Théorie des distributions Année académique 2019-2020 Master Maths
1. Fonctions test
— Exercices de base —
Exercice 1 (Critère d’annulation pp). Soient Ω un ouvert non-vide de Rn et f ∈ L1loc(Ω).
Démontrer que f = 0 presque partout dansΩsi et seulement si Z
Ω
f(x)ϕ(x)dx= 0 pour tout ϕ∈ D(Ω)1.
Exercice 2.Soitϕ∈ D(R). Examiner la convergence dansD(R)des suites suivantes (m∈N0) : (a) ϕm(x) = ϕ(x)
m (b) ϕm(x) = ϕ(mx)
m (c) ϕm(x) =mϕ(mx) (d) ϕm(x) =mϕ(mx) (e) ϕm(x) = ϕ(mx)
m .
Exercice 3.Soit (ϕm)m∈N la suite de fonctions deD(R)définie par ϕm(x) = 1
2m exp
− 1
1− |x|2/m2
si |x|< m, 0 sinon.
Montrer que, pour chaque k≥0, la suite de fonctions(Dkfm)m∈N converge uniformément sur tout compact vers une fonctiongk∈ D(R) que l’on précisera. A-t-on convergence dansD(R)? Exercice 4.Construire une suite(ϕm)m∈Z d’éléments de D(R) telle que
(a) En tout point x∈R, l’ensemble{m∈Z:ϕm(x)6= 0}est fini.
(b)
+∞
X
m=−∞
ϕm(x) = 1, ∀x∈R.
— Autres exercices —
Exercice 5 (Inégalité de Poincaré).(a) Soit ϕ∈ D(Rn).Prouver que pour touti= 1,2, . . . , n
on a Z
Rn
|ϕ(x)|2dx=−2<
Z
Rn
xiϕ(x)Dxiϕ(x)dx
.
(b) Soit Ωun ouvert borné deRn. Montrer, en utilisant(a), qu’il existe C >0 tel que Z
Ω
|ϕ(x)|2dx≤C
n
X
i=1
Z
Ω
|Dxiϕ(x)|2dx pour tout ϕ∈ D(Rn).
F. Bastin & C. Dubussy – 30 janvier 2020
1. c’est-à-dire si et seulement siuf = 0dansD0(Ω).
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