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active des modes de fonctionnement pour les systèmes
plats
Hajer Gharsallaoui
To cite this version:
Hajer Gharsallaoui. Reconfiguration de lois de commande et accommodation active des modes de fonctionnement pour les systèmes plats. Autre. Ecole Centrale de Lille; École nationale d’ingénieurs de Tunis (Tunisie), 2010. Français. �NNT : 2010ECLI0022�. �tel-01088540�
ÉCOLE CENTRALE DE LILLE
UNIVERSITE DE TUNIS EL MANAR
ÉCOLE NATIONALE D’INGÉNIEURS DE TUNIS
THÈSE
présentée en vue d’obtenir le grade de
DOCTEUR
en
Automatique, génie informatique, traitement du signal et images
par
Hajer GHARSALLAOUI
Ingénieur ENIT en Génie Électrique
DOCTORAT DELIVRÉ SIMULTANEMENT PAR L’ECOLE CENTRALE DE LILLE ET L’ÉCOLE NATIONALE D’INGÉNIEURS DE TUNIS
DANS LE CADRE D’UNE COTUTELLE INTERNATIONALE DE THESE
(Version Provisoire)
soutenue le 14 décembre 2010 devant le Jury d’Examen : Président Ellouze, Noureddine, Professeur, ENIT (Tunis) Rapporteur Belghith, Safia, Professeur, ENIT (Tunis)
Rapporteur El Moudni, Abdallah, Professeur, UTBM de Belfort Membre Rotella, Frédéric, Professeur, ENIT (Tarbes)
Membre Popescu, Dumitru, Professeur, Faculty of Automatic Control and Computer Science, Université Polytechnique de Bucarest
Membre Ayadi, Mounir, Docteur Habilité, ENIT (Tunis) Directeur de thèse Benrejeb, Mohamed, Professeur, ENIT (Tunis) Directeur de thèse Borne, Pierre, Professeur, Ecole Centrale de Lille
Reconfiguration de lois de commande et accommodation active
des modes de fonctionnement pour les systèmes plats
A mon mari Ridha, à mes enfants Emna et Ahmed-Amine,
à mes chers parents Mustapha et Zina, à l’âme de mon frère Nizar, à mes chères sœurs Leila et Sarra, à mon cher frère Mohamed, à mes neveux Melek, Mazen et Majed, à mes meilleures amies Ahlem, Nouha et Maha,
Avant Propos
Le travail faisant l'objet du présent mémoire a été effectué au sein du l’Unité de Recherche LARA Automatique de l'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis (ENIT) et du Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS) de l'Ecole Centrale de Lille (EC-Lille). Je tiens à exprimer notre vive gratitude à Monsieur Nourredine ELLOUZE, Professeur et Directeur du l’Unité de Recherche Traitement du Signal, Traitement de l’Image et Reconnaissance des Formes de l'ENIT, pour nous avoir fait le grand honneur d'accepter de présider le Jury d'Examen. Qu'il trouve ici l'expression de ma reconnaissance et de mon profond respect.
C'est un agréable devoir d'exprimer mes très vives reconnaissances à Monsieur Mohamed BENREJEB, Professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis et Directeur de l’Unité de Recherche LARA Automatique de l’ENIT, pour m’avoir guidé durant toute l'élaboration de ce mémoire avec le sérieux et la compétence qui le caractérise. Qu'il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à mes travaux, ses discussions très fructueuses, ses conseils éclairés qu’il m’a prodigués et ses encouragements. Qu'il trouve aussi ici le témoignage de mon profond respect pour sa rigueur scientifique et sa constante disponibilité.
Je tiens à remercier très sincèrement Monsieur Pierre BORNE, Professeur à l'Ecole Centrale de Lille, pour m’avoir guidé durant toute l'élaboration de ce mémoire avec le sérieux et la compétence qui le caractérise. Qu'il trouve ici le témoignage de ma sincère gratitude pour ses conseils et ses encouragements et de mon profond respect pour sa rigueur scientifique et sa constante disponibilité. Qu'il trouve aussi ici l’expression de mes très vives reconnaissances. Je remercie, également, Monsieur Abdellah El MOUDNI, Professeur à l'Université de Technologie de Belfort-Montbéliard, pour avoir bien voulu rapporter mes travaux de recherche. Qu'il soit grandement remercié.
remerciée.
Je tiens à remercier vivement Monsieur Frédéric ROTELLA, Professeur à l’Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tarbes, pour l’honneur qu’il m’a fait d’avoir accepté de participer à mon Jury d’examen. Qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance et de mes respects.
Je tiens à remercier très sincèrement Monsieur Dumitru POPESCU, Professeur à l’Université Polytechnique de Bucarest, pour l’honneur qu’il m’a fait d’avoir accepté de participer à ce Jury. Qu'il trouve ici le témoignage de ma profonde gratitude et mes plus vifs remerciements.
Mes vifs remerciements s’adressent à Monsieur Mounir AYADI, Docteur Habilité à l’ENIT, pour sa collaboration à l’encadrement de mes recherches, pour les conseils qu’il m’a prodigués. Qu’il trouve ici le témoignage de ma profonde reconnaissance.
Je suis reconnaissante envers mes meilleurs collègues de ST Microelectronics pour qui j'ai beaucoup d'amitiés et de sympathie.
Je remercie finalement tous les chercheurs de l’Unité de Recherches LARA et du Laboratoire LAGIS pour leur amicale présence et pour la sympathie qu’ils m’ont constamment témoignée. Je leur exprime ici toute ma gratitude.
Table des matières
Table des matières ...5
Liste des figures ...8
Liste des tableaux... 10
Introduction Générale ... 11
Chapitre 1 : Sur les méthodes de modélisation et de commande de systèmes dynamiques ... 14
1.1. Introduction ... 14
1.2. Modélisation des systèmes dynamiques... 15
1.2.1. Modélisations conventionnelles ... 15
1.2.1.1. Modèles de connaissance ... 15
1.2.1.2. Modèles de comportement ... 15
1.2.1.3. Modèles intermédiaires ... 15
1.2.2. Modélisations non conventionnelles ... 16
1.2.2.1. Modélisation floue... 16
1.2.2.2. Modélisation neuronale ... 17
1.2.2.3. Modélisation neuro-floue ... 18
1.2.3. Classe des systèmes non linéaires ... 18
1.2.3.1. Description des systèmes complexes ... 18
1.2.3.2. Linéarisation autour de points de fonctionnement ... 20
1.2.4. Approche multi-modèles ... 22
1.2.4.1. Principe... 22
1.2.4.2. Bloc de sortie... 24
1.2.4.3. Bloc de décision ... 26
1.2.4.4. Notion et classification de validités ... 26
1.3. Stratégies de commande de systèmes dynamiques ... 29
1.3.1. Commande PID ... 29
1.3.2. Commande par retour d’état... 30
1.3.3. Commande polynomiale de type RST ... 31
1.3.4. Commande optimale ... 35
1.3.5. Commande prédictive ... 36
1.3.6. Commande adaptative ... 37
1.4. Reconfiguration de lois de commande et accommodation active ... 39
1.4.1. Définitions ... 40
1.4.2. Accommodation passive ... 41
1.4.3. Accommodation active... 42
1.4.3.1. Méthodes FTC active dans le cas des systèmes linéaires... 43
1.4.3.2. FTC active pour les systèmes non linéaires ... 46
1.4.4. Accommodation active et reconfiguration de lois de commande à base de multi-modèles par commutation ... 49
1.4.4.1. Accommodation active multi-modèles à défaut ... 50
1.4.4.2. Accommodation active multi-modèles et reconfiguration de lois de commande avec variation de modes de fonctionnement ... 56
1.5. Position du problème... 57
1.6. Conclusion... 58
Chapitre 2 : Sur la commande par platitude de systèmes dynamiques...60
2.1 Introduction ... 60
2.2 Systèmes dynamiques différentiellement plats ... 62
2.2.2 Planification de trajectoire pour les systèmes plats... 64
2.2.3 Propriétés des systèmes plats ... 64
2.2.3.1 Platitude par décomposition ... 64
2.2.3.2 Platitude par bouclage statique... 65
2.2.3.3 Platitude par bouclage dynamique ... 65
2.2.3.4 Equivalence entre platitude et commandabilité ... 65
2.2.3.5 Platitude et notion de défaut... 66
2.2.3.6 Non unicité de la sortie plate... 66
2.2.4 Critères de la platitude... 66
2.2.4.1 Critère de variétés réglées ... 66
2.2.4.2 Condition nécessaire et suffisante de platitude ... 67
2.2.5 Exemples de systèmes plats ... 68
2.3 Commande par platitude de systèmes dynamiques... 71
2.3.1 Commande par platitude de systèmes linéaires... 73
2.3.1.1 Détermination de la sortie plate dans le cas linéaire ... 73
2.3.1.2 Elaboration d’une loi de commande par platitude... 74
2.3.2 Définition et planification de trajectoires... 75
2.3.2.1 Définition ... 75
2.3.2.2 Planification de trajectoire pour les systèmes plats... 76
2.4 Synthèse de régulateurs polynomiaux de type RST par platitude... 78
2.4.1 Synthèse de régulateurs polynomiaux continus ... 78
2.4.2 Synthèse de régulateurs polynomiaux discrets... 80
2.4.2.1 Sortie plate dans le cas discret... 81
2.4.2.2 Synthèse des régulateurs polynomiaux dans le cas discret ... 82
2.5 Etude de la robustesse des régulateurs RST par platitude... 85
2.5.1 Cas du modèle augmenté... 85
2.5.2 Fonctions de sensibilité ... 86
2.5.3 Marges de robustesse ... 89
2.5.4 Calibrage des fonctions de sensibilité ... 91
2.6 Etude des effets de la saturation du signal de commande sur la dynamique du système ... 92
2.7 Commande RST par platitude d’un moteur à courant continu... 94
2.7.1 Modélisation... 94
2.7.2 Génération de trajectoires... 96
2.7.3 Calcul de la loi de commande RST par platitude... 99
2.7.4 Rejet de perturbations et robustesse ... 101
2.8 Conclusion... 106
Chapitre 3 : Accommodation active et reconfiguration de lois de commande par basculement pour les systèmes plats ... 107
3.1 Introduction ... 107
3.2 Stratégies de détection et de localisation pour les systèmes tolérants aux fautes ... 108
3.2.1 Approches de détection et de localisation ... 108
3.2.2 Détection à base de modèles et génération de résidus ... 109
3.2.3 Localisation et isolation de défauts ... 110
3.2.4 Méthode de génération de résidus basée sur l’utilisation d’observateurs ... 111
3.3 Structure de multi-régulateurs par platitude... 113
3.3.1 Principe de multi-régulateurs pour les systèmes plats ... 113
3.3.1.1 Sorties plates dans le cas multi-modèles ... 113
3.3.1.2 Planification de trajectoires ... 114
3.3.2 Etude de la stabilité ... 116
3.3.2.1 Analyse de la stabilité ... 116
3.3.2.2 Stabilité au sens de Lyapunov ... 117
3.3.3 Observateurs de Luenberger dans le cas multi-modèles ... 118
3.3.4 Etude de la stabilité et formulation LMI pour le cas d’observateur dans le cadre multi-modèles... 119
3.3.5 Etude de la robustesse en présence d’un dispositif d’anti-saturation dans le cas multi-modèles... 121
3.3.5.1 Fonctions de sensibilité dans le cadre multi-modèles ... 121
3.3.5.2 Effet d’anti-saturation sur la commande ... 122
3.4 Proposition d’approches de reconfiguration multi-modèles de loi de commande par platitude pour les systèmes dynamiques ... 123
3.4.1 Principe de la stratégie d’accommodation active multi-modèles basée sur la minimisation de l’erreur de sortie ... 123
3.4.2 Principe de l’approche de reconfiguration multi-modèles par platitude basée sur la minimisation de critère de performance ... 126
3.4.3 Mise en œuvre de l’approche de reconfiguration multi-modèles de lois de commande par platitude proposée... 126
3.4.3.1 Stratégie de détection et de reconfiguration des modes de fonctionnement . 127 3.4.3.2 Critère de détection de variation du mode de fonctionnement... 129
3.5 Application à un processus thermique... 131
3.5.1 Modélisation du système thermique... 131
3.5.2 Identification des modèles... 132
3.5.3 Etude comparative entre la commande polynomiale de type RST et RST par platitude dans le cas d’un seul modèle ... 133
3.5.3.1 Détermination de la trajectoire désirée... 134
3.5.3.2 Commande RST par placement de pôles ... 134
3.5.3.3 Commande RST par platitude ... 137
3.5.4 Mise en œuvre des approches multi-modèles par platitude par commutation pour le cas du système thermique ... 138
3.5.4.1 Accommodation multi-modèles par platitude basée sur la minimisation de l’erreur de sortie ... 143
3.5.4.2 Mise en œuvre de la stratégie de reconfiguration multi-modèles par platitude basée sur la minimisation du critère de performance... 145
3.6 Conclusion... 151
Conclusion générale... 153
Bibliographie... 156 Annexes
Liste des figures
Figure 1.1 : Modèle neuronal d’un système dynamique ... 18
Figure 1.2 : Représentation multi-modèles à deux modèles locaux... 22
Figure 1.3 : Principe de commutation ... 25
Figure 1.4 : Principe de la fusion ... 25
Figure 1.5 : Structure de l’approche multi-modèles... 26
Figure 1.6 : Structure d’un régulateur numérique de type RST ... 32
Figure 1.7 : Structure de commande de type RST avec modèle de référence... 34
Figure 1.8 : Schéma synoptique de la commande prédictive d’un processus ... 36
Figure 1.9 : Schéma synoptique de la commande adaptative d’un processus... 37
Figure 1.10 : Schéma synoptique de la commande adaptative directe d’un processus... 38
Figure 1.11 : Schéma synoptique de la commande adaptative indirecte d’un système ... 38
Figure 1.12 : Structure de la commande tolérante aux fautes ... 43
Figure 1.13 : Loi de commande tolérante aux fautes pour les systèmes LPV ... 48
Figure 1.14 : Principe de la commande multi-régulateurs [209]... 51
Figure 1.15 : Schéma de principe de la méthode Multiple Model Switching and Tuning... 52
Figure 1.16 : Schéma général associé à l’algorithme MMAE, [188]... 53
Figure 1.17 : Principe de la commande basée sur un banc de régulateurs ... 54
Figure 1.18 : Les méthodes de commande tolérante aux fautes FTC ... 56
Figure 2.1 : Inversion d’un système plat ... 64
Figure 2.2 : Mise en série de deux systèmes plats ... 64
Figure 2.3 : Schéma de principe de la lévitation magnétique ... 70
Figure 2.4 : Planification de trajectoire ... 75
Figure 2.5 : Construction de la trajectoire désirée zd
( )
t à partir de r t( )
[19]... 78Figure 2.6 : Synoptique du régulateur RST par platitude ... 85
Figure 2.7 : Régulateur RST par platitude en présence d’une perturbation statique... 86
Figure 2.8 : Détermination graphique des marges de robustesse ... 90
Figure 2.9 : Gabarits des fonctions de sensibilité... 91
Figure 2.10 : Régulateur RST avec prise en compte de l'anti-saturation ... 94
Figure 2.11 : Schéma blocs du modèle d’un moteur à courant continu ... 94
Figure 2.12 : Planification de trajectoires désirées en discret ... 97
Figure 2.13 : Profil de la trajectoire désirée d k z ... 99
Figure 2.14 : Signal de commande... 100
Figure 2.15 : Vitesse obtenue par un régulateur RST par platitude ... 100
Figure 2.16 : Vitesse désirée par un régulateur RST par platitude... 100
Figure 2.17 : Erreur de poursuite de la trajectoire de référence ... 101
Figure 2.18 : Gabarits de robustesse pour les fonctions de sensibilité... 103
Figure 2.19 : Trajectoire désirée d k z pour le système augmenté ... 103
Figure 2.20 : Signal de commande... 104
Figure 2.21 : Vitesse désirée du système augmenté... 104
Figure 2.22 : Vitesse obtenue par commande RST par platitude du système augmenté ... 104
Figure 2.23 : Erreur de poursuite obtenue pour le système augmenté ... 105
Figure 2.24 : Vitesse de rotation ... 105
Figure 2.25 : Erreur de poursuite ... 106
Figure 3.1 : Méthode de détection et isolation de fautes à base de modèles... 110
Figure 3.3 : Principe général d’un estimateur de sortie... 119
Figure 3.4 : Schéma d’accommodation active multi-modèles par platitude et par basculement basée sur la minimisation d’erreur de sortie... 125
Figure 3.5 : Principe de reconfiguration multi-modèles par platitude par basculement basée sur la minimisation du coût de performance ... 127
Figure 3.6 : Structure DAMF d’un système asservi... 128
Figure 3.7 : Détection basée sur l’erreur de modélisation... 129
Figure 3.8 : Schéma du processus thermique étudié [196]... 131
Figure 3.9 : Trajectoire désirée d( ) z t ... 134
Figure 3.10 : Gabarits des fonctions de sensibilité... 135
Figure 3.11 : Résultats de simulation de la commande RST par placement de pôles... 136
Figure 3.12 : Résultats de simulation de la commande RST par platitude ... 138
Figure 3.13 : Trajectoires désirées z1d
( )
t , z2d( )
t et z3d( )
t ... 139Figure 3.14 : Gabarits des fonctions de sensibilité... 140
Figure 3.15 : Principe de la commande basée sur un banc de régulateurs ... 140
Figure 3.16 : Structure de multi-régulateurs pour les 3 modèles du processus thermique... 141
Figure 3.17 : Logique de fonctionnement du superviseur... 143
Figure 3.18 : Résultats de simulation de multi-régulateurs robuste par platitude... 145
Figure 3.19 : Structure de reconfiguration multi-modèles par platitude pour le cas du système thermique basée sur la minimisation du critère quadratique Jk ... 146
Figure 3.20 : Résultats de simulation de reconfiguration robuste par platitude en présence du bruit de sortie basée sur la minimisation du critère quadratique Jk ... 148
Figure 3.21 : Trajectoires désirées ... 149
Figure 3.22 : Résultats de simulation de reconfiguration robuste par platitude avec variation de mode de fonctionnement dans le régime transitoire ... 150
Liste des tableaux
Tableau. 2.1 : Données numériques du moteur à courant continu ... 95
Tableau 3.1 : Valeurs de S%j et R%j ... 141
Tableau 3.2 : Valeurs des matrices Aj, Bj et Cj ... 142
Introduction Générale
En raison d’une modernisation des outils de production, les systèmes industriels deviennent de plus en plus complexes et sophistiqués. En même temps, une demande accrue de fiabilité, de disponibilité, de reconfigurabilité et de sûreté de fonctionnement des systèmes, constitue un véritable enjeu du troisième millénaire. C’est une évidence de constater alors que la commande des systèmes devient de plus en plus complexe, due à la nature même de ces systèmes, mais aussi à la volonté de contrôler tous les paramètres et toutes les perturbations affectant les systèmes.
Les processus industriels devenant de plus en plus complexes, la détection et la correction de pannes pouvant survenir en cours de fonctionnement, deviennent de plus en plus ardues. Par conséquent, toute anomalie ou défaillance de nature fautes ou changement de mode de fonctionnement, doit être rapidement détectée et localisée afin d’éviter des dégâts humains et matériels qui peuvent être considérables. Il est donc indispensable de mettre en œuvre des commandes tolérantes aux fautes pour surveiller ces processus.
Ce type de commande peut être classé en plusieurs catégories parmi lesquels nous pouvons citer les commandes basées sur des approches sans modèles telles que les redondances physiques, et les commandes basées sur des approches statistiques de mise en œuvre coûteuse, et enfin les commandes utilisant des approches à base de modèles.
La complexité des processus fait appel à des modèles mathématiques non linéaires, desquels résultent une détermination et une mise en œuvre difficile de lois de commande. Des problèmes théoriques et pratiques à résoudre restent encore considérables dans ce domaine. Une approche, pouvant apporter des réponses à ces problème et ayant connu des développements importants ces dernières années, est l’approche multi-modèles.
Dans nos travaux, nous nous intéressons à une modélisation s’appuyant sur la représentation du système par un modèle mathématique. La comparaison entre le comportement réel du processus et le comportement prédit par le modèle, fournit des indicateurs appelés résidus qui permettent de révéler le mode de fonctionnement du système.
De ce fait, nous avons opté pour l’approche multi-modèles qui permet de représenter le système complexe par plusieurs modèles généralement simples rendant ainsi une conception
faible d’une éventuelle commande. Cette approche nécessite le calcul de résidu qui décide de la validité du modèle en fonctionnement.
Pour un grand nombre d’applications, il est nécessaire d’implanter un système de surveillance afin de détecter, isoler, voire identifier tout dysfonctionnement tel que la variation du mode de fonctionnement et les défauts.
Dans certains systèmes complexes, la détection et la localisation d’un ou plusieurs défauts, sont nécessaires mais insuffisantes pour garantir la sûreté de fonctionnement ; car, il est indispensable de modifier la loi de commande en temps réel afin de maintenir la stabilité du système et de garantir ainsi un fonctionnement acceptable en mode dégradé.
Ces techniques sont généralement basées sur l’estimation de l’état de fonctionnement du système et l’analyse de cet état vis-à-vis d’un état de référence traduisant le fonctionnement correct du système.
En présence de perturbations ou d'incertitudes du modèle, une commande en boucle fermée est nécessaire pour assurer le suivi et la poursuite de trajectoires de référence spécifiées lors de la phase de planification.
Les orientations de nos travaux de thèse reposent principalement sur l’approche multi-régulateurs par platitude. En effet, la propriété de platitude représentant une caractéristique importante d'une large classe de systèmes industriels, permet de réaliser une planification de trajectoires et donc d'obtenir une commande en boucle ouverte sans avoir à intégrer des équations différentielles. Ce concept a été largement appliqué avec succès à divers systèmes non linéaires. La confrontation des résultats obtenus à ceux connus de la théorie de la commande classique non linéaire, montre une grande facilité d'implémentation et leur intérêt certain pour les applications industrielles.
Par ailleurs, l'exploitation du concept de la platitude dans le cas linéaire s'est avérée un élément déterminant pour enrichir la diversité des techniques de commande bien connues de l'Automatique [1], [32], [33]. C'est ainsi que nos travaux de recherche sont basées sur des techniques de commande linéaire développées pour les systèmes plats et appliquées dans un cadre multi-modèles. En considérant des méthodes de synthèse de régulateurs à deux degrés de liberté, nous garantissons la stabilité et la robustesse du régulateur vis-à-vis de faibles variations de conditions de fonctionnement, des erreurs de modélisation et de rejet de perturbations externes.
Dans le cas de variations brusques et importants de mode de fonctionnement, il est intéressant de déterminer par basculement une de loi de commande par platitude rentrant dans le cadre
d’une reconfiguration multi-modèles robuste et stable. Notre intérêt s’est alors particulièrement porté à la reconfiguration multi-modèles de lois de commande par platitude dans le cas où nous supposons que le processus peut évoluer entre les éléments d’un ensemble fini de modes nominaux correspondant à des variations dans les conditions de fonctionnement. L’objectif de cette approche est de garantir la poursuite de trajectoires pour ces différents modes de fonctionnement.
La progression de ce mémoire est ponctuée par trois principales parties dont le contenu est présenté ici de manière introductive.
Dans le premier chapitre, différentes techniques de modélisations conventionnelles et non conventionnelles, sont présentées ainsi que des méthodes de commande de systèmes dynamiques, dans le but de mettre en exergue le choix fondamental de l’approche multi-modèles dans le cas des systèmes dynamiques complexes ou des systèmes présentant des variations dans les conditions de fonctionnement. L’étude bibliographique portant sur les lois de commande pour les systèmes dynamiques complexes, nous a amené à opter pour une commande numérique de type RST, conçue par platitude, et exploitée dans un formalisme multi-modèles discret.
La technique de détermination de cette commande constitue l’objet du deuxième chapitre dans lequel les différentes étapes de synthèse sont présentées dans un formalisme discret. Un exemple illustratif, donné à la fin de ce chapitre, met en exergue l’efficacité de la commande par platitude pour la poursuite de trajectoires.
Dans le troisième chapitre, est proposée une méthode qui se base sur l’utilisation d’un banc de multi-régulateurs par platitude, permettant d’effectuer la commutation dans le cas d’une consigne variable dans le temps. Cette méthode comprend une phase de détection qui effectue l’évaluation de résidus par deux approches, l’une basée sur la minimisation de l’erreur de sortie et l’autre basée sur un critère quadratique.
Par ailleurs, une analyse de la stabilité est mise en œuvre dans les approches proposées en tenant compte d’un dispositif d’anti-emballement lors de la transition d’un mode de fonctionnement à un autre. Le cas d’un processus thermique est étudié pour mettre en exergue les méthodes d’accommodation active et de reconfiguration proposées et développées.
1. Chapitre 1 : Sur les méthodes de modélisation
et de commande de systèmes dynamiques
1.1. Introduction
Plusieurs stratégies de modélisation ont été développées dans la littérature, conduisant à des modèles de conduite ou à des modèles de connaissance, de complexité pouvant être d'une grande diversité. Selon les objectifs de l'étude, les modèles peuvent être linéaires ou non linéaires, de dimensions réduites ou de grandes dimensions.
Un modèle est un système physique, mathématique ou logique représentant d'une façon simplifiée et relativement abstraite, les structures essentielles d'une réalité, en vue de la décrire, de l'expliquer ou de la prévoir. Le développement d'un modèle pour un système physique peut être réalisé pour différentes raisons. Chaque modèle pourra, par exemple, reproduire le comportement du système au voisinage d'un point de fonctionnement particulier. L'objectif est d'avoir des modèles utilisables et maniables, soit pour étudier localement certaines propriétés, soit pour en déduire des commandes performantes.
Diverses structures de commande des systèmes dynamiques sont basées sur l'analyse
mathématique des modèles caractérisant ces systèmes. En effet, pour les concevoir, il est souvent nécessaire de commencer par décrire le système par un modèle permettant de caractériser son comportement dynamique.
Après la présentation de descriptions classiques des systèmes dynamiques, nous envisageons, dans ce chapitre, de mettre l'accent, d'abord sur le choix de la représentation, ensuite sur l'adoption de l’approche multi-modèles en rapport avec la complexité des systèmes et les objectifs de leurs analyses.
Ainsi, nous nous intéressons au cas où le modèle est élaboré dans l'objectif de la conception d'une loi de commande reconfigurable assurant la poursuite de la consigne de référence, en présence de variations dans le mode de fonctionnement du système dynamique.
1.2. Modélisation des systèmes dynamiques
Dans cette section, une présentation des différentes approches de modélisation conventionnelles et non conventionnelles, est proposée.
1.2.1. Modélisations conventionnelles
Il est important de préciser, tout d'abord, que les modèles considérés sont de type dynamique, permettant de représenter l'évolution d'un système dans le temps, contrairement aux modèles de type statique, qui n'évoluent pas dans le temps et qui peuvent décrire un état permanent du système. Les modèles statiques peuvent être utilisés pour la recherche du point de fonctionnement, alors que les modèles dynamiques sont nécessaires pour analyser les propriétés des systèmes ainsi que leurs comportements afin de concevoir des systèmes de compensation pouvant conférer aux systèmes asservis un bon fonctionnement. Différents types de modèles dynamiques décrivant le système étudié, avec plus ou moins de détails, sont représentés, [10], [39], [47] et [68].
1.2.1.1. Modèles de connaissance
Ils sont élaborés à partir des lois de la physique et décrivent les phénomènes par des relations mathématiques. Ils permettent de reproduire le comportement du système réel d'une manière plus vu moins fine selon la qualité du modèle et l'objectif de l'étude envisagée.
1.2.1.2. Modèles de comportement
Les modèles de comportement, ou boîte noire, modélisent les processus linéaires ou non linéaires. La mise en équations d’un processus complexe non linéaire conduit souvent, lorsque la modélisation est possible, à des équations différentielles non linéaires d’ordre parfois élevé, difficile à exploiter pour la synthèse d’une loi de commande. Une des stratégies possibles consiste dès lors à développer des méthodes d’identification expérimentales du système non linéaire de façon à élaborer un modèle linéaire simplifié représentatif au niveau d’un point de fonctionnement donné. La validité du modèle reste limitée à de petites variations autour de ce point de fonctionnement pour un modèle linéaire obtenu par linéarisation.
1.2.1.3. Modèles intermédiaires
La méconnaissance du modèle du système présente une difficulté dans le cas d’une modélisation boîte noire. En effet, dans la pratique, la boîte noire peut devenir grise en effectuant des essais sur le processus pour élaborer des informations telles que son comportement dans des domaines restreins.
Cependant, les modèles intermédiaires ou boîte grise constituent une hybridation des deux types de modèles précédents et considérés comme des modèles de connaissance simplifiés. Les modèles de type boîte grise sont souvent utilisés pour appliquer des techniques de commande non linéaire.
1.2.2. Modélisations non conventionnelles 1.2.2.1. Modélisation floue
La description des processus dynamiques d'une manière linguistique constitue un nouveau niveau de représentation basé sur l'expertise humain, entre autres de systèmes complexes fortement non linéaires pour lesquels il est difficile de formuler mathématiquement un modèle. Dans ce sens, la logique floue contribue à la formalisation des méthodes empiriques, à l'automatisation de la prise de décision et à la construction de systèmes artificiels effectuant les tâches habituellement prises en charge par les humains. Face à la complexité croissante des systèmes complexes à commander, il s’avère nécessaire d'élaborer les modèles correspondants, sous forme d'équations mathématiques [23-26].
La modélisation floue qui a été introduite en 1965 par L. A. Zadeh, au contraire, est basée sur la notion d'ensembles flous et sur la perception du système par l'opérateur humain qui manipule le processus. La logique floue fait donc appel, dans une certaine mesure, aux sciences cognitives pour la synthèse de systèmes de commande, [243], [244].
Dans la littérature, nous pouvons trouver de nombreux types de modèles flous. Deux classes principales de modèles flous peuvent être distinguées : le modèle flou de Mamdani et le modèle flou de Sugeno. La principale différence entre ces deux modèles réside dans la partie conséquence. Le modèle flou de Mamdani utilise des sous-ensembles flous dans la partie conséquence alors que le modèle flou Sugeno utilise des fonctions (linéaires ou non linéaires) des variables mesurables [177]. Afin d’exploiter la théorie très riche des modèles Linéaires Invariants dans le Temps (LTI), le modèle de Takagi-Sugeno-Kang (TSK) dont la partie conséquence est un modèle linéaire en représentation d'état, est de loin le plus utilisé en analyse et en commande [23-26], [36], [110], [111], [226], [228].
En l'état actuel, les deux domaines d'application de la logique floue qui deviennent de plus en plus importants, sont :
la conception de régulateurs pour des procédés difficilement modélisables,
L'interpolation de modèles locaux à l'aide de fonctions d'activation normalisées permet de modéliser le système global non linéaire qui aboutit à une représentation des modèles flous de type TSK. En effet, un multi-modèles réalise une partition floue de l'espace caractéristique dit aussi espace de décision, caractérisé par l'ensemble des variables caractéristiques de décision qui peuvent être des variables d'état mesurables et/ou de commande. Les zones de fonctionnement sont définies en termes de propositions sur les variables de prémisse.
1.2.2.2. Modélisation neuronale
Les Réseaux de Neurones Artificiels (RNA) constituent un outil de modélisation de systèmes dynamiques basé sur l’exploitation de mesures effectuées sur le processus à modéliser. L’intérêt des réseaux de neurones consiste dans le fait qu’ils ne nécessitent pas une connaissance exacte de la structure interne du processus [38].
L’approche neuronale permet d’obtenir, de manière simple, un modèle de processus. La précision de ce modèle, c'est-à-dire l’écart existant entre les mesures effectuées sur le processus et les valeurs fournies par le modèle neuronal, dépend principalement de la qualité de l’apprentissage effectué sur le réseau de neurones artificiels, [38], [113].
Principe de la modélisation neuronale
La principale propriété des réseaux de neurones multicouches est leur faculté de pouvoir
approximer n’importe quelle fonction suffisamment régulière d’un ensemble k
E⊂R vers un
ensemble l
F ⊂R , k et l étant des entiers quelconques. Cette propriété peut être exploitée
pour la modélisation de systèmes dynamiques décrits par une représentation d’état de la forme : ( , , ) ( , , ) x f x u t y g x u t = = & (1.1) avec : n, p, q x∈ℜ u∈ℜ y∈ℜ , : n p n f ℜ ×ℜ ×ℜ → ℜ et : n p q g ℜ ×ℜ ×ℜ → ℜ .
Les fonctions f et g, intervenant dans la représentation d’état (1.1), peuvent être ainsi
modélisées par des réseaux de neurones multicouche RN1 et RN2, intégrés dans le schéma synoptique de la figure 1.1, [36,106].
t
Figure 1.1 : Modèle neuronal d’un système dynamique
L’apprentissage des réseaux de neurones intervenant dans ce type de modélisation s’effectue généralement hors-ligne, en utilisant des échantillons de mesures effectuées sur le processus, servant de prototypes et de cibles pour un mécanisme d’apprentissage de type rétro-propagation du gradient de l’erreur quadratique entre les prototypes et les cibles.
1.2.2.3. Modélisation neuro-floue
Les réseaux de neurones multicouches constituent des approximateurs universels. L’atout principal de ces réseaux réside dans leur capacité d'apprentissage. Les systèmes d'inférence flous sont également des approximateurs universels qui possèdent deux points forts par rapport aux RN. D'une part, ils sont généralement construits à partir de la connaissance humaine, d'autre part, ils ont une capacité descriptive élevée due à l'utilisation de variables linguistiques. Il est donc apparu naturel de construire des systèmes hybrides qui combinent les concepts des systèmes d'inférence flous et des RN, [38], [113].
1.2.3. Classe des systèmes non linéaires 1.2.3.1. Description des systèmes complexes
Un processus désigne un ensemble de phénomènes statiques et dynamiques se déroulant dans des composants élémentaires interagissant dans le but de transformer ou de transporter de la matière, de l'énergie, ou encore de l'information.
Un processus est dit complexe lorsque le nombre de grandeurs intervenant dans ce processus devient élevé et que la connaissance du fonctionnement des composants élémentaires pris individuellement ne permet plus de prévoir de manière simple le comportement du processus pris dans son ensemble, [24].
Un processus est caractérisé par des grandeurs de commande constituant les entrées du processus et des grandeurs de sortie représentant des informations sur les phénomènes mis en
x u + dx dt RN1 (f) RN2 (g) y
jeu dans le processus. Sur ce dernier, peuvent également intervenir des grandeurs de perturbations qui sont de nature aléatoire et sur lesquelles il est difficile d'intervenir.
La description des systèmes dynamiques est établie selon la complexité des relations entre les grandeurs mesurables des éléments composants et les relations d’interaction entre ces éléments.
Une classe suffisamment générale de tels systèmes peut être représentée par l’équation différentielle vectorielle non linéaire suivante :
( )
( , , , , )x t& = f t x u Ρ E (1.2) où :
- t est le temps, t∈ Τ ⊂ ℜ , +
- x est le vecteur d’état, de composantes xi
( )
. ,i=1,2,...,n,- u est le vecteur de commande de composantes uj
( )
. ,j=1, 2,...,m,- Ρ est la matrice de perturbations et/ou les imprécisions obtenues dans la
détermination du modèle, , − ∈ Ρ Ρ Ρ ,
- E est la matrice interconnexion dont les éléments eij, caractérisant les variations
structurelles, peuvent prendre les valeurs 0 ou 1,E ∈
{ }
eij ,- x t&
( )
est la dérivée, composante à composante, du vecteur d’état x ,- et f
( )
. est une fonction vectorielle de composantes fi( )
. , i =1,2,...,n, supposée telleque x =0 est l’unique état d’équilibre satisfaisant la condition d’équilibre satisfaisant
la condition d’existence d’une solution x t t x pour tout
(
, ,0 0)
(
t0, X0)
.Le vecteur de sortie y t de tels processus peut être défini généralement par :
( )
( )
(
, , , ,)
y t =g t x u Ρ E (1.3)
gétant une fonction vectorielle de composantes gk
( )
. , k =1, 2,...,q.Deux classes importantes de tels systèmes dynamiques complexes
( )
S peuvent être décrites :dans l’espace d’état par les relations :
( )
( )
( )
( )
. . . . x x u y x u = + = + A B C D & (1.4) où A( ) ( ) ( )
. ,B . ,C . etD( )
. dépendent de t , x ,Ρ et E,ou par une représentation scalaire de la forme :
( )
( )( )( )
1 ( ) ( ) ( ), ( ), 0 1 . ., i i n q j n i i j i i k j k s a s b u − = = +∑
= −∑
(1.5)lorsque le système
( )
S d’ordre n est composé de q sous systèmes( )
S interconnectés, i( )
siétant une sortie du sous système découplé
( )
S d’ordre i n ,i n nq i i =
∑
=1 , le vecteur d’état v( )i , ( )[
( ) ( ) ( )]
T n i i i i is
s
s
v
=
,
'
,...,
( −1) , les paramètres non linéaires a( )i,jet b( )i,j sont tels que :( )i j, ( )i , ( )i
a ∈a a ⊂ ℜ a( )i j, ∈b( ) ( )i ,bi ⊂ ℜ, i k, =1, 2,...,q,j=0,1,...,ni− 1.
1.2.3.2. Linéarisation autour de points de fonctionnement
Devant la difficulté du cas non linéaire, la démarche naturelle pour l’ingénieur est de rechercher un moyen de linéariser le problème, démarche légitime dès lors qu’il est possible, après linéarisation d’utiliser l’arsenal de la théorie de contrôle des systèmes linéaires qui est assez complet et maîtrisé.
De plus, de la complexité des modèles mathématiques non linéaires, résultent une détermination et une mise en œuvre difficile des lois de commande.
Cette complexité est devenue de plus en plus accrue que lorsque la modélisation tient compte des caractéristiques du système dans une large plage de fonctionnement conduisant à un modèle complexe et non linéaire.
Cette modélisation précise est de plus en plus sollicitée afin de pouvoir améliorer les performances des systèmes commandés.
La démarche naturelle suivie pour contourner la difficulté due à une description non linéaire, consiste en la linéarisation du modèle, dès lors qu’il est possible, après linéarisation, d’exploiter les fondements théoriques assez développés pour le cas des systèmes linéaires [37],[146],[148].
Dans la littérature, les approches de linéarisation peuvent être classées en trois familles :
linéarisation locale ou globale,
linéarisation approchée ou exacte,
linéarisation interne ou externe.
Considérons les relation (1.2) et (1.3) dans lesquelles les fonctions f et g sont continûment
autour de x , 0 y et 0 u , tels que : 0
( ) ( )
0 ( 0 , 0 , ) 0 x& = f x t u t t = (1.6)( )
(
0, 0,)
y t =g x u t (1.7) En posant : 0 x%= −x x (1.8) 0 y%= −y y (1.9) 0 u%= −u u (1.10)et en effectuant un développement en série de Taylor de f
( )
. et de g( )
. , limité au premierordre, il vient les relations :
0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) f x u t f x u t x x f x x u u t f x u t x u x u ∂ ∂ + = + + ≈ + + ∂ ∂ & & % % % % % (1.11) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) g x u t g x u t y y g x x u u t g x u t x u x u ∂ ∂ + = + + ≈ + + ∂ ∂ % % % % % (1.12)
Compte tenu des équations (1.6) et (1.7), le système décrit par les équations (1.11) et (1.12), peut être modélisé par un système linéaire, généralement non stationnaire, de la forme :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
x t t x t t u t y t t x t t u t = + = + A B C D &% % % % % (1.13)où A
( ) ( ) ( )
t ,B t ,C t etD( )
t sont des matrices de dimensions respectives n n× , n m× ,q n× etq m× données par :
( )
i(
0( ) ( )
,( )
0 ,)
j f x t u t t t x t ∂ = ∂ A (1.14)( )
i(
0( ) ( )
,( )
0 ,)
j f x t u t t t u t ∂ = ∂ B (1.15)( )
i(
0( ) ( )
( )
, 0 ,)
j g x t u t t t x t ∂ = ∂ C (1.16)( )
i(
0( ) ( )
,( )
0 ,)
j g x t u t t t u t ∂ = ∂ D (1.17)Le modèle simplifié obtenu ainsi est stationnaire, lorsque les matrices A, B, C et D sont
1.2.4. Approche multi-modèles
1.2.4.1. Principe
Dus à la complexité des modèles mathématiques non linéaires, des problèmes théoriques et pratiques restent encore à résoudre. La notion du multi-modèles est introduite vu qu’un seul modèle ne peut souvent pas représenter tous les comportements d’un système assez complexe. Parmi les origines de ces problèmes, on cite la forte non linéarité ou la non stationnarité du système [67], [68], [151] et [154].
Une des solutions consiste à linéariser un modèle lorsqu’il est déjà défini autour d’un point de fonctionnement. On obtient alors un modèle plus simple que le système et par suite, on peut facilement déduire des commandes efficaces.
Par ailleurs, un modèle devrait représenter le mieux possible le fonctionnement dynamique d’un processus. Les lois dynamiques définissant un tel système doivent être les plus complètes possibles et représenter tous les modes de fonctionnement et toutes les interactions entre les différentes grandeurs. Afin de pallier la complexité de cette tâche, la tendance a été d'utiliser des modèles LTI. Cette approximation permet d’étudier un système ayant un comportement non linéaire en le représentant par un seul modèle linéaire. L'inconvénient d'une telle approche est son aspect uniquement local; le modèle linéaire n'est qu'une description locale du comportement du système. Une approche globale basée sur de multiples modèles LTI, linéaires ou affines, autour de différents points de fonctionnement a été élaborée ces dernières années.
Espace d’état
Figure 1.2 : Représentation multi-modèles à deux modèles locaux
Modèle
M2
Modèle
Avec l’approche multi-modèles, le schéma du processus est radicalement différent et sa structure apparaît nettement plus complexe. En effet, comme son nom l’indique, un
multi-modèles fait appel à plusieurs multi-modèles M dont la simplicité représente un avantage i
important de cette approche.
Les modèles M n’ont, souvent, rien à voir avec le processus réel envisagé dans sa globalité ; i
ils peuvent être d’ordre plus faible de structure différente, linéaire au lieu de non linéaire, mettant en jeu plusieurs paramètres différents.
Les multi-modèles représentent donc les systèmes non linéaires sous forme d'une interpolation entre des modèles linéaires locaux. Chaque modèle local est un système dynamique linéaire à paramètres invariants dans le temps, valide autour d'un point de fonctionnement. Selon l'information dont nous disposons, deux classes de méthodes distinctes peuvent être utilisées pour l'obtention d'un multi-modèles, à savoir les méthodes directes et les méthodes indirectes.
Méthodes directes ou modèles locaux
Un modèle local est un modèle qui décrit les caractéristiques du processus au voisinage d'un point de fonctionnement. Si le processus est décrit par un modèle complexe inexploitable, il est envisageable de définir un ensemble de modèles locaux par linéarisation du modèle complexe au voisinage de certains points de fonctionnement. En revanche, si aucun modèle n'est disponible, nous procédons alors par identification en considérant à chaque fois un sous-ensemble de données correspondant à un point de fonctionnement particulier. Cependant, il reste confronté à la détermination de l'espace de fonctionnement et sa composition en zones de fonctionnement. Ces méthodes présentent un inconvénient lié à l'augmentation du nombre de modèles locaux lorsque le processus présente plusieurs régimes de fonctionnement. Si de plus, l'on ajoute une autre limitation qui peut se présenter lors d'une insuffisance de données pour pouvoir déterminer les modèles locaux, on est amené à utiliser une méthode indirecte appelée aussi méthode générique qui nécessite moins d'informations sur le système étudié, [68] et [140].
Méthodes indirectes ou modèles génériques
Il s'agit de déterminer des modèles extrêmes non localisés en se basant sur l'approche algébrique de Kharitonov, qui ne nécessite ni des points de fonctionnement ni des domaines de validité prédéterminés. Ainsi, la séquence de commutation entre les différents modèles est inconnue, ce qui amène à construire un mécanisme de décision permettant d'estimer les
validités des modèles en ligne avec l'évolution du processus [39], [67], [68], [100], [140] et [141].
Formulation multi-modèles
Un système de la forme suivante linéaire:
( )
( )
( )
( )
( )
x t x t u t y t x t = + = A B C (1.18)peut être écrit sous la forme muli-modèles. En effet, l'approche multi-modèles, bien que récente par sa dénomination, se trouve utilisée depuis plusieurs décennies dans la démarche de linéarisation autour d'un point de fonctionnement. Dans ce cas, le système donné par l'équation (1.18) est remplacé par :
( )
( )
( )
( )
( )
i i i i i x t x t u t y t x t = + = A B C (1.19)où C est le vecteur de sortie et i A et i B sont , dans le cas d'un linearisé tangent, les i
jacobiens de f tels que :
i i i i P i i P f x f u ∂ = ∂ ∂ = ∂ A B (1.20) i
P étant le point de fonctionnement considéré.
1.2.4.2. Bloc de sortie
C’est l’étape finale qui permet de déterminer la sortie globale du multi-modèles. En effet, si
l'on dispose du vecteur de validité v de chaque modèle de la base, deux techniques sont i
envisageables : la commutation et la fusion.
Commutation
Lorsqu'un seul modèle est valable, sa validité vaut 1 et les autres sont nuls. La sortie
multi-modèles yMM sera alors égale à la sortie y du modèle i M . Cette méthode est facile à i
manipuler et exige que la séquence de commutation soit connue a priori. Dans le cas de la modélisation locale, cette séquence est déterminée en fonction des caractéristiques mesurées
du processus. En présence d'un système assez complexe, la règle de commutation n'est pas toujours évidente à déterminer. Dans le cas où plusieurs modèles sont à validités non nulles, nous procédons à une fusion de la sortie.
Figure 1.3 : Principe de commutation
Fusion
Par une fusion à la sortie, la sortie du multi-modèles yMM peut être égale à la somme de
sorties y de modèles i M pondérées par leurs validités i v correspondantes, avec i
{
1,...,}
i∈ N et tous les modèles sont excités par le même signal de commande u , ce qui k
revient à écrire : , 1 N MM k i ki i y v y = =
∑
, (1.21) avec , 1 1 N k i i v = =∑
.Figure 1.4 : Principe de la fusion
La fusion au niveau de modèles telle que (1.21) conduit à un modèle global (1.22) défini par :
Modèle M1 v1 yk,1 Modèle M2 v2 yk,2 Modèle MN vN yk,N
+
uk yM,M M M Modèle M1 Modèle M2 Modèle MN u yMM M( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 N N i i i i i i N i i i x t v x t v u t y t v x t = = = = + = ∑
∑
∑
A B C & (1.22) 1.2.4.3. Bloc de décisionUne étape déterminante dans la procédure de conception des systèmes multi-modèles consiste en l'estimation des validités des modèles. Parmi les différentes approches existantes que nous présentons dans ce chapitre, nous détaillons, dans ce qui suit, celle basée sur l'utilisation des résidus.
Figure 1.5 : Structure de l’approche multi-modèles
1.2.4.4. Notion et classification de validités
Notion de validité
Lorsqu'un système complexe est décrit par un ensemble de modèles, il est indispensable de pouvoir quantifier le degré de fiabilité de chaque modèle pour savoir dans quelle mesure il faudra l'utiliser pour décrire le système, [67] et [141].
Ce but est atteint si on peut évaluer pour chaque modèle un indice de qualité, appelé validité,
Modèle M1 Processus Modèle M2 Modèle MN Bloc de décision Bloc de sortie Bibliothèque de modèles k u yM k, k y M
qui peut varier au cours du temps en fonction de plusieurs paramètres. La validité v d'un i
modèle M est comprise entre 0 et 1. Si elle est égale à 1, alors le modèle i M décrit i
parfaitement le processus à l'instant considéré. Si au contraire elle prend la valeur 0, alors le
modèle M est absolument faux. i
Ces valeurs extrêmes correspondent au cas de commutation qui consiste à utiliser, à chaque instant, un seul modèle et négliger par conséquent tous les autres. Sauf que, ces valeurs extrêmes sont rarement atteintes. En effet, aucun modèle de la base ne peut être pratiquement idéal pour représenter parfaitement le processus.
Partant du principe qu'un modèle idéal à une validité égale à 1, une propriété fondamentale en découle naturellement ; il s'agit de la somme convexe des validités :
[ ]
1 0,1 1,..., 1 i N i i v i N v = ∈ = = ∑
(1.24)Classification des validités
Plusieurs méthodes d'estimation des validités, ont été déjà présentées dans la littérature [67]. Ces méthodes sont classées suivant les méthodes d'obtention des modèles liées aux connaissances disponibles sur le procédé, à savoir : les validités a priori pouvant être déterminées hors ligne en fonction des informations disponibles a priori, et les validités a posteriori devant être estimées en ligne en fonction des mesures effectuées a posteriori. Ces validités peuvent être déterminées selon plusieurs approches.
Approche floue
La logique floue peut être considérée comme une méthode de calcul des validités v , des i
différents modèles de la base de modèles [141] et [227]. De ce fait, son application à une approche multi-modèles semble naturelle.
Approche probabiliste
Cette approche consiste à trouver la meilleure hypothèse possible, étant donné des observations et des connaissances statiques, [227]. Il faut définir les probabilités, a priori, de réalisation de chaque modèle élémentaire, assimilé à une hypothèse, et les densités de probabilités liant l'environnement aux modèles.
Approche géométrique
Cette approche consiste à mesurer la distance de l'état actuel du processus à celui du modèle
considéré M [67]. Le système étant caractérisé par le point M et les modèles M par les i
points M . Ses distances aux modèles i M , 1 M ,.., et 2 M de la bibliothèque sont N
respectivement d , 1 d ,..., et 2 d . N
Cette méthode très puissante qui fonctionne sans autre connaissance que celle des modèles et des réponses du système.
Approche par résidus
Elle est fondée sur l'estimation, par chacun de modèles, de certaines variables de sorties du système, qui sont ensuite comparées aux véritables valeurs [67], [68]. Plus un système donne de bonnes estimations, plus il a un indice de validité plus élevé. Au contraire, plus elles mauvaises, plus l’indice de validité tend vers 0. Les comparaisons peuvent éventuellement être effectuées sur d'autres variables que les sorties et font partie, dans un cadre plus général, de l'analyse des résidus exploitée en surveillance.
Toutes les approches déjà évoquées permettent de calculer les validités hors ligne en se basant sur les connaissances a priori du système et de ses modèles. En cas d'absence d'informations a priori, ces méthodes deviennent inapplicables. Face à ce problème, l'approche par résidus constitue le meilleur recours puisqu'elle ne nécessite que la connaissance des réponses du système et des modèles pouvant être déterminés en ligne.
Cette méthode est exploitée pour la détection et la localisation des défaillances. Dans l'approche multi-modèles, cette méthode permet l'estimation des validités des modèles de la base. Cette approche sera donc utilisée dans la stratégie de commande développée et proposée dans ce mémoire, vu la simplicité de sa mise en œuvre.
Les résidus générés à partir des sorties de modèles M et de la sortie du processus, sont i
exploités pour déduire les validités des différents modèles de la base selon l'expression suivante :
, ,
i k k i k
r = x −x , avec i=1,...N (1.25)
k
Lorsque l'état du système est non accessible, le résidu ri k, à l’instant k est alors défini par le
module de l'écart entre la sortie du système et celles différents modèlesM de la bibliothèque : i
, ,
i k k i k
r = y −y , avec i=1,...N. (1.26)
k
y étant la sortie du processus à l'instant k et yi k, est la sortie du modèle à l'instant k.
Après avoir passé en revue quelques approches de modélisation de systèmes dynamiques, nous abordons dans la partie suivante, les principales stratégies de commande permettant de contrôler ces systèmes selon les objectifs assignés et les performances désirées.
1.3. Stratégies de commande de systèmes dynamiques
Nous présentons, dans cette partie, quelques méthodes de commande de systèmes très présentes dans la théorie de contrôle.
1.3.1. Commande PID
Le régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée assure une correction relative à une combinaison d’une action proportionnelle P, d’une action intégrale I et d’une action dérivée D, [23], [179].
Dans le cas continu, un correcteur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée assure une transmission instantanée du signal d’erreur entre la grandeur de consigne et la grandeur à régler augmenté de son intégrale et de sa dérivée. Ce correcteur facile à réaliser, permet d’annuler le signal d’erreur statique et d’avoir une réponse relativement rapide.
Action proportionnelle
Elle crée un signal de commande u t proportionnel au signal d’erreur
( )
e t qui assure la( )
rapidité. Le correcteur proportionnel P ne peut être utilisé seul que si l’unique performance à satisfaire est le degré de stabilité.
Action intégrale
L’action intégrale I crée un signal de commande u t qui est l’intégrale du signal d’erreur
( )
( )
e t et qui reste constant lorsque le signal d’erreur e s’annule. Un correcteur à action purement intégrale est lent. Nous faisons appel à l’action intégrale chaque fois qu’une erreur permanente doit être annulée. Le terme intégral annule l’erreur statique.
Action dérivée
L’action dérivée D crée un signal de commande u t qui est la dérivée du signal d’erreur
( )
( )
e t . On fait appel à ce type de correcteur lorsque le signal de commande u t doit être
( )
particulièrement efficace. En effet, ce correcteur permet de faire intervenir la dérivée du
signal d’erreur, et est d’autant plus actif que la variation de e t est rapide. Il améliore surtout
( )
la stabilité.
Dans le domaine discret et en vue d’une implémentation sur un calculateur numérique, la fonction de transfert discrète d’un régulateur PID peut être formulée comme suit :
( )
PID 1 1 1 d p i K z C z K K T z T z = + + − − (1.27)où Kp représente le facteur de proportionnalité, K le facteur d’intégration, i K le facteur de d
dérivation, T la constante de temps d’intégration et z est l’opérateur de transformée en Z.
La commande U s’écrit alors sous cette forme :
( )
(
( )
( )
)
1 1( )
1 d p i K z U z K K T R z Y z Y z z T z = + − − − − (1.28)où R Z ,
( )
U Z et( )
Y z représentent les transformées en( )
Z des signaux r t ,( )
u t et( )
( )
y t .
1.3.2. Commande par retour d’état
Une autre méthode, plus élaborée, est également utilisée pour la commande de processus dynamiques. Il s'agit de celle basée sur le placement de pôles par retour d'état [37]. Elle s'applique plus particulièrement au cas de processus linéaires ou linéarisés stationnaires autour d'un point de fonctionnement.
Le principe consiste à déterminer une commande telle que les pôles de la fonction de transfert du système bouclé soient convenablement placés dans le plan complexe et satisfassent des spécifications d’amortissement, de rapidité, etc.
Les pôles de la fonction de transfert étant les valeurs propres de la matrice d’état, le but est donc de réaliser un asservissement modifiant convenablement la matrice d’état du système. La commande par retour d’état consiste à considérer le modèle du processus décrit par l’équation d’état suivant :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t x t u t y t x t u t = + = + A B C D & (1.29)où x t ∈
( )
n est le vecteur d’état, u t ∈( )
p le vecteur de commande et y t ∈( )
m le vecteurde sortie.
L'objectif de l'approche est d'imposer au système une dynamique donnée une réaction d'état, de la forme :
( )
( )
l c( )
c u t = −K x t + y t (1.30)(
1, 2, ,)
c nK = k k K k et l=
(
l l1, ,2 K,lm)
sont des matrices constantes de dimensionsconvenables et y t la consigne. c
( )
Il vient la représentation d’état du système en boucle fermée suivante:
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
l c c x t K x t y t y t x t u t = − + = + A B B C D & (1.31)Si le processus est commandable, le choix des composantes de K permet de placer les n c
pôles du système en boucle fermée comme on le désire. Le réglage de l permet d’ajuster le
gain statique en boucle fermée.
La mise en œuvre de la méthode par placement de pôles nécessite de faire des retours sur l'ensemble des composantes du vecteur état. Ces composantes, n'étant en général, pas toutes accessibles à la mesure, il convient de remplacer les variables non captées par leurs estimations pouvant être définies à partir d’observateurs. Il est important de noter que l'introduction d'un observateur ne modifie pas les pôles du système dynamique bouclé. Si l'introduction de l'observateur est susceptible de modifier le comportement transitoire du système, elle est sans effet sur son comportement dynamique en régime permanent.
1.3.3. Commande polynomiale de type RST
Un régulateur RST permet d’imposer les pôles du système en boucle fermée. Dans un formalisme discret, les blocs du régulateur RST sont disposés selon le schéma de la figure 1.6 suivante.
Figure 1.6 : Structure d’un régulateur numérique de type RST
Soit
( )
( )
( )
1 1 1 B q H q A q − − −= la fonction de transfert du modèle discret du système à commander
telle que A et B sont deux polynômes premiers entre eux :
( )
1 1 0 1 B B n n B q− =b +b q− +L+b q− (1.32)( )
1 1 0 1 A A n n A q− =a +a q− +L+a q− (1.33) Bn et n étant les degrés des polynômes A A et B, et q est l’opérateur d’avance. Le choix des
polynômes R, S et T permet de résoudre aussi bien les problèmes de régulation que ceux
de poursuite. Ils sont donnés par :
( )
1 0 1 R R n n R q− = + +r r L+r q− (1.34)( )
1 0 1 s s n n S q− =s + +s L+s q− (1.35)( )
1 0 1 T T n n T z− = + +t t L+t z− (1.36) où nR =deg( )
R , nS =deg( )
S et nT =deg( )
T .La fonction de transfert du système en boucle fermée de la figure 1.6 est alors donnée par :
( )
1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 BF T q B q H q A q S q B q R q − − − − − − − = + (1.37)Calcul des polynômes R et S
Le choix du dénominateur P q
( )
−1 de la fonction de transfert du système bouclé impose à Ret S de vérifier l’équation diophantienne suivante :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 A q− S q− +B q− R q− =P q− (1.38) Régulateur RST k y( )
1 1 S q− H q( )
−1( )
1 R q−( )
1 T q− +u
k - Processus c k y RéférenceL’équation (1.38) est dite régulière si deg
( )
P <deg( )
A +deg( )
B . Dans cette équationpolynomiale, les polynômes A,B et P sont connus alors que R et S sont à déterminer.
Pour résoudre cette équation, plusieurs cas peuvent être envisagés.
- Si l’équation (1.38) est régulière, les solutions minimales S et 0 R sont alors de degrés 0
respectifs :
( )
( )
( )
( )
0 0 deg deg 1 deg deg 1 S B R A = − = − (1.39)- Si l’équation (1.38) est non régulière, elle admet alors deux solutions minimales :
Une solution minimale en S :
(
S R telle que : 0, 1)
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
deg deg 1
deg deg deg
S B R P B = − = − (1.40)
Une solution minimale en R :
(
S R telle que : 1, 0)
( )
( )
( )
( )
( )
1 0
deg deg deg
deg deg 1 S P A R A = − = − (1.41)
Dans le cas où l’équation (1.38) est régulière, elle peut s’écrire sous la forme matricielle suivante : { { 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s A B P A B r n n n O n n n n P x M s a b p a a b b p s a a b b r p a b a b r = L L M O M O M M O O M O O M M O M O O M O M M M O O M M O O M M M L L 14444444244444443 (1.42)
où M∈ (nA+nB)× (nA+nB) est appelée matrice de Sylvester.
Les coefficients des polynômes R q
( )
−1 et S q( )
−1 contenus dans le vecteur x , sont donnéspar :
1
x= M P− (1.43)
Il faut signaler que M est inversible vu que les deux polynômes A et B sont premiers entre
Calcul du polynôme T
Pour la détermination des coefficients du polynôme T, deux cas peuvent être envisagés.
- Cas de la régulation
Dans ce cas, la référence c
k
y est constante. Pour avoir c
k k
y = y en régime permanent, il faut
avoir un gain statique en boucle fermée égal à 1, HBF
( )
1 = . 1Il vient alors :
( )
1( )
( )
1 1 P T q B − = (1.44) - Cas de poursuiteDans ce cas, on impose au système une trajectoire désirée c
k y correspondant à un modèle de référence :
( )
1( )
( )
1 1 m m m B q H q A q − − − = (1.45)En choisissant T q
( )
−1 =βP q( )
−1 , on obtient alors, figure 1.7 :( )
1( )
1 1 BF H q− =βB q− (1.46)( )
1( ) ( )
1( )
1 1 m BF m B q B q H q A q β − − − − = (1.47) En prenant( )
1 1 Bβ = , un gain statique en boucle fermée égal à 1 est alors imposé.
La figure 1.7 présente le schéma récapitulatif de cette commande.
Figure 1.7 : Structure de commande de type RST avec modèle de référence
k y
![Figure 1.14 : Principe de la commande multi-régulateurs [209]](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/14741826.755225/52.892.199.702.398.861/figure-principe-la-commande-multi-régulateurs.webp)
