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Etude de la fonction

f (x) = −x + 2 + 1 3x − 1 • x ∈ domf ⇔ 3x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 13 domf = R\©13 ª • lim x→−∞   −x_|{z}+2 + 1 3x − 1 | {z }   = +∞ +∞ 0 lim x→+∞   −x_|{z}+2 + 1 3x − 1 | {z }   = −∞ −∞ 0

Donc, Gf n’admet pas d’A.H.

• ∀x ∈ domf : f(x) = −x + 2 + 1 3x − 1 | {z } → 0(si x → ±∞) Donc: Gf admet une A.O. : y = −x + 2.

• x→lim1 3 −−x + 2+ 1 3x − 1 | {z } = −∞ → 0− lim x→1 3 +−x + 2+ 1 3x − 1 | {z } = +∞ → 0+

Donc, Gf admet une A.V. : x = 1₃.

• f est dérivable sur domf : domf0 = domf ∀x ∈ domf0 _{: f 0(x) = −1 −} 1

(3x − 1)2· 3 = −

9x2_{− 6x + 4}

(3x − 1)2

• f0(x) = 0 ⇔ 9x2− 6x + 4 = 0 pas de racines réelles

• x _−∞ 1_{3 +∞} −¡9x2_{− 6x + 4}¢ _{− −} (3x − 1)2 + 0 + f 0(x) − k − f (x) _{+∞ & −∞ k +∞ & −∞}

• f0 est dérivable sur domf0 : domf” = domf0 ∀x ∈ domf00_{: f}00_{(x) = −}(18x − 6) · (3x − 1) 2 −¡9x2_{− 6x + 4}¢_{· 2 (3x − 1) · 3} (3x − 1)4 = 24 (3x − 1)3 6= 0

Donc Gf n’admet pas de points d’inflexion.

•

x _−∞ 1_{3 +∞}

f ”(x) _{− k} +

Gf k

Rédaction du corrigé, saisie et mise en pages: Alain KLEIN, IIe C 2 LCD, 2007/08