Développement et analyse de méthodes de volumes finis

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Développement et analyse de méthodes de volumes finis

Pascal Omnes

To cite this version:

Pascal Omnes. Développement et analyse de méthodes de volumes finis. Mathématiques [math].

Université Paris-Nord - Paris XIII, 2010. �tel-00613239�

Développement et analyse de méthodes de volumes nis

Pas al Omnes

Introdu tion 4

I Constru tion et analyse de s hémas volumes nis de type

Godu-nov pour des systèmes hyperboliques linéaires 13

1 Approximation par volumes nis olo alisés du système de Maxwell

ave orre tion hyperbolique 14

1.1 Les équationsde Maxwell etlesproblèmes liésà leurdis rétisation . . . 14

1.2 Les équationsde Maxwell généralisées . . . 17

1.3 Approximation numérique par volumes nis . . . 18

1.4 Conditions auxlimitespour lesystèmereformulé . . . 21

1.4.1 Condu teur parfait . . . 21

1.4.2 Conditionsentrantesouabsorbantessurle hampéle tromagnétique 22 1.4.3 Conditions auxlimitessur les orre teurs . . . 22

1.4.4 Mise en ÷uvreee tive . . . 23

1.5 Résultats numériques. . . 23

2 Inuen edela géométriedes ellulessurle omportement àbasMa h du s héma de Godunov appliqué à l'équation des ondes 27 2.1 Rappels surl'équationdesondes ontinue . . . 28

2.2 Dis rétisation de l'équation desondespar dess hémas olo alisés . . . . 29

2.3 Constru tion de hamps dis rets in ompressibles . . . 30

2.3.1 Le astriangulaire . . . 30

2.3.2 Le asre tangulaire . . . 31

2.4 Comportement en temps de lasolution . . . 33

2.4.1 Cas triangulaire. . . 33

2.4.2 Cas artésien . . . 34

2.5 Illustration numérique . . . 35

Perspe tives 37 II Constru tion de méthodes de volumes nis en dualité dis rète sur maillages bidimensionnels quel onques 38 3 Constru tion et propriétés d'opérateurs diérentiels dis rets 39 3.1 Introdu tion etnotations. . . 39

3.2 Constru tion desopérateursdiérentiels dis rets . . . 42

3.3 Propriétés desopérateurs . . . 44

3.3.1 Formules de Green dis rètes . . . 44

3.3.2 Composition desopérateurs . . . 44

3.3.3 Dé omposition de Helmholtz-Hodge . . . 44

4 Appli ation à la dis rétisationde l'équation de diusion linéaire et au système de l'éle trostatique et de la magnétostatique 46 4.1 Équation dediusion linéaire . . . 46

4.1.1 Dis rétisation . . . 46

4.1.2 Propriétés du s héma. . . 47

4.1.3 Résultats numériques. . . 49

4.2 Système de l'éle trostatique etde lamagnétostatique(problème div-rot) 53 4.2.1 Dis rétisation . . . 53

4.2.2 S hémas équivalents pour les potentiels . . . 54

4.2.3 Existen e etuni ité. . . 55

4.2.4 Conditions limitessurla omposantetangentielle du hamp . . . 55

4.2.5 Résultats numériques. . . 56

5 Appli ation à la dis rétisation des équations de Maxwell 58 5.1 É riture dus héma . . . 58

5.2 Propriétés du s héma. . . 59

5.3 Résultats numériques. . . 61

Perspe tives 67 III Analyse a priori et a posteriori pour l'équation de Lapla e dis- rétisée par la méthode de volumes nis en dualité dis rète 69 6 Analyse a priori pourl'équation de diusion etle problème div-rot 70 6.1 Appro he volumes nis. . . 71

6.2 Appro he élémentsnis . . . 73

6.3 Erreur en norme

L

2

. . . 75

6.4 Super onvergen e sur ertaines famillesde maillages . . . 77

7 Analyse a posteriori pourl'équation de diusion 79 7.1 Une formulede représentation de l'erreur danslanormede l'énergie . . 80

7.2 Un estimateur al ulable ete a e . . . 82

7.3 Simulationsadaptatives . . . 85

7.3.1 Adaptation pour unesolution raide maisrégulière. . . 85

7.3.2 Adaptivitépour unesolution singulière. . . 87

Perspe tives 89 IV Convergen e en norme

L

2

des méthodes de volumes nis sur maillages admissibles pour l'équation de Lapla e : ordre deux ou non? 90 8 Étude en dimension un 91 8.1 Le s héma volume ni . . . 91

9 Étude en dimension deux, sur maillages triangulaires et de Voronoi

asso iés 96

9.1 Les deuxs hémas volumesnis . . . 97

9.2 Estimation de l'erreur . . . 98

Perspe tives 102

Travaux présentés dans e mémoire 103

Autres travaux de l'auteur 104

Cedo umentsynthétiseunepartie destravauxdere her hequej'aimenésau

Com-missariat à l'Énergie Atomique, sur les entres de Sa lay et de Bruyères-le-Châtel, au

Fors hungszentrumdeKarlsruhe(Allemagne),ainsiqu'àl'UniversitéParis13.Lethème

quilie entre eux les travauxprésentés i i est ladis rétisation par desméthodes de

vo-lumesnisde ertaineséquationsdelaphysiqueauxquellesjemesuisintéresséau ours

demona tivité. Lesméthodesde volumesnis sont desméthodes numériques très

po-pulaires dansdivers hamps de l'ingénierie, en parti ulier en mé anique desuides, et

e pour plusieurs raisons : elles font appel à des bilans lo aux (de masse, de quantité

de mouvement, d'énergie, ...) qui ont un sens physique très on ret; elles permettent

souvent de reproduire des propriétés physiques de la solution exa te ( onservation de

ertaines quantités, prin ipe du maximum, ...), e qui leur assure une grande

robus-tesse; enn, elles peuvent être utilisées sur des maillages très généraux et sont don

appli ablesdansdes géométries tridimensionnelles omplexes. Lorsque l'on ee tueles

bilanslo auxmentionnés i-dessus, toutela di ulté estde dénir les uxsurla

fron-tière des volumes de ontrle en fon tion des in onnues du s héma. Nous verrons en

parti ulierquelanotionde onsistan eestparti ulièrement importanteetrelativement

di ile àassurerpour les uxdiusifsissus d'équationselliptiques.

La première partie de e mémoire est onsa rée à des s hémas olo alisés de type

Godunovpour des systèmes d'équationshyperboliques linéaires modélisant des

phéno-mènesde propagationd'ondes.

Le hapitre 1 résumelespubli ations[A8, P1 ,A9℄et on erne lesystèmedes

équa-tions de Maxwell, dansle adre de simulations oupléesave l'équation de Vlasov

mo-délisant les plasmas non ollisionnels. Ce travail a été ee tué lors de mon séjour de

oopérant en Allemagne, en ollaboration ave Claus-Dieter Munz, Rudolf S hneider,

Eri Sonnendrü ker etUrsula Voss. J'ai eu ré emment l'o asion de m'y intéresser de

nouveau lors detravauxmenés ave Siham Layouni, dont j'aien adré lathèse

onjoin-tementave KomlaDomelevo.L'épineuxproblèmeàtraiter,ren ontrépardenombreux

numéri iens desplasmas, onsiste à for erle hamp éle trique al ulé à satisfairelaloi

de Gauss, toutau moins de façon appro hée. En eet, la plupart desméthodes

numé-riques utilisées pour résoudre les équations de Maxwell se ontentent de résoudre les

équationsd'Ampèreet deFaraday, e système(hyperbolique) étant bien posé. Dans le

modèle ontinu,lefaitquele hampmagnétiqueresteàdivergen enulleetquele hamp

éle triquesatisfasselaloideGaussestune onséquen e de e systèmeAmpèreFaraday

et, pour le hamp éle trique, de la loi de onservation de la harge éle trique.

Néan-moins, il peut arriver que la dis rétisation du système Vlasov-Maxwell soit réalisée de

tellesorteque eliende auseà onséquen esoitbrisé,enraisonenparti ulierd'uneloi

de onservationdela hargeéle triquedéfaillantesurleplandis ret.Ilestalorsfréquent

quela simulationdérive versdes régimes physiques omplètement irréalistes, en

parti- ulierlorsque l'intervalle detemps simulé est beau oup plusimportant que les é helles

possible onsistealors à oupler l'ensemble deséquations àvérierentreelles, de façon

àlimiterlapertede ohéren e.Lafaçonlaplus onnued'agir,introduiteparBoris[15 ℄,

estd'ajouterau hampéle trique al uléparl'équationd'Ampèreune orre tion sous

laforme d'un gradient de potentiel al uléde tellesorte que le hamp éle trique total

vérie la loi de Gauss. On peut aussi agir de la même manière pour for er le hamp

magnétiqueà être à divergen e nulle. Cetteopération revient à résoudreune équation

de Poisson pour le potentiel dont dérive la orre tion, qui est par onséquent qualiée

de  orre tion elliptique. La résolution répétée d'une équation de Lapla e pouvant se

révéler oûteuse,uneautreappro he,baséesurlanotiondepseudo- ourant aété

pro-poséeparMarder[74℄.Elle onsisteàinje ter ommetermesour esupplémentaire dans

l'équationd'Ampèreun termeproportionnel au gradient de l'erreur ommise sur laloi

de Gauss. On obtient ainsi une équation parabolique sur ette erreur et le pro essus

a reçu le nom de  orre tion parabolique. En e qui nous on erne, et selon une idée

développée initialement dans[88 ℄,nousavonsétudiéune orre tiondite  orre tion

hy-perbolique arlesystèmedeséquationsdeMaxwell,modiéespar ette orre tion,reste

hyperbolique. L'avantageprin ipal de ettefaçon depro éderestquel'onpeutintégrer

très naturellement ette modi ation dans un solveur numérique dédié aux équations

hyperboliques,etproterainsidesnombreusesavan éesque edomaine onnaît

réguliè-rement.C'est ainsiquej'ai onstruit un odede al ulspourles équationsde Maxwell,

fondé surune méthode devolumesnis olo alisés surdesmaillages non-stru turés en

dimension deuxettrois, d'ordre unpar dé entrage amont desux et d'ordre deux par

re onstru tion etlimitation éventuelle despentes, ode dans lequel j'ai introduit ette

orre tion qui a montré son e a ité lors du ouplage ave une méthode parti ulaire

pour la résolution de l'équation de Vlasov en dimension deux d'espa e. Notons que

ette orre tion hyperbolique, que nousavons montré être équivalente à une méthode

de pénalisation de la loi de Gauss dans l'équation des ondes du se ond ordre asso iée

au hampéle trique,a onnuun ertainsu èspuisqu'elleaétéreprisedansle ontexte

de la magnétohydrodynamique (voir, entre autres, [40, 70, 120 ℄), puis pour le système

Maxwell-Vlasovave unedis rétisation Galerkin dis ontinu d'ordre élevé[67 , 68℄.

Le hapitre 2résumelapubli ation [A2℄ danslaquelle,ave StéphaneDella herie et

Felix Rieper, nous étudions l'inuen e de la géométrie des ellules sur la pré ision du

s hémade Godunovdupremier ordreappliquéà l'équationdesondes àbasnombrede

Ma h. Il est bien onnu que e s héma présente de sérieux problèmes dans e régime,

en parti ulier en raison d'une erreur de tron ature du s héma qui est d'ordre

∆x/M

,

où

∆x

est une longueur ara téristique des éléments du maillage et

M

le nombre de

Ma h (rapport de la vitesse du uide sur la vitesse du son). Mais ela ne permet pas

d'expliquerpourquoi e s hémadonne desrésultatsa eptables enune dimension

d'es-pa e ni pourquoi, en deux dimensions d'espa e, les simulations sur des maillages de

quadrangles donnent des résultats atastrophiques, alors que sur des maillages de

tri-angles,lesrésultatssont làaussia eptables[99 , 101 ℄. Unepartie de l'expli ationa été

donnée par Stéphane Della herie dans un travail ré ent [42 ℄, où l'auteur travaille sur

lanotion d'équation modiée, qui, rappelons le, onsiste à retran her à l'équation aux

dérivées partielles d'origine le terme dominant dans l'erreur de tron ature du s héma

numérique utilisé (le s héma est ainsi onsistant ave l'équation modiée à un ordre

supérieur).L'auteurmontrequelapertedepré isiondus hémaestdueàune

modi a-tionde l'espa estationnairedel'équationmodiée. Pour l'équationdesondes ontinue,

etespa estationnaireestl'espa edes hamps devitesseàdivergen enulleetdes

pres-sions onstantes.Enunedimensiond'espa e,l'espa estationnairedel'équationmodiée

asso iée au s héma de Godunov est identique. En revan he, en deux dimensions

d'es-pa e,surdesmaillages dere tangles, etespa e stationnaireestprofondément modié,

puisqu'il onsiste, pour la partie vitesse, en l'espa e des hamps dont la omposante

horizontale (respe tivement verti ale) ne dépend que de la oordonnée verti ale (resp.

horizontale). Si es hamps sont bien à divergen e nulle, ils sont loin de dé rire

l'en-sembledes hamps àdivergen e nulle.La diusion extrêmement rapide dela ondition

initialevers un élément de et espa e stationnaire modié, qui en estéloigné à l'ordre

zéro en

∆x

, rée des ondes a oustiques parasites qui viennent omplètement polluer

lasolution numérique. Stéphane Della herie propose alors une modi ation simple du

s héma de Godunov, dont l'équation modiée possède un espa e de hamps de vitesse

stationnaires qui orrespond exa tement aux hamps à divergen e nulle. Ce nouveau

s hémaestnommés hémabasMa hparl'auteur.Notre ontributionà etteréexiona

étédereprendrelanotiond'espa estationnairedess hémas,nonplusentravaillant sur

l'équationmodiée, notion limitéeà lagéométrie artésienne, maisen nousintéressant

dire tement au s héma numérique. Surdesmaillages de re tangles,nouspouvonsalors

prouver que le omportement du s héma de Godunov standard est identique à elui

dé ritpar l'équationmodiée:l'espa estationnaire dus hémaest omposéde hamps

devitesse dont la omposante horizontale (respe tivement verti ale) ne dépend quede

la oordonnéeverti ale(resp.horizontale).Ces hampsn'appro hentdon pas

orre te-mentl'ensembledes hampsàdivergen enulle.Deplus, les hémadiuseextrêmement

rapidementune onditioninitialeverssaproje tiondans etespa estationnairedis ret,

et rée ainsides ondes a oustiques parasites de taille

O(∆x)

. En revan he, il apparaît

que, sur des maillages triangulaires, la partie vitesse de l'espa e stationnaire asso ié

au s héma de Godunov du premier ordre est onstituée des rotationnels des fon tions

de l'espa e d'éléments nis de Lagrange d'ordre un asso ié aux n÷uds du maillage.

Les résultats d'analyse numérique usuels montrent que et espa e est une bonne

ap-proximation (à l'ordre

∆x

si le hamp de vitesse est régulier) de l'espa e ontinu des

hamps de vitesse à divergen e nulle. Il existe don une façon pré ise de dis rétiser un

hamp de vitesse à divergen e nulle par un élément de et espa e stationnaire dis ret

qui assure qu'au une onde parasite ne sera réée. Nous montrons d'autre part que le

s héma bas Ma h proposé par Stéphane Della herie possède un espa e de hamps de

vitessestationnaires susamment ri he pour appro herde façon pré ise les hamps de

vitesse ontinus à divergen e nulle.Enparti ulier, dansle asd'unmaillage régulierde

re tangles,ilexiste dans etespa estationnaire dis retuneapproximationd'ordre

∆x

2

d'un hampde vitesseà divergen enulle quine rée au uneondeparasite.

La deuxième partie de e mémoire est onsa réeà la onstru tion d'opérateurs

dif-férentielsdis retssurdesmaillagesbidimensionnels relativement quel onques,en

parti- uliertrès déformésouen orenon- onformes,etàleurutilisation pourladis rétisation

d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diusion (équation

de Lapla e), d'éle trostatique et de magnétostatique (système divergen e rotationnel)

etd'éle tromagnétisme (équations de Maxwell) par des s hémas de type volumes nis

surmaillagesdé alés.

Ces travaux ont été motivés initialement par des problèmes liés à la mé anique

desuides (équations de type Stokes), et trouvent leur origine dans le désir de mener

l'analysenumérique d'unevariante d'uns héma onnuen mé aniquedesuidessous le

nom de s héma Marker and Cell (MAC) [57 ℄, initialement onstruit sur des maillages

de re tangles. C'est un s héma qui dis rétise la pression aux entres des re tangles et

la omposante normale de la vitesse aux milieux des arêtes. Il apparaît assez

rapide-ment que dans e s héma, la matri e liée à la dis rétisation du gradient de pression

etla matri e liée à la dis rétisation de la ontrainte d'in ompressibilité du uide sont

symétriques l'une de l'autre. Autrement dit, esdis rétisations respe tives permettent

adjoints (au signe près) l'un de l'autre. Par ailleurs, la matri e dis rétisant le

Lapla- ien ve toriel de la vitesse peut être vue omme le produit de la matri e dis rétisant

deux autres divergen es (sur des maillages dé alés par rapport à la divergen e de la

vitesse du uide) et de la matri e dis rétisant deux autres gradients (là aussi sur des

maillages dé alés par rapport au gradient de pression) et une interprétation en terme

degradients etdivergen es dis rets adjoints les uns desautres permet de mener

l'ana-lysenumérique de e s héma defaçon e a e. La tentation estalors grande de vouloir

généraliser es on epts d'opérateurs dis rets sur des maillages plus généraux que les

maillages onstitués de re tangles. Ce pas a été fran hi par Roy Ni olaides et ses

ol-laborateursqui ont développé la méthode dite des ovolumes sur destriangulations de

Delaunay [92 , 66 , 28 , 93℄. Sur e type de maillages, les in onnues ve torielles ( hamp

de vitesse, hamp éle trique, gradient de pression, ...) sont dis rétisées par leurs

om-posantes normales aux arêtes des triangles et les in onnues s alaires sont dis rétisées

aux entres des er les ir ons rits aux triangles

1

du maillage (pression, potentiel, ...)

ou aux sommets de es triangles (tourbillon). Il est alors aisé de dénir la divergen e

dis rète d'un ve teur sur ha un des triangles grâ e aux omposantes normales de e

ve teur situées sur les arêtes. De même, le gradient dis ret d'un s alaire est déni par

sa omposante normale surles arêtesgrâ e aux valeurs de e hamp dansles triangles

età l'orthogonalité desarêtes etdessegments joignant deux entres de triangles

adja- ents(on parlede maillages"admissibles").D'autrepart, onasso ieà haquen÷uddu

maillage une ellule duale obtenue en joignant les entres des triangles dont le n÷ud

onsidéréestsommet.Par onstru tionlesarêtesde es ellulesdualessontorthogonales

auxarêtesdestriangles, etles omposantestangentiellesd'un hampdeve teursur es

arêtesduales sont don exa tement les omposantes normales de e hamp de ve teur

sur les arêtes des triangles. Ce i permet don de dénir sans eort supplémentaire le

tourbillondis retd'un hampdeve teursur ha unede es ellulesduales.Enrevan he,

lorsquel'on her he à étendre es on epts sur desmaillagesplus généraux, on serend

vite ompte que l'absen e d'orthogonalité entre les arêtes du maillage et les segments

joignant les entres des mailles voisines né essite la dénition des deux omposantes

des hamps de ve teur sur les arêtes et la dénition des hamps s alaires à la fois au

entre etauxsommetsdes ellulesdu maillage.Il en estde même lorsquel'on tentede

généraliser les héma de volumes nis à quatre points pour l'équation de Lapla e [58 ℄,

dont les in onnuessont situées aux entresdestriangles, à desmaillagesplus généraux

ou à une équation de diusion anisotrope, ou en ore à une équation de diusion

non-linéaire detype

p

-Lapla ien,pour laquellele al uldu oe ient de diusion né essite

la onnaissan e de la norme eu lidienne (et don des deux omposantes) du gradient

sur les interfa es entre deux éléments. C'est ette appro he que nous présentons dans

ettepartie du do ument.

Le hapitre 3 résume une partie des publi ations [A6, A7℄et on erne ladénition

etles propriétés d'opérateurs diérentiels dis rets sur maillages bidimensionnels

quel- onques.C'estuntravaildébutéave KomlaDomelevo etpoursuivi onjointement ave

SarahDel ourte, dont Komla Domelevo et moi-même avons o-en adré la thèse. Nous

dénissons de façon simple et naturelle des opérateurs divergen es et rotationnels

dis- retsàl'aidedeformulesdeGreen -Gaussappliquéessurles ellulesdumaillagesetsur

les ellulesdualesasso iéesauxn÷udsdumaillage.Ces opérateursagissentsurl'espa e

des hampsdeve teursdis retsdénissurlesarêtesprimalesetdualesasso iéeset

four-nissent desvaleurs de divergen e etde rotationnel dansles ellules primaleset duales.

Defaçonsymétrique,nousdénissons,paruneformuledeGreenetuneformulede

qua-drature appliquées aux ellules-diamants (dont les diagonales sont les arêtes primales

1

i-aprèsdénommésles entresdestriangles

et duales asso iées) des opérateurs gradients et rotationnels dis rets. Ces opérateurs

agissent sur l'espa e des hamps s alaires dénis sur les ellules primales et duales et

fournissent des hamps de ve teurs gradients et rotationnels surles arêtes du maillage

(soit, de façon équivalente, sur les ellules-diamants). Ces opérateurs ne sont pas

par-ti ulièrement originaux, puisque les opérateurs divergen es dis rètes étaient (tout au

moins impli itement) utilisés dans toutes les méthodes de volumes nis entrées sur

les ellules pour la divergen e primale, ou entrées surles sommets pour ladivergen e

duale. L'opérateur gradient dis ret avait été quant à lui déjà utilisé dans la méthode

de volumes nis dite diamant, examinée par exemple dans [32℄. Le point innovant de

notretravaila étédansunpremier temps deréaliserquel'on pouvait ombiner es

ap-pro hes pour obtenir une formulation volumes nis de l'équation de Lapla e qui mène

àuneformulationsymétriqueetuniformément oer ive,ave desgradients onsistants,

etappli able à tout type de maillage. La symétrie provient du fait que les opérateurs

gradient et divergen e sont les adjoints (au signe près) l'un de l'autre, ette propriété

nousayantinspiré lenomde"méthodesdevolumesnis endualitédis rète" (DDFV);

la oer ivitéuniformedé ouledufaitquelegradient estinje tifsurl'espa edes hamps

s alairesdemoyennesprimalesetdualesnullesetquel'on peutétablirdesinégalitésde

Poin aré dis rètes dont la onstante ne dépend pas du pas du maillage, mais

unique-ment de la régularitéde elui- i [5℄;enn la onsistan evient de e que laformuledu

gradient peutêtre obtenue de façon équivalente par deuxformules de diéren esnies

dans ha unedesdire tionsdesarêtesprimalesouduales.Ces troispointssontles

pro-priétésdé isivesquipermettent demontrer la onvergen ede lasolutionnumériquedu

s hémaverslasolutionexa tedel'équationdeLapla e.Dansundeuxièmetemps,nous

avons pumontrer que les opérateurs dis rets vérient des propriétés analogues à elles

de leur homologues ontinus, et e i toujours sur tout type de maillage : ladivergen e

dis rète des rotationnels dis rets est nulle, le rotationnel dis ret des gradients dis rets

est nul, tout hamp de ve teur déni par ses deux omposantes sur les arêtespeut se

dé omposer ommesommed'ungradient dis ret etd'un rotationnel dis ret

(dé ompo-sition de Helmholtz-Hodge dis rète). Ce i nous a permis de généraliser la théorie des

ovolumes de Roy Ni olaides à desmaillages quel onques, e qui permet d'élargir leur

hamp d'appli ation.

Le hapitre 4 résume une autre partie des publi ations [A6, A7℄. Nous dé rivons

l'utilisationde esopérateurspour ladis rétisationdel'équationdeLapla e,et elledu

problème "divergen e - rotationnel" quel'on ren ontre par exemple en éle trostatique

et en magnétostatique, et qui se dé ouple en fait en deux problèmes de Lapla e

dis-tin ts, via la dé omposition de Hodge dis rète. Les prin ipales propriétés vériées par

ladis rétisationde l'équationdeLapla eontétérappelées i-dessus.Nousmontronsde

plusdeux propriétésqui seront utilisées lorsde l'analyse numérique de e s héma dans

le hapitre6.D'unepart,les hémaDDFVpeutêtreréé ritsousuneformulation

varia-tionnelledis rèteéquivalentefaisantintervenirdesfon tions

P

1

non- onformes.D'autre

part,nousmontronsque, parmitousles uxquel'on peut al uleràpartir dugradient

à quatre points sur les ellules diamants, les ux al ulés par la méthode DDFV sont

euxqui minimisent, en un ertainsens,l'erreur vis-à-vis desuxexa ts. Les résultats

numériques présentés dans ette partie montrent que e s héma volumes nis permet

ee tivement,entreautres, detravailler surdesmaillagesnon onformesprésentant un

tauxderanementlo alarbitraire,etégalementsurdesmaillagestriangulairesdeplus

enplus plats.

Le hapitre 5, qui résume l'arti le [A5℄, est lefruit d'une ollaboration ave Siham

LayounietFrançoisHermeline.Cedernierestégalementàl'originede etypedes hémas

Nous appliquons les opérateurs du hapitre 3 et un s héma saute-mouton en temps à

la dis rétisation des équations de Maxwell et montrons que le s héma obtenu retient

lespropriétés agréablesdus hémade Yee[119 ℄ etdus héma ovolume,qu'il généralise

à des maillages quel onques. Tout d'abord, le hamp éle trique al ulé par l'équation

d'Ampère dis rétisée vérie la loi de Gauss dis rète à ondition que les densités de

ourantetde hargeéle triquesvérientlarelationde onservationdela hargedis rète;

nousindiquons omment dis rétiser densités de ourant etde harge pour qu'il en soit

ainsi.Deplus, enl'absen e de termes sour es, les héma ainsiobtenu onserve (ou fait

dé roîtreselonletypede onditionsauxlimites)uneénergieéle tromagnétiquedis rète.

Enn, on peut montrer que, sous une ondition de type CFL, ette énergie est une

forme quadratique dénie positive du hamp éle tromagnétique al ulé, e qui assure

lastabilité

L

2

du s héma. Cette ondition CFL faitintervenir lagéométrie des ellules

primales, duales et diamants et dégénère vers la stabilité du s héma de Yee lorsque

lemaillage initial est un maillagede arrés. Nous présentons des résultats numériques

surdes maillages non- onformes, très déformés, déformés aléatoirement et même

non- onvexes. Il est intéressant de remarquer que les isovaleurs des hamps obtenus sont

tout-à-faitsemblables quelquesoit lemaillage, etqueles héman'est don pasdu tout

sensibleà larégularitéde elui- i, equi onstitue unavantage indéniable.

Notons par ailleurs que l'appro he en dualité dis rète a onnu un ertain su ès,

puisqu'elle a été reprise et étendue à d'autres modèles. Citons par exemple la

diu-sionnon-linéaireave opérateursdetypeLeray-Lions[5℄,la onve tion-diusion[34℄,la

dérivediusion etletransportd'énergie [24 ℄,l'éle tro ardiologie [35℄.

La troisièmepartie de e mémoire est onsa rée àl'analyse numérique a priorieta

posterioridu s héma DDFVappliqué à l'équationde Lapla e, ommeprésentédans le

hapitre 4.

Le hapitre 6 résumeune autre partie desarti les [A6, A7℄ et on erne l'analyse a

prioridus hémaDDFVappliquéàl'équationdeLapla eave des onditionsauxlimites

non homogènes de Diri hlet sur une partie de la frontière et de Neumann sur l'autre.

Nousdistinguons deux te hniques permettant d'obtenir des estimations d'erreur entre

lasolution numérique dus héma etla solution exa tede l'équation lorsque elle- iest

régulière. Dans un premier temps, nous ee tuons une analyse "au sens des volumes

nis";pour elanousutilisonslapropriétéde meilleureapproximationdesux

démon-tréeau hapitre 4 pour prouverla onvergen e desux al ulés parlaméthode DDFV

àl'ordreunennorme

L

2

surdesmaillagesgénéraux,sousl'hypothèsequelesanglesque

forment les diagonalesdes ellules-diamants soient minorés uniformément par unangle

stri tementpositifetindépendantdumaillage.Deplus,nousremarquonsquelorsqu'une

ellule-diamant estun parallélogramme,le gradient utilisé danslaméthodeest égalau

gradient pon tuel aupointde on oursdesdiagonalesde la ellule pour toutpolynme

d'ordre deux. Cettepropriété de onsistan eàl'ordre deux permetde montrer que sur

ertainstypesdemaillagesdont presquetoutes les ellules-diamantssontdes

parallélo-grammes,nousobtenons la onvergen e desgradients al ulés vers lesgradients exa ts

à l'ordre un et demi. Dans un deuxième temps, nous ee tuons une analyse "au sens

desélémentsnis"etutilisonspour elalefait,démontréau hapitre 4,quelaméthode

DDFVpeutêtreinterprétée,à unelégèremodi ation duse ondmembreprès, omme

une méthode d'éléments nis non- onformes. L'utilisation du se ond lemme de Strang

permetalorsde s inderl'erreur endeuxparties:uneerreur dited'interpolation, etune

erreurditede onsistan e.Nousavonspumontrerque esdeuxerreurstendentverszéro

àl'ordreunsous deshypothèsestrès faiblessurlarégularité dumaillage; e i explique

enparti ulier que le s hémase omporte bien surdesmaillages dont les éléments sont

très aplatis, très déformés, ou sur desmaillages non onformes possédant desrapports

deranementlo auxarbitraires.Enn,unete hniquededualitédetypeAubin-Nits he

permetde prouverla onvergen eàl'ordreunennorme

L

2

delafon tionélémentsnis

onstruiteàpartirde lasolutiondus héma, et esurdesmaillagesgénéraux. Laraison

pour laquelle l'ordre deux n'est pas obtenu par ette te hnique de dualité est le fait,

mentionné i-dessus, que le membre de droite dans la formulation variationnelle

équi-valenteau s héma n'est pasexa tement elui qui aurait été obtenu dans une véritable

méthode d'élémentsnis. Enrevan he, et ordredeux en norme

L

2

estobtenu sur des

maillages dont presque toutes les ellules-diamants sont des parallélogrammes et si le

se ond membre de l'équation de Lapla e est susamment régulier. Nous reviendrons

sur etteproblématique danslaquatrièmepartie de e do ument.

Le hapitre 7 résume l'arti le [A4℄ dans lequel, ave Yohan Penel et Yann

Rosen-baum,nousnoussommes intéressésàl'analyse a posterioridu s hémaDDFVappliqué

à l'équation de Lapla e. Cette question est en eet légitime : nousavons onstruit un

s héma permettant de travailler surdes maillages non onformes pouvant être ranés

de manière arbitraire et don de façon adaptée au problème onsidéré; en ore faut il

pour ela disposer d'un ritère able qui permette d'indiquerà l'utilisateur où raner

en priorité. Grâ e à la (presque) équivalen e de la méthode DDFV ave une méthode

d'élémentsnis, nouspouvonsutiliserdesoutils devenus lassiquesdansleste hniques

d'estimations a posteriori pour les éléments nis. Deux di ultés prin ipales

appa-raissent dans le adre de laméthode DDFV. Tout d'abord, lefait que laméthode soit

non- onformené essited'introduireune dé ompositionde Helmholtz-Hodgede l'erreur

omme ela est proposé dans [3, 39 , 90℄. La partie onforme de ette dé omposition

donne naissan e à des termes lassiques dans l'estimateur, liés aux sauts de la

om-posante normale du gradient aux travers des arêtes des ellules-diamants. La partie

non- onforme de ette dé omposition donne naissan e à des termes moins lassiques,

liésauxsauts de la omposante tangentielle du gradient.La se onde di ulté tient au

fait que la méthode DDFV utilise deux maillages (le primal et le dual) sur lesquels

l'équation de Lapla e est intégrée. Ce deuxième point se traduit par le fait que

l'esti-mateur total est une sommed'estimateurs liés aumaillage primal etd'estimateurs liés

aumaillagedual. Or, lors d'unpro essusderanement adaptatif, 'estsurle maillage

primal que l'utilisateur possède un ertain ontrle. Dans la pratique, les estimateurs

duauxsontredistribuéssurles ellulesprimalesquiinterse tentles elluleduales

orres-pondantes, ande former unestimateur"agrégé" qui va êtreee tivement utilisé pour

leranement. Dans tout le pro essus d'obtention desestimateurs, nousnous sommes

atta hésàobtenirunebornesupérieure omplètement al ulable, 'est-à-direnefaisant

pasintervenir de onstantesin onnues, omme 'est en orefréquemment le as dansle

adredesélémentsnis(voir ependant[21 ℄,[111 ℄)etaussipré isequepossible,ande

nepastropdégraderl'e a itédel'estimateur(rapportentrel'estimateuretlavéritable

erreur).Nousdonnonsdeuxtypesderésultatsnumériques. Lepremier on erneune

so-lutionanalytique régulièremaisprésentant detrès fortesvariations lo ales.Nousavons

utilisé des maillages de arrés non- onformes dont le ranement lo al peut atteindre

2

8

× 2

8

.Dans e as,leranement uniformeetleranement adaptatif fournissent des

ordresde onvergen e asymptotiquement dumême ordre, maisleranement adaptatif

permetd'obtenirdeserreurs beau oupplusfaiblespour unmême nombred'in onnues.

Lese ondtest on erneune solutionprésentantune singularitéde oin.Dans e as, le

ranement uniforme ne permetpas d'obtenir une onvergen e ave l'ordre optimal en

fon tiondunombred'in onnuesdus héma; ependant,leranement adaptatifpermet

deretrouver etordreoptimal.

Laquatrièmeetdernièrepartiede emémoire est onsa réeàlaquestiondel'ordre

de onvergen e en norme

L

2

d'unedis rétisationvolumes nis.

Cette question peut sembler urieuse aux personnes habituées aux éléments nis :

alorsquelelemmed'Aubin-Nits he permetdemontrer ette onvergen e àl'ordredeux

en norme

L

2

_(Ω)

lorsque la méthode utilisée pour l'approximation est la méthode des

élémentsnis

P

1

deLagrangeoudeCrouzeix-Raviartsurmaillagestriangulaires,lorsque

lese ondmembredel'équationdeLapla eestlui-mêmedans

L

2

_(Ω)

etqueledomaine

Ω

est onvexe, ettequestionresteassezlargementouvertedansle adredesvolumesnis.

Lesseuls résultatsrelativement omplets on ernent laméthode desvolumeséléments

nis entréssurlesn÷udsd'unmaillagetriangulaire,lorsqueles ellulesdualesasso iées

aux n÷uds sont les ellules duales bary entriques, d'une part, et, d'autre part, le as

desvolumesnis entrés sur les ellules, lorsque elles- isont desre tangles, etqueles

pointsde ontrle hoisisàl'intérieurde eux- isontleursmilieux.Danslepremier as,

l'ordre deux en norme

L

2

est ee tivement obtenu sous la ondition susante que le

se ondmembre de l'équationde Lapla e soitdans

H

1

_(Ω)

,voir[27, 50 ℄. Danslese ond

as, elaaétédémontrésousdiverseshypothèsesderégularitédelasolutionexa te(

C

4

dans[53 ℄ et

H

3

_(Ω)

dans[79 ℄). Toutefois, le asdesvolumesnis entrés surles ellules

sur des maillages admissibles généraux, ainsi que le as des volumes nis entrés sur

lesn÷uds,surlemaillagedeVoronoi asso ié,sont en orenon résolus.Ma ontribution

on ernant e thème de re her he a étédouble.

Le hapitre 8 résume l'arti le [A3℄, dans lequel j'ai étudié ette question en une

dimensiond'espa e, pour les héma entrésurles ellules.Pour ela, j'aiutilisé une

re-présentationdessolutionsexa tesetappro hées,àl'aidedefon tionsdeGreen ontinues

etdis rètes,respe tivement.Grâ eàl'expressionsimplede esfon tionsdeGreen,ilest

possibled'obteniruneformuleexa tepourl'erreur sur ha unedes ellulesdumaillage.

Cette expression permet de déduire des résultats d'approximation en norme

L

∞

, et

don en norme

L

2

(dis rètes). Sous la onditionsusante que ladonnée de l'équation

deLapla esoitdans

H

1

_(Ω)

,età onditionde hoisirlespointsde ontrle asso iés aux

ellules omme étant les entres de elles- i, alors etteerreur estee tivement d'ordre

deux. En revan he, j'ai donné deux exemples montrant que si au moins l'une de es

deux onditions n'estpasremplie, alors l'ordredeuxpeut êtreperdu. La ondition que

ladonnée de l'équation de Lapla e soit dans

H

1

_(Ω)

est don la même que pour le as

des volumes éléments nis évoqués i-dessus : ela peut être interprété omme étant

dûau fait qu'une fon tion ayant ette régularité est bien appro hée lo alement par sa

moyenne.D'autrepart, onpeutsedemanderquelestl'intérêtde onsidérerunpointde

ontrle asso iéàune ellulequi soitdiérent dumilieu de elle- i. Celatient à l'étude

de la dimension deux (et trois) : quel est don le milieu d'un triangle? Pour la

mé-thode desvolumes nis entrés sur les ellules appliquée à des maillages triangulaires,

lepoint de ontrle hoisi dansle but obtenir des maillages admissibles, surlesquels

le ux à deux points est onsistant, est le entre du er le ir ons rit au triangle. Le

hoix de es points permetil d'obtenir l'ordre deux? Par ailleurs, qu'en est il pour la

méthode des volumes nis entrés sur les n÷uds, lorsque l'on utilise les maillages de

Voronoi asso iés?

Le hapitre 9résume l'arti lesoumis [A1℄,danslequel mase onde ontribution sur

ethèmedere her he aétéde ombiner lessolutionsappro héesissuesd'unepartdela

méthodedesvolumesnis entréssurlestrianglesd'unmaillagedonné,lorsquelespoints

de ontrle hoisissont les entres des er les ir ons ritsauxtriangles, etd'autre part

delaméthode desvolumes nis entrés surles n÷uds dumaillage, lorsque lesvolumes

de ontrle sont les ellulesde Voronoiasso iéesà es n÷uds.Cette ombinaisonest la

fon tion de type éléments nis évoquées dans le hapitre 6,ane par ellule-diamant.

La ombinaison desdeux s hémas évoqués i-dessus en un seul s héma DDFVpermet

d'utiliser les résultats du hapitre 6. Il est alors possible de montrer que la fon tion

re onstruite onverge à l'ordre deux en norme

L

2

, sous la ondition susante que le

se ond membre de l'équation de Lapla e soit

H

1

, et que le domaine de al ul soit

polygonal onvexe. La démar he est d'utiliser la quasi-équivalen e du s héma DDFV

obtenuave une méthoded'élémentsnisnon- onformes, etde poursuivreensuiteave

lamême te hnique de dualité que dansle lemme d'Aubin-Nits he.Cependant, omme

nousl'avonsdéjàexpliqué, noussommes onfrontésau faitquelaméthodeDDFVn'est

pasexa tementuneméthoded'élémentsnis,etquelese ondmembreyestlégèrement

diérent.Letraitement de etermesupplémentaire est ependanttrès di ile,et,dans

le as qui nous intéresse, nous pouvons on lure à l'ordre deux en norme

L

2

sous la

ondition susante de régularité du se ond membre évoquée i-dessus. Le fait que le

pointde ontrle danslestrianglessoitéquidistant dessommetsde elui- i,ainsiquele

faitqueles ellulesdiamantssoientsymétriques parrapportauxmédiatri es desarêtes

dumaillage, sontdeuxpointsfondamentaux delapreuvede ette onvergen eàl'ordre

Constru tion et analyse de s hémas

volumes nis de type Godunov pour

des systèmes hyperboliques linéaires

Approximation par volumes nis

olo alisés du système de Maxwell

ave orre tion hyperbolique

1.1 Les équations de Maxwell et les problèmes liés à leur

dis rétisation

Lamodélisationdephénomèneséle tromagnétiquesafréquemmentre oursàla

réso-lutionnumériquedusystèmeinstationnairedeVlasov-Maxwellentroisdimensions

d'es-pa edans desgéométries omplexes. Les équations de Maxwell dans levide s'é rivent

delafaçon suivante

∂E

∂t

− c

2

_{∇ × B = −}

j

ε

0

,

(1.1)

∂B

∂t

+

∇ × E = 0 ,

(1.2)

∇ · E =

ρ

ε

0

,

(1.3)

∇ · B = 0 ,

(1.4)

où

E, B, ρ

et

j

,représententrespe tivementle hampéle trique,l'indu tionmagnétique, ladensité de harge et ladensité de ourant. Par ailleurs, la permittivité éle trique

ε

0

etlaperméabilité magnétique

µ

0

sont reliées àla vitessede lalumière par

ε

0

µ

0

c

2

_{= 1}

.

Dans le adre de l'intera tion ave des parti ules hargées de harge

q

et de masse

m

enrégimenon- ollisionnel,ladensitéde hargeetladensitéde ourantsont reliées àla

fon tionde distribution

f

desparti ulesdansl'espa e desphases par lesrelations

ρ(x, t) :=

Z

R

3

f (x, v, t)dv

et

j(x, t) :=

Z

R

3

f (x, v, t)vdv.

(1.5)

La fon tion de distribution desparti ules vérie quant à elle l'équation de Vlasov que

l'oné ritde lafaçon suivante, en régimenon relativiste

∂f

∂t

+ v

· ∇

x

f +

q

m

(E + v

× B) · ∇

v

f = 0.

(1.6)

Comme on peut le onstater en prenant la divergen e de l'équation d'Ampère (1.1) et

orre tion hyperbolique

pour avoirune solutionau systèmede Maxwell que

ρ

et

j

vérient larelation suivante,

ditede ontinuité,ou de onservation de la harge:

∂ρ

∂t

+

∇ · j = 0 ,

(1.7)

équationvériéelorsque

ρ

et

j

sontdonnéespar(1.5), ommeonpeuts'en onvain reen

intégrant (1.6) sur l'espa e des vitesses.Inversement, lorsque (1.7) est vériée, il sut

deprendreladivergen e de(1.1) pour onstaterque(1.3)estvériée pour tout

t > 0

si

ellel'est à

t = 0

.En e sens,onpeutdireque l'équationde Gaussestune onséquen e

de l'équation d'Ampère, de l'équation de onservation de la harge, et du fait que la

divergen e d'unrotationnel est nulle.

Cependant,lorsque l'ons'intéresse àladis rétisationde l'équationdeVlasovpar la

méthode(PIC)[13 ,65℄, quirestelaméthodedesimulation numériquede etteéquation

la plus populaire en ore de nos jours malgré l'émergen e des simulations eulériennes

(voir les arti les [36 , 37, 105 ℄ et leurs référen es), il est bien onnu que les diérentes

approximationsetinterpolationsutiliséesdans etteméthodeontpour onséquen eque

l'équationde onservation dela hargen'est en général plusvériée defaçon exa teau

niveaudis ret. Par ailleurs,toujoursauniveaudis ret, ilsepeutqueladivergen e d'un

rotationnel nesoit pasnon plusexa tement nulle.De e fait, laloi deGaussn'est plus

une onséquen e de l'équation d'Ampère, et il est onnu depuis longtemps qu'ignorer

toutsimplementlaloideGaussetnerésoudrequeleséquations(1.1),(1.2)(systèmequi

restebienposé)résulteendessimulationsquiperdenttoutsensphysique,enparti ulier

en temps long, ar le hamp éle trique al ulé etla densitéde harge ne vérient plus

laloide Gauss(mêmede façon appro hée).

Plusieurs stratégiesontétéélaboréespour fairefa eà e problème. La premièreest

detenterderemédier aux auses duproblème:ilfautalorssavoir onstruire des

dis ré-tisationsdesopérateursauxdérivéespartiellesquirespe tentlapropriété

∇ · (∇×) = 0

, etdesdensitésde hargeetde ourantéle triquesquivérientune onservationdis rète

dela harge.Lapremièrepropriétéestvériéeparles hémadeYeeetsesgénéralisations

àdesmaillages présentant despropriétés d'orthogonalité (voirRemarque 3.2page 40).

Unese onde généralisation surdesmaillages bidimensionnels quel onquesestproposée

dansle hapitre 5. En e qui on erne la se onde propriété, laplupart destravauxont

porté sur des maillages de re tangles. Nous pouvons iter les travaux [48 , 107 , 115 ℄,

dont une omparaisonet ertainesextensionsontétéproposéesdanslathèsedeRégine

Barthelmé[10 ℄.Surdesmaillagesquel onques omme euxutilisésdansle hapitre 5,il

estégalement possiblede onstruire des ouples dedensitéde hargeetde ourant

véri-ant une équationde onservation de la hargedis rète,mais e i n'est simple qu'ave

desinterpolationsduplus basordre (detype "NearestGridPoint"), equi enrestreint

l'utilisation en raison du bruit numérique engendré. Pour plus de détails, on pourra

onsulterlathèse de SihamLayouni[78 ℄

Lase onde stratégie onsiste à orriger eserreurs,en faisant ensortequele hamp

éle tromagnétique al ulé in ne vérie, de façon exa te ou appro hée selon les

dié-rentes méthodes,les équations (1.1) et(1.3).

Lapremièrede esméthodesaétéformuléeparBoris[15 ℄etestbaséesurunpotentiel

orre teur :le hampéle trique total

E

tot

est lasommedu hamp

E

ev

al ulé à partir

des équations d'évolution (1.1) et (1.2), et du gradient d'un potentiel al ulé de telle

sorteque le hamp total vérie bienlaloi deGauss:

E

tot

= E

ev

− ∇Φ

et

∇ · E

tot

=

ρ

ε

0

,

orre tion hyperbolique

equi impliquelarésolution d'uneéquationde Lapla e

−∆Φ =

_ε

ρ

0

− ∇ · E

ev

,

e qui peut être oûteux en terme de temps de al ulet malaisé à paralléliser. Assous

et al. [7℄ ont proposé une implémentation de ette méthode dans un adre éléments

nis en onsidérant la loi de Gauss omme une ontrainte à l'équation d'Ampère et

en interprétant le potentiel orre teur omme le multipli ateur de Lagrange asso ié à

ette ontrainte. Par ailleurs, les auteurs in orporent la ontraintedans laformulation

variationnelle de l'équation du se ond ordre vériée par le hamp éle trique via une

méthode de pénalisation, e quifournit le systèmesuivant (é ritsous saformeforte)

∂

2

E

∂t

2

− c

2

_{∇(∇ · E) + c}

2

_{∇ × (∇ × E) − ∇}

∂Φ

∂t

=

−

c

2

ε

0

∇ρ −

1

ε

0

∂j

∂t

,

(1.8)

∇ · E =

ρ

ε

0

.

(1.9)

And'éviterlarésolutiondel'équationdePoissonquerequiert laméthodedeBoris,

Marder [74℄ a proposé d'ajouter un pseudo- ourant dans l'équation d'Ampère, e qui

fournitla orre tion suivante

E

n+1

_tot

= E

n+1

_ev

+

∆t

χ

∇



∇ · E

n

ev

−

ρ

n

ε

0



.

Parailleurs,Langdon[77 ℄aproposéunevariantede etteappro hequi onsisteàévaluer

l'erreurdans laloide Gaussau pasdetemps

n + 1

plutt qu'aupasde temps

n

:

E

n+1

_tot

= E

n+1

_ev

+

∆t

χ

∇



∇ · E

n+1

ev

−

ρ

n+1

ε

0



.

Langdona montréque ette méthode revient exa tement àee tuerune itération d'un

solveurdeJa obipourlarésolutiondel'équationdeLapla eimpliquéedanslaméthode

deBoris.Ilestdon possibled'itérerla orre tion pour obtenirun hampéle triquequi

serappro he de elui obtenu par laméthodede Boris.

Une méthode équivalente a été utilisée dans un ontexte volumes nis ave des

s hémas dont l'ordre peutmonter jusqu'à trois surdes maillages stru turés [43℄.Dans

etarti le, une étude de stabilité a été menée pour pré iser omment hoisir le pasde

tempsetle paramètre

χ

en fon tion dupasd'espa e.

Il aétéremarqué dansles arti les[A9, 87℄queles appro hesdeBoris etdeMarder

peuvent s'exprimer sous la forme d'unsystème de Maxwell modié, et que e système

modiépeutêtreàsontourgénéralisépourin lureunetroisièmeméthodede orre tion,

quiest ellequenousavonsdéveloppéedanslesréféren es[A8,P1,A9℄etquenousallons

détailler à présent : il s'agit d'une méthode qui préserve le ara tère hyperbolique du

système,etque l'on peut don implémenter aisément dansun ontextevolumes nisà

orre tion hyperbolique

1.2 Les équations de Maxwell généralisées

Nous é rivons i i le système de Maxwell généralisé. Pour des densités de harge et

de ourant donnés

ρ

et

j

,nousé rivonsleséquations suivantes

∂E

∂t

− c

2

_{∇ × B + χc}

2

_{∇Φ = −}

j

ε

0

,

(1.10)

∂B

∂t

+

∇ × E + γ∇Ψ = 0 ,

(1.11)

1

χ

D(Φ) + ∇ · E =

ρ

ε

0

,

(1.12)

1

γc

2

D(Ψ) + ∇ · B = 0 .

(1.13) Lesnouvellesvariables

Φ(x, t)

et

Ψ(x, t)

sont introduitesdanslesystèmededépartan de oupler(1.1)et(1.3)d'unepartet(1.2)et(1.4)d'autrepart.Lesnouvellesvariableset

les onstantes

χ > 0

et

γ > 0

vontavoirdessigni ations(etdon desunités)diérentes

selon le hoix de l'opérateur

D

. Dans e qui suit, nous nous ontentons de dé rire les

diérentes orre tions on ernant le hampéle trique (Équations (1.1) et(1.3)) ar la

violation de l'équation de onservation de la harge (1.7) n'inuen e qu'indire tement

le hampmagnétique.Toutefois,lemêmetype dedis ussionpeutêtremené on ernant

la orre tiondu hampmagnétique.

Prenons la divergen e de (1.10) et exprimons la dérivée temporelle de

∇ · E

en

utilisant l'équation (1.12).Nous obtenons

∂

_D(Φ)

∂t

− χ

2

_c

2

_{∆Φ =}

χ

ε

0



∂ρ

∂t

+

∇ · j



− χc

2

∇ · (∇ × B).

(1.14)

Cetteéquationsur

Φ

montre bienqu'à ondition de hoisir orre tement les onditions

auxlimites et/ouinitiales sur ette variable, elle- i reste nulle si la onservation de la

harge estassuréeetsi

∇ · (∇×) = 0

.

La formulation de l'équation (1.3) sous forme de ontrainte introduite par Assous

et al. est obtenue en hoisissant

D(Φ) ≡ 0

. L'équation (1.14) est alors elliptique et

Φ

est un potentiel orre teur qui assure que le hamp éle trique al ulé vérie bien la

loi de Gauss. Une se onde possibilité est de hoisir

D(Φ) ≡ Φ

, e qui orrespond à

l'appro he proposée par Marder. Dans e as, l'équation (1.14) est parabolique et les

erreurs ontenuesdanslemembre de droite sont diusées.

Enn, unautrepossibilitéestde hoisir

D(Φ) ≡ ∂Φ/∂t

.Dans e as,leserreurs

nu-mériquessonttransportéesendehorsdudomaine de al ulàlavitesse

χc

.Enee tuant

e hoix, le système de Maxwell reformulé (1.10)(1.13) est stri tement hyperbolique.

Nous le nommerons SMPH (Système de Maxwell Purement Hyperbolique). Un

ingré-dientimportant danslapratiquepour leSMPHserale hoix des onditions auxlimites

surles diérentes variables.Nous en reparlerons dansle paragraphe 1.4Finalement,si

nous onsidérons ladérivéetemporelledel'équation(1.10), quenousluiajoutons le

ro-tationneldel'équation(1.11)multipliéepar

c

2

(ensupposantque

∇ × (∇Ψ) = 0

)etque

nousluiretran honslegradientde l'équation(1.12) multipliéepar

χ

2

_c

2

,nousobtenons

une équation des ondes du se ond ordre pour le hamp éle trique, dans laquellela loi

deGauss(1.3) est pénalisée ave unfa teur

χ

2

_c

2

:

∂

2

E

∂t

2

+ c

2

∇ × ∇ × E − χ

2

c

2

_{∇∇ · E = −}

1

ε

0

∂j

∂t

−

χ

2

c

2

ε

0

∇ρ .

C'est exa tement e qui est fait (ave

χ = 1

), en plus de la orre tion elliptique dans

orre tion hyperbolique

de Assouset al[7 ℄ (voir lesystème (1.8)(1.9)). Onpeut don dire que laformulation

développéedans etarti leestdoublement orrigée,puisqu'elle omporteune orre tion

elliptique omme nousl'avonsexpliqué plus haut, etqu'elle intègre une orre tion

hy-perboliqueparlebiaisdelapénalisationdelaloideGaussdansl'équationdesondesdu

se ond ordre sur le hamp éle trique (voir aussila dis ussion menée dans l'arti le [69 ℄

oùune formulationmoindres arrésest proposée).

1.3 Approximation numérique par volumes nis

Pour ee tuerl'approximation numérique duSMPHpar volumesnis surdes

mail-lagesarbitraires, ilestpratique de l'é riresous forme onservative. Posons

u

= (E

1

, E

2

, E

3

, Ψ, B

1

, B

2

, B

3

, Φ)

T

= (E

T

, Ψ, B

T

, Φ)

T

et,pour

k = 1, 2, 3

,

f

k

(u) =

K

k

u

oùles matri es

K

k

∈ R

8×8

sontdonnées par

K

k

=



0

c

2

_M

k

M

T

k

0



(1.15) ave

M

1

=









0

0

0 χ

0

0

1 0

0

_{−1 0 0}

γ

0

0 0







 , M

2

=









0 0

−1 0

0 0

0

χ

1 0

0

0

0 γ

0

0







 , M

3

=









0

1 0

0

−1 0 0 0

0

0 0 χ

0

0 γ

0







 .

(1.16)

Nousavons alors

∂u

∂t

+

3

X

k=1

∂f

k

(u)

∂x

k

= g .

(1.17)

Leterme sour e de l'équationde onservation (1.17) estdonné par

g

=

−

1

ε

0

j

1

, j

2

, j

3

, 0, 0, 0, 0,

−χρ

T

ettient ompteà présent nonseulement deladensitéde ourant,maiségalement de la

densitéde harge.

Nous supposons dans la suite que le domaine de al ul

Ω

est partitionné en un

maillagede ellules

(T

i

)

i∈[1,N]

,dontlevolumeestnoté

|T

i

|

.Lafrontière

∂T

i

est onstituée de

σ

i

fa es

A

j

,desurfa e

|A

j

|

,où

j

par ourt

V (i)

,l'ensembledesindi esdesfa esde

T

i

. La normale extérieure à

T

i

sur lafa e

A

j

est notée par

n

ij

. Nous her hons à al uler

une approximation de la valeur moyenne

u

n

i

de la solution

u(x, t)

sur

T

i

aux instants

t

n

= n ∆t

,où

∆t

est lepas de temps, déterminé par une ondition de type CFL pour

uns héma expli ite.

Pourlasolutionnumériquedusystèmeinhomogène(1.17),nousappliquonsun

split-tingdutermesour eàlaStrang[106 ℄,etnous onsidéronsdon danslasuiteuniquement

la résolution des équations de onservation homogènes asso iées (système (1.17) dans

orre tion hyperbolique

nis. Elle débute don par l'intégration du système homogène sur l'élément

d'espa e-temps

T

i

× [t

n

_{, t}

n+1

_]

.En appliquant laformule de Green, nous obtenons une équation

d'évolution exa tequis'é rit

u

n+1

_i

= u

n

_i

₋

∆t

|T

i

|

σ

i

X

j=1

G

n+1/2

_i,j

,

(1.18) oùleux

G

n+1/2

i,j

àtraverslafa e

A

j

estdonné par

G

n+1/2

_i,j

=

1

∆t

Z

t

n+1

t

n

Z

A

j

A

ij

u(σ, t)dσdt,

(1.19)

lamatri e

A

ij

étant déniepar

A

ij

=

3

X

k=1

K

k

(n

ij

)

k

.

Uns hémanumériquefondésur(1.18)est omplètementdéterminédèsquel'onsedonne

uneapproximationdu ux

G

n+1/2

i,j

en fon tiondesin onnues

(u

i

)

i∈[1,N]

dis rétisant les valeursmoyennes de

u

.Pour ela,nousavonsutilisé late hnique lassique qui onsiste

à résoudre un problème de Riemann unidimensionnel dans la dire tion normale à

A

j

,

extérieurement à

T

i

:nousrésolvons

∂u

∂t

+

A

ij

∂u

∂ξ

= 0,

(1.20)

ave omme ondition initiale

u(ξ, t = 0) = u

i

si

ξ < 0

et

u(ξ, t = 0) = u

r

si

ξ > 0,

(1.21) où

r

est l'indi e de la ellule

T

r

voisine à

T

i

à travers la fa e

A

j

. Si

A

j

est sur

∂Ω

, la ellule

T

r

estune ellule tivedontnouspré iseronslerledansleparagraphe onsa ré

aux onditionsaux limites.

Pour exprimersimplementles al ulsmenantàlasolutionduproblèmedeRiemann

(1.20)(1.21), dénissons

p

, un ve teur orthogonal à

n

ij

(rebaptisé

n

dans e qui suit

pour plus de lisibilité) et dénissons

q

= n

× p

. Bien sûr, le hoix de

p

(et don de

q

) n'est pasunivoque,maisnousverrons quelasolutionduproblèmede Riemann n'en

dépend pas. Lamatri e

A

ij

pouvant être diagonaliséede lafaçon suivante

A

ij

=

RΛR

−1

ave , ennotant

0

= (0, 0, 0)

T

,

R =









c p

c q

c p

_{−c q 0}

0

c n c n

0

0

0

0

c

_−c

0

0

q

−p −q

−p n

n

0

0

0

0

0

0

0

0

1

₋₁







 ,

lamatri edesve teurspropres de

A

ij

,

orre tion hyperbolique

lamatri ediagonale desvaleurspropresde

A

ij

et

R

−1

=

1

2c

























p

T

0

c q

T

₀

q

T

0

−c p

T

₀

p

T

0

_{−c q}

T

0

−q

T

₀

_{−c p}

T

₀

0

T

1

c n

T

0

0

T

−1

c n

T

0

n

T

0

0

T

c

n

T

0

0

T

_−c

























,

la solution du problème de Riemann se ramène à la solution d'un système de huit

équationsde transportlinéairesdé ouplées

∂v

∂t

+ Λ

∂v

∂ξ

= 0

ave omme onditions initiales

v(ξ, t = 0) = v

i

si

ξ < 0

et

v(ξ, t = 0) = v

r

si

ξ > 0,

lorsquel'on aposé

v

=

R

−1

u

.

Compte tenudes signesdeséléments de

Λ

(voir (1.22)), la solutionde e problème

estdonnéepar

v

ir

:= v(ξ = 0, t) =

1

2c

























p

· E

i

+ c q

· B

i

q

_{· E}

i

− c p · B

i

p

_{· E}

r

− c q · B

r

−q · E

r

− c p · B

r

Ψ

i

+ c n

· B

i

−Ψ

r

+ c n

· B

r

n

· E

i

+ c Φ

i

n

_{· E}

r

− c Φ

r

























pour

t > 0 .

(1.23)

Enexprimant

u(ξ = 0, t) =

Rv(ξ = 0, t)

eten tenant ompte deségalités

a

_{× n = (a · q)p − (a · p)q}

et

(a

× n) × n = −(a · p)p − (a · q)q ,

(1.24)

pour toutve teur

a

∈ R

3

,nouspouvonsexprimerla solutiondu problèmede Riemann

initial(1.20)(1.21) sous laforme

u

ir

:= u(ξ = 0, t) =





















1

2

[(E

i

+ E

r

) + c(B

i

− B

r

)

× n + c(Φ

i

− Φ

r

)n]

1

2

[(Ψ

i

+ Ψ

r

) + c(B

i

− B

r

)

· n]

1

2c

[

−(E

i

− E

r

)

× n + (Ψ

i

− Ψ

r

)n + c(B

i

+ B

r

)]

1

2c

[(E

i

− E

r

)

· n + c(Φ

i

+ Φ

r

)]





















.

(1.25)

En appro hant

u(σ, t)

dans (1.19) par la formule (1.25) prise au pas de temps

n

, on

obtient à partirde(1.18) un s héma dupremier ordrequi s'exprime souslaforme

u

n+1

_i

= u

n

_i

−

∆t

|T

i

|

σ

i

X

j=1

|A

j

|A

ij

u

n

_ir(i,j)

,

où

r(i, j)

estl'indi e dela ellule voisine de

T

i

au travers del'arête

j

.Onpeutobtenir

dess hémasd'ordreplusélevéenutilisantdeste hniquesdetypeMUSCL[108℄,WENO

orre tion hyperbolique

1.4 Conditions aux limites pour le système reformulé

Un point important à remarquer avant toute étude détaillée des onditions aux

limites est que le SMPH possède huit ara téristiques, quatreentrantes etquatre

sor-tantes, omme l'indiquent les signes des valeurs propres de la matri e

A

ij

(voir Eq.

(1.22).Ilyadon quatre onditionsauxlimitesàimposer, ontrairement ausystèmede

Maxwell initial, dans lequel on peut vérier que sur les six ara téristiques, deux sont

entrantes, deux sortantes, etdeuxde valeurpropre asso iée nulle,etpour lequel,don ,

seulesdeux onditions auxlimites sont àimposer.

Considéronsune ellule

T

i

dontl'unedesfa es

A

j

estsituéesurleborddudomainede al ul.Nousutilisonsunete hnique lassiquequi onsisteàdénirune ellule"fantme"

(d'indi etoujours noté

r

) situéede l'autre té delafa e

A

j

,danslaquelle nousallons

pres rire des valeurs

u

r

de telle sorte que la solution (1.25) du problème de Riemann,

quiestlavaleurde

u

utiliséepour al ulerlesuxsurlebordde

T

i

vérieles onditions

aux limites que l'on souhaite appliquer. Puisque

u

ir

=

Rv

ir

, etau vu de l'expression

(1.23) de ette quantité, il faut et il sut don pour ela de pres rire, parmi les huit

omposantes de

u

r

,lesquatre ombinaisons linéaires









p

_{· E}

r

− c q · B

r

−q · E

r

− c p · B

r

−Ψ

r

+ c n

· B

r

n

_{· E}

r

− c Φ

r







 ,

(1.26)

qui sont les variables onservatives asso iées aux ara téristiques entrantes. On peut

remarquerquepuisque

p

et

q

sontdesve teursindépendants,imposerlesdeuxpremières

omposantes dans(1.26) revient àimposer

(p

_{· E}

r

)q

− c(q · B

r

)q

− (q · E

r

)p

− c(p · B

r

)p ,

equi, omptetenu desrelations (1.24), revient à imposer

(E

r

− cB

r

× n) × n.

1.4.1 Condu teur parfait

Une tellesurfa e est ara térisée par

E

× n = 0

(1.27)

et

B

_{· n = 0 .}

(1.28)

Notons que pour le système de Maxwell non orrigé, il est traditionnel de onsidérer

que la relation (1.28) est une onséquen e de la relation (1.27) ombinée à l'équation

(1.2).NousallonsvoirquepourleSMPH,larelation(1.28) nepeutpasêtre onsidérée

ommeune onséquen e de larelation (1.27).

Ené rivant quelasolution

u

ir

du problèmede Riemann doitvérierles onditions

(1.27)et(1.28), nousobtenons

E

ir

× n =

1

2

[(E

i

+ E

r

)

× n + c((B

i

− B

r

)

× n) × n] = 0

soit

(E

r

− cB

r

× n) × n = −(E

i

+ cB

i

× n) × n

(1.29)

orre tion hyperbolique d'unepartet

B

ir

· n =

1

2c

[(Ψ

i

− Ψ

r

) + c(B

i

+ B

r

)

· n] = 0

soit

Ψ

r

− cB

r

· n = Ψ

i

+ cB

i

· n

(1.30)

d'autre part, et nous avons don imposé les trois premières omposantes de (1.26). Il

restedon àimposerladernière, equiseradis utédansleparagraphe1.4.3.Ilest lair

d'autrepart quepuisquela relation(1.30) fait intervenirlavariable

Ψ

,au ontrairede larelation(1.29), elle-làne peutpasêtre une onséquen e de elle- i.

1.4.2 Conditions entrantes ou absorbantes sur le hamp

éle troma-gnétique

Ces onditions s'é rivent

(E

− cB × n) × n = (E

d

− cB

d

× n) × n,

oùles hamps

E

d

et

B

d

sontdes hampspres ritssurlafrontière.Le asparti ulieroù

E

d

= 0

et

B

d

= 0

orrespond aux onditions absorbantes dites de "Silver-Müller". En

é rivant que lasolution

u

ir

du problème de Riemann vérie la ondition i-dessus, on

trouve

(E

r

− cB

r

× n) × n = (E

d

− cB

d

× n) × n .

(1.31)

Dans e as, nous avonsdon imposéles deux premières omposantes de (1.26). Nous

devonsimposerles deuxdernières.

1.4.3 Conditions aux limites sur les orre teurs

Nous menons i i la dis ussion sur le hamp

Φ

, une dis ussion semblable pouvant

être menée pour le hamp

Ψ

. Notons toutefois que dans le as du ondu teur parfait

(paragraphe1.4.1)seule reste une onditionsur

Φ

à imposer.

Nousallonsenvisagertroispossibilités.Lapremièrepossibilitéestdi tée parla

solu-tion ontinuedusystèmedeMaxwellinitial:pour ettesolution,nousavonsévidemment

Φ = 0

danstoutledomaine de al uletsursafrontière. Imposer

Φ

ir

= 0

revient à

Φ

ir

=

1

2c

[(E

i

− E

r

)

· n + c(Φ

i

+ Φ

r

)] = 0

soit

E

r

· n − cΦ

r

= E

i

· n + cΦ

i

.

(1.32)

Unese onde possibilitéestdepres rire une onditionauxlimitesabsorbantes en

impo-santque " equientreest nul", soit

E

r

· n − cΦ

r

= 0 .

(1.33)

Cette possibilité est toutefois à manier ave pré aution, ar on s'éloigne alors de la

solution ontinue du problème de Maxwell, pour laquelle

Φ = 0

. La relation (1.33) ne

fourniraunebonneapproximationde ettesolution ontinue quesi elle- iesttelleque

E

_{· n}

estnul(ou petit)surlafrontière. Notonsque elaserale as si ettefrontièreest

unefrontière  tive servant à délimiter unepartie nie de

R

3

,le hamptendant vers

0

àl'inni.

Une dernièrepossibilitéestd'é rire une onditionabsorbantepour

Φ

,souslaforme

∂Φ