La décroissance exponentielle avec un terme mémoire d'une équation des ondes avec des conditions aux limite dynamiques

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche

Scientifique

Université 8 Mai 1945 Guelma

Faculté des Mathématiqes et de l’Informatique

et des Sciences de la Matière

Département de Mathématiques

Mémoire

Présenté en vue de l’obtention du diplôme de

Master Académique en Mathématiques

Option : Equations aux Dérivées Partielles

Et analyse numérique

Par :

M

lle

. Harid Loubna

Intitulé

Dirigé par : Mohammed Es-salih Aries

Devant le jury

PRESIDENT

Dr. R. Mellal MCA

Univ-Guelma

RAPPORTEUR

Dr. M. ES. Aries MCB

Univ-Guelma

EXAMINATEUR

Dr. F. Ellaggoune PROF

Univ-Guelma

La Décroissance Exponentielle Avec Un Terme Mémoire D'une

Equation Des Ondes Avec Des Conditions Aux Limites

Remerciements

En premier lieu, je tiens à remercier chaleureusement Dr. Aries

Mo-hammed es-salih pour l’aide qu’il a fournie et les connaissances qu’il a su

me transmette. Je le remercie également pour sa disponibilité et la qualité de ses conseils.

Je remercie Dr R.Melle, pour l’honneur qu’elle m’a fait en présidante le jury de cette mémoire. Je remercie également le Prof. F. Ellaggoune , d’avoir accepté d’examiner ce travail et faire partie du jury, et je les en remercie sincèrement.

Durant mes années de recherche à l’université de 08 Mai 1945 de Guelma, le cadre de travail était idéal et l’ambiance conviviale.

J’ai une pensée reconnaissante pour tous mes professeurs qui, tout au long de mes études, ont aiguillonné mon goût pour les mathématiques.

Je tiens à remercier ma famille : en particulier mon père et ma mère, ma soeur et mes frères, pour leur amour et leur soutien sans faille.

Je les remercie de m’avoir supporté et encouragé pendant les moments de doute. Je n’aurai jamais pu faire cette mémoire sans eux.

En…n, toute personne ayant aidé de près où de loin à la réalisation de cette mémoire est vivement remerciée.

Table des matières

Résumé iii Introduction iv 0.1 Problèmes viscoélastiques . . . v 0.1.1 Elasticité, viscosité . . . v 0.1.2 Matériau viscoélastique . . . vi 0.1.3 Problème de Ventcel . . . vi 1 Préliminaires 1 1.1 Espace Lp _{. . . . 1}

1.2 Notions de base sur les distributions . . . 2

1.2.1 Rappels et dé…nitions . . . 2

1.2.2 _{Fonction de classe C}1_{( ) à support compact . . . . . 2}

1.2.3 Espace des distributions D’( ) . . . 2

1.3 Espaces de sobolev . . . 3

1.4 Quelques inégalités . . . 4

1.5 Lemmes de types Gronwall . . . 5

1.6 Noyaux dé…nis positifs . . . 5

1.7 Noyau résolvant . . . 6

2 Etude de l’existence et l’unicité d’un problème viscoélastique 8 2.1 Introduction . . . 8

2.2 Existence et unicité locale . . . 11

2.2.1 Existence et unicité locale de la solution mild . . . 11

2.2.2 Existene et unicité locale de la solution forte . . . 12

2.3 Energie modi…ée . . . 13

2.4 Existence et unicité globale . . . 16

TABLE DES MATIÈRES

2.4.2 Existence et unicité de la solution forte globale . . . 16

3 La décroissance exponentielle du problème linéaire 17 3.1 Introduction . . . 17

3.2 Préliminaires . . . 18

3.3 Transformation du problème (3:1) (3:4) . . . 21

3.4 Énergie modi…ée . . . 22

3.5 Preuve de théorème 3.1.1 . . . 23

3.5.1 Estimation de l’énergie cinétique . . . 24

3.5.2 Lemmes technique . . . 43

3.6 Fin de la preuve du Théorème 3.1.1 . . . 51

Résumé

Dans cette mémoire, nous sommes intéréssés à un problème viscoélastique avec des conditions aux limites de type Ventcel. Nous avons démontré tout d’abord l’existence, l’unicité et la régularité des solutions globales.

Nous avons prouvé ensuite la décroissance exponentielle de l’énergie E (t) associée aux solution du problème. Les noyaux utilisés sont fortement dé…nis positifs. Nous avons démontré que les termes mémoires interne et frontière sont assez forts via le processus de transmission (u j = v) pour stabiliser tout le système.

Finalement, nous avons prouvé que la fonction e2 t_{E (t)appartient a}

l’es-pace L1_(0; 1) :

Mots clés : Équation des ondes- Viscoélastique- Conditions aux limites

dynamique- Existence globale- Stabilité asymtotique- Noyaux fortement dé-…nis positifs.

Introduction

La Théorie du Contrôle des Equations aux Dérivées Partielles intervient di¤érents contextes et de plusieures manières. Les problèmes de contrôlabi-lité, d’observabilité et de stabilité des équations aux Dérivés partielles ont l’objet, récemment, de nombreux travaux. Dans cette mémoire nous sommes intéressés à l’étude de la décroissance d’un problème viscoélastique semili-néaire avec des condition aux limites dynamiques et des noyaux fortement dé…nis positifs. Le problème de contrôlabilité peut se formuler simplement de la manière suivante :

On considère un système d’évolution décrit par les équations aux dérivées patielles et un inteval de temps [0; t]. Peut-on amener les solutions d’un état initial (au temps t = 0) à un état …nal (au temps t = T ) en agissant par un contrôle approprié appliqué sur le bord ou dans une partie du domaine dans laquelle l’équation évolue ?

La décroissance a pour but d’atténuer les vibrations, elle consiste donc à garantir la décroissance de l’énergie des solutions vers 0 de façon plus ou moins rapide par un mécanisme de dissipation. Plus précisément, le problème de stabilisation auquel nous nous intéressons revient à déterminer le compor-tement asymptotique de l’énergie que nous notons par E (t) ; à étudier sa limite a…n de déterminer si cette dernière est nulle ou pas, et si cette limite est nulle donne une estimation de la vitesse de décroissance de l’énergie vers zéro.

0.1. PROBLÈMES VISCOÉLASTIQUES

0.1

Problèmes viscoélastiques

0.1.1

Elasticité, viscosité

L’élasticité est la tendance d’un matériau solide à retrouver sa forme d’origine après avoir été déformé. La déformation élastique est une défor-mation réversible. Un matériau solide se déforme lorsque des forces lui sont appliquées.

L’élasticité linéaire concerne les petites déformations proportionnelles à la sollicitation.

La viscosité est une propriété interne d’un ‡uide qui o¤re une résistance à l’écoulement. Un liquide visqueux n’a pas de forme dé…nie, il s’écoule de manière irréversible sous l’action des forces externes. Cependant, il existe des matériaux dont les propriétés sont intermédiaires entre l’élasticité et la viscosité.

CHAPITRE 0. INTRODUCTION

0.1.2

Matériau viscoélastique

La viscosité d’un matériau traduit sa capacité à dissiper de l’énergie. Les polymères, et la plupart des matériaux ont un comportement viscoélastique. La partie viscoélastique provoque une décroissance de l’énergie associée. La partie élastique donne une équation conservatrice par contre la partie visco-élastique produit un mécanisme de dissipation qui agit sur une partie ou tout le domaine pour donner une décroissence de l’énergie associée à la solution pou ramener le système à l’état d’équilibre.

Il est bien connu que les matériaux viscoélastiques fournissent un amor-tissement naturel, qui est dû à la propriété particulière de ces matériaux à garder une certaine mémoire.

Du point de vu mathématique, ces e¤ets d’amortissement sont modélisés

par des opérateurs intéro di¤érentiels, par exenple R₀th (t s) (s) ds; ou h

représente le noyau dans l’expression du terme mémoire, le terme intégral exprime le fait que les contraintes dépendent à tout moment, non seulement de la valeur instantanée, mais de toute l’histoire passée des contraintes que le matériau a subi.

0.1.3

Problème de Ventcel

Les problèmes de ventcel sont caractérisés par la présence d’opérateur di¤érentiels tangentiels du même ordre que l’opérateur principal. Ils inter-viennent dans la modélisation des phénomènes mécaniques comme l’élasti-cité, ou physique comme processus de di¤usion [10] ou la propagation d’onde [2]. Les conditions de ventcel sont obtenues par des méthodes asymptotiques à partir de problèmes de transmission.

Chapitre 1

Préliminaires

A…n de facilité la lecture de ce travail il nous a paru utile de rappeler quelques éléments d’analyse fonctionnelles et leurs principales propriétés.

1.1

Espace

L

p

Dé…nition 1.1.1 soit _{un ouvert de R}n: L’espace Lp( ) ; p _{2 [1; +1[ est}

l’espace vectoriel des (classes de) fonctions u dé…nies sur _{à valeur dans |}

ou | = R ou C; telles que u est mesurable et jujp est intégrable au sens de

Lebesgue sur : L’espace Lp( ) muni de la norme

kukLp_{( )} = 0 @Z _{ju (x)j}p dx 1 A 1 p ; pourp_{2 [1; +1[}

est un espace de Banach.

Dé…nition 1.1.2 on appelle L1_{( ) l’espace constitué des (classes de)}

fonc-tions mesurables et bornées presque partout sur : Muni de la norme

kukL1( ) = sup x2 ess_{ju (x)j} où sup x2

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES

1.2

Notions de base sur les distributions

1.2.1

Rappels et dé…nitions

soient _{un ouvert de R}n _{est une application f :}

! Rn

(ou Cn_{) dé…nie} par f (x) = (f1(x1; :::; xn) ; :::; fn(x1; :::; xn)) :Rappelons que l’application f

est de classe Ck _{sur ;}

ce que l’on note par f 2 Ck

( ; Rn_{) ; si toutes les} dérivées partielles d’ordre inferieure ou égal à | sont des fonction continues

sur :_{L’espace C}k_{( ; R) ou C}k_{( ; C) selon le contexte est noté par C}k( ) :

1.2.2

Fonction de classe

_C

1

( ) à support compact

Dé…nition 1.2.1 Soit une fonction continue dé…nie sur un espace

topolo-gique X et à valeur dans R ou C: le support de la fonction est

sup ( ) =_{fx 2 X;} (x)_{6= 0g:}

L’espace de base D ( )

Dé…nition 1.2.2 On appelle espace des fonctions d’essai, et que l’on note

par D ( ) ; l’espace des fonctions dé…nies et indé…niment dérivables et à

support compact dans : Autrement dit

D ( ) =_{fespace des fonctions C}1 à support compact _{g :}

On désigne par D l’espace des restrictions à _{des fonctions de D (R}n_{) :}

1.2.3

Espace des distributions

D’( )

Dé…nition 1.2.3 (Notion et caractérisation de distribution)

soient n 1 un entier et _{un ouvert de R}n_{: Une distribution T sur est}

une forme linéaire sur D0_{( ) à valeur réelles (ou comlexes) véri…ant la}

pro-priété de continuité suivante :

Pour tout compact K; il existe CK 0 et pK 2 N tels que, pour tout fonction

'_{2 D ( ) avec supp(')} K;

jhT; 'ij C max

1.3. ESPACES DE SOBOLEV

Autrement dit

T _{2 D}0( ) _, 1) 8' 2 D ( ) ; ' ! hT; 'i est linéaire de D ( ) dans R:

2) Si 'j ! 0 dant D ( ) alors T; 'j ! 0 dans R:

On note toutjours par D0_{( ) l’espace vectoriel (sur R ou C) des}

distri-butions sur (à valeurs respectivement réelles ou complexes).

1.3

Espaces de sobolev

Dé…nition 1.3.1 [1]soient _{un ouvert de R}n_;

un entier m 2 N et p 2

[0;_{1].L’espace de sobolev W}m;p( ) est dé…ni par

Wm;p( ) =_{fv 2 L}p; D v _{2 L}p( ) ; pour _{j j} m _{g :}

L’espace Wm;p_{( ) est muni de la norme}

kukW;m;p = 0 @X j j m Z jD u (x)jpdx 1 A 1 p ; pour 1 p +₁ kukWm;p = X j j m

sup ess_{jD u (x)j ; pourp = +1:}

jujHm_{( )} = (u; u) 1 2 Hm_{( )} = 0 @X j j m kD uk2L2_{( )} 1 A 1 2 = 0 @X j j m Z jD u (x)j2dx 1 A 1 2 Formule de Green

On dé…nit les traces de u sur la frontière par l’application linéaire

continue, appelé trace

0 : H1( )! H

1

2 ( )

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES

Théorème 1.3.1 [11] la fonction ₀ : H1_{( )}

! H12 ( ) est surjective et

son noyau est l’espace H1

0 ( ) :

Proposition 1.3.1 (Formule de green[3]). Soit un ouvert borné régulier

de Rn. Si f; g 2 H1( ) ;alors pour 1 i n; on a Z f @g @xi dx = Z g@f @xi dx + Z ( ₀f ) ( ₀g) id ;

où = ( 1; 2; :::; n) est la normale unitaire extèrieure à :_{Si f 2 H}2( ) et

g _{2 H}1_{( ) ;on a la formule de Green :}

Z rfrgdx = Z f gdx + Z g@f @ d :

1.4

Quelques inégalités

Soit 1 p _{1; on désigne par q l’exposent conjugué de p c’est à dire}

1 p + 1 q = 1 Inégalité de Hölder [1] Théorème 1.4.1 _{Soient f 2 L}p_{( ) et g} 2 Lq_{( ) ; alors f g} 2 L1_{( ) et} kfgkL1_{( )} kfkLp_{( )}kgkLq_{( )}: Inégualité de poincaré

Théorème 1.4.2 Soit _{un ouvet borné de R}n _{de frontière assez régulière.}

Alors

kuk2 B_kruk2; pouru_{2 H0}1( )

où B 1 _{= inf}

u6=0 kruk_kuk2

2

1.5. LEMMES DE TYPES GRONWALL Inéqalité de Young [4]

Théorème 1.4.3 Soient 1 p; q _1;1_p+1_q = 1 et a; b 0:Alors pour tout

0; ab ap+ C bq où C = 1 q ( p)pq ;

1.5

Lemmes de types Gronwall

Nous rappelons ici les lemmes classiques du types gronwall qui inter-viennent dans de nombreux problèmes de majoration.

Lemme 1.5.1 _{soient m, 2 C ([0; T ] ; R) telles que m (t)} 0 et n (t) 0

pour tout t 2 [0; T ] et soit a 0: si _{2 C ([0; T ] ; R) est une fonction telle}

que : (t) a + t Z 0 m (s) ds + t Z 0 (s) (s) ds _{8t 2 [0; T ] ;} alors (t) 0 @a + t Z 0 m (s) ds 1 A exp 0 @ t Z 0 (s) ds 1 A 8t 2 [0; T] :

1.6

Noyaux dé…nis positifs

Dé…nition 1.6.1 _{Pour tout fonction g 2 L}1

loc(0;1) et y 2 L1loc(0; T ; X), on dé…nit le produit de convolution par

g y (t) =

t Z

0

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES

Dé…nition 1.6.2 _{Une fonction g 2 L}1_loc(0;_{1) est dite un noyau dé…ni}

po-sitif si

t Z

0

hg y (s) ; y (s)i ds 0 t 0; (1.1)

pour tout y 2 L2loc(0;1; X) :

Dé…nition 1.6.3 une fonction g est dite un noyau fortement dé…ni positif

s’il existe une constante 0 telle que g (t) e t _{soit dé…ni positif, c’est à}

dire t Z 0 hg y (s) ; y (s)i ds t Z 0 he y (s) ; y (s)i ds; t 0; (1.2) pour tout y 2 L2 loc(0;1; X) ; où e (t) = e t:

1.7

Noyau résolvant

Des résultats classiques pour les équations intégrales (voir le Théorème

2.3.5 [5]_{donnent pour tout noyau h 2 L}1

loc(0;1) et tout 2 L1loc(0;1; X), le problème

' (t) h ' (t) = (t) ; t 0; (1.3)

admet une solution unique ' 2 L1

loc(0;1; X) : En particulier, il existe une solution unique r 2 L1loc(0;1) de

r (t) h r (t) = h (t) ; t 0: (1.4)

Une telle solution est appelée le noyau résolvant de h. De plus, la solution

'de (1:3) est donne par la formule de la variation des constantes

' (t) = (t) + r (t) ; t 0; (1.5)

où r le noyau résolvant de h:

Rappelons le Théorème classique de Paley-Wiener [5], qui donne une condition nécessaire et su¢ sante pour que le noyau résolvant appartient à l’espace L1_(0;

1.7. NOYAU RÉSOLVANT

Corollaire 1.7.1 _{soit g 2 L}1(0;_{1) tel que} R₀1g (s) ds 1 et on suppose

que G (t) = R₀1g (s) ds et un noyau fortement dé…ni positif. Alors,

(a) le noyau résolvant r de g appartient à L1_(0;

1) ; (b) pour tout 2 Lp_(0; 1; X) ; 1 p _{1; la solution ' de léquation} ' (t) g ' (t) = (t) ; t 0; appartient à Lp_(0; 1; X) et k'kp (1 +_krk1)_{k kp}: (1.6)

Chapitre 2

Etude de l’existence et l’unicité

d’un problème viscoélastique

2.1

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions l’existence et l’unicité locale et globale des solutions du problème viscoélastique avec des conditons aux limites de type de ventcel suivant :

8 > > > > < > > > > : u" + (1 ) u g (1 ) u + h1(u) = f1(t) in R+; u = v on _R+; v" +@u_@ g @u_@ + (1 ) v g (1 ) v + h2(v) = f2(t) on 1 R+; u = 0 on 0 R+; (u (0) ; v (0)) = (u0; v0) ; (u0(0) ; v0(0)) = (u1; v1) in ; (2.1)

où _{est un domaine borné de R}n_{(n 2)avec un frontière régulière := @ :}

Soient 0 et 1 deux sous ensembles fermés, non vides et disjoints de avec

= 0 [ 1 et 0 \ 1 = :r représente le gradient tengentiel sur , on

désigne par l’opérateur de laplace-beltrami sur et par @ la dérivée

normale où représente la normale unitaire exterieure à :

Supposons que hi sont globalement lipschitziennes, i.e. hi _{2 C}1_{(R) ;}

2.1. INTRODUCTION 8 < : pour tout s1; s2 2 R; jh1(s1) h1(s2)j c1 1 +js1j p 1 +_js2j p 1 js1 s2j ; jh2(s1) h2(s2)j c2 1 +js1j p 1 +_js2j p 1 js1 s2j (2.2) où p 1; (n 2) p n: Supposons que R (U ) = Z F1(u (t)) dx + Z F2(v (t)) d 0; (2.3) où U (t) = u (t) v (t) et F1(u) = u Z 0 h1(s) ds; F2(v) = v Z 0 h2(s) ds:

pour simpli…er les notation, nous écrivons le problème 2.1 sous la forme

U " (t) + AU (t) t Z 0

g (t s) AU (s) ds + H (U (t)) = f (t) ; t 0; (2.4)

avec les conditions initiales

U (0) = U0 = u0 v0 ; U0(0) = U1 = u1 v1 ; (2.5) où A = 1 _@ 0 @ 1 (2.6) et U (t) = u (t) v (t) ; H (U (t)) = h1(u (t)) h2(v (t)) ; f (t) = f1(t) f2(t)

CHAPITRE 2. ETUDE DE L’EXISTENCE ET L’UNICITÉ D’UN PROBLÈME VISCOÉLASTIQUE Posons 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : H1₀( ) =_{fu 2 H}1( ) ; u_j 0 = 0g ; V= z = (u; v) _{2 H}2_{( )} \ H1 0( ) H 2_{( ) ; u} j = v ; e V= z = (u; v) _{2 H}1₀( ) H1( ) ; u_{j = v ;} H= L2_{( ) L}2_{( ) ;} e

Vet H deux espace de Hilbert et eVest dence dans H avec injection continue.

e

V et H sont munis de produits scalaires

8 < :

hz1; z2iH =hu1; u2iL2_{( )}+hv1; v2iL2_{( )};

hz1; z2i_V~ =hu1; u2iH1_{( )}+hv1; v2iH1_{( )};

et des normes canoniques ( kzk2H =kuk 2 L2_{( )}+kvk 2 L2_{( )}; kzk2_V~ =kruk2_L2_{( )}+kr vk 2 L2_{( )}:

Pour tout fonction g 2 L1

loc(0;1) et tout fonction y 2 L1loc(0;1; H) nous dé…nissons g y (t) = (g y1(t) ; g y2(t)) ; où g yi(t) = t Z 0 g (t s) yi(s) ds; i = 1; 2; t 0:

Nos hypothèses sur le noyau g sont les suivantes :

Hypothèse (H1)._{Nous supposons que g 2 L}1(0;_{1) et véri…e}

1 Z

0

g (t) dt 1 (2.7)

2.2. EXISTENCE ET UNICITÉ LOCALE t_! 1 Z t g (s) ds et dé…ni positif.

Dé…nition 2.1.1 _{Une fonction g 2 L}1

loc(0;1) est dite un noyau dé…ni

po-sitif si

t Z

0

hg y (s) ; y (s)iHds 0; t 0; (2.8)

pour toute fonction y 2 L2

loc(0;1; H).

Dé…nition 2.1.2 Une fonction g est dite un noyau fortement dé…ni positif

s’il existe une constante 0 telle que g (t) e t _{est dé…nie positive, c’est}

à dire t Z 0 hg y (s) ; y (s)iHds t Z 0 he y (s) ; y (s)iHds; t 0; (2.9)

pour toute fonction y 2 L2

loc(0;1; H) ; ou e (t) = e t:

A est un opérateur linéaire auto-adjoint sur H avec domaine dense

D (A) =_{f(u; v) 2 V; A (u; v) 2 Hg :}

2.2

Existence et unicité locale

2.2.1

Existence et unicité locale de la solution mild

La proposition suivante assure l’existence locale et l’unicité de la solution mild du problème (2:4) -(2:5) :

Proposition 2.2.1 soient U0 _{2 e}V; U1 2 H et f 2 L1(0; T; H) où 0

T _{1: Noun supposons que les hypothèse (H1),(2:2)} (2:3) sont véri…ées.

Alors, il existe un nombre positif T0 T tel que le problème de Cauchy

CHAPITRE 2. ETUDE DE L’EXISTENCE ET L’UNICITÉ D’UN PROBLÈME VISCOÉLASTIQUE De plus, pour tout U0; ~U0 2 eV; U1; ~U1 2 H et f; ~f 2 L1(0; T; H) ;il existe

une constante CT 0 (dépend de T ) telle que, siU et ~U sont les solutions

mild avec des données U0; U1; f et ~U0; ~U1; ~f respectivement, alors nous avons

Grad U (t) U (t)~ H+ U (t) ~ U (t) H+ U 0_{(t) U}~0_(t) H(2.10) CT Grad U0 U~0 H + U0 U~0 H + U1 U~1 H + f f~ 1;T pour tout t 2 h 0; min n T0; ~T0 oi :

2.2.2

Existene et unicité locale de la solution forte

Proposition 2.2.2 soient U0 _{2 D (A) ; U}1 2 eV et f 2 W1;1(0; T; H) :Alors,

la solution mild (donnée par la proposition 3:2:1) pour le problème de cauchy

(2:4) (2:5) sur [0; T0], où T0 2 (0; T ] et une solution forte. De plus, U

appartient à C1 _{[0; T}

0] ; eV :

Dans la suite, nous supposerons que l’hypotèse (H1) est véri…ée et posons

G (t) := 1 Z t g (s) ds; t 0 :

Le Lemme suivant joue un role trés important pour faire le reste des calcules.

Lemme 2.2.1 _{Pour tout w 2 C}1([0; T ] ; H) et _{8t 2 [0; T ] ; nous avons}

8 < : Rt 0hg w (s) ; w0(s)iHds = Rt 0 hG w0(s) ; w0(s)iHds +G(0)_{2 kw (t)k}2_H+_{kw (0)k}2_H G (t)_{hw (0) ; w (t)iH} R₀tg (s)_{hw (0) ; w (s)iH}ds; (2.11) hw (t) ; w (t) g w (t)_iH = (1 G (0))_{kw (t)k}2_H +G (t)_{hw (0) ; w (t)iH} +_{hw (t) ; G w}0_(t)iH (2.12)

De plus, si G 2 L2(0;_{1) ; alors nous avons pour tout t 2 [0; T ]}

8 < : Rt 0kw (s) g w (s)k 2 Hds 2 (1 G (0)) Rt 0 hw (s) ; w (s) g w (s)iHds +2_kGk2_{2kw (0)k}2_H + 2R₀t_{kG w}0_(s)k2 Hds (2.13)

2.3. ENERGIE MODIFIÉE

2.3

Energie modi…ée

En multipliant scalairement les équations (2:1)₁et (2:1)₃ par u0_{(t)et v}0_(t) respectivement,nous obtenons 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 2 d dt n ku (t)k2L2_{( )}+kv (t)k 2 L2_{( )}+ku0(t)k 2 L2_{( )}+kv0(t)k 2 L2_{( )} o +1_2dtd n_{kru (t)k}2_L2_{( )}+kr v (t)k 2 L2_{( )} o n hg ru (t) ; ru0(t)_iL2_{( )}+hg r v (t) ; r v0(t)iL2_{( )} o n hg u (t) ; u0(t)_iL2_{( )}+hg v (t) ; v0(t)iL2_{( )} o +_hh1(u (t)) u0(t)iL2_{( )}+hh2(v (t) ; v0(t))iL2_{( )} =_hf1(t) ; u0(t)iL2_{( )}+hf1(t) ; v0(t)iL2_{( )}: ce qui donne 1 2 d dt n kU (t)k2H +kU0(t)k 2 H +kGrad U (t)k 2 H o (2.14)

fhg Grad U (t) ; Grad U0(t)_iH +_{hg U (t) ; U}0(t)_{iHg +} d

dtR (U (t)) = _{hf (t) ; U}0(t)_iH:

CHAPITRE 2. ETUDE DE L’EXISTENCE ET L’UNICITÉ D’UN PROBLÈME VISCOÉLASTIQUE t Z 0 hg U (s) ; U0(s)_iHds = t Z 0 hG U0(s) ; U0(s)_iHds (2.15) +G (0) 2 kU (t)k 2 H+kU (0)k 2 H G (t)_{hU (0) ; U (t)iH} t Z 0 g (s)_{hU (0) ; U (s)iH}ds et t Z 0 hg GradU (s) ; GradU0 (s)_iHds = t Z 0 hG GradU0(s) ; GradU0(s)_iH(2.16) +G (0) 2 kGradU (t)k 2 H +kGradU (0)k 2 H

G (t)_{hGradU (0) ; GradU (t)iH}

t Z

0

2.3. ENERGIE MODIFIÉE alors, nous déduisons les deux égalités suivantes

hg U (s) ; U0(s)_iH = d dt G (0) 2 kU (t)k 2 H (2.17) hG (s) U (0) ; U0(s) ds_iH hG U0(s) ; U0(s)_iH; et hg Grad U (s) ; Grad U0(s)_iH = d dt G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H (2.18) hG (s) Grad U (0) ; Grad U0(s) ds_iH hG Grad U0(s) ; Grad U0(s)_iH

Nous remplaçons (2:17) et (2:18) dans (2:14) ; nous obtenons 8 > > > > > > < > > > > > > : 1 2 d dt kU (t)k 2 H+kU0(t)k 2 H+kGrad Uk 2 H n d dt G(0) 2 kGrad U (t)k 2 H hG (s) Grad U (0) ; Grad U0(s) dsiH o +_{hG Grad U}0_{(s) ; Grad U}0_{(s)iHds +hG U}0_{(s) ; U}0_(s)iH n d dt G(0) 2 kU (t)k 2 H hG (s) U (0) ; U0(s) dsiH o +_dtdR (U (t)) =_{hf (t) ; U}0_(t)iH

D’après l’égalité ci dessus, nous pouvons écrire 8 > > > < > > > : d dt n 1 2kU0(t)k 2 H+ 1 G(0) 2 kGrad U (t)k 2 H+kU (t)k 2 H + R (U (t)) o =_{hf (t) ; U}0(t)_{iH hG (s) Grad U (0) ; Grad U}0(s) ds_iH hG (s) U (0) ; U0_{(s) dsiH hG Grad U}0_{(s) ; Grad U}0_(s)iH hG U0_{(s) ; U}0_(s)iH:

De l’égalité précédente, nous dé…nissons l’énergie associée à la solution U du

problème (2:4) (2:5) par E (t) = 1 2kU 0_(t)k2 H+ 1 2 0 @1 1 Z 0 g (s) ds 1 A kGrad U (t)k2 H+kU (t)k 2 H +R (U (t)) ; (2.19) où R (U (t)) et donné par (2:3) :

CHAPITRE 2. ETUDE DE L’EXISTENCE ET L’UNICITÉ D’UN PROBLÈME VISCOÉLASTIQUE

2.4

Existence et unicité globale

2.4.1

Existence et unicité de la solution mild globale

Théorème 2.4.1 Nous supposons que l’hypotèse (H1), (2:2) et (2:3) sont

véri…ées. Alors pour tout U0 _{2 ~}V ; U1 2 H; et pour tout f 2 L0(0;1; H) ; le

problème (2:4) (2:5) admet une unique solution mild U sur [0;_1).

De plus, E (t) est positive et véri…e

E (t) 1 2kU 0_(t)k2 H+ 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H+kGrad U (t)k 2 H ; (2.20) E (t) C~1 (2.21)

pour tout t 0; où ~C1 = ~C1(kU1k ; kGradU0k ; kfk1) est une fonction posi-tive et croissanten en chaque variable.

2.4.2

Existence et unicité de la solution forte globale

Théorème 2.4.2 Nous supposons que l’hypotèse(H1), (2:2) et (2:3) sont

véri…ées.

Alors, pour tout U0 _{2 D (A) ; U}1 2 eV et f 2 Wloc1;1(0;1; H) le problème

(2:4) (2:5) admet une unique solution forte sur [0;_{1):De plus, U}

appar-tient à C1 [0;_{1[; ~}V ; E (t) + t Z 0

fhG GradU0(s) ; GradU0(s)_iH+_{hG U}0(s) ; U0(s)_{iHg ds} C~2; (2.22) où ~C2 = ~C2(kU1k ; kGradU0k ; kfk1) est une fonction positive croissante en chaque variable.

Chapitre 3

La décroissance exponentielle

du problème linéaire

3.1

Introduction

Pour l’étude de la décroissance de notre problème (2:1), nous allons trai-ter premièrement le cas linéaire. Pour simpli…er les notations nous allons transformer le problème (2:1) sous la forme ci après

U " (t) + AU (t) t Z

0

g (t s) AU (s) ds = f (t) ; t 0; (3.1)

avec les conditions initiales

U (0) = U0 = u0 v0 ; U0(0) = U1 = u1 v1 ; (3.2) où A = 1 _@ 0 @ 1 (3.3) et U (t) = u (t) v (t) ; f (t) = f1(t) f2(t) : (3.4)

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE Notre objectif dans cette partie et montrer que l’énergie de la solution

associée au problème (3:1) (3:4) décroît exponentiellement vers zéro quant

t _{! +1 et que la fonction e} t_{E (t) appartient à l’espace L}1_(0;

1).

pour toute fonction mesurable g : (0; 1) ! X et 2 R, nous posons

g (t) := e tg (t) ; t 0: Considérons l’hypotèse suivante :

Hypothèse (H2).

Il existe 0 0 tel que g 0 2 L

1_(0;

1) et t !Rt1g 0(s) ds est un noyau

fortement dé…ni positif.

Le résultat principal de la décroissance de notre travail et donné par le théorème suivant :

Théorème 3.1.1 Nous supposons que les hypothèse (H1), (H2) avec 0

0, sont véri…ées.

Alors, il existe des constant positives Ki; i = 0; 1, telles que, pour tout

U0 2 eV;U1 2 H et tout f 0 2 L

1_(0;

1; H) ; 0 0, l’énergie E (t) associée à

la solution mild U du problème (3:1) (3:4) véri…e

E (t) K0e 2 t; 8t 0; (3.5) et 1 Z 0 e2 sE (s) ds K1; (3.6)

pour tout _{2 [0;} ] ;où _{2 ]0; min f} 0; 0g[ et Ki = Ki(kU1k ; kGradU0k ; kfk1)

sont des fonctions positives, croissante, telles que Ki(0) = 0; i = 0; 1:

3.2

Préliminaires

La proposition suivante est d’une grande importance pour étudier la dé-croissance exponentielle.

Proposition 3.2.1 _{soit g 2 L}1(0;_{1) une fonction telle que t !} R_t1g (s) ds

est un noyau fortement dé…nie positif. Alors t _! R_t1e s_{g (s) ds; 0;}

3.2. PRÉLIMINAIRES

De plus, si est la constante dans (2:9) correspodante à t _! R_t1g (s) ds;

alors la constante analogue _{pour t !}R_t1e s_{g (s) ds est donnée par}

=

( + 1)2: (3.7)

Maintenant, en adaptant certaines estimations pour les noyaux dé…nis positifs [6, 8], nous obtenons les trois lemmes suivants

Lemme 3.2.1 _{soit g 2 C ([0; 1)) un noyau dé…nis positif. Alors g (0)} 0

et kg y (t)k2H 2g (0) t Z 0 hg y ( ) ; y ( )iHd ; t 0; (3.8)

pour tout y 2 L1loc(0;1; H) :

Si g est un noyau fortement dé…ni positif et la constante donnée par la

formule (2:9) ; alors par le lemme 3:2:1, nous avons

g (0) : (3.9)

Lemme 3.2.2 Soit g un noyau fortement dé…ni positif tel que g; g0 _{2 L}1(0;_{1) :}

Alors t Z 0 kg y ( )k2Hd 1 kgk21+ 4kg0k 2 1 t Z 0 hg y ( ) ; y ( )iHd ; t 0; (3.10) pour tout y 2 L1

loc(0;1; H) ; où est la constant donnée par (2:9) :

Lemme 3.2.3 _{soit g 2 L}1_loc(0;_{1) un noyau fortement dé…ni positif. Alors}

t Z 0 ky ( )k2Hd ky (0)k 2 H (3.11) +2 8 < : t Z 0 hg y ( ) ; y ( )iHd + t Z 0 hg y0( ) ; y0( )_iHd 9 = ;; pour tout t 0 et y _{2 L}2

loc(0;1; H) avec y0 2 L1loc(0;1; H) ; où est la constante donnée par (2:9) :

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE

Remarque 3.2.1 1. Pour tout _{2 [0;} 0] ;on a g 2 L1(0;1) et

G (t) = 1 Z

t

g (s) ds est un noyau fortement dé…ni positif avec

:= 0 (1 + 0 )2 0 (1 + 0)2 ; (3.12) notant que G (t) = R_t1e ( 0 )s_g 0(s) ds et en appliquant la proposition

3:2:1 pour g ₀; et d’après (3:9) et (3:12) ;on a

G (0) 0

(1 + 0)2: (3.13)

2. Comme g 0 2 L

1_(0;

1) ; d’après le théorème de convergence dominé et

G (0) 1; on a pour tout _{2 [0;} 0] 1 G (0) 1 G (0) 2 0: (3.14) 3. Pour tout _{2 [0;} 0 "0] ; 0 "0 0; G 2 L1(0;1) et kG k1 _"1 0 kg 0k ; (3.15) car il su¢ t d’écrire

1 Z 0 jG (s)j ds 1 Z 0 se s_{jg (s)j ds} (3.16) = 1 Z 0 se ( 0 )s_e 0s jg (s)j ds 1 Z 0 e 0s jg (s)j ds:

4. Pour tout _{2 (0;} 0 "0] ; 0 "0 0; G 2 L2(0;1) et d’après(3:15)

on a kG k22 kG k1kg k1 1 "0 kg 0k 2 1: (3.17)

3.3. TRANSFORMATION DU PROBLÈME (??) (??)

3.3

Transformation du problème (3:1)

(3:4)

pou démontrer le Théorème 3:1:1, nous faisons le changement de fonction

U (t) = e tU (t) où 0;ce qui nous permet de transformer le problème

(3:1) (3:4) sousla forme suivant

U " (t) 2 U0 (t) + 2U (t) + AU (t) g AU (t) = f (t) ;

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE

3.4

Énergie modi…ée

En multipliant scalairement (3:18) par U0 _{(t) nous obtenons}

1 2 d dt kU 0 _(t)k2 H+ 1 2kGrad U (t)k 2 H+ ( 2_{+ 1)} 2 kU k 2 H (3.19) hg U (t) ; U0 (t)_{iH hg} Grad U (t) ; Grad U0 (t)_iH = 2 _kU0 (t)_k2_H +_{hf (t) ; U}0 (t)_iH;

en appliquant (2:11) avec w = U et w = Grad U ; il vient 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : Rt 0 hg U (s) ; U0 (s)iHds = Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)iHds +G (0)_{2 kU (t)k}2_H+_{kU (0)k}2_H G (t)_{hU (0) ; U (t)iH} Rt 0 g (s)hU (0) ; U (s)iHds; et 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : Rt 0hg GradU (s) ; GradU0 (s)iHds = Rt 0hG Grad U0 (s) ; Grad U0 (s)iHds +G (0)_{2 kGrad U (t)k}2_H +_{kGrad U (0)k}2_H

G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH}

Rt

0g (s)hGrad U (0) ; Grad U (s)iHds;

pour cela, nous pouvons écrire

hg U (t) ; U0 (t)_iH = d dt G (0) 2 kU (t)k 2 H (3.20) hG (t) U (0) ; U0 (t)_iH hG U0 (t) ; U0 (t)_iH

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 de même pour hg GradU (t) ; GradU0 (t)_iH = d dt G (0) 2 Grad kU (t)k 2 H (3.21) hG (t) Grad U (0) ; Grad U0 (t)_iH hG Grad U0 (t) ; Grad U0 (t)_iH

en injectant (3:20) et (3:21) dans l’égalité (3:19), nous obtenons d dt( 1 2kU 0 _(t)k2 H+ 1 G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H (3.22) +1 + 2 _{G (0)} 2 kU (t)k 2 H) = 2 _kU0 (t)_k2_H+_{hf (t) ; U}0 (t)_iH hG (t) U (0) ; U0 (t)_{iH hG (t) U}0 (t) ; U0 (t)_iH hG (t) Grad U (0) ; Grad U0 (t)_iH hG (t) Grad U0 (0) ; Grad U0 (t)_iH

A partir de l’égalité (3:22) ; nous dé…nissons l’énergie assosiée à la solution

U de (3:18) par E (t) = 1 2kU 0 _(t)k2 H+ 1 2(1 G (0))kGrad U (t)k 2 H+ 1 2 1 + 2 _{G (0)} kU (t)k2H:

Remarque 3.4.1 pour = 0; nous avons

E (t) = E0(t) :

3.5

Preuve de théorème 3.1.1

Supposons que U0 _{2 D (A) ; U}1 2 ~V et f 2 C1([0;1) ; H) ; alors d’après

la proposition 2:2:2, la solution mild U est une solution forte.

Dans la suite, nous noterons par Ci; i_{2 N, les constantes positives dépendant}

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE

3.5.1

Estimation de l’énergie cinétique

le terme le plus di¢ cile à estimer est l’énergie cinétique R₀t_kU0 _(s)k2

Hds,

en e¤et, nous appliquons l’inégalté (3:11) en prenant g = G et y = U0_;pour

tout t 0 nous obtenons l’inégualité suivante

t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds _kU0 (0)_k2_H (3.23) +2 t Z 0 fhG U0 (s) ; U0 (s)_iH+_hG U " (s) ; U " (s)_{iHg ds:} Estimation du terme R₀t_hG U0 (s) ; U0 (s)_{i ds}

Le lemme suivant nous permet d’obtenir une estimation pour le terme t

Z 0

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1

Lemme 3.5.1 Pour tout solution U du problème (3:18) et pour tout ₂

[0; 0] ; où 0 et dé…ni dans l’hypothèse (H2) avec t 0; nous avons

1 G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H (3.24) + t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_iHds + t Z 0 hG (s) Grad U0 (0) ; Grad U0 (s)_iHds C1+ H ;1(t) + 2 t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds; où C1 0 et

H ;1(t) = G (t)fhU0; U (t)iH+hGrad U0; Grad U (t)iHg (3.25)

t Z 0

g (s)_fhU0; U (s)_iH+_{hGrad U}0; Grad U (s)_{iHg ds}

+ t Z

0

hf (s) ; U0 (s)_iHds:

En multipliant (3:18) scalairement par U0 _{(t) et en intégrant entre 0 et t,}

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 1 2kU 0 _(t) k2H+ 1 2kGrad U (t)k 2 H+ ( 2_{+ 1)} 2 kU k 2 H (3.26) t Z 0 hg U ( ) ; U0( )_iHd t Z 0 hg Grad U ( ) ; Grad U0 ( )_iHd = 1 2kU 0 _(0)k2 H+ 1 2kGrad U (0)k 2 H + ( 2_{+ 1)} 2 kU (0)k 2 H +2 t Z 0 kU0 ( )_k2_Hd + t Z 0 hf ( ) ; U0 ( )_iHd :

Par application de (2:11) avec w = U ; w = Grad U et g = g , nous avons les égalités ci- après

t Z 0 hg U (s) ; U0 (s)_iHds = t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_{i ds} (3.27) +G (0) 2 kU (t)k 2 H +kU (0)k 2 H G (t)_{hU (0) ; U (t)iH} t Z 0 g (s)_{hU (0) ; U (s)iH}ds; et

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 t Z 0 hg Grad U (s) ; Grad U0 (s)_iHds (3.28) = t Z 0 hG Grad U0 (s) ; Grad U0 (s)_iHds +G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H+kGrad U (0)k 2 H

G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH}

G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH}

t Z

0

g (s)_{hGrad U (0) ; Grad U (s)iH}ds;

en injectant (3:27) et (3:28) dans (3:26), nous avons l’égalité suivant

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 2kU0 (t)k 2 H+ 1 2kGrad U (t)k 2 H+ ( 2₊₁₎ 2 kU k 2 H+ Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)i ds G (0) 2 kU (t)k 2 H+kU (0)k 2 H + G (t)hU (0) ; U (t)iH

+R₀tg (s)_{hU (0) ; U (s)iH}ds +R₀t_hG Grad U0 _{(s) ; Grad U}0 _(s)iHds G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H+kGrad U (0)k 2 H

+G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH}+R₀tg (s)_{hGrad U (0) ; Grad U (s)iH}ds

= 1_2kU0 _(0)k2 H + 1 2kGrad U (0)k 2 H+ ( 2₊₁₎ 2 kU (0)k 2 H +2 R₀t_kU0 _{( )k}2 Hd + Rt 0hf ( ) ; U0 ( )iHd :

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H + Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)iHds +R₀t_{hG (s) Grad U}0 _{(0) ; Grad U}0 _(s)iHds +1_2kU0 (t)_k2_H+(1+ 2 _{G (0))} 2 kU k 2 H = 1 2kU0 (t)k 2 H+ 1 G (0) 2 kGrad U (0)k 2 H+ ( 2_{+1)+G (0)} 2 kU (0)k 2 H G (t)_{hU (0) ; U (t)iH} R₀tg (s)_{hU (0) ; U (s)iH}ds

G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH} R₀tg (s)_{hGrad U (0) ; Grad U (s)iH}ds

+R₀t_{hf ( ) ; U}0 _{( )iHd + 2} Rt

0 kU0 ( )k

2

Hd ;

comme 1 G (0)₂ 0, nous pouvons écrire

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kGrad U (t)k 2 H+ Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)iHds +R₀t_hG Grad U0 _{(s) ; Grad U}0 _(s)iHds C1+ 2 Rt 0 kU0 (t)k 2 Hd

G (t)_{hU (0) ; U (t)iH} G (t)_{hGrad U (0) ; Grad U (t)iH}

Rt

0 g (s)hU (0) ; U (s)iHds

Rt

0 g (s)hGrad U (0) ; Grad U (s)iHds

+R₀t_{hf ( ) ; U}0 _{( )iHd ;} où 8 > < > : C1 = 1₂ kU0 (t)k2_H +1 G (0)₂ kGrad U (0)k2_H +( 2_{+1)+G (0)} 2 kU (0)k 2 H et en posant

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 8 > > > > < > > > > :

H ;1= G (t)hU (0) ; U (t)iH G (t)hGrad U (0) ; Grad U (t)iH

Rt

0 g (s)hU (0) ; U (s)iHds

Rt

0 g (s)hGrad U (0) ; Grad U (s)iHds

+R₀t_{hf ( ) ; U}0 ( )_iHd ; nous obtenons le résultat.

Estimation du terme R₀t_hG U " (s) ; U " (s)_iHds:

En utilisant le lemme ci-après, nous obtenons une estimation du terme t

Z 0

hG U " (s) ; U " (s)_iHds

Lemme 3.5.2 Si U est la solution du problème (3:18), alors il existe un

nombre 1 0; tel que pour tout 2 [0; 1 "0] ; 0 "0 1 et t 0; nous

avons t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds (3.29) 1 "0 (C2+ H ;2(t)) + 1 "0 (1 + 0) 2 0 + 8 2 1 1 G (0) !_Zt 0 kU0 (s)_k2_Hds; 1 G (0) 2 kU 0 _(t) k2H (3.30) +1 2 kGrad (U g U ) (t)k 2 H+k(U g U ) (t)k 2 H + 21 G (0) 4 kU (t)k 2 H C2+ H ;2(t) + (1 + 0) 2 0 + 8 2 1 1 G (0) !_Zt 0 kU0 (s)_k2_Hds;

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE où C2 0 et H ;2(t) = 2 2 1 G (0)H ;1(t) (3.31) G (t)_hU0 (0) ; U0 (t)_iH t Z 0 g (s)_hU0 (0) ; U0 (s)_iHds t Z 0 g (s)_hU0; (U g U ) (s)iHds t Z 0 g (s)_{hGrad U}0; Grad (U g U ) (s)_iHds + t Z 0 hf (s) ; U0 (s) g U0 (s)_iHds:

En multipliant (3:18) scalairement par

U0 (t) g U0 (t) = d

dt (U g U ) (t) + g (t) U0; (3.32)

et comme U 2 C1_([0;

1) ; V) (voir le Théorème 2:4:2); nous obtenons l’éga-lité ci-dessous 8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : hU" (t) ; U0 _{(t) g U}0 _{(t)iH 2 hU}0 _{(t) ; U}0 _{(t) g U}0 _(t)iH + 2 hU (t) ; U0 _{(t) g U}0 _{(t)iH+hU (t) ; U}0 _{(t) g U}0 _(t)iH +_{hGrad U (t) ; Grad (U}0 (t) g U0 (t))_iH hg U (t) ; U0 _{(t) g U}0_(t)iH hg Grad U (t) ; Grad (U0 _{(t) g U}0_(t))iH =_{hf (t) ; U}0 (t) g U0 (t)_iH;

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 U0 (t) g U0 (t) = d dt(U g U ) (t) + g (t) U0; il vient alors 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : hU" (t) ; U0 _{(t) g U}0 _{(t)iH 2 hU}0 _{(t) ; U}0 _{(t) g U}0 _(t)iH + 2_{hU (t) ; U}0 (t) g U0 (t)_iH +1_2dtd _{kGrad (U} g U ) (t)_k2_H+_kU g U (t)_k2_H

+g (t)_fhU0; (U g U ) (t)iH+hGrad U0; Grad (U g U ) (t)iHg

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE en integrant l’égalité ci dessus entre 0 et t, nous obtenons

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 2kU0 (t)k 2 H+ 1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+ Grad k(U g U ) (t)k 2 H Rt 0 hU" (s) ; g U0 (s)iHds = 1_{2 kU}0 _(0)k2 H+kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H Rt

0 g (s)fhU0; (U g U ) (s)iH +hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+R₀t_{fhf (s) ; (U}0 (s) g U0) (s)_{iHg ds + 2} R₀t_hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds 2Rt

0 hU (s) ; (U0 g U0) (s)iHds:

Pour estimer l’intégrale sur le coté gauche de l’égalité ci-dessus, nous utilisons

(2:11)avec w = U0_{;a…n d’obtenir l’expression}

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 2kU0 (t)k 2 H+ 1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+ Grad k(U g U ) (t)k 2 H +R₀t_hG U " (s) ; U " (s)_iHds G (0)_{2 kU}0 (t)_k2_H+_kU0 (0)_k2_H +G (t)_hU0 _{(0) ; U}0 _(t)iH+Rt 0 g (s)hU0 (0) ; U0 (s)iHds = 1_{2 kU}0 (0)_k2_H +_kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H Rt

0 g (s)fhU0; (U g U ) (s)iH+hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+R₀t_{fhf (s) ; (U}0 _{g U}0_{) (s)iHg ds + 2} Rt

0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)iHds 2Rt

0hU (s) ; (U0 g U0) (s)iHds:

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 1 G (0) 2 kU 0 _(t)k2 H+ t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds (3.33) +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+kGrad (U g U ) (t)k 2 H = 1 G (0) 2 kU 0 _(0)k2 H+ 1 2 kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H G (t)_hU0 (0) ; U0 (t)_iH t Z 0 g (s)_hU0 (0) ; U0 (s)_iHds t Z 0 g (s)_fhU0; (U g U ) (s)iH

+_{hGrad U}0; Grad (U g U ) (s)iHgds

+ t Z 0 fhf (s) ; (U0 g U0) (s)_{iHg ds} +2 t Z 0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds 2 t Z 0 hU (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds:

Pour pouvoir continuer la suite des calcules, nous devons estimer les deus der-niers termes se trouvant sur le coté droit de l’égalité ci-dessus, pour cela nous

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 2R₀t_hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds Rt 0 kU0 (s)k 2 Hds + Rt 0k(U0 g U0) (s)k 2 Hds Rt 0 kU0k 2 Hds + 2 (1 G (0)) Rt 0 k(U0 g U0) (s)k 2 Hds +2_{kG k}2_2kU0 _(0)k2 H+ 2 Rt 0 kG U " (s)k 2 Hds:

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 par utilisation de l’inégalité à (3:10), nous pouvons écrire

2G (0) t Z 0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds (3.34) 2_{kG k}2_2kU0 (0)_k2_H + t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds 2 t Z 0 kG U " (s)_k2_Hds 2_{kG k}2_2kU0 (0)_k2_H + t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds +2 _{kG k}2₁+ 4_{kg k}2₁ t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds:

En utilisant (3:32), nous avons

8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > : Rt 0 hU (s) ; (U0 g U0) (s)iHds =_{hU ; U} g U0_iH jt0 + Rt 0 g (s)hU0; U (s)iHds Rt 0 hU0 (s) ; (U g U (s))iHds =_{hU ; U} g U0_iH jt0 + Rt 0g (s)hU0; U (s)iHds + 1 2kU0k 2 H 1 2kU (t)k 2 H+ Rt 0 hU0 (s) ; g U (s)iHds:

Pour le dernier terme se trouvant sur le coté droit ci dessus, nous appliquons

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE t Z 0 hU (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds = (3.35) hU ; U g U iH_jt 0 + 1 + G (0) 2 kU0k 2 H G (t)_hU0; U (t)iH 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_iHds L’égalité (2:12) donne 8 < : hU (t) ; (U g U ) (t)_iH G (t)_hU0; U (t)iH = (1 G (0))_{kU (t)k}2_H+_{hU (t) ; G} U0 _(t)iH;

L’égalité (3:35) peut être écrire sous la forme t Z 0 hU (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds = (3.36) G (0) 1 2 kU (t)k 2 H+ 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H +_{hU (t) ; G} U0 (t)_iH t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_iHds En remplaçant (3:34) et (3:36) dans (3:33) ; nous obtenons

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 1 G (0) 2 kU 0 _(t)k2 H + t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds (3.37) + 21 G (0) 2 kU (t)k 2 H +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+kGrad (U g U ) (t)k 1 G (0) 2 kU 0 _(0)k2 H+ 1 2 kU0k 2 H +kGrad U0k 2 H + 2kG k 2 2 G (0) kU 0 _(0)k2 H+ 21 G (0) 2 kU0k 2 H G (t)hU0 (0) ; U0 (t)iH t Z 0 g (s)_hU0 (0) ; U0 (s)_iHds + t Z 0 hf (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds t Z 0

g (s)_fhU0; (U g U ) (s)iH+hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+ G (0) t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds 2_{hU (t) ; G} U0 (t)_iH+ 2 t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_iHds +2 kG k 2 1 + 4kg k 2 1 G (0) t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds: D’après (3:15) ; (3:13) et (3:12), pour 0 2 ;nous déduisons 8 > > > > > > < > > > > > > : kG k21+4kg k 2 1 G (0) 4(1+ 20)(1+ 0)4 2 0 20 kg 0k 2 1 1 2 1; où

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 1 = min ( ₂ 0 2 0 8 (1 + 2 0) (1 + 0)4kg 0k 2 1 ; 0 2 ) (3.38)

et de(3:8), nous avons

hU (t) ; G U0 (t)_iH 1 G (0) 4 kU (t)k 2 H+ 2G (0) 1 G (0) t Z 0 hG U0 (s) ; U0 (s)_iHds; (3.39)

en remplaçant (3:24) dans (3:37), nous avons

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H+ Rt 0 hG U " (s) ; U " (s)iHds + 2 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H +1_{2 k(U} g U ) (t)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (t)_k2_H 1 G (0) 2 kU0 (0)k 2 H+ 1 2 kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H + 2kG k22 G (0) kU0 (0)k 2 H+ 2 1 G (0) 2 kU0k 2 H G (t)hU0 (0) ; U0 (t)iH Rt 0 g (s)hU0 (0) ; U0 (s)iHds + Rt 0hf (s) ; (U0 g U0) (s)iHds Rt

0 g (s)fhU0; (U g U ) (s)iH+hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+_{G (0)}R₀t_kU0 _(s)k2 Hds 2hU (t) ; G U0 (t)iH +2 kG k21+4kg k 2 1 G (0) Rt 0 hG U " (s) ; U " (s)iHds + 2 _H ;1+ 2 Rt 0 kU0 (s)k 2 Hds + C1 ;

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H+ Rt 0hG U " (s) ; U " (s)iHds + 2 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H +1_{2 k(U} g U ) (t)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (t)_k2_H 1 G (0) 2 kU0 (0)k 2 H + 1 2 kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H + 2kG k22 G (0) kU0 (0)k 2 H+ 2 1 G (0) 2 kU0k 2 H G (t)hU0 (0) ; U0 (t)iH Rt 0 g (s)hU0 (0) ; U0 (s)iHds + Rt 0 hf (s) ; (U0 g U0) (s)iHds Rt

0 g (s)fhU0; (U g U ) (s)iH +hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+_{G (0)}R₀t_kU0 _(s)k2 Hds + 2 ₂ G (0) 1 G (0) Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)iHds +2 kG k21+4kg k 2 1 G (0) Rt 0 hG U " (s) ; U " (s)iHds + 2 _H ;1+ 2 Rt 0kU0 (s)k 2 Hds + C1 ;

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 1 G (0) 2 kU 0 _(t)k2 H+ t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds (3.40) + 21 G (0) 2 kU (t)k 2 H +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H +kGrad (U g U ) (t)k 2 H 1 G (0) 2 kU 0 _(0)k2 H+ 1 2 kU0k 2 H+kGrad U0k 2 H + 2kG k 2 2 G (0) kU 0 ₍₀₎ k2H+ 21 G (0) 2 kU0k 2 H G (t)hU0 (0) ; U0 (t)iH t Z 0 g (s)_hU0 (0) ; U0 (s)_iHds + t Z 0 hf (s) ; (U0; g U0) (s)_iHds t Z 0

g (s)_fhU0; (U g U ) (s)iH+hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

+2 kG k 2 1+ 4kg k 2 1 G (0) t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds + 2C1 1 + 2G (0) 1 G (0) + 1 G (0) + 2 4G (0) 1 G (0) + 2 2 t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds + 2 1 + 2G (0) 1 G (0) H ;1(t) : Nous avons 2 kG k 2 1+ 4kg k 2 1 G (0) t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds (3.41) 1 t Z 0 hG U " (s) ; U " (s)_iHds;

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1

et comme G (0) 1, nous pouvons écrire

2₊ 2 2G (0) 1 G (0); H ;1(t) 2 2 1 G (0)H ;1(t) ; (3.42) et 1 G (0) + 2 4G (0) 1 G (0) + 2 2 t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds (3.43) 1 G (0) + 4 2 1 G (0) t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds;

En substituant les inégalités (3:41) ; (3:42) et (3:43) dans (3:42) ; nous abou-tissons à l’expression ci-après

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H+ Rt 0 hG U " (s) ; U " (s)iHds +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+kGrad (U g U ) (t)k 2 H + 2 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H C2+ 2 2 1 G (0)H ;1(t) G (t)hU0 (0) ; U0 (t)iH Rt 0g (s)hU0 (0) ; U0 (0)iHds + Rt 0hf (s) ; (U g U0) (s)iHds Rt

0 g (s)fhU0; (U g U ) (s)iH +hGrad U0; Grad (U g U ) (s)iHg ds

1 Rt 0 hG U " (s) ; U " (s)iHds + 1 G (0) + 4 2 1 G (0) Rt 0 kU0 (s)k 2 Hds;

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 8 > > > > > < > > > > > : C2 = 1+G (0)₂ kU0 (0)k2_H+ 1₂ kU0k2_H +kGrad U0k2_H + 2kG k22 G (0) kU0 (0)k 2 H+ 2 1 G (0)2 kU0k 2 H+ 2C1 + 2 2G (0) 1 G (0)C1: Finaliment, nous pouvons faire absorber le terme

1

Rt

0 hG U " (s) ; U " (s)iHds par le terme similaire se trouvant sur le coté gauche de l’énigalité ci-dessus.

Par la suite, les estimation (3:29) et (3:30) sont véri…ées pour 1 "0:

Estimation du terme R₀t_kU0 ( )_k2_Hd

Le lemme suivant nous donne une estimation du terme R₀t_kU0 (s)_k2_Hds:

Lemme 3.5.3 Si U est la solution du problème (3:18), alors il existe un

nombre 2 0; donné par

2 = min 8 < : 0 4 (1 + 0)2 1 + (1 + 0) 2 0 + 8 2 1 1 G (0) ! 1 ; 1 2 ; 0 9 = ;;

tel que pour tout _{2 [0;} 2 "0] ; 0 "0 2 et t 0, nous avons

t Z 0 kU0 ( )_k2_Hd (3.44) 2 "0 kU 0 _(0)k2 H+ 2 2(1 + 0) 2 0"0 (C1+ 2C2) +2 2(1 + 0) 2 0"0 (H ;1(t) + 2H ;2(t)) ;

où 0 a été introduit dans le Théorème 3:1:1:

Nous estimons le terme R₀t_kU0 ( )_k2_Hd après utilisation de l’inégalité

(3:23) : En tenant comptes des inégalités (3:24) ; (3:29) et (3:12), nous

obte-nons pour 1

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 8 > > > > < > > > > : Rt 0 kU0 ( )k 2 Hd kU0 _(0)k2 H+ 2 2(1+ 0)2 0"0 (C1+ 2C2) +2(1+ 0)2 0 (H ;1(t) + 2H ;2(t)) + 2 Rt 0kU0 ( )k 2 Hd :

Pour 2 "0; l’inégalité précédente devient

t Z 0 kU0 ( )_k2_Hd (3.45) 2 "0 kU 0 _(0)k2 H+ 2 2(1 + 0)2 0"0 (C1+ 2C2) +2 2(1 + 0) 2 0"0 (H ;1(t) + 2H ;2(t)) :

3.5.2

Lemmes technique

Lemme 3.5.4 soit U la solution du problème (3:18) ; alors il existe un

nombre 2 0, tel que pour tout 2 [0; 2 "0] ; 0 "0 2 et t 0; nous

avons 1 G (0) 2 n kU0 (t)_k2_H+_{kGrad U (t)k}2_Ho (3.46) +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H+kGrad (U g U ) (t)k 2 H + 21 G (0) 2 kU (t)k 2 H C3; t Z 0 kU0 ( )_k2_Hd C4; (3.47)

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE Nous remplaçons (3:44) dans (3:30) ; et d’après (3:24) ; (3:25) et (3:31) ; ainsi que les inégalités de Cauchy schwarz et de Young nous obtenons 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H+kGrad U (t)k 2 H +1_{2 k(U} g U ) (t)_k2_H +_{kGrad (U} g U ) (t)_k2_H + 2 1 G (0)_{2 kU (t)k}2_H " _kU0 _(t)k2 H+ 2 kU (t)k2H+kGrad U (t)k 2 H +C"+ CR₀t f ₀(s) ₁+_jg 0(s)j kU0 (s)k 2 Hds +CR₀t_{jg 0}(s)_{j k(U} g U ) (s)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (s)_k2_H ds +CR₀t_jg 0(s)j kU (s)k 2 H+kGrad U (s)k 2 H ds +CR₀t f ₀(s) _1k(U0 _{g U}0_{) (s)k}2 Hds;

pou tout " 0; où C sont des constantes positives.

En appliquant le lemme de Gronwall,nous obtenons 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H +kGrad U (t)k 2 H +1_{2 k(U} g U ) (t)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (t)_k2_H + 2 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H C + C0R₀t f ₀(s) _1k(U0 g U0) (s)_k2_Hds;

où C et C0_{sont des constantes positives dépendant des données kU}

1k ; kGrad U0k ; kfk1:

Pour tout T 0,nous avons

(_k(U0 g U0) (s)_kH)

1;T (1 +kg 0k1) (kU

0_kH)

1;T;

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 1 G (0) 2 kU0 (t)k 2 H+kGrad U (t)k 2 H +1 2 k(U g U ) (t)k 2 H +kGrad (U g U ) (t)k 2 H + 2 1 G (0) 2 kU (t)k 2 H " (_kU0_kH) 1;T + C";

pour tout t 2 [0; T ], nous pouvons contrôler le terme kU0k2_{H 1;T} par des

constantes positives indépondantes de t, alors nous obtenons (3:46) :

Finalement, les fonctions H ;1(t)et H ;2(t)dans (3:44) peuvent être

bor-nées par le biais de (3:46) ; alors nous obtenons (3:47) :

Lemme 3.5.5 Pour tout solution U du problème (3:18) où _{2 [0;} 2 "0] ;

0 "0 2; et t 0,nous avons t Z 0 k(U g U ) (s)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (s)_k2_H ds C5; (3.48) où C5 0:

En multipliant (3:18) scalairement par U (t) g U (t) ;nous obtenons

8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : hU" (t) ; U (t) g U (t)_iH 2 _hU0 (t) ; U (t) g U (t)_iH + 2 hU (t) ; U (t) g U (t)_iH +_{hU (t) ; U (t)} g U (t)_iH +_{hGrad U (t) ; Grad (U (t)} g U (t))_iH hg U (t) ; U (t) g U (t)_iH hg Grad U (t) ; Grad (U (t) g U (t))_iH =_{hf (t) ; U (t)} g U (t)_iH;

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE après calcul, nous pouvons écrire

hU" (t) ; U (t) g U (t)_iH (3.49)

2 _hU0 (t) ; U (t) g U (t)_iH

+ 2_{hU (t) ; U (t)} g U (t)_iH

kU (t) g U (t)_kH+_{kGrad U (t)} g U (t)_kH

= _{hf (t) ; U (t)} g U (t)_iH:

En intégrant (3:49) entre 0 et t, nous avons t Z 0 hU" (s) ; (U g U ) (s)_iHds (3.50) 2 t Z 0 hU0 (s) ; (U g U ) (s)_iHds + 2 t Z 0 hU (s) ; (U g U ) (s)_iHds + t Z 0 fk(U g U ) (s)_kH+_{kGrad (U} g U ) (s)_{kHg ds} = t Z 0 hf (s) ; (U g U ) (s)_iHds:

En intégrant par partie, nous otenons t Z 0 hU" (s) ; (U g U ) (s)_iHds = _hU0; (U g U )_iHjt 0 (3.51) + t Z 0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds t Z 0 g (s)_hU0 (s) ; U0iHds;

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 en remplaçant (3:51) dans (3:50), nous déduisons

t Z 0 k(U g U ) (s)_k2_H+_{kGrad (U} g U ) (s)_k2_H ds(3.52) = t Z 0 hf (s) ; (U g U ) (s)_iHds _hU0; (U g U )_iHjt 0 + t Z 0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds t Z 0 g (s)_hU0 (s) ; U0iHds +2 t Z 0 hU0 (s) ; (U g U ) (s)_iHds 2 t Z 0 hU (s) ; (U g U ) (s)_iHds:

Pour estimer le dernier terme sur le côté droit de (3:52), par utilisation de l’inégalité(2:13), nous avons alors

(1 G (0)) t Z 0 hU (s) ; (U g U ) (s)_iHds 1 2 t Z 0 k(U g U ) (s)_k2_Hds +_{kG k}2_2kU0k2_H+ t Z 0 kG U0 (s)_k2_Hds:

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : Rt 0 kGrad (U g U ) (s)k 2 Hds + _{2(1 G (0))}2 + 1 R₀t_k(U g U ) (s)_k2_Hds Rt 0 f 0(s) ₁k(U (s) g U (s))k 2 Hds hU0; U g U iHjt0 +R₀t_hU0 _{(s) ; (U}0 _{g U}0_{) (s)iHds} Rt 0 g (s)hU0 (s) ; U0iHds + 2kG k 2 2 1 G (0) kU0k 2 H+ 2 1 G (0) Rt 0 kG U0 (s)k 2 Hds +4 (1 G (s))R₀t_kU0 (s)_k2_Hds + _{4(1 G (0))}2 R₀t_k(U g U ) (s)_k2_Hds:

En utilisant le lemme 3:2:2, l’intégrale R₀t_kG U0 _(s)k2

Hds du membre de

droite de l’inégalité précédente donne

8 < : Rt 0kG U0 (s)k 2 Hds 1 kG k21 + 4kg k 2 1 Rt 0 hG U0 (s) ; U0 (s)iHds:

D’autre part, en utilisant le lemme 3:5:1 nous déduisons

8 > < > : Rt 0kG U0 (s)k 2 Hds 1 kG k21+ 4kg k 2 1 Rt 0hG U0 (s) ; U0 (s)iHds 1 kG k21 + 4kg k 2 1 n C1+ H ;1(t) + 2 Rt 0 kU0 (s)k 2 Hds o : par la suite

3.5. PREUVE DE THÉORÈME 3.1.1 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : Rt 0 kGrad (U g U ) (s)k 2 Hds + _{2(1 G (0))}2 + 1 R₀t_k(U g U ) (s)_k2_Hds Rt 0 f 0(s) 1k(U (s) g U (s))k 2 Hds hU0; U g U iHjt0 +R₀t_hU0 _{(s) ; (U}0 _{g U}0_{) (s)iHds} Rt 0 g (s)hU0 (s) ; U0iHds +_{1 G (0)}2 1 _{kG k}2₁ + 4_{kg k}2₁ C1+ H ;1(t) + 2 Rt 0kU0 (s)k 2 Hds +4 (1 G (s))R₀t_kU0 (s)_k2_Hds + _{4(1 G (0))}2 R₀t_k(U g U ) (s)_k2_Hds + 2kG k 2 2 1 G (0)kU0k 2 H: ce qui donne

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE t Z 0 kGrad (U g U ) (s)_k2_Hds (3.53) + 2 2 (1 G (0)) + 1 t Z 0 k(U g U ) (s)_k2_Hds 2 4 (1 G (0)) t Z 0 k(U (s) g U (s))_k2_Hds t Z 0 f ₀(s) 1k(U (s) g U (s))k 2 Hds hU0 (t) ; (U g U ) (t)iH +_hU0 (0) ; (U g U ) (0)_iH + t Z 0 hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds t Z 0 g (s)_hU0 (s) ; U0iHds + 2 1 G (0) 0 @1 _{kG k}2 1+ 4kg k 2 1 0 @C1 + H ;1(t) + 2 t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds 1 A 1 A +4 (1 G (s)) t Z 0 kU0 (s)_k2_Hds + 2 kG k22 1 G (0)kU0k 2 H;

d’après (3:46) ; nous avons 8 < : kU0 _{(t)kH C}0 3; kU (s) g U (s)_kH C"3;

nous arrivons à écrire que t

Z 0

3.6. FIN DE LA PREUVE DU THÉORÈME 3.1.1 et hU0 (t) ; (U g U ) (t)_iH (3.55) kU0 (t)_{kHkU (s)} g U (s)_kH ~ K1;

où C30; C"3; ~K0; ~K1sont des constantes positives. A partir de l’inégalité (3:47) ; nous arrivons à écrire que

t Z

0

hU0 (s) ; (U0 g U0) (s)_iHds K~2; (3.56)

où ~K2 est une constante positive.

D’après l’estimations (3:54) (3:56)et comme H ;1(t) et bornée, de

l’in-égalité (3:53) ; nous arrivons au résultat suivant t Z 0 kGrad (U g U ) (s)_k2_Hds t Z 0 k(U g U ) (s)_k2_Hds C5:

Ceci achève la démonstration du lemme 3:5:5:

3.6

Fin de la preuve du Théorème 3.1.1

Dans la suite, nous noterons par ~Ki = ~Ki(kU1k ; kGrad U0k ; kfk1) les fonctions positives, croissantes, telles que ~Ki(0) = 0; i = 3; 4; 5; 6:

D’après le lemme 3:5:4, nous obtenons pour tout t 0;

kU0 (t)_k2_H+_{kGrad U (t)kH}2 +_{kU (t)k}2_H K~3 (3.57)

nous pouvons écrire 8 < : kU0 (t)_k2_H =_{hU (t) ; U (t)iH} = e2 t hU (t) ; U (t)iH de l’inégalité (3:57) ; nous avons

CHAPITRE 3. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE DU PROBLÈME LINÉAIRE kU (t)k2H = e 2 t kU (t)k2H K~3; ce qui donne kU (t)k2H K~3e 2 t_{; (3.58)}

ainsi nous trouvons

kGrad U (t)k2H K~3e 2 t: (3.59)

Nous avons

U0(t) = e tU0 (t) e tU (t) ;

en prenant les normes il vient

kU0(t)_k2_H = e tU0 (t) e tU (t) 2_H K~4e 2 t kU0 (t)k 2

H+kU (t)k

2 H

d’après l’inégalité (3:57) nous déduisons

kU0(t)_k2_H K~3K~4e 2 t; (3.60)

en utilisant (3:58) (3:60), nous obtenons le premier résultat du Théorème,

c’est à dire l’estimation (3:5) pour le cas linéaire.

comme le noyau résolvant de g est donné par r (t) = e t_{r (t) ;nous pouvons}

appliquer le corollaire 1:7:1 pour obtenir

(_{kGrad U kH})

1 (1 +kr 0k1) (kGrad (U g U ) (s)kH)₁; (3.61)

(_{kU kH})₁ (1 +_{kr 0k1}) ((U g U ) (s)_H)₁: (3.62)

En utilisant (3:61) ; (3:62) ; (2:12) et (3:48), nous pouvons montrer l’estima-tion uniforme des termes

1 Z

0

kGrad U (s)k2Hds;

3.6. FIN DE LA PREUVE DU THÉORÈME 3.1.1

1 Z

0

kU (s)k2Hds; Par conséquent, l’inégalité (3:47) nous donne

1 Z 0 n kU (s)k2H+kGrad U (s)k 2 H+kU0 (s)k 2 H o ds K~5; (3.63)

Comme U (t) = e tU (t) ;et U0(t) = e tU0 (t) e tU (t) ;nous pouvons

écrire 1 Z

0

e2 s _kU0(s)_k2_H +_{kU (s)k}2_H+_{kGrad U (s)k}2_H ds K~6;

ainsi nous trouvons la deuxième estimation du Théorème (l’estimation (3:6) pour le cas linéaire). Les arguments standards de densité permettent d’étendre les résultats aux solutions mild.

Conclusion

Dons cette mémoire, nous avons étudié l’existence des solutions et la décroissance d’une équation des ondes

– viscoélastique (avec des noyaux fortement dé…nis positifs), – semilinéaire (les nonlinéairités sont globalement lipschitziennes),

– avec des conditions aux limites dynamiques.

Dans la première partie, nous avons démontré l’existence et l’unicité des solutions

– locales mild et fortes, – globales mild et fortes.

la deuxième partie de la mémoire a été consacrée à l’étude de la décrois-sance, nous avons considéré séparément les problèmes linéaire et semilinéaire. malgré la complication des calculs techniques de la méthode utilisée, nous avons pu montrer

– la décroissance exponentielle.

– la fonction e2 tE (t) appartient à l’espace L1(0;_{1) :}

on peut envisager comme perspective d’étudier la stabilisation, en consi-dérant un seul terme mémoire (damping) agissant dans une seule équation. C’est un problème très di¢ cile ayant des conditions aux limites dynamiques.

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