Université de Cergy-Pontoise - L3 - Parcours M-MP
Examen d’analyse complexe - Session 2 - 1 Juillet 2008
Durée:2heures
Exercice 1 :
1. Soitf(z) = a
z−a +g(z), oùg est une fonction holomorphe sur un ouvertU ⊂ Ccontenanta.
Montrer queaest pôle simple def et calculer le résidu def ena.
2. Préciser les pôles et les résidus correspondants de la fonctionf(z) = a
z−a + b
z−b, a6=b.
3. Soitan= 2−n, n ∈N.On noteS={2−n, n≥1} ∪ {0}.SoitK ⊂Cun compact disjoint deS.
(a) Montrer qu’il existeδ >0tel que|z−a| ≥δpour tousz ∈K, a ∈S.
(b) En déduire que la sérieX
n≥1
an
z−an converge normalement surK.
(c) Montrer queg(z) =X
n≥1
an
z−an est holomorphe surK,et surC\S.
4. Soitf(z) = X
n≥0
an
z−an = 1
z−1 +g(z),z /∈(S∪ {a0}).
(a) Montrer quea0 = 1est un pôle def et calculer le résidu correspondant.
(b) Quels sont les pôles def?Préciser les résidus correspondants.
(c) Vérifier que0 est un point de sigularité non isolé def. f est-elle méromorphe surC? Sur C∗?
Exercice 2 : SoitC le cercle centré à l’origine, de rayon1,orienté dans le sens direct.
1. (a) Calculer Z
C
dξ
ξj,pourj ≥2et entier.
(b) Soitz tel que|z| <1.En faisant un developpement en série entière de¡ 1− z
ξ
¢−1
,montrer que
Z
C
dξ
ξk(ξ−z) = 0, k ≥1.
2. Soitf une fonction analytique sur un ouvert contenant le disqueDoùD ={z ∈C| |z|<1}.
(a) Ecrire la formule de Cauchy donnantf(z)pourz ∈ D,en fonction des valeurs def sur le cercleC.
(b) Préciser les coefficients du développement en série entière def au voisinage de0et le rayon de cette série.
(c) On définitfnsurD\{0}par
f(z)−f(0)−zf0(0)−....−zn−1f(n−1)(0)
(n−1)! =znfn(z).
Montrer quefnse prolonge en fonction analytique surD.(Utiliser b).
3. En appliquant àfnla formule de Cauchy de 2) et en utilisant 1), montrer que, pourz ∈D, 2iπfn(z) =
Z
C
f(ξ)dξ ξn(ξ−z).
