Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques

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Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques

Heng Hu, Salim Belouettar, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry

To cite this version:

Heng Hu, Salim Belouettar, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry. Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. �hal-01812952�

Nom de la revue. Volume X – n° X/2001, pages 1 à X

pour les structures sandwich viscoélastiques

H. Hu , S. Belouettar , E.M. Daya & M. Potier-Ferry

Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux UMR CNRS 7554, I.S.G.M.P., Université de Metz Ile du Saulcy, 57045 Metz Cedex 01, France hu@lpmm.univ-metz.fr

RÉSUMÉ. Le but de cet article est de proposer et d’évaluer les modèles analytiques pour les structures sandwich à trois couches (élastique/viscoélastique/élastique). Certains modèles sont basés sur la cinématique de Kirchhoff-Love, de Mindlin, de Reddy ou de Touratier, les autres selon le principe de zigzag (Rao, Daya&Potier-Ferry...). La validité de ces modèles est étudiée dans le domaine statique (flexion à trois points) et le domaine dynamique (vibration libre), les solutions numériques par éléments finis sont considérées comme solutions de référence pour les comparaisons. Les paramètres de comparaisons incluent le déplacement transversal, la contrainte normale, la contrainte transversale de cisaillement, les fréquences naturelles et les facteurs de perte.

ABSTRACT. The aim of this article is to propose and to evaluate analytical models for sandwich structures with three layers (elastic/viscoelastic/elastic). Some models are based on the kinematics of Kirchhoff-Love, Mindlin, Reddy or Touratier, the others on the zigzag principle (Rao, Daya&Potier-Ferry…). The accuracy of these models is studied in the static field (inflection of three points) and the dynamic field (free vibration), for which a Finite-Element- based solution is considered as reference. The parameters of comparisons include vertical deflection, normal strain, transverse shear strain, natural frequencies and loss factors.

MOTS-CLÉS : Structures sandwich, modèles analytiques, amortissement, viscoélasticité.

KEYWORDS: Sandwich structures, analytical models, damping, viscoélasticity.

2 Nom de la revue. Volume X – n° X/2001

1. Introduction

De nos jours, le contrôle du bruit et des vibrations est devenu l’un des préoccupations majeures dans plusieurs domaines (aéronautique, automobile, électroménager…). En effet, la réduction du bruit et des vibrations permet d’éviter les dégâts matériels et les nuisances sonores. Parmi les solutions passives, on trouve l’utilisation industrielle des tôles sandwichs avec un cœur à fort pouvoir amortissant. Ce genre de structure offre d’importants avantages technologiques (faible poids, grande rigidité, automatisation facile de la fabrication…). En général, ces tôles se présentent sous la forme d’une fine couche viscoélastique intercalée entre deux parements élastiques. Le matériau viscoélastique permet d’introduire la fonction amortissante de la tôle. Dans cette situation, l’amortissement est dû principalement à l’écart entre les déplacements longitudinaux des couches élastiques. De point de vue de l’ingénieur, les propriétés amortissantes de ces tôles sont caractérisées par deux quantités modales, à savoir le facteur de perte (amortissement) et la fréquence propre. Le calcul numérique de ces quantités pose un problème qui est lié au modèle qui devrait être capable de rendre compte du cisaillement dans la couche centrale, en permettant des modélisations avec un coût de calcul raisonnable. De plus, les codes de calcul industriel ne permettent pas de déterminer de manière directe et exacte l’amortissement. Le but de ce travail est d'établir le modèle pour calculer le plus précisément possible les propriétés amortissantes (fréquences et amortissements) des structures sandwich viscoélastiques quel que soit le rapport des rigidités et des dimensions des couches.

2. Cinématique des modèles

Considérons la poutre sandwich présentée sur la figure 1, L’axex étant la ligne de moyenne de la poutre,

z

Figure 1. Poutre Sandwich

Hc et c sont respectivement l'épaisseur et le module de Young du cœur. et

f sont respectivement l'épaisseur et le module de Young de la face, est le facteur de perte du coeur. La longueur et l'épaisseur de poutre sont et . Les hypothèses classiques de calcul des sandwichs sont considérées à savoir:

E H_f

E ηc

L Ht

– Tous les points sur une normale ont le même déplacement transversal.

– Le déplacement est continu aux interfaces.

– Tous les points des couches élastiques sur une normale ont les mêmes rotations.

2.1. Modèles non-zigzag

La cinématique des modèles non-zigzag peut être exprimée par l’expression générale suivante :

( , ) ( ) ( , ).

) , ( ) , ,

( ₀ f z x t

x t x z w t x U t z x

U + β

∂

− ∂

= (1)

) , , (xzt

U est le déplacement longitudinal, et est le déplacement de la ligne médiane du cœur . est la flèche,

) ,

0(xt U

) , (xt

w β(x,t) représente la rotation additionnelle de la normale à la ligne médiane, peut être considéré comme la ‘‘fonction de cisaillement’’, ici les expressions considérées pour sont:

) (z f

) (z f – Modèle-1:f(z)=0, Kirchhoff-Love;

– Modèle-2:f(z)=z, Mindlin;

– Modèle-3: f(z)=z−4z³ /(3H_t²), (Reddy, 1984);

– Modèle-4: f(z)=H_t sin(πz/H_t )/π, (Touratier, 1991).

2.2. Modèles zigzag

Pour les modèles zigzag, la fonction du déplacement longitudinal est décomposée en 3 parties :

(2)

⎪⎪

⎪⎨ ^{2 2} ∂ _i1 ^{i i} 2 2

⎩

⎪⎧

−

<

≤

∂ − + ∂

+

−

=

≤

≤

− +

−

=

≤

∂ <

− +

−

=

∑

2 2

), , ) ( ( 2

) , ( ) , , (

), , ( ) ) (

, ) (

, ( ) , , (

), , ) ( (

) , ( ) , , (

0 3 3

0 0 1

c f t

c n

c c

t f c

c

z H H x

t x H w z H

t x U t z x U

z t

x z x f

x z w t x U t z x U

z H H x

t x H w z H

t x U t z x U

⎪ β

⎪ ¹ ∂ 2 ∂ 2 2

H H

t

sont le déplacement longitudinal axial du plan moyen des trois couches. Le modèle de Kirchhoff-Love est affecté aux faces, et trois modèles sont considérés pour le coeur:

) , ( ), , ( ), ,

( ⁰_{2 3}⁰

0

1 xt U xt U xt

U

–Modèle-6: Modèle de Mindlin dans le cœur (Rao,1978, Daya&Potier-Ferry, 2002) ;

, ) ( ,

1 f₁ z z

n= =

– Modèle-6:n=1, f₁ (z)= z−4z³/(3H_c²), Modèle de Reddy dans le coeur;

– Modèle-7:n=2,f₁(z)=z,f₂(z)=z³, Modèle mixte.

4 Nom de la revue. Volume X – n° X/2001

3. Equations d’équilibres

Les équations principales de sandwich peuvent être obtenues à partir du principe des puissances virtuelles:

δP_ext+δP_int =δP_acc (3) On se limite ici d’établir les équations d’équilibre pour des modèles zigzag.

En considérant les conditions de raccord aux interfaces, les déplacements indépendants sont réduits à U2⁰(x,z,t),w(x,t) et βⁱ(x,t). A partir de (3), on obtient une équation de la forme suivante :

[ ( ) ] ( /2) 0,

) 2 (

0

2 2 3 1 3

2

1 − =

∂

− ∂

− + +

∫

N w H N M H

M M

L

f

c δ δ (4)

pour le problème de flexion à trois points, et pour le problème de vibration libre l’équation suivante :

[ ( )] (2 ) 0.

) 2 (

0

2 2

0

2 2 3 1 3

2

1 =

∂ + ∂

∂ −

− ∂

− + +

+

∫

∫

L

f

c wdx

t S w S x dx

N w H N M H

M

M δ ρ ρ δ (5)

Une équation supplémentaire est également obtenue à partir de (3),valable pour les deux problèmes :

) ,...

2 , 1 , ( ) 0

) ( ) (

( ) (

) ( 2 )

( 2 ) ( 2 2

2

2 2 2 2

2

3 3 2

2 2 2 3

3

n j

k z dz

z f z

z z f x G

dz z f z f z E

x dz w z f z x E

f H f H H x E H w H E H

j k j

Hc

Hc c j j

k Hc

Hc c

k Hc

Hc c c j

j c k f f f

f f c

=

∂ =

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

∂ +

∫

∫

∫

−

−

−

β β

β (6)

Aussi, on obtient les conditions aux limites suivantes, valables pour les deux extrémités de la poutre :

) ,...

2 , 1 ( 0 0 ) ( )

2 )(

(

0 0 ) ( 2 ) (

0 w ) 0 ( 2 ) (

3 1

3 1 3

2 1

3 1 3

2 1

n j ou

dS z f N

H N f

x ou w N

H N M H

M M

x ou N H N

H x

M M M

j c

S j xx c

j

f c

f c

c

=

=

=

−

−

∂ =

= ∂ + −

− + +

=

∂ =

− + ∂

∂ − + +

∂

∫

(7)

Mi est le moment de flexion et N_i est la force axiale dans la couche i.

4. Résultats et comparaisons

Pour comparer les différents modèles sandwich établis, en résolvant les Eq(4), (5) et (6), des études analytiques ont été effectuées sur deux poutres, qui diffèrent principalement par le rapport de rigidité des couches et l’élancement. Les paramètres principaux des poutres sont donnés dans le tableau 1. Pour valider les résultats, une solution par éléments finis (code ANSYS 7.1) a été réalisée en utilisant un élément 2D quadrangle à 8 noeuds. Les résultats numériques sont montrés dans les tableaux 2, 3.

Module de Young des peaux ^Ef = 6.9^e10^Pa Coefficient de Poisson υf=υc=0.3

Facteur de perte du cœur ηc ^{= 0.3}

Densité de masse ρc =^968kg/m3, ρ f = 2770 kg /m³

Epaisseur ^H t = 0.01^m

Tableau 1. Propriétés et dimensions de poutre sandwich

5. Conclusions

A partir de ces comparaisons et d’autres non présentées ici, il apparaît que les modèles zigzag sont toujours plus précis et plus stables que les modèles non-zigzag.

Ces derniers sont imprécis et incorrects pour la description des cœurs mous car ils ne sont pas sensibles au rapport de rigidité. On note que le modèle de Rao est limité à la modélisation des sandwichs à cœur mou et que l’utilisation du modèle Mindlin au cœur donne des résultats satisfaisants dans tous les cas. Ainsi, il n’est pas utile d’enrichir la cinématique au cœur (Modèle-6 et Modèle-7).

6. Bibliographie

Reddy. J.N, « A simple higher-order theory of laminated composite plate», Journal of Applied Mechanics,, Volume 51, 745-752, 1984

Touratier. M, «An efficient standard plate theory», International Journal of Engineering Science, Volume 29, Issue 8, 901-916,1991

Rao D.K, «Frequency and loss factor of sandwich beams under various boundary conditions», Journal of Mechanical Engineering Sciences, 20(5), 271-282, 19

E.M.Daya, M.Potier-Ferry, «A shell element for viscoelastically damped sandwich structures», Revue européenne des éléments finis, Volume 11-n°1, 39-56, 2002

1

/ _f =

c H

H Kirchhoff Reddy Touratier Reddy au coeur

Mindlin au coeur

Mix

au coeur ANSYS

) ( ) 0 , 2 /

(L m

w -3,01E-06 -3,06E-06 -3,07E-06 -1,00E-05 -1,11E-05 -1,11E-05 -1,12E-05

) ( ) 0 , 4 /

(L Pa

τxz 0,00E+00 -1,77E+01 -1,96E+01 -6,92E+03 -5,30E+03 -5,30E+03 -5,33E+03

20 /Ht = L

001 . 0 / f =

c E

E

) ( ) 2 / , 4 /

(L H_t Pa

σxx -1,56E+05 -1,56E+05 -1,56E+05 -2,15E+05 -2,29E+05 -2,29E+05 -2,30E+05

) ( ) 0 , 2 /

(L m

w -4,69E-05 -4,70E-05 -4,70E-05 -4,71E-05 -4,72E-05 -4,72E-05 -4,72E-05

) ( ) 0 , 4 /

(L Pa

τxz 0,00E+00 -1,56E+03 -1,70E+03 -8,71E+03 -6,95E+03 -6,95E+03 -7,00E+03

50 /Ht = L

1 . 0 / f =

c E

E

) ( ) 2 / , 4 /

(L H_t Pa

σxx -3,88E+05 -3,88E+05 -3,88E+05 -3,88E+05 -3,88E+05 -3,88E+05 -3,88E+05 Tableau 2. Résultats de flexion aux trois points (q = 100N/m)

1

/ f =

c H

H Kirchhoff Reddy Rao Reddy au coeur

Mindlin au coeur

Mix

au coeur ANSYS

)

0(Hz

ω 627,72 623,23 333,33 351,39 333,50 333,50 330,23

20 /H_t = L

001 . 0 / f =

c E

E

ηc

η/ 0,000 0,000 0,557 0,552 0,557 0,557

)

0(Hz

ω 100,63 100,52 100,14 100,42 100,38 100,38 100,26

50 /H_t = L

1 . 0 / f =

c E

E η /η_c 0,004 0,001 0,005 0,008 0,009 0,009

Tableau 3. Résultats de vibration libre de poutre en appui simple

Nom de la revue. Volume X – n° X/2001, pages 1 à X