Le carré magique
J'invite les élèves à compléter les
deux carrés magiques.
Le 2ème exemple ne nous
donne pas la valeur de la case
au centre du carré.
Complétez la grille à l'aide des nombres notés sous chaque grille de manière à ce que la somme des 3 nombres inscrits sur une même ligne horizontale, verticale ou oblique soit toujours égale au nombre noté entre parenthèses sous la grille.
Exemple 1
38 39 34
33 37 41
40 35 36
33 - 34 - 35 - 36 - 38 - 39 - 41 (111) Exemple 2
31 32 27
26 30 34
33 28 29
26 - 27 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 (90)
En groupe, nous analysons la manière dont
est construit chaque carré.
1ère constatation :
Le nombre au centre du carré est en fait le nombre au centre de la rangée de nombres à placer.
1e exemple : 33 - 34 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 (37 et 40 avaient déjà été placés) 2è exemple : 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34 (28 et 34 avaient déjà été placés) 2ème constatation :
Ce nombre que nous appellerons "central" est le tiers du total à obtenir.
1e exemple : 111 = 37 x 3 2è exemple : 90 = 30 x 3 En observant les
deux carrés complétés, nous généralisons en partant du nombre central que nous appelons "a".
31 32 27
26 30 34
33 28 29
(111)
a + 1 a + 2 a - 3 a - 4 a a + 4 a + 3 a - 2 a - 1
(3a)
Nous appliquons
notre observation sur
un troisième exercice .
26 + 1 = 27 26 +2 = 28 26 - 3 = 23 22 78 : 3 = 26 26 + 4 = 30 26 + 3 = 29 24 26 - 1 = 25
23 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 (78)
En présentant un autre exercice, nous constatons que nous pouvions avoir d'autres solutions.
26 31 24
25 27 29
30 23 28
23 - 24 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 (81)
a - 1 a + 4 a - 3 a - 2 a a + 2 a + 3 a - 4 a + 1
Nous trouvons une constante
quant au placement des
valeurs des cases.
Peu importe le sens que l'on tourne "a+2" sera suivi de "a+1" puis "a-4" etc ....
De plus "a+1" se tiendra toujours dans un "coin".
Nous pouvons dès lors créer
d'autres exercices. Nous
pouvons aussi modifier le pas
(ici 2).
a - 2 a + 8 a - 6 a - 4 a a + 4 a + 6 a - 8 a + 2 Nous pouvons
rendre l'exercice plus difficile.
Nous utilisons ici un pas de 0,4
a - 0,4 a + 1,6 a - 1,2
a - 0,8 a a + 0,8
a + 1,2 a - 1,6 a + 0,4 Connaissant le
système fonctionnement
du carré magique, il devient aisé d'en
inventer.
6,6 8,6 5,8
6,2 7 7,8
8,2 5,4 7,4
5,8 - 6,2 - 6,6 - 7 - 8,2 - 8,6 (21)
Nous pouvons compliquer
encore l'exercice en utilisant des
nombres entiers.
1 11 -3
-1 3 7
9 -5 5
-5 ; -3 ; - 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 (9)
