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LM300
« Éléments d’histoire des Mathématiques »
niveau L3--- Printemps 2008-2009
L’ENSEIGNANT : David Aubin
– Examen final 2
esession –
17 juin 2009, de 14h à 16h.
Toute documentation interdite, à l’exception des notes manuscrites.
Les séries infinies.
1) Dans le cours et les TD, nous avons vu comment Isaac Newton, dans son traité sur La Méthode des fluxions et des suites infinies, trad. Buffon (Paris, 1740), développe des fractions irréductibles sous forme de séries infinies :
5 ...
4 2 4
3 2 3
2 2 2
2 + − + −
−
+ = b
x a b
x a b
x a b
x a b aa x b
aa
a) Rappelez quelle est la méthode utilisée par Newton pour dériver ce résultat ?
b) Comment ce résultat peut-il être vu comme une conséquence de la formule du binôme de Newton ?
2) Considérez maintenant le texte d’Euler en annexe 1, tiré des ses Élémens d’algèbre, trad. française (Lyon, 1770).
a) Au paragraphe 298, Euler se propose de résoudre en série infinie la fraction +a 1
1 .
Expliquez comment il arrive au résultat donné.
b) Au paragraphe 299, il en déduit que :
½ = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … (1)
Que pensez-vous de cette preuve ? Justifiez votre opinion à l’aide d’arguments mathématiques et historiques.
3) Dans le tome 15 de l’Encyclopédie publié en 1765 (voir annexe 2), Jean Le Rond d’Alembert discute aussi des séries infinies. A propos de la série (1), il mentionne l’erreur d’un certain Guido Ubaldus.
a) Quel est le raisonnement erroné d’Ubaldus, selon d’Alembert ? b) Comment d’Alembert montre-t-il que cela constitue une erreur ? c) L’opinion de d’Alembert diffère-t-elle de celle d’Euler à ce propos ?
2 4) Dans son Cours d’analyse de l’École royale polytechnique (Paris 1821), première
partie : « l’Analyse algébrique » (voir annexe 3), Augustin-Louis Cauchy consacre le chapitre 6 aux séries infinies. En vous appuyant sur ce texte, répondez aux questions suivantes :
a) Quelles sont les deux conditions énoncées par Cauchy pour qu’on puisse considérer une série comme étant convergente ?
b) Comment prouve-t-il que les séries géométriques de raison x sont convergentes dans le cas où |x| < 1 ?
c) Comment Cauchy considère-t-il la somme de la série 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … ?
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LM300
« Éléments d’histoire des Mathématiques »
niveau L3--- Printemps 2008-2009
L’ENSEIGNANT : David Aubin
– Examen final –
26 juin 2009, de 14h à 16h.
Annexes Les séries.
Annexe 1. Le texte ci-dessous est tiré du livre de Leonhard Euler, Élémens d’algèbre, traduit de l’allemand (Lyon : Jean-Marie Bruysset, 1774).
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5 Annexe 2. Le texte ci-dessous est tiré de l’article « Série ou suite », écrit par Jean le Rond d’Alembert, paru dans le tome 15 de l’Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers (Neuchâtel, 1765), p. 95. Il discute de l’interprétation des séries où le terme général ne décroît pas :
Pour faciliter la lecture, veuillez noter que l’équation du 3e paragraphe doit se lire :
1 . 1 1
1 1 1 1
1
4 4 3 3 2 2
4 3 2
c c
c c c c c c c c
c c c
c c c
= + +
+
−
− + +
−
−
= +
+ +
− +
− + =
6 Annexe 3 : Cours d’analyse de l’École royale polytechnique (Paris 1821), première partie :
« l’Analyse algébrique »
»,
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