Chapitre 29 : Comparaison et encadrement de nombres inconnus
Liste des objectifs :
a. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir comparer deux nombres en étudiant le signe de leur différence.
b. 4ème : [Pas dans le socle commun] Écrire des encadrements résultant de la troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif.
Exercice n°1 - Introduction au cours n°1 – indispensable pour compléter le cours.
a. Trace six droites graduées les unes en dessous des autres comme celle ci-dessous :
b. Sur la première, place les points : C d'abscisse 2, L d'abscisse – 3 et A d'abscisse x
tel que
– 3 < x < 2 (ceci est un encadrement de x). Quel mot lis-tu ?
c. Sur la deuxième, on ajoute 4 à chacune des abscisses précédentes et on obtient les points C1, L1 et A1. Lis-tu le même mot ? Donne alors un encadrement de x + 4.
d. Sur la troisième, on retranche 3 (retrancher, c’est soustraire ) à chacune des abscisses du a. et on obtient les points C2, L2 et A2. Lis-tu le même mot ? Donne alors un encadrement de x – 3.
e. Même question si on multiplie chaque abscisse par 2. Déduis alors un encadrement en fonction de x.
f. Même question si on multiplie chaque abscisse par – 3. Déduis alors un encadrement en fonction de x.
g. En procédant de cette façon, déduis un encadrement de 3x puis de 3x – 5.
h. En procédant de cette façon, déduis un encadrement de -4x puis de -4x – 5.
0 1
– 1
Cours n°1
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à
recopierintégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre 29 : Comparaison et encadrement de nombres inconnus
I) Encadrement Définition n°1 :
On dit que l’on encadre un nombre a quand on donne deux nombres b et c l’un plus petit que a et l’autre plus grand que a. C'est-à-dire que b < a < c. L’ampl………. est alors donnée par c-b
Exemple n°1 :
1. un encadrement de 6 est donné par 5,9<6<6,2.
2. « Donner un encadrement de π d'amplitude 0,1 »
π 3,1415, donc ………< < ……… - l’amplitude est bien de 0,1, puisque ………-………=……….
II) Ordre et opérations Propriété n°1 :
L’ordre de l’encadrement …… ……… ……… si on a………. ou si on so……….
une m……… quantité à tous les membres.
Exemple n°2 :
1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de
π -3 ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : 3,141592 … … < π … … <3,141593 … … Donc : 0,141592 < π … … < ………
2. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de x+8 ».
On a : -6,24 < x <-6,23.
Donc : -6,24…… < x ……<-6,23……
Donc : ………< x ……<………
Propriété n°2 :
L’ordre de l’encadrement …… ……… ……… si on m……… ou si on d………..
par une même quantité p……… tous les membres.
Exemple n°3:
1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de 3 × π ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : ……3,141592 < … … π <……3,141593……
Donc : ……… < 3 × π < ………
SUITE PAGE SUIVANTE SUITE PAGE SUIVANTE
2. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de 8x ».
On a : -6,24 < x <-6,23.
Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………
Propriété n°3 :
L’ordre de l’encadrement c……… de sens si on multiplie ou si on divise par une même quantité n……… tous les membres.
Exemples n°4:
1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de -3 × π ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : … … … 3,141592 … … … … … … 3,141593 Donc : ……… … -3 × π … ………
2. « t est un nombre tel que : -6,24 < t <-6,23. Donnez un encadrement de -8t ».
On a : -6,24 < t <-6,23.
Donc : …… -6,24 < ……t <……-6,23 Donc : ………< ……t <………
Fin du cours n°1
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en
« accordéon ».
COLLER L’ACCORDEON DANS LE CAHIER D’EXERCICE OU DE COURS.
Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! ) Contrôle du savoir faire (SANS REGARDER LE COURS) :
Exemple n°2 :
3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de
π -3 ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : 3,141592 … … < π … … <3,141593 … … Donc : 0,141592 < π … … < ………
4. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de x+8 ».
On a : -6,24 < x <-6,23.
Donc : -6,24…… < x ……<-6,23……
Donc : ………< x ……<………
Exemple n°3:
3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de 3 × π ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : ……3,141592 < … … π <……3,141593……
Donc : ……… < 3 × π < ………
4. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de 8x ».
On a : -6,24 < x <-6,23.
!
SUITE PAGE SUIVANTE SUITE PAGE SUIVANTE
Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………
Exemples n°4:
3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de -3 × π ».
On a : 3,141592 < π <3,141593.
Donc : … … … 3,141592 … … … … … … 3,141593 Donc : ……… … -3 × π … ………
4. « t est un nombre tel que : -6,24 < t <-6,23. Donnez un encadrement de -8t ».
On a : -6,24 < t <-6,23.
Donc : …… -6,24 < ……t <……-6,23 Donc : ………< ……t <………
Exercice n°2
En t’aidant d’une calculatrice, donne un encadrement d’amplitude 0,01 des nombres suivants :
a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; g. ; h. ; i. 8
Exercice n°3
a. Donne les valeurs approchées indiquées par la calculatrice pour :, et . b. Donne un encadrement d’amplitude un dixième de .
c. Donne l'arrondi au millième de .
d. Donne la valeur approchée de à 0,001 près par défaut puis celle à 0,01 près par excès.
e. Compare avec puis avec .
Exercice n°4
a. Donnez l'encadrement de avec une amplitude d’un dixième.
b. Déduisez-en un encadrement de :
1. + 1,5.
2.
3. (Procéder étape par étape) 4. (2 +)÷ 5. (Procéder étape par étape)
c. Donnez un encadrement d'amplitude 0,01 du périmètre d'un cercle de rayon 4 cm.
Exercice n°5
On a : 1,4 < < 1,5.
Encadrez : a. 4 ; b. 4– 6 ; c. -3 +5 ; d. -5 – 2.
Exercice n°6 - Longueur d'un terrain - Sésamath
Le périmètre du terrain rectangulaire ci-contre est compris entre 286 m et 288 m. Détermine un encadrement de la longueur de ce terrain.
L
40 m
Résultats ou indices – rappel : si une réponse est fausse, la question doit être recommencée en classe.
Ex.1 : b.LAC c.Oui,1<x+4<6 d.Oui, -6<x-3<-1 e.Oui,-6<2x<4 f. Non, 9>-3x>-6 g.Oui,-14<3x-5<1 h.7>-4x-5>-13 Ex.2 a.0,83<5/6<0,84 b. 1,16<7/6<….. c. ……<5/7<0,72 d. 2,6…<8/3<2,6… e. 3,14<
<3,15 f. 0,34< /9<…… g. 1,4…<<1,4… h. 2,64<<…… i. 25,29<8<… Ex.3 : a.
3.1415929203539823008849557522124 ; 3.1622776601683793319988935444327 ; 3.1415926535897932384626433832795 b. 3,1< <…. c.3,14…<355/113<3,142 d.3,141 ; 3,15 e.
<355/113 et <
Ex.4 : a. 3,1< <…. b. 4,6< +1,5<…. ;
12,4<4)÷5<1,04 c. 25,13<P<25,14 Ex.5 : a. 5,6<4<6,0 b. -0,4<4- 6<0 c. 0,8>-3+5>0,5 d. -9>-5-2>-9,5 Ex.6 51,5<l<52
