CONTRÔLE N°7 seconde 6.
Le lundi 26 mars 2018.
I.
1. Déterminer par le calcul l expression de la fonction affine f telle que f(2) 40 et f (5) 85.
2. Une entreprise fabrique et vend des objets. Elle vend entre 0 et 20 objets par jour.
Les coûts de production sont de deux sortes : des coûts fixes et des coûts de fabrication par objet.
On note C (x ) le coût de fabrication de x objets.
3. Quel est l ensemble de définition de la fonction C ?
Sachant que la production de 2 objets coûte 40€ et que la production de 5 objets coûte 85€, déterminer le montant des coûts fixes et celui du coût de fabrication d un objet.
4. Chaque objet est vendu 17€. Expliquer pourquoi le bénéfice en € pour x objets vendus est donné par B( x) 2x 10.
5. Construire le tableau de signes de la fonction B. Combien l entreprise doit-elle vendre d’objets pour réaliser un bénéfice positif ?
II.
1. Déterminer la fonction affine représentée ci-contre.
2. Sur le graphique ci-contre, tracer la représentation graphique de la fonction affine définie par g (x) 2 x 1.
Laisser les traits de construction sur le graphique.
3. Résoudre par le calcul l inéquation g (x ) 0. Interpréter graphiquement par une phrase.
4. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des représentations graphiques de f et g.
III. A l’aide de tableaux de signes, résoudre les inéquations suivantes (inutile de refaire deux fois le même tableau !) :
1. (2x 3)( 3 x 1) 0 2. (2x 3)( 3 x 1) 0 3. x² 7x 0
IV. Vrai ou faux. Justifier.
1. f: x 3 2 x
4 est une fonction affine décroissante.
2. si pour tout entier n, on a f (n) f (n 1), alors f est croissante.
3. si f est croissante, alors pour tout entier n, on a f (n ) f( n 1).
V. Voici le tableau de variation d une fonction f.
x 5 3 2 0,5 1 4 7 g( x) 1 4 5
1 2 1. Comparer les nombres suivants. Justifier.
a. g (2) et g(3).
b. g (5) et g(6).
c. g ( 4) et g (6).
2. Const rui re l e t abl eau de si gnes de f (x ) sur [ 5 7].
CORRECTION DU CONTRÔLE N°7. 2
nde6.
I.
1. f est une fonction affine donc elle est définie sur par f (x ) ax b où a et b sont des réels.
a f (5) f (2) 5 32
85 40
5 2 15 donc f (x ) 15 x b avec b un réel.
f(2) 40 donc 15 2 b 40 donc b 40 30 10.
f est donc définie sur par f(x) 15x 10.
2. La fonction C est définie sur [0 20].
3. Soit a le montant des coûts par objet et b le montant des coûts fixes.
Alors le coût de production de x objets est donnée par C( x) a x b.
La production de 2 objets coûte 40€ donc C (2) 40 La production de 5 objets coûte 85€ donc C (5) 85 D après la question 1, a 15 et b 10.
Le montant des coûts fixes est 10€ et celui du coût de fabrication d un objet est 15€.
4. Le chiffre d affaires pour x objets vendus est 17x .
Le bénéfice est alors B(x) 17 x C (x ) 17x (15x 10) 2x 10.
5.
x 5 + 2x 10 0 2x 10 x 5
2 0 donc B est croissante donc puis B(x) 2x 10
L entreprise doit vendre plus de 5 objets pour réaliser un bénéfice positif.
II.
1. f(x) 3 5 x 2
2. g( x) 2 x 1. g est affine donc sa représentation graphique est une droite.
3. g( x) 0 2 4. x 1 0 2
3 x 1
x 12
car 2 0 x 1
2 S
1 2 .
La droite rep résen tant l a fon cti on g est en dessous de l axe des abscisses pour x 1 2 . 5. f( x) g (x ) 3
5 x 2 2 x 1 3
5 x 2 x 1 2 13
5 x 3 x 3
13 5
15 13
g
15
13 2 15
13 1 30
13
13 13
17 13 .
Les coordonnées du point d intersection des représentations graphiques de f et g sont
15 13
17 13
. III.
1. On construit le tableau de signes :
x
− ∞ − 3/2 1/3 + ∞
2 x 3
− + +
2 x 3 0 pour
x 3
2
3 x 1
+ + − − 3x 1 0 pour
x 1
3
(2 x 3)( 3 x 1)
− + −
(2x 3)( 3x 1) 0 pour x ] ; *3/2
5
4
2. D après le tableau précédent, (2 x 3)( 3 x 1) 0 pour x
2 3
5 4 3. x² 7x 0 x( x 7) 0. On construit le tableau de signes :
x
− ∞ − 7 0 + ∞
x
− +
x 7
x 7 0 pour x 7
x ( x 7)
x² 7x 0 p our x ] 7[ ]0 [ IV.
1. Vrai. Pour tout x de , f (x ) 3 4
2
4 x 1
2 x 3
4 donc f est une fonction affine décroissante (car 1
2 0).
2. Faux. On ne sait pas ce qui se passe "entre les entiers".
Par exemple, soit f la fonction représentée ci-contre : f( 1) f(0) f(1) f (2)… mais f n est pas croissante.
3. Vrai, si f est croissante et si a b alors f( a) f( b). Or, pour tout entier n, n n 1 donc f (n ) f (n 1).
V.
1.
a. g (2) g(3) car g est décroissante sur [1 4].
b. g (5) < g(6) car g est croissante sur [4 7].
c. g ( 4 ) g(6) car g ( ) est compris entre 0 et 1, alors que g(6) est compris entre 2 et 5.
2. On a l e tableau de si gnes :
x
− 5 − 3 0,5 7
g ( x)
