– Examen final – 4 juin 2010, de 10h45 à 12h45 Toute documentation interdite, à l’exception des notes manuscrites

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LM300

« Eléments d’histoire des mathématiques » niveau L3 -- Printemps 2009-2010 Les enseignants : David Aubin et Alexandre Guilbaud

– Examen final –

4 juin 2010, de 10h45 à 12h45

Toute documentation interdite, à l’exception des notes manuscrites

Partie I – La démonstration du 5^e postulat d’Euclide dans la 1^ère édition des Eléments de géométrie d’Adrien-Marie Legendre (1794)

Vous trouverez en annexe 1 la reproduction de plusieurs propositions du livre I de la 1^ère édition des Éléments de géométrie de Legendre, publiée en 1794 : la proposition XV (reproduite sans sa démonstration), la proposition XX, avec la figure correspondante (Fig. 35), et la proposition XXII.

(1) Donnez un commentaire détaillé de la démonstration de la proposition XX.

(2) Cette démonstration vous paraît-elle rigoureuse ? Expliquez (l’absence de réponse à cette question ne vous empêche pas de poursuivre).

(3) Considérez maintenant l’énoncé de la proposition XXII et le début de la preuve qui s’appuie sur une construction précédemment réalisée. Vous allez construire soigneusement la figure sur laquelle s’appuie la démonstration de la proposition XXII.

Pour cela, il est nécessaire de savoir que le point K est un point arbitraire sur la droit AI placé du côté où la somme des angles est plus petite que deux droits. La perpendiculaire à AC passant par K coupe AC en E et BD en F.

(4) a – Donnez un commentaire détaillé de la démonstration de la proposition XXII.

b – Que reste-t-il à démontrer pour parvenir à l’énoncé du 5^e postulat d’Euclide ? c – Seriez-vous capable d’achever vous-même la démonstration ?

Partie II – « Les trois angles d’un triangle pris ensemble valent deux angles droits »

Vous trouverez en annexe 2 la reproduction de deux autres propositions du livre I de la 1^ère édition des Eléments de géométrie de Legendre (1794) : la proposition XXVII, avec la figure correspondante (Fig. 41), et la proposition XXVIII.

(5) Expliquez comment Legendre parvient, dans les proposition XXVII et XVIII, à démontrer que la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits.

(6) Cette démonstration est-elle indépendante du 5^e postulat ? Justifiez votre réponse.

(7) Sur la base de propositions étudiées dans les deux parties précédentes, quelles différences voyez-vous, du point de vue de la démarche et des méthodes démonstratives, entre cette 1^ère édition et les propositions XIX et XXIII de la 12^e édition du même traité que nous avons étudiées en TD ?

(8) Que pouvez-vous en conclure concernant la relation entre le 5^e postulat d’Euclide et la proposition d’égalité de la somme des angles d’un triangle à deux droits ?

Partie IV – « Le scandale de la géométrie »

Vous trouverez en annexe 3 la reproduction d’un extrait de l’article « Parallèle » de D’Alembert dans l’Encyclopédie (vol. 11, 1765, p. 906).

(9) Commentez ce texte de D’Alembert la lumière de ce que vous savez du processus qui conduit au développement de géométries non euclidiennes, et en particulier celle de Lobatchevski.

3 Annexe 1 :

Adrien-Marie Legendre, Eléments de géométrie, 1^ère édition, Paris, 1794 : proposition XV, p. 15 ; proposition XX, p. 19-20, et Fig. 35 (planche I) ; proposition XXII, p. 21.

PROPOSITION XX (suite)

5 Annexe 2 :

Adrien-Marie Legendre, Éléments de géométrie, 1^ère édition (Paris, 1794) : proposition XXVII, XVIII, p. 25, et Fig. 41 (planche II).

Jean Le Rond D’Alembert, article « Parallèle », Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, vol. 11, 1765, p.

906.