N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L EBESGUE
Note sur les congruences
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 9
(1850), p. 436-439<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__436_1>
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NOTE SIK LES CONGIUIEMES;
PAR M. LEBESGUE, Professeur a la faculté de Bordeaux.
On emploie quelquefois les expressions
~===r (mod./>), j ~C~d (mod./?),
«ans bien les définir; ce qui laisse quelque obscurité.
Une fraction p dont le dénominateur est premier à est dite congrue au nombre c pour le module p, quand on peut poser — y — = c, le nombre /c étant entier.
Comme il suit de là que Ton a
bc— a=zpk ou bc~a (mod./?),
on dira qu'un nombre et une fraction sont congrus, sui- vant le module p, quand leur différence a un numérateur divisible par p ; ou bien encore, quand, en réduisant l'en- tier et la fraction au même dénominateur, on trouve des expressions fractionnaires dont les numérateurs sont congrus suivant le module donné.
Cette définition s'étendra à deux fractions T* -? dont b a les dénominateurs è, d sont premiers à p] elles seront congrues suivant le module p , si les fractions -j-rp j - sont telles, que l'on ait
ad^ bc (mod. p ) ou ad — bc ~ o ( mod. p ).
Cela posé, \oici quelques théorèmes très-simples : T H É O R È M E I . L e s f r a c t i o n s é q u i v a l e n t e s -<> > ' ƒ
ayant pour expression réduite [irréductible) -> sont congrues ; suivant le module p [premier à fi), à un même nombre £.
Soit
J*" — g ou a = pÇ— pv;
cette équation fera connaître les entiers £ et y, et Ion aura
^ = H £ (mod./;).
(438 ) Comme
il en résultera
a —fia, b = tp, k étant entier 5 de là
k<x~k$%—phv ou a=ib\—
ce qui donne
On trouverait de même
THÉORÈME II. Si les fractions y? - sont congrues suivant le module p premier à b et à d, elles seront congrues à un même nombre suivant le module p.
L'expression
! « £ (mod./,), revenant à
ad~ bc (mod. p), on a
#<i — bc^o ( mod. /> ) ;
on transformera la congruence par l'addition de - WÇ-f- bd\ = o.
On a ainsi
d(a — bl) — b(c — d$)==BQ ( m o d . / ? ) .
Si l'on détermine \, de sorte que l'on ait rt s b\ (mod. /;),
( 439 ) ou encore
-==£ (mod. p)y
puisque a — h P est divisible par p, c — d\ le sera aussi \ donc
c== d\ (mod./?),
ou bien
^ s s ? (mod./?).
Ainsi les deux fractions sont congrues au même nombre £.
On \oit que, dans ces deux théorèmes, il serait dés- avantageux de remplacer les mots congruence, congrue par équivalence, équivalent. Peut-être vaut-il mieux, dans tous les cas, s^en tenir aux expressions employées par M. Gauss.
