont:

L’espacefonctionnelV est de dimensioninfinie.

L’opérateurAest un opérateurdifférentiel(noncontinu dans des topologies classiques).

De ce fait, les questions d’existenceet d’unicitéde la solution sont trèsdélicates.

(3)

Notion de problème bien posé.

Soit(S,k · k_S)et(D,k · k_D)deux espacesvectoriels norméset F uneapplication(non nécessairement linéaire) deSdansD ouvert deD. On dira que le problème:

(P) Trouveru∈ Stel queF(u) =d estbien poséau sens deHadamardsi:

Pour toutddansD,(P)admet unesolutionetune seule.

Cette solution dépendcontinumentde la donnéed:

dⁿ→d dans D=⇒uⁿ→u dans S

Dans le casF linéaire,D=Det la condition decontinuitése traduit par l’existence d’une constanteCtelle que:

kuk_S ≤Ckdk_D.

Notion de problème bien posé.

Attention, la notion de problème bien posé n’est pas intrinsèque. Elle est liée auchoixdes espacesSetD et surtout au choix desnormesk · kS etk · kD.

On dit aussi que le problème eststableen normek · kS

par rapport à la normek · kD.

La notion destabilitédu problème continu est un pré-requis quasiment indispensable en vue de l’approximation numérique.

Stabilité L

²

du problème de Cauchy.

On admet ici le résultat d’existenceetunicitépour notre problème modèle et on va s’intéresser à un résultat destabilité.

On va se restreindre àθ`=q`= 0auquel cas la seule donnée estθ0(problème deCauchy).

On va établir le résultat destabilité:

∀t >0, kθ(t)kL²(Ω)≤ kθ₀kL²(Ω).

Le résultat va apparaître comme uneestimation a priori, c’est à dire une estimation qu’on est capable d’obtenirsans connaître explicitement la solution.

L’estimation a priori.

On multiplie l’équation parθet on intègre surΩ:

Z

Ω

∂θ

∂t θdx− Z

Ω

div σ∇θ)θdx= 0 On remarque que:

Z

Ω

∂θ

∂t θdx= Z

Ω

∂

∂t θ²

2

dx=1 2

d dt

Z

Ω

θ²dx.

On utilise la formule deGreen(intégration parparties):

− Z

Ω

div σ∇θ)θdx= Z

Ω

σ|∇θ|²dx−σ Z

Γ

∂θ

∂nθdγ (θs’annule surΓ₀, ∂θ

∂nsurΓ₁.)

(4)

L’estimation a priori.

On multiplie l’équation parθet on intègre surΩ:

Z

Ω

∂θ

∂t θdx− Z

Ω

div σ∇θ)θdx= 0 On remarque que:

Z

Ω

∂θ

∂t θdx= Z

Ω

∂

∂t θ²

2

dx= 1 2 d dt

Z

Ω

θ²dx.

On utilise la formule deGreen(intégration parparties):

− Z

Ω

div σ∇θ)θdx= Z

Ω

σ|∇θ|²dx

(θs’annule surΓ₀, ∂θ

∂nsurΓ₁.)

L’estimation a priori.

On obtient par conséquent l’identité:

1 2

d dt

Z

Ω

θ²dx+ Z

Ω

σ|∇θ|²dx= 0.

Compte tenu de lapositivitédeσil vient:

1 2

d dt

Z

Ω

θ²dx≤0, dont on déduit:

∀t >0, Z

Ω

θ(x, t)²dx≤ Z

Ω

θ0(x)²dx

Approximation numérique.

On va se placer endimension 1:

Ω =]0, L[, Γ₀={0}, Γ₁={L}.

Le problème à résoudre s’écrit:











Trouveru(x, t) :]0, L[×]0, T[−→IRtel que:

∂u

∂t − ∂

∂x σ∂u

∂x) = 0, x∈]0, L[, t >0, σ∂u

∂x(L, t) =q`(t), t >0, u(0, t) =θ`(t), t >0, u(x,0) =u0(x), x∈]0, L[.

Méthode des différences finies: le principe.

L’idée est de calculer (uneapproximationde) la solution aux points d’unegrille de calculsuffisamment fine.

Pour cela, on se donne unpasde discrétisation enespace

∆x=L/(J+ 1)>0et unpasde discrétisation entemps

∆t >0et on va chercher à calculer:

uⁿ_j ∼u(xj, tⁿ), xj=j∆x, tⁿ=n∆t.

L’espoir est que, lorsque∆xet∆ttendront vers 0, l’erreur commise

eⁿ_j =uⁿ_j −u(x_j, tⁿ).

tendra (en un sens à préciser) vers 0.

(5)

Méthode des différences finies.

Points de calcul: xj=j∆x, 0≤j≤J+ 1, tⁿ=n∆t, n≥0.

0 L

x_j

tⁿ

∆x

∆t

uⁿ_j

Méthode des différences finies: le principe.

Pour produire leséquationsdéfinissant les inconnues discrètes, l’idée est d’écrire (de façon approchée) l’EDP à résoudre en chaquepoint intérieurde la grille de calcul.

Pour cela il faut définir des approximations d’opérateurs différentielsne faisant appel qu’aux valeurs discrètes:

ce sont lesopérateurs aux différences.

Les équations manquantes sont fournies par la prise en compte des conditionsinitialeset des conditions auxlimites.

Après discrétisation, on est ramené à la résolution d’un problème posé endimension finie, traitable surordinateur.

Construction d’opérateurs aux différences.

L’idée de base est de revenir à la définition d’une dérivée f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h ,= lim

h→0

f(x+h)−f(x−h)

2h , ...

Construction d’opérateurs aux différences.

Approximation de ∂u

∂t(xj, tⁿ).

∂u

∂t(x_j, tⁿ)∼uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

∆t

C’est une approximationdécentrée à droite, d’ordre 1car l’erreur de troncature

εⁿ_j =u(xj, tⁿ⁺¹)−u(xj, tⁿ)

∆t −∂u

∂t(xj, tⁿ) (Taylor) = ∆t

2

∂²u

∂t²(xj, tⁿ) +O(∆t²)

(6)

Construction d’opérateurs aux différences.

Approximation de ∂

∂x σ∂u

∂x

(xj, tⁿ).

Construction d’opérateurs aux différences.

Supposons connuvⁿ_j+1 2

=v(x_j+1

2, tⁿ), v=σ∂u

∂x.

On réalise alors une approximationcentrée, d’ordre 2avec:

∂

∂x σ∂u

∂x

(xj, tⁿ) = ∂v

∂x(xj, tⁿ)∼ vⁿ_j+1

2

−vⁿ_j₋1 2

∆x On fait alors l’approximation (centrée):

vⁿ_j+1 2

∼σ_j+1 2

uⁿ_j+1−uⁿ_j

∆x pour aboutir à:

∂

∂x σ∂u

∂x

(xj, tⁿ)∼ 1

∆x

σ_j+¹

2(uⁿ_j+1−uⁿ_j

∆x )−σ_j−¹

2(uⁿ_j −uⁿ_j−1

∆x )

Construction d’opérateurs aux différences.

Lorsqueσestconstanton a fait l’approximation:

σ ∂²u

∂x²(xj, tⁿ)∼σ u_j+1ⁿ −2uⁿ_j +uⁿ_j−1

∆x²

qui est une approximation d’ordre 2ainsi que le montre l’estimation de l’erreur de troncature:

εⁿ_j =σ u(x_j+1, tⁿ)−2u(x_j, tⁿ) +u(x_j−1, tⁿ)

∆x² −σ∂²u

∂x²(xj, tⁿ)

=σ ∆x² 12

∂⁴u

∂x⁴(xj, tⁿ) +O(∆x⁴)

Le schéma numérique

Pourn≥0et1≤j≤J−1:

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

∆t − 1

∆x

σ_j+¹

2(uⁿ_j+1−uⁿ_j

∆x )−σ_j−¹

∆x )

= 0.











Pour1≤j≤J−1: u⁰_j =u_0,j. Pourn≥0: uⁿ₀ =uⁿ_`. Pourn≥0: uⁿ_J−uⁿ_J−1

∆x =qⁿ_`.

(7)

Le schéma numérique

Pourn≥0et1≤j≤J−1:

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j + ∆t

∆x²

σ_j+1

2(uⁿ_j+1−uⁿ_j)−σ_j−1

2(uⁿ_j −uⁿ_j−1)

= 0.











Pour1≤j≤J−1: u⁰_j=u_0,j. Pourn≥0: uⁿ₀=uⁿ_`.

Pourn≥0: uⁿ_J=uⁿ_J−1+ ∆xqⁿ_`.

Il s’agit d’un schémaexplicite.

Mise en oeuvre du schéma numérique.

On construit la grille decalcul.

∆x

∆t

Mise en oeuvre du schéma numérique.

On prend en compte les conditioninitialeet deDirichlet.

∆x

∆t

Mise en oeuvre du schéma numérique.

Supposons la solution calculée jusqu’à l’instanttⁿ.

tⁿ tⁿ⁺¹

(8)

Mise en oeuvre du schéma numérique.

Application du schémaintérieur.

tⁿ

tⁿ⁺¹

Mise en oeuvre du schéma numérique.

tⁿ

tⁿ⁺¹

Mise en oeuvre du schéma numérique.

!

" # $ % & tⁿ

tⁿ⁺¹

Mise en oeuvre du schéma numérique.

Application de la condition deNeumann.

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(((((( ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

* * * * * * * * * *

+ , - . / 0 1 2 3 4 5

tⁿ tⁿ⁺¹

(9)

L’analyse numérique.

C’est une branche desmathématiquesqui s’est développée avec l’avènement desordinateurs.

L’analyse numérique deséquations aux dérivées partiellesest l’art demaîtriserle passage ducontinuaudiscret.

Montrer que le problèmeapprochéest bien posé:

existence et unicité deuh.

Montrer laconvergence:u_h→uquandh→0.

Lastabilité: borneuniformedu typekuhk ≤C.

Laconsistance: approximation deséquations.

Obtenir desestimations d’erreur:ku−uhk ≤ ? . En principe : stabilité+consistance=⇒convergence.

Un exemple de schéma instable.

Revenons à notre problème modèle. Pour améliorer la précision de notre méthode on peut penser à utiliser une approximationcentréede la dérivée en temps.

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j⁻¹

2∆t − 1

∆x σ_j+1

2(uⁿ_j+1−uⁿ_j

∆x )−σ_j−1

∆x )

= 0.

Un tel schéma se révèle inconditionnellementinstable.

Autres exemples.

Problèmes stationnaires elliptiques.

Nous faisons l’hypothèse que quandt→+∞:







θ`(x, t)→θ^∞_` (x) x∈Γ₀ q`(x, t)→q^∞_` (x) x∈Γ1

On peut démontrer la convergence vers un étatstationnaire θ(x, t)→θ^∞(x), t→+∞,

oùθ^∞: Ω→Rest solution duproblème aux limites:

Autres exemples.

On peut démontrer la convergence vers un étatstationnaire θ(x, t)→θ^∞(x), t→+∞,

oùθ^∞: Ω→Rest solution duproblème aux limites:











−div σ∇θ^∞

= 0, dansΩ, θ^∞=θ`, surΓ₀, σ∂θ^∞

∂n =q_`, surΓ₀.

(10)

Autres exemples.











−div σ∇θ^∞

= 0, dansΩ, θ^∞=θ`, surΓ₀, σ∂θ^∞

∂n =q_`, surΓ₀.

Ce problème est le prototype desproblèmes elliptiquesqu’on recontre aussi enmécaniquedessolideset desfluides (phénomènes d’equilibre), enélectrostatique,...

Seront étudiés dans les cours 2,3,4,5.

Autres exemples.

Problèmes hyperboliques linéaires. (Cours 9 et 10)

La propagation dusondans un fluide est régie par l’équation des ondesacoustiques:

1 ρ₀c²₀

∂²p

∂t² −div 1 ρ₀∇p

=f,

où l’inconnuepdésigne la (variation de)pression,ρ₀désigne la densitédu fluide,c₀lacéléritédu son etf un termesource.

Au même titre que l´équation de transport, l’équation des ondes est leprototypede l’équationhyperbolique linéaire qui décrit des phénomènes depropagation.

On rencontre aussi ce type d’équation enélectromagnétisme (Maxwell) ou enmécanique du solide(élastodynamique).

Autres exemples.

Problèmes de type Fredholm.

Si le terme source estharmoniqueen temps:

f(x, t) =f∞(x) expiωt

où lapulsationω >0est donnée, on aura le comportement en temps long:

p(x, t)∼p^∞(x) expiωt, t→+∞.

oùp^∞est solution de l’équation deHelmholtz:

−div 1 ρ₀∇p∞

− ω²

ρ₀c²₀ p∞=f∞(x).

C’est le prototype du problème elliptiquenon coercifmais de typeFredholm, traité dans les cours 6 et 7.

Autres exemples.

Problèmes hyperboliques non linéaires.

Ces modèles interviennent pour la description des phénomènes de propagationnon linéaire, surtout en mécanique des fluides (propagation deschocs, ondes dedétente,...) mais aussi pour la modélisation dutraffic routier(modélisation desbouchons).

En dimension 1, l’équationmodèleest (f:R→R):

∂u

∂t + ∂

∂xf(u) = 0, x∈R, t >0.

f(u) =au : équation detransport.

f(u) =u²/2 : équation deBurgers.

Cette équation sera traitée aux cours 11 et 12.