Théorème sur les surfaces

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L. P AINVIN

Théorème sur les surfaces

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 10 (1871), p. 481-487

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THÉORÈME SUR LES SURFACES;

PAR M. L. PAINVIN.

1. J'énoncerai d'abord la proposition que je veux éta- blir :

i° Soient donnés trois points jixes A, B, C et une surf ace fixe 2 du mlème ordre; on imagine un point M se déplaçant sur la surface £, puis, avec trois autres points fixes A', B', C donnés dans V espace, on construit une pyramide A'B'C'S telle qu'on ait toujours, quelle que soit la position du point M sur la surface 2 ,

SA'=MA, SB' = MB, SC'=rMC;

le point S décrira une surface (S) d^ordre ^m en gé- néral; Vordre se réduira à im si la surface directrice 2 est symétrique par rapport au plan ABC.

2° Prenons maintenant sur MA, MB, MC des lon- gueurs MA,, MB,, MCi telles que leur résultante soit dirigée suivant la normale en M. à la surface 2 ; si Von porte alors sur SA', SB', SC' des longueurs SA'^t, SB',, SC', respectivement égales à MAl5 MBl5 MC1? la résul- tante des trois lignes SA',, SB',, SC, sera normale en S à la surface (S).

Je n'ai pas besoin d'ajouter qu'on a un théorème ana- logue pour les courbes.

2. Nous prendrons pour plan des xy le plan des trois points A, B, C; soient alors

a, P, o; a,, p,, O; y„ p„ O

/t/<*i dt Walhémat , 2( s e r i e , t . X . ' N o - , c m b r e 1 8 7 1 . 3 f

( 4 8 » )

les coordonnées respectives des points A, B, C; puis

celles des points A', B', C'; désignons enfin par 1, p, v les coordonnées du point M, et-par x , y, z celles du point S, et posons

*=z (x— a)3-h [y— bf + (z— c)\

d'après l<*s conditions imposées, on aura

(2) ( ^ - «1) 2+(f i l« . p|) ^v»= = r;>

' ( > - a2)24 - ( p ~ p2)2+ v ^ ^ , (3) F(X,p,v)=:o,

en supposant que F ( x , jA, z) — o est l'équation de la surface directrice E.

Si Ton élimine X, jx, v entre les quatre équations (2) et (3), on aura un résultat de la forme

qui sera l'équation de la surface engendrée (S), en y supposant r, /'j, i\ remplacés parleurs valeurs (1).

Remarque. — Si l'on remplace, dans l'équation (4), 7', r^l5 7'² par les valeurs (2), on aura une identité, pourvu qu'on tienne compte delà relation ( 3 ) ; en d'autres ter- mes, si, après cette substitution, on élimine v, par exem- ple, entre les équations (3) et (4), on aura une identité en X et ^5 cette remarque nous sera utile plus loin.

3. Cherchons d'abord le degré de l'équation (4)

En ajoutant les équations (2), on trouve

-H a2-4- *\ + aj-t- p2-+- ^ 4 - pj^rM-rJ+rî;

d'après cela, on pourra substituer au système (2) un système formé de l'équation précédente et de deux équa- tions de la forme

l\ H- m p. = Ar2-f- A,rJ-h A,rJ+A„

de là on déduit

1 == Lr2 -4- Li/-? 4- L3r> -f- L3, ft = M r + M^-f- M2r2-+- M3,

v' = NH-4-Nlr41-+-N2r5-+-Nrrîr23-f X"r*r\-t-T*mr*r -4- P r ^ - f - P ^ Î - f - P ^ Î - h P j ,

*r\-t-T*mr*r\

L, Ll5 L5 v .., Nv .., N',..., P , . . . étant des constantes.

11 est maintenant facile de constater que la substitution de ces dernières valeurs dans l'équation F(^,^? v) = 0 donnera un résultat du degré 4m ou du degré 2m en x, jr, z9 suivant que cette équation renfermera ou ne ren- fermera pas de puissances impaires de v, c'est-à-dire sui- vant que la surface E ne sera pas ou sera symétrique par rapport au plan ABC.

4. Démontrons maintenant la propriété relative aux normales.

D'après la remarque faite au n° 2, les dérivées, par rapport à X et |x, du premier membre de l'équation (4) doivent être identiquement nulles, si Ton y regarde i\

rl5 rt comme ayant les valeurs (2), et si Ton y considère v comme une fonction de X et |UL définie par l'équation (3 ) 5

on a donc,

do

d?

do

~dr~

d'après ceh dr do drx

d\ dr^v d\

(do dr

+

{dFT^

dr do dr dp drv dp

/do dr

mais les équations (2)

dr d\

X — a r

( 484 )

do dr, dr2 d\

d<f dr{

dr, dv , dy dr, : dr2 dfj.

dy dr{

dr, dv d9

dr,

dy dr~,

drt\ dv j

dr,\

dv ) nous donnent

dr p — du r

dr dv

dv _ li —

dv dp-

V

r et, d'après Téquation ( 3 ) , il vient

d¥ dF dv __ dF dF dv

on a donc les relations

dq> X — a dy X — a, dy X — a, dF dr r drx r, dr2 r2 d\

dy p — p f/çp p — p, dy p — p2 dF dr r dr\ r, dr2 r2 dp do v do v do v dF dr r d?\ r, dr, ?\ dv

(5)

Si maintenant nous portons sur MA, MB, MC des longueurs À, B, C, les projections de la résultante de ces longueurs sur les axes O.r, Oy, Oz de coordonnées seront

A - + B - -1- C - ,

puisque les longueurs MA, MB, MC sont respectivement égales, d'après les hypothèses, à r, r^l5 r². Mais si, d'un autre côté, la résultante des longueurs A , B, C doit coïn- cider avec la normale au point (?*, /x, v) à la surface 2 , F(X, |x, v) = o, on aura

(6) ^{A i}

A -r dv

r/F

T, , . . j ^/F r/F r/F . . / e f x

L é l i m i n a t i o n d e — ? - 7 - 5 - r - ? e n t r e l e s é q u a t i o n s ( 5 )

d\ dp dv ' v '

et (6), conduit à

1 C

Tr// / " f ^ — a ^«p X — a, do X — c ^ r dr\ r{ dr2 r7

équations qu'on peut écrire

dr ; r

, In K//rfy

H- l — li. -r- O,

486 Or le déterminant

X — a X — ai X — <x-i r

r

P

r,

— r,

P.

ou

. — a X — a, X — a2

i i i

n'est pas nul, puisqu'il représente le double de la surface du triangle ABC 5 il résulte donc des équations (7) :

(8)

5. Ceci établi, portons les longueurs A, B , C sur SA', SB', SC'5 les projections de la résultante sur O#, O j ,

O z seront respectivement

r r, r2

ou, d'après les valeurs ( 8 ) ,

„ / dy x — a dy x — aK do ,v — a.

dr r drt

d dr r dr{

) z — C dy Z — c

: ~ 7 " ⁺dF,~7T

dy z — c2\

ou enfin

(9) ^{K K}

dx dy dz

nelles aux cosinus des angles, avec les axes, de la normale en S(x,y, z) à la surface (4) \ la résultante de SA',, SB',, SC', est donc dirigée suivant cette normale, c. Q. F. D.

6. Le théorème général que je viens d'établir ren- ferme, comme cas particulier, le suivant :

i° Étant donnés trois points fixes A, B, C, et trois autres points A', B', C' dans l'espace; si Von considère un point quelconque M dans le plan ABC, et qu'on con- struise une pyramide A'B'C'S telle quon ait toujours, quel que soit le point M,

SA'^MA, SB'=MB, SC' = MC;

le point S engendrera une surface du second ordre, 2° Si Von prend sur MA, MB, MC des longueurs MAl9 MB19 MCi telles que les trois forces, ayant pour intensités ces longueurs, soient en équilibre, et quon porte sur SA', SB', SC', à partir du point S, des lon- gueurs SA',, SB',, SC't, respectivement égales à MA19

MBj, MCi\ la résultante des forces SA',, SB',, SC, sera normale en S' à la surface engendrée.

La première partie de ce théorème particulier est due à Jacobi, la seconde à Joachimsthal [voir le Journal de Borchardt, t. LXXIII, p. 180 et 207).