La théorie du Point Fixe pour Certains systèmes dynamiques dans Les Espaces de Banach

',

i€

.1/

lVIir

R6publique Alg6r'ienne D6mocratique

et

Populaire

isti:re

de

I'Enseig;nement Sup6rieur

et de

la

Rtlchrerche

Scientifique

\{

\

<1

u

o

2,!;;,,,",

,,,,,,,_

universite

8

Mai

lg45

Guelma

/;i')---"

'''

l*-f

1$-'-':ri*

Facultd

des

Math6matiques

et de

I'Informatiqudl,

:1 _\,' ;r=1'"r::i+-.r'"'i!

et

des

Sciences de

la

Matidre

_{t,r.""- -}

-

-

't

Ddpartement

de

Math6matiques

'{1.

'*:''

;;'-,ffi,

1' '"\ :...

_.\

\

i -r4y i ;t{ t lt

t,.:l

:',i{

il

p

!ry,

Pr6sent6 en vue

de

I'obtention du

diplOme

cle

Master Acard6mique en Math6matiques

f\nfinn

Fnrrafinnc anv

JJ6riv6es

Partielles

z1-;)

_

orl^"v,

tg

t',!,v,,

_<5!J,

Parr

:

Cheniet

Ali

et

Maklouf Walid.

lntitul6

T,it,'

Dyr

lhdorie

du Point

Fixe

pour Certains

S1'516mes

rarniques dans

Les

Espaces de

Banach

PRI]S;IDEN'

RAIIIIOR'I'I

Diriq6 par

: Dr.A.Debbouche

Devant

le

jury

I

Dr.

F.Ullaggoune

Univ-Guelma

UR.

Mme.

r\.Frioui

Univ-Guelma

,l V tll

ll

'l

llt

_l\i'.I

*

tl.|-

t- r

ll F,t

ta-L

rs,'

Th6orie

du Point

Fixe

pour

Certains

Systdmes

Dynamiques

dans

Les

Espaces

de Banach

maklouf walid

et

cheriet

ali

Mdmoire de master en math6matiques

Universit6

de Guelma

_t

R.E^6,[ERC[EtuftrNT :

'age tourt

d'ab,ard

a

diew

qwi

nous

a

donne

Ia

force

Fowr

termimer

ce

rnodeste

fuauain"

nos

.fnfrnies

gratitwdes d

nofue

pnowroteur,

./LtfldA\L5l["#ifliffi

:K"Y:rS,r"

_WDur

san

encadrermemt

ef

ses

aides

pr6,ciewses"

auss/

Ies

rnernhrcs

de

jwry

qui

nous

ont

f,ait

.[.r'h'o

dt'aecepter

fe

ju$ernent

de nofue

fuauai.f"

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L{ .rr,lt^t:i!},:L

.A/o#r:

llnfr.rn

[-oin

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recomnaissance

A

nos

ensei$namts

du

Ddparterne:nt :de sciences

exacte$

:

nows

rwtnerui'ons

tows

cewx

qwi

omt

co,nfuihads

de

prds

ow

de

X'dlaboratiozn

de

ce rmodeste

fuauai.tr,

txnouvemt

ic'i

tr

expression

prclbndes

gratitwdes

et

trustpe.a{g

ll

{

;

1n & ft'

ble

des

matidres

et

dGfinitions

il

D6finitions gdn6rales de quelques espaces de base

1.1.1

Espace de Banach

L.L.Z

Espace s6Parable

1.1.3

Espace Le

1.L.4

Espace de

Hilbert

Les op6rateurs .

.3

La th6orie de Semigroupes

1.3.1

Semigroupe

1.3.2

Cs-Semigroupes analytiques :

1.3.3

Systeme d'evolution

1.4

La th6orie de

point fixe

.

t.4.L

Thdordme du

point

fixe de Ba,nach

I.4.2

Th6ordme Arzela-Ascoli

1.4.3

Thdordme du

point

fixe de Schauder

L.4.4

Th6ordme du

point

fixe leray-schauder

Xr'el<istance

des

r@sultats

pour

une

classe

de semi

lin@aire

{'equation

d'dvolution non

locale

14

o 5 5 o o 7 7 8 8 8

I

10

1l

L2

t2

13

-1 €" 14 16 19

0a Md 1946-Guetma _{D6part€m€nt de Math6Eatlqu€s}

Introduction

R6suitats et

Notation

principale :

Preuve des th6ordmes

(2.I),(2.2)

et Corollaire (2.1)

lit6

des

systemCs

diff6rentielles non lindaires

dans

gspace

de

Banach

s€parable

Introduction

pr6liminaires. R6sultat contrOlabilit6 33 33 34 40 A f I

F

0t Mal 1946-Guelma D€partement der Math€matlques

va etudirsr dans

le

chepitre deuxieme

:

I'existence d'une solution de

d'6volution non Iocal

r

pt

["'(t)

:

Au(t)

+ (Fu)(t),t

e

I

'

'

_L,r(o) 1-

g(u)

-

q.

t

de

F

: C:$;

X)

_--+

L(I;

X)

est une donn6e (non lin6aire) op6rateur.

ce

.f.r

\ It

itr

point de vue ne n6cessite pas la condition de Lipschitz sur

I'ajout

fonction, l'€,tat de 1a fonction g est d6tendu.nous nous r6f6rons 6galement ude r6cente de L.P.zhu et G.Li[23] pour une autre approche trrour obtenir

asser de Ia condition de Lipschitz sur

_/.

va

etudi,er dans

le

chepitre

troizidme

:

Contrdlabilit6

d,es systemds

entielles nc,n lin6aires dans

un

espace de Banach s6parable Ie probl€rme

4#:

.4(r)r(r)

+

Bu(t) +

_f(t,r(r)),

t

e J

(0.1)

It

co

r(0) +

_s(r):

ro, (0.2) Banach .Y

-+X

la

va.riahle

d'6tat

r(.)

prend ses valeurs dans

un

espace de

X

ave'c la norme

_ll

ll,/(t)

:

D(A)

C

X

-+

X

et

L

: D(L.)

c

continues eb

B

est

un

op6rateur lin6aire born6 de

U

dans -1.

cet art:icle, nous donnons des conditions garantissant la contrdlabi-poun le systdme d'6volution non*local (3.1)- (3.2) sans hypothdses sur la

it6 de

f

, g et le systdme de I'6volution U(t, s) est fortement continue.

r6sultats obtenus sont bas6s sur la nouvelle mOthode de calcurl qui utilise

I

..tn

ppels

et

d6finitions

D6finitions

g6n6rales

de

quelques

espaces

de

bause

1

Espar:e

de

Banach

,-appelle erJpace de Banach

tout

espace vectoriel norm6 complet;.

n

espace vectoriel norm6 est

dit

complet si, et seulement si, tout;e suite uchy gr est convergente.

2

Espace s6parable

un

espace topologique contenant

un

sous-ensemble d6nombrable et c'est-d,-dire si I'on peut trouver une suite dont l'adh6rence est 6gale d.

topologique

tout

entier.

espace rrn6trisable s6parable est

un

espace d, base d6nom.brable et a

au plus la puissance du continu. Sont de ce type la

plupart

des espaces

Etre

A, base d6nombrable est une

propri6i6

beaucoup pLus

forte,

et

--l 4 D€partement de Miathematlqueg oB Mat 1946-G!uelEa

1.1

Espaoa

.LP

t/

,'(0)

relation ,,

f :

g ppt' est une relation d'6quivalence sur

/t(0)'

Orr peut

consid6rr:rl,espacequotient,quiestl'ensembledesclassesd'6quiva-1.1

.L1(())

est le quoti,ent d,e Lt(C))

par

la relat'ion d"1quiualence

alitd presq'ue _Partout d,ans

{lil

utrentent' di;'t,

L'(0) /

nv€me que

pourrt(Q),

on quoti,ente

L2(Q)

par Ia relation d,"d,qui,ualence

it6, presque Partout dans

dl"'

utrement di"f,,

d,rifinie sur

{l

d'

un

ensemble n€gligeable

pris

;

lrrlttdlar

< +oo}

I

ition

L.2

L'espace uectortel

f'(CI)

est le quotient de

ar(O)

par la

re-il'€quiuale'nce ttdgalitd presque

partout

d'ans

{ltl

'--r' '-l l

-l

I

.l

I

I

I

O8 lvlul 19416-Guelma D€partcment de, Math€matlques

tp({))

:

_{f

_,

d,6,f,ni,e sur

dl

d,

un

ensemble ndgligeable prbs, telle que

l,,tralf

d,r

<

+rc\

r-(o)

_/

nition

L.3

On

dzt qu'une _foncti,on

f

est essentt'elle'm,ent bomde

sur

f,l

eriste un rd.el positi,f

M

telle que

p({r

e

o;

_l/(")l

>

M})

:

o..

.4

Espa,ce

de

Hilbert

Un espace dr:

Hilbert

r6el ou complexe est un espace pr€hilbertien

tel

que orrne issue du

produit

scalaire rang cet espace complet.

Les op6rateurs

ient

FIi et

H2 deux espaces de banach

D€finition

I

soit .4

: D(,4) C

Ht

_-)

Hz.

A

est

dit

born6

si

il

existe une constante

Yu

€

H1.

0 t;elle que _ll,Aull

<

Cll"ll

D6finition

2

soit ,4 : D(A,)

C

Hr

---+ H2 On

dit

que ,4 est un op6rateur nr:n born6 s'il

une suite

(rr")

c

D(,a)

tq,

_llu"lla,

:1et

_llAu'"lln,

_--+

o(l

D€frnition

3

1

_

I

06 Mal 1946-Guelma Dapartement d€ Math6matlqud

On

dit

que I'opdrateur

A

est ferm6 si son graphe

G(A)

::

(u, Au),u

e D(A)

est ferm6 da.ns

lI1

x

f12

aa !(q)

C

D(A),un

1u

dans

Hl

et ,4un -+ u dans H2

+ueD(A)etu:Au.

.s

(I{1,ll.ll)

ust complet pour la norme du graphe ll,rll'n =.

ll"ll'",

+

llAull],,

La th6orie

de

Semigroupes

.1

Semigroupe

Une famille

_{G(t)it2o

d'opdrateurs lin6aires bornes sur

f/,

est dite

Semi-upe fortement continue, ou bien Ci-Semi-groupe, si elle v6rifie :

i)

G(o)

:1

(identite dans

L(H)).

ii)

G(t

*

s)

,:

G(t)G(s),

pour

tout

s,l

₎

0.

iii)

limx-s+

G(t)r: r

.2

Cs-Semi-groupes

analytiques

:

Au

lieu

I

€

_[0;*m]

da^ns

la

d6finition de

_{G(t)}ao,

otr

peut

penser dr

ir

ce domaine A.

A

C C.

Choisi

A

telle que

+s*r€a

g6n€ral

6

:'

_{z€

C

: rp1

<

argz

I

gz},

avec tp1

I

0

I

_92.

Soit

I/

un espace de

Hilbert

complexe .

l

../i'

-.l

I

I

1

I

I

I

0a Mal 1946-Guelma D€partement d€ Math6matlquei

*Soit

_A

_:

{z

€C,

gt"

<

argz

1

Vz,pr

(

0

<

pz}

ou

A

:

_{a

e C

:

gt

1

gzll

< pz)

un secteur dans C.

Une famille

_{G(")}".o

C

L(H)

forme un semi-groupe dans

II

analytique

)

dans

A,

si elle v6rifie les conditions suivantes :

i)

G(21*

z2'l

:

G(z)G(22), pour

21, 22

€

L.

ii)

c(o)

-

r,n.

iii)

[im,-e6,,

_a,6G(z)r

:

r,Vr

€ H

iv)

L'appliceution z

€ A*

:

A/{0}

-+

G(Z)n €

fI

est analytique,

Yr

€

H.

Co-Semi-groupes

compacts

:

Jusqu'ici no:rs a,vons classifi6 les semigroupes aux propri6t6s de r6gula,rit6

{G(t')}116,en cette sous-section que nous pr6sentons u,ne

propri6t6 dul semi

-

groupe bas6 sur

la

r6gularit6

d'un

op6rateur sirnple

nous pr6parons d,la d6finition avec le lemme suivant.

L.L

Soit

_{G(tr)}

est

un

Cs-Semi,-groupe sur l'espace al'e Hr,lbert H,

G(tr))

est compact pou'r certa'ins to

)

0

;

alors

_{G(f)}r16

est

com,pact pou,r tous

t

)

ts,

et cont'inue en norrne

szr

[16,

*m[.

d,ef

On

d,it que

_{G(t)}ro

est

un

Cs-Semi,-groupe i,mmddial.ement

com-;

_{G(r)}Dg

est compact pour tous

t

}

0

et Cs-Sem'i,-groupc:

d.uentuellement cornpact

s'il

eri,ste to

)

0 tel

_{que; {G(t6)}}

est compact.

.3

Svsteme

d'evolution

D€fi,nition

7

Une _{fami,lle de deur} paramEtre d'operateur

linaire

born€.

,s).

Auec

0'(

s

{

t

<7,

surun

espace d,e Banach,, est appel| un systeme

ion

si

:

Ies deur condi,tion suiuant sont satisfait :

i)

L'(s,s):

/,

U(t,r)U(r,s):U(t,s)

pour 0

{

s

(

t

<T

'

I

d,i,ffr

08 Mal l94Eii.Guelma _{D€partement de Math6matlques}

) (t,t)

-+U(t,s)

est _Joriement continue

pour0

(

s

( t<7.

La thdorie

de

point

fixe

@(r) unr: application cont'i;nue d,'un espace

X

en lui-m6me; on nornnle

f,ues de

O(r)

les salutions d,e l'€guation

r:

O(r).

(1. 1)

ous ne parlerons pas de l'€tud,e locale de

l'*quation

(L.r).

cette €tude

_fut

d'abord par _{E.P,icard,d,I'aide de la rn€thode des approrimati,ons}

succes-;ptlis

par

E.

Schmi,dt,dl'aide _{de ddueloppements en} s€r,ies,

Q(r)

d,tant

holomorphe.,La noti,on d,'espace d,e Banach permi,t

d

T.,

H.

Hild,e-et

M.

Grauet; de systdmati,ser

la

m€thode de

E.

Pi,card,;

iI

est aisd. de

al'i,ser d,e rn€.rne _{celle de}

E.

Schmi,d,t,

'est

d,e I'6tu,de globale

de l'€quation

(L.L)

que nous nous occuperons.

6tude

_fut

_{fu,ite d'abord} par Fredhalm,

F.

Riesz, quand

Q(r)

est

ire et transforme les parti,es bam€.es de

X

en parti,es _{compuctes I} pu,is,

Q(r)

n'est pas _{lindai,re, par}

_{L. E.}

_J.

_{Brouwer, Bi,rkhoff et}

_lkllogg,

:fschetz,Scho,uder

_,

Leray

_,

Rothe

,

Tychonoff

,

Nielsen

_,

et

Wecken; tgpes d'hypothises

_furent

utili,s6,s

et

condui,sirent d, des thd.ories bi,en

tes :

tains auterrs

suppos\rent que

X

est

un

espace uectori,el

et

que

6(n)

ses ualeurs dans

un

compact; d'autres supposErent que

X

est compact

uirif,e

des hypothtses appropriAes. Ces h,ypothEses compl,iquent ce

se-point

d,e aue, que nou,s n'o,Itrrons _{pas le temps d'analyser en d,€tail; c'est}

l

l

I

I

I

oa Mal 1946-Guelma D€part€ment de Math6matlquer

en

lL.

tl'

)D

prenxier pa,int de uue qui se prdsente quand on applique Ia

thiorie

des

ts

_fnes

d, celle d,es €quati,ons o:utr diri,u€es parti'elles. Erposons-Ie d,'abord',

t,

qu',i synthdtise

1

Th6o:rdme

du

point

fixe

de Banach

oint

_fi,ne

s

observati,ons prdcddentes condui,sent d, dd,fini,r

la

noti'on d,e poi'nt

_fne

ion

1.1

Soit

g:

/ +

lR. une

_fonction

cont'i,nue

sur

[.

rlit que

a

est un point

_fi're

de

g

lorsque

g(a)

:

a

rl'autres termes, les poi,nts

_f,res

de

g

sont les solutions, lorsqu'elles

tent d,e l'equnti,on

g{a)

:

a.

i,tion

1.5

applicati,on contractante

it

A

une appl,icati,on de

v

dans

v

.

on

d,i,t que

A

est cont'ractante s"il

un r€.el

a

strictement i'nfdri'eur

1 tel que

Vu,w

eV

:

_llA(u)

_-

1(r)ll" 3

allu

-

wll"

iordrne

1,7

Soient

E

un

Banach

et

_f

:

E

-+

E

une

appli'cati'on

K

tractante

Alors

:

Ia

_foncti,on

f

admet

un

unique

point

_fire

(. sur

E

(c'est-it-dire

i!{,

e

(t)

:

l)'

{.

est Ia

limite

d"e toute sui,te

(t}^)

d,e

E

ddfi,ni,e par us

e

e etUn+L

:'

f

(U^) 11

,/'*

-l

I

I

I

I

Departement de )Math6matlques

tractante

(

c'est-d,-di,re li,pschi'tzi,enne auec

K

<

1

)

2

Th6ordmeArzela-Ascoli

oE Mat 1946-Guelma

rne

I'e

d,e

oi,t

E

un espu,ce m€trique compact,F un espo,ce m6,tri,que compl'et,C(E, F)d6'si'gne

mhtrique d,es _{fonctions d,'finies cont'inues sur}

E

muni

de Ia distance

conu erg en ce unif o rnt' e

-oit

H

cC(lt,F)

alors:

relatiu ern ent comPacte

g

1)

H

€.qui'contr'nue

2)Yr

e E,H(n)

:

tt@),

f

€

Hj

relatiaent'ent

dans

F

.3

Th6ordme

du

point

fixe

de

Schauder

th,orime

d,u point fi,re d,e schauder est une gd,n€,ralisation tlu th4.orime

t

_f,re

ile Brouwer

d

d,es espaces uectori,els topologi,ques d,tt dimension

.

Il

a

€ti

d,6montrd, d,'abord, dans

Ie

cas des espaces de Banach

par

Ju-schaud,er. ,ll,interu,ient dans la d,'monstrat'ion d,e l'eri,stence d,e solutions

ions diffelrentielles

oi,ent

E

unR-espace uectoriel topologi,que s€par6 et

c

un

corluefre _ferm6

ui,d,e de E.

Thdordme

si

7"

est unet applicati,on continue d,e

c

d,ans

c

telle que

T(l))

srtit rela'

campact, alors

T

a un Poi'nt fi,te.

oE Mai 1946-Guelma D€partemcnt de Math6matlques

4

Th6orime

du point

fixe

leray-schauder

appli,ctttion continue

T

:

B"

_-t

lR* telle que

)T

n'ait

pas d,e poi'nt

sur ABn pour

tout,\

e]0,

1l

possEde au moins un point

_fire

dans

Bt

1

,.i.'

./

apitre

2

xistance

des

rdsultats

pour

une

se

de semi

_{lin6aire d'equation}

c

d'

volut;ion

non

locale

Introcluction

les derniEres dd,cenni,es,une attent'ion cons,iderable

a

€t€, consacr*,e

de

I'iquation

d,'6uoluti,on _{semi,-li,n6aire su,iuante auec les cond,,itions}

non locaur et les rdfdrences qu'i

s'y

trouuent)

oil, I

_[0,7],et

A

est un op€rateur

_fermi

_{dans un} espace d,e Banach

X,

et

g

et

des _fonctions donnds. et cond,i,tion i,ni,ti,ale non locale

u(0)*g(u)

:

uo

'peut appli,quii d,ans

la

phi,sique aaec

un

me'illeur effet que

la

eondi,ti,on

initi

class'i,que

z(0)

:

ug.

le

problime

(Q

o

€td transforrne

a un

6,qua-ti,o di'fferentiell

.

nous rd.f6.rons _{les lecteurs}

_d

_{les r€f*rences}

_qui

_{sant ci,td,es}

d,'infornzations en ce sens. I)'int€r€.t est Ie cas oil,

A

enaendre un

t

Cg-semi,g,roupe

(T(t))Dg.

da,ns certa'ins trauaur pamllelle

pr€c(.d,em-@\

_'

_"

["'G):

Au(t) + f

(t,u(t)),t

e

I

["(o)

't

s(u)

:

,uo.

f

pas est

0E Msi 1946,-Guelma D€partom€nt de Math€matlqseg

le th€or\nrn de poi,nt

_fire

ile Schaud.er ou l'alternatiue Lero,y-Schauder

ti,li,si.e

pour

obtenir

les points _fi,xes de

I'ordre opirateur.In

solut'ion d,

trer

que l'opdrateur est compact, une approche conlrnune est

d'utiliser

Ie

me d'Arzela-Ascoli.cepend,ant,

€tant

d,onnd que l'espace

X'

est infi,ni-dirnensionnel et I'op'6rateur

A

est born€,, Ie semigroupe (Tli,,t))t>o n'est cont'inue pou,r

la

topologi,e des conuergeuce uni,forme pour

t

==

0.

ai,nsi,i,I ;,ffi,ci,le _de

_udrifier

_la

_{€quicont'inuit€} d,e certa'ines

_familles

de _foncti,ons .

I'hgpothise oil, Ia _foncti,on

f

est lipschitzi,enne dans l'argument seconde

.Li,ang,J.H.Li,u et

T.J.Xiao)

ont ddueloppd une mdthode pour monter ce

i,le de _{fai,re, i,ls}

ont

donnd,

la

condition suiuante technique

:

Ia _fonction d€pend que, d,e

Ia

ualeur de

u

dans _{I'i,nteruale 16,T]}

pour

une certa'i,ne

tante 6

>

0

.

(Rdcemment Ronge Yuan)

a eram'ini

le probliime su'iuant

local .

tpt

{d@

:

Au(t)

+ (Fu)(t),t

e

I

' '

_[r(0)

*

s(u):

us.

:

C(I;X)

--+

L(I;X)

est

un opirateur

donnd (non lindai're). On sup-que

A

engenilre Analgtique semigroupe et

us

e

X,

et

g

une _fonction

,

et

X

un

espace de banach Nous tenons d, souli'gner que

le

trauail

sur I'hypothEse su'iuante

(uair (H2')

dans Ia sect'ion

2),

c'est-d'-dire,'il

e une

_fonction

a €

L(I;R+)

tel

que

ll

(FuXt) ll<

o(t),

pp

t <

I,

Yu

€.Y

(2.1 ₎

LY

_{est une fami,Ile} d,e _{tonct'ions qui seront} prdci,s€es plus ta,ril pour des

si,rnihti,res). Cette

conilition

est trEs restri,ct'iue, ma'is e:ssentielle d

em'ployde dans

_{[1, 2].}

Dans cet art'icle,nous supposons que les

d,e I'opir,ateur

F

etC(I;

X)

dans

Lp(I:

X)

pour un P

)

7, nous allons

o6 Mai 1946-Guelma D€partemert de lvlath€matiques

sa1

un

quela

condit'ion (1.1) peut €tre omi,se dans ce case.p&r _ailleurs,

fai'-obseruer quo

llopirateur

rle

C(I;X)

d'

L(I;X)

peut €tre apry76c,hde par

e d'op4rateurs de

C(I,X)

d

LP(I,X),

dans urt certain sens _faible,

gue les th€or\mes prxncipaur sont d,es consequences d,e nos

r6'sul-tats Nou,s organ',isons le papi,er cornnxe sui't.In

la

secti'on

2,

nous,'rappelons

qu notat'ions

et

d,e

l'6tat

des pri'nci,paur r€sultats d,e cette 6tude auec

I' tence de

deur

th€ord.mes.In

la

section

3,

nous a,uons d'abord, prouuer princi,pale "resultats.par Ia

suite,

nous cornparons notre approche auec

cel

_fournie

par

L.P.Zhu et

C.Li'.

R6sultats

et Notation principale

:

ous cornnlerl7ons cette section en donnant quelques

notations.l\

ef lR.+

'ensernble des numbres naturels et non ndgatif,respect'iuemen';t.paur

l'es-de Banach

X

et

p

e

_{l1,oo], on}

note,

par

U(I;X),

I'espace

Boch-er

:

toutes

les

cllases d,'1quiualence des _foncti,ons

_fortement

m,esurables

4

X,

telle que e on no n u ll

z

ll;,::

(

[

Ur4lll'

d,)*

.

*.

\"/r

/

(f

_;X)

on

'note l'espace d'e Banach de toutes les _foncti'ons continue de

X

aaec Ia norme

ll

, ll-:

mar{ll

z(t)

ll:

t

€

I}.

d,onnons I')\ypothEse su'iuante sur _{I'opdrateur '4.}

'H1)

L'opdratteur

A

engendre

unCs

sem'igroupe compact

(T(t)t>o)

sur X,

pour tout

i

>

0,

I'opdrateur

T(t)

est cornpa,ct

Il

r€sulte de

(H1)

que

0E Mal 1946-Guelma D€pqrtcment d€ Mathamatlqu€8

rft)

cont'inue

pour

lo, topologi,e des

oplrateur

un'ifor"rne po'tff

t >

0,

c'est e8t d,ire

v

solut

Iir4

_ll

"(t

+

q)

_-

"(t)

ll:

6,

vt

>

0.

(2'2) n--+u

ll"(t)ll

e:st bornie

sur tout

interualle compact de R.,. d€fi'ni'e.

M::supll"(t)ll

:

t€1.

d,'habi,tuil'e, pour

tout

us

€

X,

une foncti,on

u

€ C(I;

X)

est

dit

une rnild, d,u _Trroblime

(p)

ti

elle sati,sfai,t l'aquation intdgrale suiuante

u(r)

:

?'(r)(uo

_-

_sfu))

+

['

r1t-

s)(Fz)(s)ds,

t €

I

Jo

r

>

0,

soitT+ est Ia boule _{ferm€e de l'espace}

C(IiX)

d,e rayon

r

et il,e

introd,uisons les

0,

tel

que'Y,,: {U

e

C(I;X):

_llull-

(

r}.

ffous

Ese.s suiuantes.

Pour

cerlains

p

€

(1, oo),

I'opirateur

F

: C(I;X))

-+

Lp(I;X)

est

ensemble barni.

X

est continue

et

I'i,mage de y:, d,ans un

ue et l''i,mage d'e

Y,

dans un

La _foncti,on

g

:

C(I;X)

-+ born€.. Por cen (H2. conl (H3 (Hs ensl (Ht,

La

foncti,orr,

g :

L|(I;X)

+

X

est continue

et

I'image de

g,

dans un

ble bom€.

L'ffirmation

suiuante est

uiffiie

uni,forrnl'ment pour

tout

Q

e

Y,

:

|g

llo(d)

-

e(d')ll

:

o,

0(l(e,

e<t<7.

1n -Lt

,u,{I!,i},,

I

I

I

I

1-I

D6Fart€m€trr d" _YS!C-"tl::"" O8 Mal 1946'Guelma Les

N

etI

tion (p)

ila llluoll

*

suQ'ev{llg(')lt+ llFullz'')l

3

r'

sultats pri,ncipale sont les th1orEmes suiuants'

me

2.1

Supposons

qu'i'l

eriste

une

constante

r

)

0'

tel queles

cond'i'-(H1)-(H5)sontsatisfait.IeproblimeileChauchynonlocal(p)posside

oins

une

soh-ltion mild' d'ans

Y'

>rime

2'2 ilupposer qu''i'l eri'ste une constante

t'>

0'

tel

que les

condt'-(H1),(H2),()tI|'),et(H5)

sont sati'sfait'Ie problime d'e Chauchll non local

Ad,e au moins

une

solut'i'on

mild

d'ans

Y'

reportons

la il\monstration

des d'eur thiorbmes d"e l0' section' R'Yuun

fi,ewr a obttznu d,es

risultats

d'eti'stence pour Ie

probl\me

non local

(p)'

(HH) remptac|

par

l'hypothbse su'i'uante'

(H2')

t'opdrateur

F

:

C(I;

X)

-+

,X)

est continue.il eriste une

fonction

a € L(I'lR'+)'

telle

que

L'(

De

loi

ll(f'uXt)ll <

a(t),P.Pt

e

t,Yu

€V

oute 6ut'd'enc,e, I'hypothtse (H2) n'i'mpli'que pas

(H2')'ni

uice uersa'cepend'ant'

Iacond'ition(2.2),onpeutapprori'merI'op*rateurFd'ansI'hEpo-e

(H2')

par

une sur,te d,'op€rateurs d'e

C(I;X)

d

U(I'X)'

(p

>

L)

En

Ie ri.sultats principale sont d.es consiquences d,es th€orirnes

(2'7)et(2'2)

llaire

p.l

Le problime d,e

cauchy

non-lacal (p) possbd'e a'w mo'ins une

|on mi,Id, dansY,,pour uoi,r que les cond,it'i,ons d,es thdorimes (ir?'l)ou (2'2)

sati,sfaites, Ia preuue sera d'onn€e d'ans la secti'on su'i'uante'

(2.3)

l

te 0E Mal 194Ei.€uelma

Preu'ye

_{des thdordmes (2.I),(2.2)}

_et

_{Corol_}

laire

(2.1)

D€partehent do Math€meilque:

de i7anach de

de

la

rtorme

cette se.cti,on) no,,s _{donnons les preuues d,e ce qui, pr€cdd,ent,}

nous d'abord pnouue, Ie r|.sultat d'eristence d.u probl\me

(p)

sous

un*

hypo-plus restrict'iae

_sur

_{les appli,cations}

_F

_et

_g.

_{rest rappelons}

d, t,hyltothise

(H6)

II

eri,ste a constant

de

(0,

T),

telle que

F(u):

_tr(t),

_sfu):

pour

_tout'tl,u

_e

_Y

_auec

_u(s):

_u(s),s

_€

[d,"].

Nous auons les r|sultats

nts.

2.1

On

suppase qu'i,l eri,ste

une

constante

r )

_0,tel

_{q,ue les hy_}

es

(H1)-(Hs),(H5),et (H6)

sont

sati,sfai,tes. _Ie

_{probltme non}

_{local (p)}

au moins une soluti,on

mild

dans

y.

considdrons le problEme

(p)

sur

C(6,7,X),

l,espace

les _{foncti,o',ns cont'inues d,e I'i,nterualle}

[6,7]

d,

X

muni

te:

Y(6):,: {ue

C([6,7];X):

_llu(r)fl

<

r,

Vr

_{e id,?j],}

Nous ddf,ni,ssons deur appli,cation,

F

:

y,(5)

-+

L\(I;X)

et

g :

y(5)

_+

X,

suit.pou,r

tout

u

€Y(6),laisser

(Fe$)

_::

_(Fu)(r)

_V,

_€

_[0,?]

s(")

g(,u),

Oil

'u

_€

_Y,

_{satisfai,sant}

_u(t)

:

_u(t),t

_e

[6,7].Cla,irement, les

i,ons

F

et

li

sant bien ddfinis et _{canti,nues.par ailleurs,}

sup^. _fff'alls,n

:

_{s,!.LpuE11.ll.Frllr,,}

_<

_*,

a€)4.(d) (2.4)

Oa Mal 1948-cluetm& D6psrtem€nt de Mathamsilques

t/

(Hs), (T',(t)) que la [6,7],e

r(t

f.qq^. li

Fulll

:

slxpz:ey,ljFullz,,

<

oo,

ueY"(6) (2.5)

,il%,

Ilifu)ll:

supuevlls(")ll

<

m.

(2.6) tenant,nou,s d€fi,ni,ssons _{une appli,cati,on}

_$

_sur

_y,(6)

_par

u)(t)

::

T{t)(us

_-

_\fu))

₊

fr'

r{t-

s)(Fa)(s )d,s,t

€

[6,7]

(2.7) rruontrons que ?, poss€de _{un point fi,re}

_dansy(6).

_par

_(2.5),(2.6)

et obti,ent que

t!

_{les 'image d,e}

_y,(6)

_d,ans

€nze.puisque

F

_et

_fi

_{sant continues,}

_i,l

est _faci,Ie d,e

airifrer

_si

th

e. nous seulement besoi,n d,e prouuer que l,ensembte

_$u

_{: u}

_e

y$)

ent cornpact d,ans

C(d,T:

X).

Ensui,te, le

risultat

du

thdarime du point

_fire

d,e Schaud,er. Taut d.,abord,, porce _eue

est un Co-,sem,igroupe _{com,pact, par (2.2), (2.6)}

et(HS), nou:t obten,ir

ille

de _foncti,ons

_f(.)(uo

_-

_i{"))

_:

_u

_e

_y,(6),

est €quiconti.nue sur

pour

_tout,

_e

[d,

Tl,

I'ensemble

{u0

*

g{u)):

u

e )/,(d)

est relati,uement compact d,ans X.l,apptli6s1,i6n

d,u th€ ime d'Arzela-Ascoli,on _{obtient que}

_T(.)(us

_{_}

_g("))

_:

_u

e

y6)

est re_

t:ompactilans C (6, T;

X).

e; nou,s m,,ontrons

quef;T(.

_-

s)(Fa)(s)ds

:

u

ey(6)

t

compact dans

_C(6,7;X).,

_{nous &uans d,'abord.}

que chaq,ue,

€

_[d,

_{Tf,I,ensembtef]7ft _ s)(Fu)(s)ds: u}

_e

%(d)

est rel _{compact dans X .in}

fait,pour

tout

r

€

(0,

t)

et

u

e

C,(6,7;

X),

I'indgalit€ _{de hiild,er,on obtient que}

En

est

en

O8 Mai 1946-Guretms

q

e,st

le

_nornbre

_conjugu|

_d,e

p,

_{c'est-d,_rlire}

*

* t : I.

par

consi_

qut,ent,

_ur

_{tout, e}

_),

_{0, par hypothEse(Hp),(2.a)}

et

(2.g), on _{peut trou,uer une}

te r7 auec

0.<

ry

.'-t,tel

que

1t

ll

_Jt-,

,/

T(t

_-

s)(Fz)(s)d"ll

tt -

_{< :,}

Vz

e

r"(d)

21

par"t, si, nous d,onnent

It

ll

J,

r(t

-

s)(Fz)(s)d"ll <

M(t

-

r)tfFullp",

{r(,iafu)

:

u

e },,(d)

c

_I

_{la(",, *)},}

-z

3=I ft-tn

J"

r(,

-

s)(Fu)(s)ds:

u €

%(d)

cll?@0,e),

cons D'au

et

I'i,

Ai

pour est rel

J:

It-q

V(")

,:

Jo

r(t

-

q

-

s)(Fu)(s)ds,

vu e

y,(6),

(2.10)

de Ia hdlder s'appliquent d, nouuea,tr,

_on

obti,ent que l,etzsem,ble

D6partem€nt d€ Math6Eailquos

(2.8)

(2.e)

(2.11)

fi

et

d,e centre

ri.

v((r)

:

€ 1;(d)

est dans

X

_{danc, par la compaci,t€ de}

_T(rfl,on

_{peut trouuer un e,semble}

fimi,

ri:

1<i<md,ansX,telleque

oil

B(

est

la

_{boule ouuerte de I'espace X,d,e rayon}

Pui,s, i,l de (2.9)

et

(2.I1)

qui,

(2.12) i.:I

pour chaquet

€

_{16,T],\'ensemUte}

_fif

_{ft _}

_{s)(FU)(s)d,s :}

₍₎

_€

_%(d)

t

compact d,ans X.su'iuante, nous montrons _{lue

-

s)(Fu)(s)ds

:

u

€ )r,(d)

est €quiconti,nue

sur

_l5,Tl

)r)0,nousauons

08 Mai 1946-Gu$lma D€partement de Math6matiques

[:

t

-

s)(F(u )'r(s)ds

- f

Jo

T?

-s)(Fa(s)ds

:

Jr

['

,(r-

s)(Frr)(s)ds

(2.13)

(2.t4)

v(r)

:

T(r,)(us

_-

gQb\

*

f,'

,U-

s)(rrl)(s)d.s,Yt

e

Lo,Tl,

Ai

nu,i,t€. Tetne ment

ltd

==

fr

+

_|

fr(t

-

s)

_{- T(r-}

s)l(Fz)(s)ds,

Jo

ap'plicat'ion ile I'in4galitd de h'tild'er montre que

I'

ll

/

lr(t

_-

s)

_-

"(r

-

s)l(Fu)(s)dsll

S JO

(2lvr\

_lFnllr"(

['

_llrt,

_-

r

*s)

_-

"(s)llds)i

Jo

i,

en

(2.2),(2.8),(2.13)

_{,(2.I4) et (H2),}

nous d'i,ri'uons les

€'quiconti-I'ensemble

_{rhu

, u €

Y(6)}

d

[d,7] par

l'appli'cati,on d'e

tlt€o-'Arzela-Ascol'i,on

peut

d'6dui,re que

_{ivu

:

"

e

Y(6)}

est

relatiue-t

iJ,anst

C(16,7];X)

donc, i,l

ya

un

fonction

6

€V(6)'telle

que

, c'est- d,- d,ire

iI

r€sulte d,e Ia il6,fini,ti'on d'e

F

eti,

qui' ft

o(t)

:"(ir)(us

_-

_s@)+

|

T(t-

sXFoXs)as,vt e

[d,T]

Jo t,s'i, nous auons l'€quation

rl,(t;

:

?(r)(us

_-

_{s(60 +}

1,,'

rlt-

s)(FO)(s)d's,vt€

[0,

?],

4) C

(I;

X)

et

lt(t)

:

4$),,

€

[d,

\-po,

(2-5),(2.6) et

(H5)'

on 'z tls €- Y, '

0E Mal 1946-Gluelma D€partshent de Math€matlques

c'est

sons

d,6fin

$

est une solution mi,ld d'u problime (p).

E"

su'ite, nous'

constru'i-famille

d,es

problimes

d,e Cauchy

non

local. Auec

d

e

(0,7),on

t

un

opdrate'u,r _B5 sur

C(I;X),cornrne

su'it :pour tout

u

€

C(I;X),

.

(uqq,

o<r<d

lgdul(t)|i,ra.

_6<t<r.

(u,-r'

,

B5 est

un

opdrateur li,nda'ire bornd. sur

C(I;X)

et

_llfoll

:

1

.

Par

6quent, pour tout

r

)

0 on a 0a

Y

CY,

,mai,ntenant nous a!.6fi,m,ssons

,F5:

C(I;X)

-+

LpQ;X)

et

95:

CQ;X)

-+

X

comme

7afu)

:: g(Ftu),

u

e C(I; X),

F6u.:F\ou,

ueC(I;X).

id€rons le problime de Cauchy suiuant nan-Iocal :

deur

sui,'t

Par

sont

(

(po)

_I

u'

(t)

:

Au(t)

+

(F5u)(t)'t e

t

' "'

_{[,(o) 't}

g6(u):

us'

o,uons Ie r4.sultat sui,uant.

e

2.2

Sup.posons qu''il eriste une constante

r

)

0 tel que les cond,'it'i,ons

(H1 (HS) et (H5.) sont satisfai,ts. _'Alors pour tout 5

€

(A,T),le problime _\P5)

adm au rnoins u,ne solution mi'ld en

Y.

d,6fi,ni,tions de 0a, F6,et g5,on obtient que les cond,iti,ons d,u lemme (2'L)

i,sfaites, auec

F

et

g

remplac€

par

_{F5 et 95}

,

respect'iuemen,t.

D'apris

leI

e 3.1. on en d€d,ui,t le

risultat.

tenant, noust tertn'i,nons la preuae du

thiorime

2.1.

M

OP Mai 1946-Guelma

d,u

th€orEme 2.1.

est diuis6.e en quatre €tapes.

I

so'it

6n,n

e

N)

_c

(0,7)

une

suite

ch

n €

N,

il

risulte

du lemme

une _mi,lil

_u"

€Y

nous

D6partement de Math6mailques

d€croi,ssante conuergeante uers

0,

pour

(2.2)

que

Ia

nan-local

problirne

(Pa^) o

t

€

I

(2.15)

(2.16)

:

T(t)(uo

_-

ga^(rr*))

₊

fo'

rlt -

s)(F6^un)(s)ds,

Vn,:06nun,

telle

queV*e

Yr

et

(Z.IS)

)

:

?(r)(us

-

s(W))

*

lr'

,U-

s)(Frz,)(s)ds, ,(t) .frni

,^(t

_t€I

6"(t)

::

T(t)(uo

_{- s(V")),}

t

€

I

ft

tl;"(t)

:: I

r(t-

s)(Flz")(s)ds,

t

€

I

Jo

O"(t),rh"(t)

€

C(I;X)

et

u,n:

_6n*1hn,

d,ans les deu,x itapes

sui,-nous allott's

montrer

que

_{g^(t)

:

_n

_{€ N}}

_{et {rb*}

_,

_n

_{€ N}}

_sonf

t

compact dans

C(I;X)

et

auss'i

_{{un: n €}

N}

ontrons que

_{{"(t):

_{n €}

N}

est relat'iuement compact d,ans

C(I;X),

,

np1.ts arons d,'abord

_ffirrner

que pour toute

t

€.

I

l,ensembte

_{$^(t)

:

est relatiaement compact dans

c(I;

x),

en _fai,t

le

cas

t:

0 esl tri,ui,al,

t

€

_[0,

T],

remarquent que

_{V"

,

n € N}

C

y,,

si,mi,la,ire d,la preuae

(2.1) (uoir

(2.8)-(2.12)

_,

_nou*

_obtenons

_la

_{relatiue compaci,td de}

{rb"(t

:neN)/

aIa

n€

pour de 24

OE Mai 1946'Guelma D€psrtement de Math6matlques

(2.r7)

(,1.8)

.L4\

en

peut

d,ddutre que

{*^{t)

:

n e N}

est 1qui'continue'

En

ap'

t

l4

th|orinne

il'Aascoli-Arzela

on

obtxent que

_{'rn(t)

: n € N}

est

t

compttct d'ans

C(I;X).

D e n1,aLn d,ans d,e l1e {.d",,

t part, pe'r un argument si,milai're d la preuue d'e lemme

(1\'l)

(uoi'r

nous montrons que

_{{qi"(t) :}

n

€ N}

est relati'uemenl compact

(I; X),

parce que

_ll"(t)ll

est borndn sur l''i'nterualle

I

il

suffit o!'e preuaer

d,e r,td

d,eI'(t)tlot

ort' obti'ent aue

{d,:

n e

N}

est €qui'continue dans

c(e,

;

X).

et

pour

toute

t

€

le

,Tl

l'ensembte

{6":

n €

N}

est relatiuement

dans

X,

En

appliquant Ie th€ordnt'e d'Aascoli'-Arzela an obtient que

e

N)

esl relatiuement compact d'ans

C(e,T;X)'

I&s

_tg(%)

:

n e

N)

est relati'uement compact d'ans X '

€

€

(0,

T),

nous consid,1rons

_{6*

t

n

€

N}

est une fami'lle de foncti'on uers

X.

thn rernarquent que

{W,n

€

N}

c

Y,

par

(H3.)'{2'4)'

et

'autre pu'r

,

con"ffne Ie preuue d'e I'€tape

2,

_{'lt"(t)

:

n €

N}

est relati-compact a!'ans

C(I;X),

aussi'

{un:

n €

N}

est relat'i;uemen't compact

C(c,T;X).

.soi,t

_{{en: n}

€

N}

une

sui'te d'€croissante en

(0'1")' tel

que

€n

: 0

Alors,

il

exi,ste un'e sous-suite d'e

_{Un

:

n € N)

d6'si'gn6' ir

par

_{Un:

n

€

N}

₎

et une _foncti'on

w1€C(e,T;X)

telle que

lim

rya+-

llu"(t)

-

tr(t)ll

:0

n-+m t€lel,'l I

tition

d,e ce processus et pa'r un argunxent d'iagonal' on peul;

silecti'on-suite

ile

_{u^

:

n

e

N}

(enc ore

notie

par

le m€'nre symbttle) et une

continue:

d,el0,Tl

aers

X,

d'i,rew telle que pour taute

k

e= N

La

ner

lim

n'raq5-

_llu"(t)

-

u.'(t)ll

:0

n-+oo t€L(F,l J

08 Md 1941i-eu€lma _{D€partement de Math6mailques}

suite

d,e Co:,uchy dans

X.

N|.

.Mozs nlontrons que

_{{g(V"): n}

_€

_N}

_esl

E'n effet,

il

rdsulte de

Ia

d,€f,nition d,e

V^

et

(2.20)

(2.2r)

il

qu Ca

N]

un

(t

_que

_pour

_toute

_{k €}

_N,

J*,ft-%r

llv"(t)

-

u'(t)ll

:6

(2.18) toute

e)

0, par hEpothise (,H/r),

il

eri,ste une canstante 6

>

0,

tel que

llg(6)-s(l')ll<t

₄

(2.1e)

toute

_$,$

<=

Y,

auec

g(t)

:

,lr(t),6

<

t

<

T.soi,t

.

,

fu'(d).o <

i

<

d

'P\t)7u,(r\.'t2r2r.

_{\ .-'}

e e Y,et pur

(2.18) on a :

la suit

d,

_{U"

_{: n €}

_N}

(d,€,si,gn6

i,

nouueau

pat"{V,

:

n

€

spond,atzt d,

_{un

:

n

€

J*,?t%

UW$)

_-'P(')ll

:

o r,rry)mque que

lim

_llfl5V"

_-

pll."

:

0

?1+OO

de I'hypothese

(HS)

et

(2.21) qu'i,l eri,ste

un

entier

naturel

N,

tel

llg{frtV,)-g(p)11"":o

ulte, de I'hgpoth,lse (HS)

et

(:2.21)

qu'il

eriste

un

entier

N,

telle que

(2.22)

lls(\av)-g(e)ll

.

_;,,

vn>

N.

pour toute

rn,rl>

N,

par

(2.19) et(2.22), on a

llsT; -

s(u")ll

<

llg(u*)

-

g(frtv"")ll

+

lls(Fuv,")

-

s(dll

Cel

{d"

ynantre

neN)

0t Mal t94t6.Guelma D€parternent _{de Math€mailques}

+llg(d

_-

g(Fa\h)ll

_{+ llg@il*)}

_{_}

_gh)lt

<€

que

_{g(U")

_:

_{n €}

_N'}

esf une su,ite d,e Cauchy d,ans

X.

_d,onc

est relatiuement _{com,pact d,ans}

_C(I;X).

n

c'(I

no De pon dans Ia

tapel

it

des d'tapes'

₂

_et

₃

_qui

{(}^

:

n € N}

esf _{relatiuernent conzpact}

d,ans

Y).Par

cons,6quent, _i,I

_edste

_une

sous_suite _d,e

_{{{In: n}

_e

_\l}

not€e d,

par {Un

;

n

_e

N}

_{et une}

Joncti,an d,e

l}*

_€

y_,tel _gue

jg

llct"

-

u*ll*

:

o

s2 en rernarquant

_Ia

_{ddfi'ni'ti'on d,e}

_vn

on

obtient _{gue ra su,ite a:rres_}

te de

_{v":

_{n e}

_N}

_{(notde d nouueau}

par

_{u^:

_n

_e

_N}/

_{est une suite}

d,e C chE dans

C(I,X)

_,

_et

ig

ll%

-

u-ll*

:

o

prenant _{linzi,tes (S}

jS)

_cornnte

_n

_{_+}

_6,

nous a,uons

-(r):r(t)(Uo-s(--

u*))*

"

ft

Jr

rft-

s)(F{/-)(s)ds,

t

€,1,

U*,

est une solution _{Mitd, o!,u problime}

_(p)

,

ce qu,i su'it,, _{nous prouuons ),e}

_thiorime

_p.p.

du thdrtr\me

p.p.

No d'it,isons la preuae _{en y' €tapes. Les itapes}

_I

et L

sont

les m€rnes que

reuue d,u th€or\me

_2.1.

_{Nou:t conxmengons}

O6 _{Mat l94ti.Guelma}

D€Farternent _{de Methdraailques}

ou'i _{constrlli'sons une}

fam*re

d,e probrimes _{d,e cauchy non}

locar. pour r,

€

N

_{nou;s ddfini.ssons ,un op€,rateur}

F-:

C,(I;X)

_+

_Lz(I;,X)

_par

(F'-nu)

.:

₁₍

trdtt),

1.ffi6@"11t1,

si

_ll(Fu)(t)ll

_!

_n,

si

_{l!(Fu)(t)ll >}

_n. (2.24) trl es s'atis

le problime _{d,e Cauch,y}

su,iuant non_local

(

..,

e,)

lu'(t)

--

Atu(t)

+ (F,)(t),t

e

r

(z(o)*s(u)-q.

t)

=,

T(t)(uo

_-

g(u^))

₊

f'

t

tt

-

s)(F^u,)(s)ds,

_vt

_€

I.

_(2.25\

d"(t)

::

T(t)(us

_

_s(u^))

_Vt

e

I.

7t

lt"(t)

::

J,

,ft

-

s)(F^u,)(s)d,s,

Vt

e

I.

tns d'abord _{affirmer que}

{V^:

n

€

N}

est relatiuement _{comp,act dans} ,

par

hypot,hise _d,e

_{(H2') et}

_{(2.24), on}

a

ll('P"u")(t)11

S"(r), vn€N,

_t€1.

td de

(T(t))t>o

c€ qui, _{implique que pour tout}

t e

I

l,e,,semble

n

€

N)

est _{relati,uement cornpact dans}

_X.

pour0

(

_r

( t

_-i1.

_nous

(P")

Nous

C(I;

aut:c Ia {,1t,,(t) 29

0E Md l94li-Guelma

Jl,t

ll,t"

-

u*ll*

:

o.

ur

chaque

_n,

_fi,rer

_A,,:

_t

€

I

:a(4

_{> n.}

purs

IIF^U,

-

Ftl*ll

_{7' S}

_IIFniUn

_-

_{Ft]^ll L,}

₊

IIF{J,

I

<

2

I

a(t)ctt

₊

_llFU,-

_

_Fu*llL,

JA^

la

condition

_(Hg'),

_{(2.2g) rzt} (2.J0), on a D€partehept d€ Math€mailques (2 2e)

*

_FU*llL,

(2.30) Sous

Liu,j

G).P

non

aq,

ce Zhu et

u(t)

ffiilr"u,,-

FU*llLL

:0.

tenant, en'

prenant

_{rimites d,ans (2.25), conunen}

-+

oo,

n.us auons

*(r)

:

r(t')(u,

_-

_s(u*))

_*

,1,'

,(r_

s)(Frl*)(s)ds,

vr

e,

r

ar)ons,

_Un(t)

_{est une soluti,on}

rnilil

d,u probtime

(p\.

condition q,e

_f

est ripschi,tzi,enne _{d,ans Ie}

d,eu*itme argument,J

_Liang,i

:t

T'xiao

ont obtenu re _{r€surtat d'eristence pour}

Ie probrime

_,on

_rocal

se d€barnnsser _{d,e cette hypothise,}

_R.

_yuan

cons,id,ire _{le f,,roblime}

(Q)

comnze

_un

_{c,'s particu,ri'er}

d,e

(p).

_{comme noLrs}

_,aurns

rt€jd

r,nt de uue

est

trEs

_fficace.

_Autre

_m1thode

_a

_dtd

d,onnie iaar

L.p

'

Li'

Ld,

l'

_'l'i'd€e pri'nc'ipare _{est d,e considd.rer}

les _{€quations suiuantes} s

1rt

T(t

+

;)tut -

g(u)) +

_Jo

rQ:-

s),f(s, {/(s))(s)ds

,

_vt€

_1.

_(2.81)

pitre

B

ntr6l:ebilit6

_des

_systemds

6rent;ielles

_non

_lin6aires

dans

3.1

A#q :

A(t)r(t)

_{+ Bu(t) +}

_f(t,*(t)),

_{t e}

_r

r(o)

+

_9(*):

_*o,

(3.1)

espace

_de

_Banach

_s6parable

Introduction

Ie sgstime d''uorutittn _{semi-rin,ai,re d,iffdrentiel}

auec

'es

cond,i-on locales

uuriable

_d'dtat

_r(.)

_prend,

ses ualeurs d,ans

un

_{espace de Banach}

X

auec Ia',norme

_{l!.il,,4(t) :}

_D(A)

_c

_X

_{_+}

X

et

L

:

D(L)c

_.X _+

_X

tr'nues et

B

est un _{op€rateur ri,niai,re bom€ d.e}

_u

d,ans

x.

cet a'rticle, nous donnons d,es _{cond,itions garantissant ra}

contr6rab,i_

Ie systtme

'd'6uoruti'on non-rttcar (3.1)- (J.2) _{sans hypoth'ses}

_sur

ra

(3.2)

de

_f

'

g

eti

Ie

systime d,'6a'crut'ion

(J(t,s)

_esr

Oa Mul lg4ti_cuelma

D€psrtement _{de Methdmailquer}

risultats

_obtenus

_sont

basds

_sur

_{ra nouuere mithode}

d,e calcur qui chnique de nnesure _{de non co,,n_Lpact.} utili,se

etl

rdel. rl,ecti .eera pour d'e

X

(x2

otons*(y'r)

_{ra boure}

_fermie

d,ans

x

_et

_centr,

_{d,y d,e rayon}

r.

Les

cor-s de l'ensennble _{d,es op6,rateu,,rs}

lind.aires et bornie d,e

X

d,ans lui_m€me

ie

B(x)'

siY

_{est Lm sous-ensembre}

d,e

x

nous _6cr,iaons?.,

_conuy

igner Ia _{lermeture et Ia}

fermeture conuere d,e

y

respectiue.ment,.

auttre' _{nous notons}

_Fv

ra

_fart'ille

d,e tous res pa,ti,es _bornd,es

eti non _uid,e

t par

_{Gv s,us sa}

_{consistant en}

d,es ensembres _{rerati,uement compacts.}

Ir€|i

_3'7

_u';ne

fonction

x

: Fy

+

_R+

_{est d,i,te une nresur,e}

d,e non

s'i

elle

_{sati,sfait les candi,ti,o,ns suiuantes}

:

(2. Le _ker

_familte

X

:y

€

_&

:

X(y)

:

0

_{est non u,id,e et}

_ker)(

e

G;.

Y<:Z+):(y)<X(Z).

- ,1. .

pretm|ltnatres

ans _{cette sect'ion, nous}

recue,ilIons certa,ines d,€fi,ni,tions, _{notations, remmes}

r€su'ltats qui sont ut*i's6.es _{pa, ra su'ite.}

_soii(-\,

il.il)

un espace de Banach

( ii.

X(conuY): X(7).

ua. (u)

deX

sec:tion La

X(,\Y

₊

(1

*

^)Z)

<

^x(y)+

(1

_

_^)X(Z)

pour

)€

[0, tJ.

I

(yl')*t

esli une _{suite pas ui,d,'e,}

bom€ et

_ferm,,ere

_{est sous-en:,sembres}

tlle que

_h+t

_C

_{h(n :}

_I,2,...)

et s,i

Lim*-*fi(y,)

:

_A,

_puis

l,,inter-X*,=

f1,r_a1Y,, est non uid,e et compact d,ans

_X.

ker

2!

d,€fini, _dans

(i)

_{est appel€}

Ie nogau d,e

la

_{mesure non}

0E Md l94ti,Guebna

D6partement _{de Math6natiquei}

(Y)

:

_inf

_{r

_}

₀

_{peut €tre}

recouuert po,,'

_un

_noTnbre

fi,ni, de boures d,e

rj.

It

L

ur'(y,

d,lire,

tnesure

_B

_{est appel*e Ia me.sure}

de Hausd,orff _{d.e non campact.} ans

Ia

su'ite, _{nous traua'i'ilon,s d,ans}

,espace

c(J,

x)

_constitud

_t

_{de ue r,,}

t,

en-des _{fonctti'ons d',finies}

_et

cantinues

_sur

_J

_i,

_uareurs

d,ans ,r,espace _d,e

X.

I'espace

C(J,X)

_est

fourni, auec

_la

_{norme stand,ard,}

II"ll.

:sup{flr(r)ll

:

t

€ J

:

_[0, b]].

" _{d'ifi'ni'r la mesure,}

nous _{f,aons un sous-ensembre}

_y

non ui',e bo,rn6 d,e

C(J,X)

etunnambrepositi,f

_t€

_J.

_paurA

€y

ete

)

0

d,rinoterpar

)

le rnodule d,e continuit€ _{d,e ta}

foncti,on

y

sur l,,interualle _{[0,1] ;c,est_d_}

,'(u,

_e):

_sup{fls(r

_,)

-

y(tr)ll

_:

_t1,t2€

10, ,],

lt,

_

trl

< ,}.

part

_mettons

wt(Y,e),:

_{sup{r*,,r(g,e):} U

€

y},

w$(V1:

.\E

_{''{l'' ';'}

de cela, mettez

0(Y)

:

sup{1i(Iz(r))

_:

_t

_{e J},}

d6.si,gne

_la

_{tnesure d,e non Hausdroff}

compacts d,ans

X.

Enfi,,n, _nous

l,a

_fonction

X

_sur

_ta

fam,ille

Fce,x)

en mettant

Oa Mal tg4ti_euetma ns une par"ti,tion _O

_<

_lo

(

_lr

₍

...

<

L,2,...,k

_En

_sui.te,

_pour

chaque

_t,

_e DAp€rtehent _{de Math6mailques}

t*

: t

telle que

_{tt _}

_{tn_r}

_{

_e

[to-t,to]

et

_{y €}

y,

_{l,i,n€gal,itd} est satis,faite

llaft,)*att)ils&/i(4+g

glte,

pour

_chaque

_i:

I,2,...,tr, d

uul"

des points

telle que y

_(ti)

_c

_{gLlB(.Z4,supB(y(s)}

)

+

_i)

us montrons que (3.6)

Zu€X(j:

(3.i)

t'

e

lt,i (3.6),(

Y([o,t]):

_olr

_{ni=,1 B(2iri,}

supp()'(s )) + ,g1vS

_a

_51.

_(3.8)

ez-nous ch,oi,si,r

_un

_{6l6ment arbitrai.re}

q

€

y(10,4).En

_{sutte, nous}

::*r

_+.1

1',:

fo,tl

:t,

€y,

teile

Que

q:

y(t).

chois,iri

tetre vwLov que_Uut

1,0;) €t

₁

tet!,e que _{B(zai,sup.,<r}

frVGD +

_f),

on obtient, d,

partir

_d,e

,7)

q

-

_zi'ill

:

llv(t')

-

zoiil

_s

_ilu$')

_-

_v(t)il

₊

|

s

ily(tt)

-

zoirl

<

,3(y)

₊

_{supB(y(s)) +}

_d.

cette (3.8). _{cond,ition (S.g)rendements}

p(t (p,il)) s

,6V)

+

_{supp(y(s)) +}

_d.

OE Mat 194ti-Gsgl6g rte. D6partehent _{de Meth€mafi} ques

D

de

nru'on

_3'3

_une

_{foncti,onn(.)}

€

c([0,b],x)

_{est d,ite une soruti,on} mi}d,

,r,r-jl:,r,

si,

n(s):

_g(s),

_pour

_se

[0,Aj, et t,iquati,on

_intisrate

_su,iuante

est

:r(t)

L*Lu(t,0)1l,rs-s(r)J+1,-r

I'rrr,s)Bu(s)ds+

r_,

_t',

uft,s)f (s,r(s))ds;

_{t e}

J.

f'tudi'er re ytrobrime _d,e

contr,rabi,rit€, nous supposons _{res hypothises}

1)

I'-LA(I)

engend're

_un

_cs

_semi-groupe

fortement

continu _{d,,une fa_}

t''op6'rateurs

'd" *uoruti,on

u(t,

s)

et i,r eriste des constantes

_N;,

_0,,Ay's

_>

(

m,i,lle

0

tel que un

il

eri, (H3 qu'i, est

lfu(t,s)fl

<1/,,

pouross

_<r<b,

o

:

sup{ffU(",0)ll

_{: 0}

_<

_s

_<

_r}.

L'opirateur

_{linlaire W}

_:

_L2(J,U)

_{_+}

X

d,6fi,ni par

wu:

_{['rft,s)Bu(s)ds}

Jt

'inuerse

W-L

qui,

_prend

_{des ualeurs}

d,ans

L2(J,{I)/kerW

_et

une constante positiae

_K1

_{telle que}

_{BW_r}

3

Kt.

(i)

r'appri'cati'on

_f

_:

Jxx

_-+

_x

satisfaitra

_{cond,ition carath60d,ory,}

(.,r)

est mesur.able _pour.fr

_€

_X

_et

f

(t,.)

est continue

_pour.t

_{€. J.}

ii)

I'application

_f

_{est bornd,e}

_sur

res parr,ies _{born€es de}

_c(J,)().

;'i')

_II

_eri'ste

u:'ne constante _my

)

_a

_furk

_gue

pour tout _{ensernbr, born6}

Y

c"c(

X),

l'i.n€ga)liti et

(H