Fondements mathématiques

(1)

Fondements mathématiques

Déterminant de Cayley Menger

(2)

Fondements mathématiques

Matrice de Gram

( )

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

, , ,

n n n

n n n n

x x x x x x

G x x x

x x x x x x

 

 

=  

 

 

L

L M M L M

L

(x x1, 2, ,x_n) G x x( 1, 2, ,x_n)

Γ L = L

Le déterminant de cette matrice est noté

(3)

Modélisation basée sur les distances

Distances entre points [Michelucci]

n Exemple de la plate-forme de Stewart

Produit scalaire entre deux n-uplets de points [Serré]

n Angle entre deux droites

n Angle entre deux plans

Distances entre points et hyperplans [Michelucci, Yang]

n Distances entre points et droites en 2D

n Distances entre points et plans en 3D

Condition pour les droites en 3D [White]

(4)

Distance entre points: Plate-forme de Stewart

( )

2 2 2 2

12 13 14 15

2 2 2

23 25 26

2 2

2 16

1 2 3 4 5 6 34 36

2 2

45 46

2 24

2 35

2 56

0 1 1 1 1 1 1

1 0

1 . 0

, , , , , 1 . . 0

1 . . . 0

1 . . . . 0

1 . . . . . 0

L L L L

L L L

M p p p p p p L L

L L

L L L

L

 

 

= 

 

 

Les 6 points sont plongés dans l’espace 3D si et seulement si M est de rang 5 (dimension espace + 2)

(5)

Modélisation vectorielle

Association d’un ou plusieurs vecteurs

n Aux éléments géométriques

n Aux contraintes

Construction de la matrice de Gram associée

2

1 3

2 2

2

4 6

2 5

2

? ? ?

. ? ? ?

. . ? ? ?

. . .

. . . .

. . . . .

AB BC

CD DE

EF FA

AB BC CD DE EF FA

AB L S S

BC L S

CD L

G

DE L S S

EF L S

FA L

 

 

=  

 

 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

B uuur

A C

D

E

F

Exemple 3D

(6)

Modélisation vectorielle: Relations algébriques

Relations topologiques

n Méthode des projections

n Coupe métrique

Relations de rang

n Relations de Chasles en 2D

n Trigonométrie sphérique en 3D

n Paramètres covariants

n Autres

l Paramètres contravariants

l Rotation de blocs rigides

l Etc…

(7)

Coupe métrique

Soit G la matrice de Gram de n vecteurs

( ) ( )

k ij k mp

A D

A B

B C

 =

 = −



 =

∑ ∑

Si la somme des n vecteurs est nulle alors,

(8)

QVi

eur1

e3

ur

e2

uur

3

QV

3

QP

2

QV

ej

uur

QVi

ej

uur

QPi

Trigonométrie sphérique

Soit le paramétrage suivant

n Les inconnues sont Q_Vi et Q_Pi

vue de la sphère unité suivant le vecteur ^e^ur₁

Le produit scalaire entre deux vecteurs est

(9)

Paramétrage covariant

Soit le paramétrage suivant

n Les inconnues sont les coordonnées covariantes x_i, y_i, z_i

Le produit scalaire entre deux vecteurs s’exprime par

(10)

Blocs rigides: Rotation absolue

La position finale de chaque solide est définie par rapport à leur position primitive

1/ 0

2 / 0

3/ 0

4 / 0

0 0 0

R C R

R

 

 

=  

 

 

T

final prim

G = ⋅ C G ⋅ C

1/ 0 2 / 0 1/ 0 3 / 0 1/ 0 4 / 0

2 / 0 1/ 0 2 / 0 3 / 0 2 / 0 4 / 0

3 / 0 1/ 0 3 / 0 2 / 0 3/ 0 4 / 0

4 / 0 1/ 0 4 / 0 2 / 0 4 / 0 3 / 0

T T T

final T T T

T T T

I R R R R R R

R R I R R R R

G R R R R I R R

R R R R R R I

 ⋅ ⋅ ⋅ 

 

⋅ ⋅ ⋅

 

=  ⋅ ⋅ ⋅ 

 

 ⋅ ⋅ ⋅ 

 

(11)

Blocs rigides: Rotation relative

Il faut appliquer une suite de transformation solide

( )

3 2 1 3 2 1

T

final prim

G = C C C G ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C C C ⋅ ⋅

2 /1 2 /1 3/ 2 2 /1 3/ 2 4 / 3

2 /1 3/ 2 3/ 2 4 / 3

3/ 2 2 /1 3/ 2 4 / 3

4 / 3 3/ 2 2 /1 4 / 3 3/ 2 4 / 3

T T T T T T

T T T

final T

I R R R R R R

R I R R R

G

R R R I R

R R R R R R I

 ⋅ ⋅ ⋅ 

 

 ⋅ 

=  

 ⋅ 

 ⋅ ⋅ ⋅ 

 

2 /1 1

2/1

0 0 0

I C R

R

 

 

=  

 

 

2

3 / 2

3/ 2

0 0 0

I C I

R

 

 

=  

 

 

3

4 / 3

0 0 0

0 0 0 I

C I

I R

 

 

=  

 

 

(12)

Analyse des spécifications

Analyse structurelle

n Décomposition

n Analyse des spécifications angulaires ⇔ Problèmes 2D ^(Laman)

Analyse numérique

n Conditions d’existence pour les paramètres dimensionnels

n Conditions d’existence pour les paramètres angulaires

Autres

n Permutations

n Sur-contrainte locale dans une direction

(13)

Le tétraèdre EXISTE si le volume au carré ET toutes les aires au carré ET toutes les longueurs sont positives

Conditions d’existence pour les longueurs: Le tétraèdre

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

ABCD ABC ABD ACD BCD

V A A A A

 >

 >

 

 >

 >

  >



Contre-exemples:

5 5 7, 5 3 3 3

AB AC AD BC BD CD

L L L L L L

 =

 =

 =

 =

 =

 =



2 2 2 2 2

16 819 0

16 404,9375 0

16 243

288 -1823, 625 0

0

ABC ABD AC

A C

BC B

D D

D

V A A A A

 ⋅ = >

 ⋅ = >

 ⋅

⋅ =

= >

 ⋅ =

<

 >

Les aires au carré des 4 triangles sont positives, et le volume au carré du tétraèdre est négatif

3 8 1 4 5 10

AB AC AD BC BD CD

L L L L L L

 =

 =

 =

 =

 =

 =



2 2

2 2 2

16 945 0

16 18

28

9 0

16 969 0

16

8 71 0

88

1 0

1 1 0

ABC ABD ACD BCD

ABCD

A

A V

A A

⋅ = − <

⋅

 ⋅ = >





= − <

⋅ = − <





Les aires au carré des 4 triangles sont négatives, et le volume au carré du tétraèdre est positif

(14)

Conditions d’existence pour les angles: Le triangle sphérique

Inégalités triangulaires sur les angles

(15)

B

A C

D

E

F

Permutation

Spécification incohérente en 3D

2

1 3

2 2

2

4 6

2 5

2

? ? ?

. ? ? ?

. . ? ? ?

. . .

. . . .

. . . . .

AB BC a CD

DE EF

FA

AB BC CD DE EF FA

AB L S S

BC L S

CD L

G

DE L S S

EF L S

FA L

 

 

=  

 

 

uuur uuur uuur uuur uuur

2

1 3

2 2

2

4 6

2 5

2

? ? ?

. ? ? ?

. . ? ? ?

. . .

. . . .

. . . . .

AB

BC

CD b

DE

EF

FA

AB EF CD DE BC FA

AB L S S

EF L S

CD L

G

DE L S S

BC L S

FA L

 

 

=  

 

 

uuur uuur uuur uuur uuur

B

A C

D

E

F

Spécification incohérente en 3D !

(16)

Conclusion

Faisabilité des approches

n Développement de prototypes (partenaire industriel)

Expression générique des relations

n Relations pour qu’une matrice n*n soit de rang fixé n Relations supplémentaires

n Angles entre droites et plans (géométrie des distances)

n Fermeture vectorielle (géométrie vectorielle)

Analyse de la spécification

n Analyse structurelle aisée (⇔ 2D) des contraintes angulaires n Identification de nouveaux cas d’incohérences structurelles n Conditions d’existence sur les longueurs et les angles

(17)

Étude de cas : système bielle-manivelle

(18)

Housing

Modelling of the geometric skeleton of a Part

For each part :

a skeleton and an associated metric tensor

Crankshaft

Conrod

Piston

(19)

Modelling of the Assembly Constraints of a Mechanism

The Conrod / Crank Assembly

2 2 2 2

2 2 1

2 1 3 3

2 1 2

3 2 1 3

2 1

1 cos . . . . . cos

cos 1 cos cos . . . cos

. cos 1 cos . . . .

. cos cos 1 cos cos . .

. . . cos

C C

C V V C

V V

V V B B

B

Ce CVe Ve VBe Be BPe Pe PCe

Ce CVe

Ve

G VBe

Be

α α

α α α α

α α

α α α α

α

=

uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

uuur uuuur uuur uuuur uuur

2

3 2 1 3

2 1 2

1 3 3 2

1 cos . .

. . . cos cos 1 cos cos

. . . . . cos 1 cos

cos cos . . . cos cos 1

B

B B P P

P P

C C P P

BPe Pe PCe

α

α α α α

α α

α α α α

 

 

 

uuuur uuur uuuur

The metric tensor of the assembly

(20)

Specification of Dynamic Problem

Mass

n Centre of gravity à Point

n Inertia à Tensor

Force, Acceleration and Velocity

n Vectors

Kinematics joints

n Geometric constraints

The previous vectorial model can

describe all of these Specifications

(21)

Modelling of a Part for a Dynamic Problem

The geometric skeleton is more complex Three 3D reference frames

n Principal axis of Inertia

n Each Kinematic Joint

The centre of gravity G

A new associated tensor to each Part defines the relative position between

n 3 points

n 3 reference frames

G

(22)

Modelling of a Mechanism for a Dynamic Problem

Kinematic joint between two Parts defines n Geometric constraints

n Number of degrees of freedom

A new associated tensor to the Mechanism defines the relative position between

n 2 Points

n 2 Reference frames

G

Revolute Joint à 1 degree of freedom

(23)

Generation of equations

Geometric constraints equations ^[EQ1]

n Previous work

Formal calculus of velocity à kinetic energy

n Derivation of vectors

Lagrange equations with multipliers ^[EQ2]

n Differential equations with constraints

Association of the two sets of equations ^[EQ1] and ^[EQ2] à ODE System

(24)

Formal calculus of kinetic energy

Using a graph

n Nodes are the 3D reference frames n Arcs define the relative positions

between two nodes

Choice of a parameterisation

n For closed loop system, we cut one (or more) arc to define a tree structure

Calculus of

n Velocity translation vectors n Velocity rotation matrix

(25)

Derivation of a vector

Let v be a vector. We know that

1 2 3

i i i

i

v v v v j

k

  

 

=    ⋅    r

r ur

ur ⁰

0 0 0

i

B

i B

i

i i

j A j

k k

   

   

= ⋅

   

   

r ur

ur uur

and

Arc of a graph Node of a graph

( ) (

⁰

) ( )

⁰

0

1 2 3

1 2 3 1

i

i B i

B B

i B i

B

i i

d A

d v dv dv dv

j v v v A j

dt dt dt dt dt

k k

−

   

   

  = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 

   

   

 

       

r r

r ur ur

ur ur

Bi

d v dt

  

  r

0

Bi

B v

uuuuuur rΩ ∧

• The derivative of the vector v with respect to time is

(26)

Generation of Lagrange equations with multipliers

We have to solve, step by step, the following system

, ,

0

T Q k q q

M q q J q

J λ d J q q

• •• •

• •

  

       −  

   ⋅  =   

   

     

   − ⋅ ⋅ 

• q is the parameter

• M is the mass matrix

• J is the Jacobian of the constraints

• λ are the Lagrange multipliers

(27)

Solving

One set of equations ^[EQ1] (no differential equations)

n For instance a problem with geometric and static constraints à previous solver

Two sets of equations (with differential equations)

n Two stages for the solving

1. Solving the constraints ( set of equations [EQ1] )

2. Solving the differential equations ( set of equations [EQ2] )

(28)

Conclusion

In the context of Conceptual Design, we can use a common framework to declare geometry, mechanic, engineering and physical specifications.

There is no more need of exchange between different software.

Two stages to solve the problem

1. One set of equations [EQ1] à OK

2. Two sets of equations [EQ1] and [EQ2]

We have to manage the communication between the two solvers

(29)

Tolérancement (1/3)

Système bielle-manivelle

Après étude, nous avons pu établir 3 équations de compatibilité entre les incertitudes des 18 paramètres qui définissent ce mécanisme. Ces équations sont valides autour d’une position.

4 paramètres par pièce (position relative de deux droites à 3 angles, une longueur)

2 paramètres inter pièces

(30)

Tolérancement (2/3)

Système bielle-manivelle

C’est un système sous-contraint de 3 équations et 18 variables qui appartiennent à des intervalles.

1 1

2 2

1 2 3 18

1 2 3 18 3 3

1 2 3 18

18 18

,

, 0

0 ,

x x a a a a x x

b b b b x x

c c c c

x x

   

 

   

       

 ⋅    = 

       

   

     

 

 

 

L L

L M

Quel est l’ensemble des 3 paramètres qui va décrire la plus petite zone ?

Coefficients qui dépendent de la position

(31)

Tolérancement (3/3)

Les intervalles de 18 paramètres sont donnés:

± 0,5° pour les angles et ±0,1mm pour les longueurs Calcul de l’intervalle pour les 3 autres (dans 2 cas)

• CAS 1 : S_d1

– d_{alpha_c3} ∈ [-1,5°,+2°]

– d_{alpha_b1} ∈ [-1,5°,+2°]

– d_{L_ha} ∈ [-0.8mm,-0.3mm] non représenté

• CAS 2 : S_d2

– d_{alpha_c3} ∈ [-3,5°,+6°]

– d_{alpha_b3} ∈ [-20°,+15°]

– d_{L_ha} ∈ [-1.2mm,-0.2mm] non représenté

(32)

Conclusion

L’approche déclarative proposée s’appuie sur un modèle vectoriel générique.

Permet la description de spécifications de

n Géométrie

n Mécanique

n Électrique (travaux de Kron)

n Ingénierie

n …

Nécessité de solveurs pour

n Équations linéaires et non linéaires

n Équations différentielles

n Par intervalles

(33)

Quelques problèmes ouverts …

EN VRAC

n Intégration 2D/3D

n Inégalités (valeurs maxis/minis)

n Activation/Désactivation de contraintes, Priorité ?

n Échange de données à les spécifications + une instance géométrique n La déclaration des contraintes permet d’avoir plus de sémantique dans

le modèle

n Idée 1 à Déclarer le cahier des charges du produit à concevoir,

n Idée 2 à Établir la traçabilité entre les éléments du cahier des charges à respecter et les fonctions techniques proposées,

n Idée 3 à Déclarer les ressources disponibles (fabrication).

(34)

De la CAO à la maquette numérique (DMU).

Du DMU au PLM

(35)

Certains assemblages peuvent être composés d’un nombre considérable de pièces:

n Appareils ménagers > 1000 pièces

n Automobiles > 10 000 pièces

n Aéronautique > 100 000 pièces

n Navires > 1 000 000 pièces

Ces assemblages sont créés par différents concepteurs et entreprises qui travaillent en parallèle (travail collaboratif)

Aujourd’hui, la CAO n’est plus suffisante car

Maquette Numérique (DMU: Digital MockUp)

(36)

DMU remplace la maquette physique …

(37)

DMU intègre la définition physique et la définition logique ce qui permet d’assurer :

- Ingénierie concourante

- Management de la complexité - Modification de conception

- Management des configurations - …

Virtual Product

Model Workspace Design Session

La maquette numérique

(38)

Product Lifecycle Management (PLM)

Le PLM étends le « scope » de la maquette numérique…

n En amont,

n Du cahier des charges du produit … n En aval,

n …à la fabrication …

n …à la conception et la simulation de l’usine

n …à la simulation de la maintenance

(1) CONCEPTION (2) FABRICATION (3) COLLABORATION

Intégrée

(39)

(40)

(41)

Ingénierie concourante Intégration de la conception et de la fabrication

Intégration de la chaîne des sous traitants

PLM est la structure de base pour la collaboration

(42)

The Dassault Systemes PLM Solution…

(43)

La modélisation déclarative appliquée à la conception des

produits manufacturés

Philippe SERRÉ

LISMMA, Thème MDIM :

Modélisation Déclarative pour l’Ingénierie Mécanique, Supméca, PARIS