Estimation des Mesures Spectrales Stables

(1)

LIU Shuyan

Introduction

Estimation des Mesures Spectrales Plan

Stables

Séminaire des doctorants/post-doctorants

LIU Shuyan

Laboratoire Paul Painlevé CRNS UMR 8524 Université des Sciences et Technologies de Lille

21 décembre 2006

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LIU Shuyan

Introduction Plan

Introduction

(3)

LIU Shuyan

Introduction Plan

Distributions stables donnent souvent un bon fit pour les données empiriques.

X v.a. s’appelle avoir distribution

stable/domaine d’attraction, si∃une suite de v.a.i.i.d.Y₁,Y₂, . . .etd_n>0, a_n∈R, tq

Y1+···+Yn

dn +a_n−−−→^D

l→∞ X. (1)

Remarques

QuandX est gaussienne,Y_nsont i.i.d. avec variance finie, (1) devient le TCL classique. dn=n^1/αL(n), L(n): la fonction à variation lente.

α: index de stabilité.

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Introduction Plan

Y₁+···+Yn

dn +a_n−−−→^D

l→∞ X. (1)

Remarques

QuandX est gaussienne,Y_nsont i.i.d. avec variance finie, (1) devient le TCL classique. dn=n^1/αL(n), L(n): la fonction à variation lente.

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LIU Shuyan

Introduction Plan

Y₁+···+Yn

dn +a_n−−−→^D

l→∞ X. (1)

Remarques

QuandX est gaussienne,Y_nsont i.i.d. avec variance finie, (1) devient le TCL classique.

dn=n^1/αL(n), L(n): la fonction à variation lente.

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Introduction Plan

Fonctions charactéristiques des Lois stables Unidimensionnelles

Multidimensionnelles

Estimation des mesures spectrales

Fonction Charactéristique Empirique (ECF) Processus Ponctuels (PP)

Généralisation dans le cône convexe

Perspectives

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Introduction Plan

Perspectives

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LIU Shuyan

Introduction Plan

Perspectives

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LIU Shuyan

Introduction Plan

Perspectives

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Fonctions charactéristiques des Lois stables Unidimensionnelles Multidimensionnelles

Estimation des mesures spectrales Fonction Charactéristique Empirique (ECF) Processus Ponctuels (PP) Généralisation dans le cône convexe Perspectives

2008-02-22

Estimation des Mesures Spectrales Stables Fonctions charactéristiques des Lois stables

Unidimensionnelles

Fonctions Charactéristiques des Lois Stables Univariées EexpitX =







exp{−σ^α|t|^α(1−iβ(signt)tanπα

2 ) +iµt}, α6=1, exp{−σ|t|(1+iβ2

π(signt)ln|t|) +iµt}, α=1.

0< α≤2, σ≥0,−1≤β≤1, µ∈R.

X ∼ Sα(σ, β, µ), alorsE|X|^p=∞, pourp≥α, X est symétrique⇔β=0 etµ=0, notéeSαS.

Gaussien :S₂(σ,0, µ) =N(µ,2σ²), Cauchy :S₁(σ,0, µ) =Cauchy(σ, µ), Lévy :S_1/2(σ,1, µ) =Lévy(σ, µ).

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2008-02-22

Unidimensionnelles

Densité stables unidimensionnelles

Figure1 : Densités de Gaussien stantardN(0,1), Cauchy(1,0), et Lévy(1,0).

Figure2 : Densités stables pour β=0,0.25,0.5,0.75,1 , avecα=1.5.

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2008-02-22

Fonctions Charactéristiques des Lois stables Multivariées Eexp(iht,Xi) =











exp{−R

S^d

|ht,si|^α(1−isign(ht,si)tanπα

2 )ν(ds)}+iht,µi, α6=1, exp{−R

S^d

|ht,si|(1+i2

π sign(ht,si)ln|ht,si|)ν(ds)}+iht,µi, α=1.

ν : mesure finie sur la sphère unitée deR^d, notée S^d.

Xest symétrique⇔µ=0 etν est une mesure symétrique.

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Densités stables 2-dimensionnelles

Figure3 : Surface et contours de la densité stable symétrique avecα=0.9 etn=6 atomes.

Figure4 : Surface et contours de la densité stable avecα=1.6 etn=5 atomes.

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Fonctions charactéristiques

Unidimensionnelles Multidimensionnelles

Estimation

ECF PP

Généralisation Perspectives

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS,

φ(t) =Eexp{ihX,ti}=exp{−R

S^d

|hs,ti|^αν(ds)}.

i) ν est discrète,

ν(·) =Pm

i=1γ_iδs_i(·),

oùδ_s(·): mesure de Dirac au points. ii) ν est continue absolument,

ν^∗(·) =Pm

i=1γ_iδs_i(·),

où(A_i)_i=1,...,m: partition surS^d avecs_i ∈A_i, γi =ν(A_i), i=1, . . . ,m.

γ= (γ₁, . . . , γ_m)⁰?

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS,

S^d

i) ν est discrète, ν(·) =Pm

i=1γ_iδs_i(·),

oùδ_s(·): mesure de Dirac au points.

ii) ν est continue absolument, ν^∗(·) =Pm

i=1γ_iδs_i(·),

γ= (γ₁, . . . , γ_m)⁰?

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS,

S^d

i=1γ_iδs_i(·),

ii) ν est continue absolument,

ν^∗(·) =Pm

i=1γ_iδs_i(·),

γ= (γ₁, . . . , γ_m)⁰?

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS,

S^d

i=1γ_iδs_i(·),

γ= (γ₁, . . . , γ_m)⁰?

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Estimation

ECF PP

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS,

S^d

i=1γ_iδs_i(·),

γ= (γ₁, . . . , γ_m)⁰?

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Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

X∼ SαS, φ(t) =Eexp{ihX,ti}=exp{−R

Sd

|hs,ti|αν(ds)}.

i)νest discrète, ν(·) =Pm

i=1γiδsi(·), oùδs(·): mesure de Dirac au points.

ii)νest continue absolument, ν^∗(·) =Pm

i=1γiδsi(·), où(Ai)i=1,...,m: partition surS^davecsi∈Ai, γi=ν(Ai),i=1, . . . ,m.

γ= (γ1, . . . , γm)⁰?

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Estimation des Mesures Spectrales Stables Estimation des mesures spectrales

Fonction Charactéristique Empirique (ECF)

Discrètisation de la mesure spectrale (Ètape 1 pour ECF)

Estimation par ECF

L’échantillonX₁, . . . ,X_net la grillet_j =s_j, j =1, . . . ,m, sont données, φ(t) =exp{−T(t)},T(t) =

Z

S^d

|hs,ti|^αν(ds) =

m

X

j=1

|ht,s_ji|^αγ_j. Alors,

(T(t1), . . . ,T(tm))⁰ =ψ·γ, ψ=





|ht₁,s1i|^α · · · |ht₁,smi|^α . . . .

|ht_m,s1i|^α · · · |ht_m,smi|^α



.

Donc,γ=ψ⁻¹·(T(t₁), . . . ,T(t_m))⁰.

φb_n(t) = 1 n

n

X

j=1

exp{ihX_j,ti}

Tb_ECF(t) =−lnφb_n(t).

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Estimation

ECF PP

Propriétés de ECF

ECF est consistant fortement,

φbn(t) = 1 n

n

X

j=1

exp{ihX_j,ti}−−−→^p.s.

n→∞ φ(t)

puisqueE|exp{ihX_j,ti}|<∞, LGN implique.

Cette méthode est asymptotiquement normale avec normalité qui dépend deαet le choix de la grillet_j =s_j, j=1, . . . ,m.

McCulloch (1995) a proposé le système comme problème contraint de programme quadratique qui garantit les poids nonnégatifs :

minimise||(T(t₁), . . . ,T(tm))⁰ =ψ·γ||² sujet àγ≥0.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Propriétés de ECF

φbn(t) = 1 n

n

X

j=1

n→∞ φ(t)

Cette méthode est asymptotiquement normale avec normalité qui dépend deαet le choix de la grillet_j =s_j, j =1, . . . ,m.

minimise||(T(t₁), . . . ,T(tm))⁰ =ψ·γ||² sujet àγ≥0.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Propriétés de ECF

φbn(t) = 1 n

n

X

j=1

n→∞ φ(t)

Cette méthode est asymptotiquement normale avec normalité qui dépend deαet le choix de la grillet_j =s_j, j =1, . . . ,m.

minimise||(T(t₁), . . . ,T(tm))⁰=ψ·γ||² sujet àγ≥0.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Processus Ponctuels

Processus empiriques dilatés (ou binomiaux) ,

βn=

n

X

i=1

δ_{ξi

bn}, n∈N,

bn=n^1/αL(n),α6=0,L(n): la fonction à variation lente.

Processus poissonniens,

πα,σ

=d

∞

X

k=1

δ_{Γ^−1/α

k kc},

{λ_k}et{_k}_n∈_N: deux suites indépendantes des v.a. i.i.d.,

λ_k ∼ E₁,_k ∼σ,σest une mesure finie surS^d, c =σ(S^d)^1/α,α6=0,Γk =λ1+· · ·+λk, k ≥1.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Processus Ponctuels

Processus empiriques dilatés (ou binomiaux) ,

βn=

n

X

i=1

δ_{ξi

bn}, n∈N,

Processus poissonniens,

πα,σ

=d

∞

X

k=1

δ_{Γ^−1/α

k kc},

{λ_k}et{_k}_n∈_N: deux suites indépendantes des v.a. i.i.d.,

λ_k ∼ E₁,_k ∼σ,σest une mesure finie surS^d, c =σ(S^d)^1/α,α6=0,Γk =λ1+· · ·+λk, k ≥1.

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Processus Ponctuels Processus empiriques dilatés (ou binomiaux) ,

βn= n X

i=1 δ_{ξi

bn},n∈N,

Processus poissonniens, πα,σ=d

∞ X

k=1 δ_{Γ−1/α

kk c}, {λk}et{k}n∈N: deux suites indépendantes des v.a. i.i.d.,

λk∼ E1,k∼σ,σest une mesure finie surSd, c=σ(Sd)1/α,α6=0,Γk=λ1+· · ·+λk,k≥1.

2008-02-22

Estimation des Mesures Spectrales Stables Estimation des mesures spectrales

Processus Ponctuels (PP) Processus Ponctuels

Résultats auxiliaires

Th.1 (Araujo, Giné, 1980)β_n⇒πα,σ, si et seulement si

nP{ ξ

|ξ| ∈G,|ξ|>rb_n} −−−→

n→∞ σ(G)r^−α (1)

∀r>0 etG∈B(S^d)avecσ(∂G) =0.

M_n=max{|X_i|,i =1, . . . ,n}, NotonsX⁽ⁿ⁾tqM_n=|X⁽ⁿ⁾|, θ_n=X⁽ⁿ⁾/|X⁽ⁿ⁾|.

Th.2 (Davydov et al, 1998) Si (1) est satisfaite, alors θ_n−−−→^D

n→∞ ν.

(26)

LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Regroupement d’échantillon

X₁, . . . ,X_l

| {z }

,

V_l1 ,

X_l+1, . . . ,X_2l

| {z }

,

V_l2 ,^...,

X_n−l+1, . . . ,X_n

| {z }

.

V_lk

Pour∀ε >0, on prendk = [n^x], l = [n^1−x], alorsn∼kl.

M_li =max{|X|,X∈V_li}, i=1, . . . ,k. NotonsX_li =X_j(l,i)tqM_li =|X_j(l,i)|. θ_li = _|X^X^li

li|, i=1, . . . ,k,

νbn(·) = 1 k

k

X

i=1

δ{θ_li}(·).

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Regroupement d’échantillon

X₁, . . . ,X_l

| {z }

,

V_l1 ,

X_l+1, . . . ,X_2l

| {z }

,

V_l2 ,^...,

X_n−l+1, . . . ,X_n

| {z }

.

V_lk Pour∀ε >0, on prendk = [n^x], l = [n^1−x], alorsn∼kl.

M_li =max{|X|,X∈V_li}, i=1, . . . ,k. NotonsX_li =X_j(l,i)tqM_li =|X_j(l,i)|.

θ_li = _|X^X^li

li|, i =1, . . . ,k,

νbn(·) = 1 k

k

X

i=1

δ{θ_li}(·).

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Propriétés de l’estimateur

Consistant

Th.3 Pour∀B∈B(S^d)etν(∂B) =0,

νbn(B)−−−→^p.s.

n→∞ ν(B).

Normalités asymptotiques Th.4√

k(νb_n(B)−ν(B))→ N(0,c), c = ¹_kPk

i=1η_li²−(¹_kPk

i=1η_li)², η_li =δ_{θ_li_}(B). Conclusion

bνnest consistant et la vitesse de convergence estn^1−ε² .

(29)

LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Propriétés de l’estimateur

Consistant

n→∞ ν(B).

k(νbn(B)−ν(B))→ N(0,c), c = ¹_kPk

i=1η_li)², η_li =δ_{θ_li_}(B).

Conclusion

(30)

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Estimation

ECF PP

Propriétés de l’estimateur

Consistant

n→∞ ν(B).

k(νbn(B)−ν(B))→ N(0,c), c = ¹_kPk

i=1η_li)², η_li =δ_{θ_li_}(B).

Conclusion

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Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

Uncône convexeIK est un semigroupe abélien topologique, et un espace polonais (complet et séparable) avec une opération continue

(x,a)→ax de multiplication par des scalaires positives pourx ∈IK eta>0 telle que les conditions suivants sont satisfaites :

a(x+y) =ax+ay, a>0, x,y ∈IK a(bx) = (ab)x, a,b>0, x ∈IK 1x =x, x ∈IK

ae=e, a>0, eest l’élément neutre de IK. Exemples

(R+,∨),

([0,∞)^d,∨), x∨y = (x₁∨y₁, . . . ,x_d∨y_d). Le théorème sur la queue à variation régulière (Th.1) reste établi.

(32)

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Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

a(x+y) =ax+ay, a>0, x,y ∈IK

a(bx) = (ab)x, a,b>0, x ∈IK 1x =x, x ∈IK

(R+,∨),

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Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

a(x+y) =ax+ay, a>0, x,y ∈IK a(bx) = (ab)x, a,b>0, x ∈IK

1x =x, x ∈IK

(R+,∨),

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Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

(R+,∨),

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Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

ae=e, a>0, eest l’élément neutre de IK.

Exemples (R+,∨),

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

Exemples (R+,∨),

([0,∞)^d,∨), x∨y = (x₁∨y₁, . . . ,x_d∨y_d).

Le théorème sur la queue à variation régulière (Th.1) reste établi.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Généralisation dans le cône convexe

Exemples (R+,∨),

([0,∞)^d,∨), x∨y = (x₁∨y₁, . . . ,x_d∨y_d).

Le théorème sur la queue à variation régulière (Th.1) reste établi.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Perspectives

L’étude du lien entre les processue ponctuels et les lois stables. On essaye de trouver des estimateurs plus efficace et généraliser la méthode dans le cône convexe, et

éventuellement obtenir d’autres propriétés intéressantes.

Simulation du vecteur aléatoire stable par les pocessus ponctuels.

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LIU Shuyan

Estimation

ECF PP

Perspectives

L’étude du lien entre les processue ponctuels et les lois stables. On essaye de trouver des estimateurs plus efficace et généraliser la méthode dans le cône convexe, et

éventuellement obtenir d’autres propriétés intéressantes.

Simulation du vecteur aléatoire stable par les pocessus ponctuels.