MÉTHODE FONCTIONNELLES POUR L'ÉTUDE DES INTERACTIONS DE COURTE PORTÉE DANS UN PLASMA HORS DE L'ÉQUILIBRE

HAL Id: jpa-00213548

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00213548

Submitted on 1 Jan 1968

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

MÉTHODE FONCTIONNELLES POUR L’ÉTUDE DES INTERACTIONS DE COURTE PORTÉE DANS

UN PLASMA HORS DE L’ÉQUILIBRE

Rolf Dobbertin

To cite this version:

Rolf Dobbertin. MÉTHODE FONCTIONNELLES POUR L’ÉTUDE DES INTERACTIONS DE COURTE PORTÉE DANS UN PLASMA HORS DE L’ÉQUILIBRE. Journal de Physique Colloques, 1968, 29 (C3), pp.C3-53-C3-55. �10.1051/jphyscol:1968310�. �jpa-00213548�

JOURNAL DE PHYSIQIJE Colloque C 3, supplément au no 4, Tonte 29, avril 1968, page C 3 - 53

~ T H O D E

s

POUR L'ÉTUDE DES INTERACTIONS DE COURTE PORTÉE DANS UN PLASMA HORS DE L'EQUILIBRE

par Rolf DOBBERTIN Institut Henri-Poincaré, Paris

Résumé. - Récemment nous avons obtenu une nouvelle équation cinétique pour un plasma complètement ionisé [l] dans laquelle on ne tient compte que des forces de longue portée. Nous discutons les possibilités de généraliser cette équation au cas de la présence de forces de courte portée, afm de pouvoir l'appliquer aux plasmas partiellement ionisés et pour tenir compte égale- ment de l'extension finie des particules chargées.

Abstract. - Recently we have obtained a new kinetic equation for a fully ionized plasma [l] with account of long-range intcrparticle forces only. We discuss the possibilities of generalizing thisequation for the case where short-range forces are present to allow us to deal with partially ionized plasmas and to take into account the finite extent:of the charged particles.

1. Nous avions trouvé une relation entre les fonc- j a ( x , , t 1 ⁼ j i ( x i , 10) + tions de distribution pour une et deux particules

(écarts de l'équilibre) j, _et Ab ^{[2] :}

o ù F! est la distribution de l'équilibre caractérisée par la température thermodynamique fi-

'

'l

On trouve l'équation cinétique exacte en portant (1) dans la première équation de la hiérarchie qui lie fà

et Ab. L'intégration fonctionnelle étant très difficile, on est amené à chercher des approximations qui évitent cette intégration.

Le procédC d'approximation le plus simple mais aussi le plus limité est un développement de f, par rapport au paramètre de plasma. Cela permet une résolution itérative de l'équation cinétique [3]. On obtient un nouveau procédé d'approximation à l'aide de la série de Taylor fonctionnelle qui s'écrit avec l'abréviation

L'annulation de l'un des « coeflicients ⁾⁾ K ferme le système d'équations et définit une certaine approxi- mation. Ka, ⁼ O donne l'équation de Vlasov linéarisée, Ka,, = O donne une équation ayant un terme de type Vlasov généralisé et un terme de type Fokker-Planck

[Il. Physiquement Ka,, = O signifie que l'influence dominante d'un champ extérieur sur la fonction de distribution provient du terme linéaire en ^q, quel que soit ^q. On pourrait dire aussi que les i f a / i p b , qui déterminent les corrélations binaires, sont extrémales pour un champ extérieur nul.

Ces techniques appliquées au cas de l'équilibre donnent en première approximation la théorie de Debye. Ccla indique qu'elles ne sont valables qu'au cas d'interactions de longue portée.

2. Au lieu de considérerf, comme fonctionnelle de q nous pourrions le considtrer comme fonctionnelle d'une fonction u(cp). Pour que ce changement de variable ait un sens il faut que les techniques d'appro- ximation étudiées précédemment conduisent encore

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1968310

C 3 - 5 4 ROLF DOBBERTIN à des systèmes fermés d'équations et u(0) = O. La

transformation

satisfait à ces conditions et donne pour Lb la repré- sentation

L'utilisation de cette représentation au cas de I'équi- libre donne la série des clusters si l'on développe par rapport aux puissances de la densité. Cela justifie le choix de la représentation ( 4 ) pour la description des corrélations dues aux interactions de courte portée.

Nous avons à nouveau les deux types d'a.pproxima- tion : ( a ) Développement par rapport à un petit paramètre, en l'occurrence v i / v (va = rayon d'une particule). (b) Arrêt de la série de Taylor fonctionnelle en u.

3 . En cas de la présence simultanée de forces d'interaction de longue (@') et de courte (@') portée, nous écrivons la première équation de la hiérarchie

fab et Acb sont deux représentations de la même grandeur A b . Nous avons maintenant le choix entre les procédés suivants :

A ) On considèref, comme fonctionnelle des varia- bles indépendantes ^q et u et on utilise pour db ^la

forme ( 1 ) et pour f,b la forme (4). Nous utilisons

1

dub "=O

puissances de vD/v. Nous déterminons les approxi- mations d'ordre zéro

~a~

~a~

L'équation cinétique dans cette approximation est alors

Le calcul des approximations supérieures ne ren- contre pas de difficultes de principe.

D) ^q et u n'étant pas indépendants mais reliés suivant (3). On a alors

On peut donc utiliser pour

fab

au terme avec @:,. Pour l'approximation ha,, ⁼ O on obtient une équation cinétique assez générale pour un plasma partiellement ionise.

C ) On peut exprimer fa,, par fa,, fa et ses dérivées fonctionnelles :

u 6fab 2f.b. = f a , FI + ^{L C} ~b + ^fbc

~o

plus des termes contenant des fonctions 6. Cette représentation de Abc substituée dans la deuxième équation de la hiérarchie donne une équation pour f,,. On peut ainsi introduire d'autres types d'approxi- mations et utiliser ces résultats pour fab et éventuelle- ment aussi pour fa,. On recouvre ainsi les théories de Dupree, Guernsey et autres.

MGTHODES FONCTIONNELLES POUR L'ÉTUDE DES INTERACTIONS C 3 - 5 5

D) Si les paramètres du système sont tels que l'équation de Boltzmann peut être une bonne approxi- mation, nous pouvons utiliser une technique bien connue, celle de la fonction de distribution tronquée.

L'intégrale de surface de la première équation de la hiérarchie des fonctions de distribution tronquées se laisse alors transformer en forme d'intégrale de choc boltzmannienne, tandis que l'intégrale de volume sera l'avant dernier terme de (5).

Conclusions. - La méthode fonctionnelle en nié- canique statistique permet d'envisager de nouveaux procédCs d'approximation qui ne font pas appel à de petits paramhtres, Lorsqu'on utilise toutefois des paramètres de développement, la méthode fonction- nelle indique un procédé itératif sans faire appel à

des hypothèses sur le comportement des fonctions de distribution supérieures, Cette méthode est donc indiquée dans des cas où l'hypothèse de non-corrélation à grandes distances paraît douteuse (phénomènes collectifs dus aux interactions de longue portée). Elle est adaptable au cas des interactions de courte portée qui se superposent aux interactions de longue portCe.

Il n'est pas possible dans ce cadre de traiter en détail les applications pratiques de cette méthode.

On les trouvera dans les notes citées ou en préparation.

Bibliographie

11 ] DOBBERTIN, C. R. Acad. Sci., 1967,264 B, 963.

[2] DOBBERTIN, C. R. Acad. Sci., 1966,262 A, 550.

[3] DOBBERTIN, C. R. Acad. Sci., 1966,262 A, 600.