Chapitre 36 Quadriques

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Chap 36 : Quadriques

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Chap 36 : Quadriques

I. Généralités

3 euclidien canonique E

3 ,

, 1,3 1

( ) 0

0 0

Une quadrique est l'ensemble des points vérifiant :

Ce qui sécrit aussi avec et matrice ligne

i j

i j

i j i

t

i i

Q a x b c

XAX LX A L

x x

C

 

  

   

 

Changement de repère : on conserve une quadrique Intersection avec un plan , droite, plan ou conique

X PY  

 

II. Réduction et classification

2 2 2

0 ( , , ) ( ) On diagonalise en BON : x y z xyz  où    spec A

2 2 2

, , disparaissent par translation x y z

      

2 2 2

2

0 {0}

(det 0)

0 0 : 1

cos sin sin sin cos Non dégénéré : même signe

signes CONE de directrice elliptique (réglé)

même signe ELLIPSOÏDE

Param :

signes

x y z

A a b c

x y z

a b c

x a u v

y b u v

z c v

x a



 





   

    

 

 

 

 ₂ ²₂ ₂² 1 cos ch sin ch sh

HYPERBOLOÏDE à 1 nappe

Param : (réglé, connexe)

y z

b c

x a u v

y b u v

z c v

  

 

 

 

" "

2 2 2 1

1 ( )( ) (1 )(1 )

Réglé : Y1 Z X droites

X Y Z Y Z Y Z X X

X Y Z

 

           

 

2 2 2

2 2 2 1

sh cos sh sin ch

HYPERBOLOÏDE à 2 nappes

Nappe sup Param :

x y z

a b c

x a u v y b u v z c u

   

 

  

 

2 2

rg 2 0

Dégénéré signes x y PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE (réglé)

A z

a b



    

{ , }, { , }

Réglé : translation Z XYD X_  ZY _ Y ZX

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2 2

, même signe x y PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE z a b

   

2 2 2 2

2 2

0

0 (0,0, ) 0

0

0 0

0

Autres : Droite Réunion de plans

Cylindre elliptique Cylindre hyperbolique

Rang 1 : Cylindre parabolique 1 ou 2 plans

x y

x y x y a b

z x y

a b a b

a b

x y x y

c c

a b a b

x z x c

  

    

  



     

   parallèles

0 1 1 1 0 1 2

1 1 0

1 ( 1) ( 2)

1 ? M 2 _M X X Red : Hyperboloïde à 1 nappe

xy yz zx ^^ ^^ 

 

 

     

  