H159. L'album de famille
Dans cet album de famille, il y a 31 photos.
Sur chacune d’elles il y a :
- trois femmes, celle de droite et celle de gauche étant respectivement sœur et fille de celle qui se tient au milieu. Les femmes qui se tiennent au milieu sont toutes différentes.
ou bien :
- trois hommes, celui de droite et celui de gauche étant respectivement frère et fils de celui qui se tient au milieu. Les hommes qui se tiennent au milieu sont tous différents.
Dans tout l’album il y a k =2n + 1 personnes avec n femmes et n + 1 hommes.
Déterminer la plus petite valeur possible de k..
Solution de Paul Voyer
Pour les femmes, par exemple (le même raisonnement s'applique aux hommes), chaque mère "utile" (susceptible de se tenir au milieu) doit avoir une ou plusieurs sœurs et une ou plusieurs filles.
Les femmes sans sœur ne doivent pas avoir de fille.
On peut avoir 15 photos avec
1 photo 2 trisaïeules dont une ayant 2 filles, l'autre sans fille 2 photos 2 bisaïeules ayant chacune 2 filles
4 photos 4 aïeules ayant chacune 2 filles 8 photos 8 mères ayant chacune une fille total 15 mères "utiles" pour 8+8+4+2+2 = 24 femmes.
Pour les hommes, avec la même répartition, plus une photo si le second trisaïeul a un fils sans enfant.
total 16 pères "utiles" pour 9+8+4+2+2 = 25 hommes.
La pus petite valeur de k est 49.
