Etude de la fonction
f (x) = −x + 2 + 1 3x − 1 • x ∈ domf ⇔ 3x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 13 domf = R\©13 ª • lim x→−∞ −x|{z}+2 + 1 3x − 1 | {z } = +∞ +∞ 0 lim x→+∞ −x|{z}+2 + 1 3x − 1 | {z } = −∞ −∞ 0Donc, Gf n’admet pas d’A.H.
• ∀x ∈ domf : f(x) = −x + 2 + 1 3x − 1 | {z } → 0(si x → ±∞) Donc: Gf admet une A.O. : y = −x + 2.
• x→lim1 3 −−x + 2+ 1 3x − 1 | {z } = −∞ → 0− lim x→1 3 +−x + 2+ 1 3x − 1 | {z } = +∞ → 0+
Donc, Gf admet une A.V. : x = 13.
• f est dérivable sur domf : domf0 = domf ∀x ∈ domf0 : f 0(x) = −1 − 1
(3x − 1)2· 3 = −
9x2− 6x + 4
(3x − 1)2
• f0(x) = 0 ⇔ 9x2− 6x + 4 = 0 pas de racines réelles
• x −∞ 13 +∞ −¡9x2− 6x + 4¢ − − (3x − 1)2 + 0 + f 0(x) − k − f (x) +∞ & −∞ k +∞ & −∞
• f0 est dérivable sur domf0 : domf” = domf0 ∀x ∈ domf00: f00(x) = −(18x − 6) · (3x − 1) 2 −¡9x2− 6x + 4¢· 2 (3x − 1) · 3 (3x − 1)4 = 24 (3x − 1)3 6= 0
Donc Gf n’admet pas de points d’inflexion.
•
x −∞ 13 +∞
f ”(x) − k +
Gf k
Rédaction du corrigé, saisie et mise en pages: Alain KLEIN, IIe C 2 LCD, 2007/08
